Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN

Transkript

1 *XQGODJHQGH3K\VLN Vorlesung im Fachbereich VI der niversität Trier Fach: Geowissenschaften Sommersemester 21 'R]HQW '.DOROWH 'LSORP3K\VLNH )DFKKRFKVFKXOH7LH 7HO )D[ (DLOPROWH#IKWLHGH,QIRV]X9ROHVXQJXQWHKWWSZZZIKWLHGHaPROWHJGS Version: /LWHDWX 6WRSSH: 3K\VLN, Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN HLQJDWLQ6WRKH: 3K\VLNI,QJHQLHXH, Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN DXO$7LSOH: 3K\VLN, Spektrum Akademischer Verlag, 2, ISBN *HWKVHQ: 3K\VLN, Springer Verlag, 1999, ISBN %RQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHDWKHPDWLN, Verlag Harri Deutsch, 2, ISBN JHQ(LFKOH: 3K\VLN, Vieweg Verlag, 1993, ISBN DQV-3DXV: 3K\VLN, Hanser Verlag, 1995, ISBN ODXV:HOWQH: DWKHPDWLNI 3K\VLNH, Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN , erhältlich!) 6WHSKHQ:ROIDP: 7KHDWKHPDWLFD%RRN, Cambridge niversity Press, 1999, ISBN

2 Gravitation 'DV*DYLWDWLRQVJHVHW] Å 9REHPHNXQJHQ Im Jahre 1686 formulierte Newton aufgrund experimenteller Beobachtungen (fallender Apfel!) das nach ihm benannte Gravitationsgesetz, das die Kraft angibt, die zwei Körper mit den Massen P 1 und P 2 im Abstand r aufeinander ausüben. Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet: ) = g P 1 P þþþþþþþþþþþþþ 2 2 [1] Die Gravitationskonstante g konnte Newton noch nicht angeben. Die Kraft (die ja eigentlich ein Vektor ist) wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Massenschwerpunkte. Wie kam Newton zur Formulierung dieses Gesetzes? Versuchen wir seine Gedanken auf der Basis des damaligen Wissens nach zu vollziehen: Es war bereits bekannt, dass die Erde einen Körper mit einer Kraft anzieht, die seiner Masse proportional ist: F = m g [2] Aufgrund des actio = reactio Prinzips schloss Newton, dass der Körper die Erde mit der gleichen Kraft anzieht. Die Kraft, mit der sich zwei Körper anziehen, muss daher proportional zu beiden Massen sein: F ~ P 1 P 2 [3] Ausserdem war aufgrund astronomischer Beobachtngen klar, dass die Kraft mit wachsendem Abstand er beteiligten Körper abnimmt, etwa nach einem Potenzgesetz: F ~ 1 þþþþþ Q [4] So stellte sich nur noch die Frage nach dem Exponenten n. m den Exponenten einzugrenzen, verglich Newton die Kraft, die ein Körper K an der Erdoberfläche erfährt mit der Kraft, die der Mond (M) auf seiner Bahn um die Erde erfährt: P ). = P. J = g. ( þþþþþþþþ Q. [5] P ) = P P D = g ( þþþþþþþþþ Q [6] Die Erdbeschleunigung g=9,81 þþþþþ P war bereits bekannt. V Die Radial (Zentripetal)-Beschleunigung a des Mondes auf seiner Bahn um die Erde konnte Newton aus

3 dem bekannten Abstand ( 6 Erdradien) und der mlaufzeit (28 Tage) aus dem Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung zu D = w 2 a = þþþþþ P V 2 ermitteln. Newton setzte nun die Gleichungen [5] und [6] ins Verhältnis, so dass sich sämtliche Massen und die (bislang unbekannte) Gravitationskonstante g herauskürzten: = 2 þþþþþþþþþ D 2.. J þþþþ [7] So stellte sich nur noch die Frage, was als Abstand des Körpers an der Erdoberfläche von der Erde einzusetzen ist. Da man sich idealerweise die gesamte Masse im Schwerpunkt der Körper vereinigt vorstellen kann, scheint es plausibel, als Abstand den Erdradius 5 ( einzusetzen: I 6 5 ( þþþþþþþþþþþþ 5 ( M Q = 6 Q = þþþþþþþþþþþþþþþþþ [8] Der Vergleich der Zahlen 3773 und 6 Q ergibt ziemlich exakt n = 2. Spätere ntersuchