Korrigendum Lambacher Schweizer 9/10, 1. Auflage 2011

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1 Korrigendum Lambacher Schweizer 9/,. Auflage Klett und Balmer Verlag, Baar. April. Seite, Aufgabe Tipp: Suche dir Punkte auf dem Kreis, die du zur Bestimmung heranziehen kannst Bestimme das Streckzentrum und den Streckfaktor der zentrischen Streckung. a) b) c) Seite, Aufgabe Der Sekanten und der Sekanten Tangenten Satz a) Beweise den Sekantensatz: Schneiden Sekanten durch S einen Kreis (Fig. ), dann sind die Produkte der Streckenlängen von S zu den jeweiligen Kreispunkten konstant: SB SA = SD SC b) Beweise den Tangentensatz: Ist zusätzlich t die Länge einer Tangente von S an den Kreis, dann ist dieses Produkt gleich t. C A M B D t S Fig. Seite 7, Aufgabe Ergänze die fehlenden Angaben. a) w v = tan (º) b) v u = º (v) v º w = tan (º) q r p = cos (º) º = sin (º) q = tan (º) Seite 7, Aufgabe a) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit cos (a) = 7. b) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit tan (a) =.. c) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit sin (b) =.9.

2 Seite 87, Beispiel Mithilfe des Sinus und des Kosinussatzes lassen sich fehlende Seiten und Winkel eines beliebigen Dreiecks berechnen, wenn drei Stücke gegeben sind. Mit dem Kosinussatz ergeben sich im Unterschied zum Sinussatz die Winkel eindeutig, denn bei einem sich ergebenden positiven (negativen) Kosinuswert ist der Winkel spitz (stumpf). Beispiel Von einem Dreieck ABC sind b = cm; c = 7 cm; a = gegeben. Bestimme a, b und c. Nach dem Kongruenzsatz sws ist das Lösungsdreieck eindeutig. a = b + c b c cos (a) = cm + 9 cm cm cos a. cm b sin (b) b sin (a) cm sin ( ) a = sin (b) = sin (a) a =. cm b. (Der Winkel b = 8 b.8 ist wegen der Winkelsumme im Dreieck keine Lösung.) a + b + c = 8 c = 8 (a + b) = 8 ( +. ) c 8.8 A α b C B Hinweis: Durch Rundungen können sich bei verschiedenen Lösungswegen (wie hier für b) voneinander geringfügig abweichende Werte ergeben. c Seite 9, Aufgabe Fig. Der Punkt P liegt auf der Geraden g mit der Gleichung g (x) = x + und der Punkt Q liegt auf der Geraden g mit der Gleichung g (x) = x + 8. Der Punkt R ( ) liegt auf der horizontalen Geraden g, welche die Punkte P und Q miteinander verbindet. Bestimme den Abstand zwischen den Punkten P und Q. Seite, Beispiel x =. Die Nullstelle ist bei x =.. grafisch Beispiel Löse die Gleichung x + =.7 rechnerisch und grafisch. rechnerisch: x + =.7 x =.7 : x. x =.7 Durch Ablesen erhält man x.. y x Seite, Aufgabe Löse mit dem Additionsverfahren. a) x + 7 y = b) x y = c) 7 x + y = d) 7 x + y = x + 7 y = 8 x + y = 7 x y = 7 x + y = e) 7 x + y = f) x y = g) 9 x 7 y = h) x + y = x + y = x. y =. x + y =. x. y =7.

3 Seite 9 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen 9. Quadratische Funktionen In der Fahrschule lernt man: Wenn man die Geschwindigkeit in km/h durch dividiert und das Ergebnis quadriert, so ergibt sich der Bremsweg in Metern. Rein quadratische Funktionen Die Tiefe eines Brunnens kann man bestimmen, indem man zum Beispiel einen Stein in den Brunnen fallen lässt und die Falldauer stoppt. Hat man die Falldauer t (in Sekunden) gemessen, lässt sich die Fallstrecke s (in Metern) näherungsweise mit der Gleichung s (t) = t berechnen. Beträgt die Falldauer beispielsweise s, so ergibt sich für den Brunnen eine Tiefe von s () = =, also m, bei einer Falldauer von s eine Tiefe von s () = =, also m. Man erkennt: Verdoppelt sich die Falldauer, so wird die Fallstrecke nicht etwa ebenfalls verdoppelt, sondern vervierfacht. Dies liegt daran, dass der Stein beim Fallen beschleunigt wird. Die Strecke, die der Stein während des Fallens in jeweils einer Sekunde zurücklegt, nimmt zu. Die Gleichung s (t) = t gehört zu einer ( ) rein quadratischen Funktion. Setzt man für t verschiedene Werte ein, so erhält man die zugehörigen Werte für s. Die t Wertepaare lassen sich in einer Wertes(t) 8 tabelle darstellen. Man erkennt: Dem -, - bzw. n-fachen der ersten Grösse wird 9 das -, 9- bzw. n-fache der zweiten Grösse Fig. zugeordnet. Überträgt man die Werte in ein Koordinatensystem, so sieht man, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Man darf diese Punkte deshalb nicht geradlinig verbinden. Den genauen Verlauf des Graphen in Fig. erhält man, indem man durch Einsetzen von Zwischenwerten für t weitere Wertepaare ermittelt. Ein Graph dieser Art heisst Parabel. 8 7 s s (t) = t t Eine Funktion mit der Gleichung f (x) = a x bzw. y = a x heisst rein quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Fig.

4 Seite, Merkkasten Die Lösungen einer quadratischen Gleichung a x + b x + c = sind die Nullstellen der zugehörigen quadra tischen Funktion f (x) = a x + b x + c. Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Seite, Aufgabe Entscheide anhand der Graphen in Fig., ob die zugehörigen Funktionen umkehrbar sind. Schreibe die Funktionsgleichung und ggf. die Gleichung der Umkehrfunktion auf. Zeichne den Graphen der Funktion. Schränke, falls nötig, die Definitionsmenge so ein, dass eine umkehrbare Funktion entsteht. Bestimme dann die Gleichung der Umkehrfunktion. a) f (x) =. x b) f (x) = x c) f (x) =. x d) f (x) = (x + ) e) f (x) = (x ) f) f (x) = (x ) Seite 7, Beispiel y f g h x Fig. Bei der Reaktorkatastrophe von Tschernobyl im Jahr 98 wurde neben Jod vor allem Cäsium 7 freigesetzt. Beispiel a) Cäsium 7 hat eine Halbwertszeit von Jahren. Gib den Wachstumsfaktor für ein Jahr an. Wie viel Prozent beträgt die jährliche Abnahme? b) Zu Beginn einer Beobachtung sind mg Cäsium 7 vorhanden. Bestimme die Exponentialfunktion, die den Zerfall von Cäsium 7 mit diesem Anfangswert beschreibt. a) Der Zerfall des Cäsiums wird durch eine Funktion f mit f (x) = b a x beschrieben. Nach der Halbwertszeit T H gilt: b a T H = b Einsetzen der gegebenen Halbwertszeit: b a = b Daraus folgt (da b ): a = ; a =.979 Aus a.979 (= 97.9 %) ergibt sich eine jährliche Abnahme von etwa. %. b) Anfangswert: b = (mg); f (x) =.979 x Seite 79, Aufgabe Schreibe als Summe oder Produkt «einfacher» Logarithmen. a) lg ( x) b) log a (a b c) c) lg u d) log a a b e) log a e f f) log a u w v g) lg 9 x h) log a b i) log a x y u v j) log a a b c k) log 7 r s t u v l) log a a b c

5 Seite 79, Aufgabe 9 9 a) Der Logarithmus von a zur Basis b ist c. Wie gross ist der Logarithmus von a zur Basis b? b) Betrachte die Gleichung log c (k a) = b. Drücke k durch a aus, wenn b = log c (a) gilt. Seite 8, Eigenschaften der Logarithmusfunktion log (x) = log a (x) a log a a = log a (x) log a (a) = log a (x) = log a (x) Eigenschaften der Logarithmusfunktion: Für a > gilt: Die Funktionswerte nehmen zu, wenn x. grösser wird. Die Funktion ist zunehmend. Der Graph verläuft für x > über der x- Achse, für < x < unter der x-achse.. Für x gilt log a (x), für x gilt log a (x). Für < a < gilt: Die Funktionswerte nehmen ab, wenn x grösser wird. Die Funktion ist abnehmend. Für x > sind die Funktionswerte negativ, für < x < sind sie positiv. Fig. Für x gilt log a (x), für x gilt log a (x). Für beliebige Werte von a (a, a ) gilt: Alle Graphen von f mit f (x) = log a (x) verlaufen durch den Punkt P (). Spiegelt man den Graphen von f mit f (x) = log a (x) an der x-achse, so erhält man den Graphen von g mit g (x) = log a (x) = log (x) (Fig. ). a Seite 9, Merkkasten Betrag eines Vektors: für a = a x a y gilt: a = 9 a x + a y ; für a = a x a y a z gilt: a = 9 a x + a y + a z Seite 9, Aufgabe Bestimme einen Normalenvektor von a und b. a) a =, b = b) a =, b = c) a =, b =

6 Seite, Einstieg. Geraden in der Ebene y Welche der folgenden Geraden sind in der Grafik dargestellt? g : + t g : + t g : y = x + 7 g : x + y = A B x Gleichungen von Geraden Seite, Beispiel Beispiel Gegenseitige Lage von Geraden Bestimme die gegenseitige Lage der Geraden g und h. a) g: + s, h: + t 8 b) g: 7 c) g: + s 8, h: + t + s, h: + t Da in a) die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, können g und h entweder parallel sein oder identisch. Eine Punktprobe muss durchgeführt werden. In den Teilaufgaben b) und c) sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander, die Entscheidung zwischen Schnittpunkt oder windschief muss durch Lösung der Vektorgleichung gefällt werden. a) Der rtsvektor des Punktes P ( ) der Geraden h wird in die Geradengleichung der Geraden g eingesetzt. Die Punktprobe = + s ergibt s =. Damit liegt der Punkt P auf der Geraden g. Die beiden Geraden sind identisch. b) Der Vektorgleichung 7 = + t entspricht das lineare Gleichungs- System (LGS) { 7 + s = + t + s = + t + s = + t + s s t = bzw. s t = {. s t = Dieses LGS hat die einzige Lösung s = ; t =. Also schneiden sich g und h. Setzt man in 7 + s für s die Zahl, so erhält man den Vektor s =. Somit schneiden sich g und h im Punkt S ( ). c) Der Vektorgleichung 8 = + t + s { + s = t entspricht das LGS + 8 s = t Dieses LGS hat keine Lösung. Also sind g und h windschief zueinander. + s = + t. Tipp: Zur Lösung des Gleichungssystems betrachtet man zunächst zwei der drei Gleichungen, um die Lösung zu berechnen. Anschliessend führt man in der dritten Gleichung die Probe durch.

7 Seite, Aufgaben und Wie kann man an der Ebenengleichung erkennen, dass zwei Spurgeraden zueinander parallel sind? Zeichne die drei Spurgeraden und schraffiere einen Ebenenausschnitt. a) E: x + y = 8 b) E: x z = Gegeben ist die Ebene E: x + y + z =. a) Begründe: Die Spurgeraden gehen alle durch den Ursprung. b) Zeichne die Spurgeraden. Gib mithilfe von Parallelen zu den Spurgeraden einen Ebenen - ausschnitt an.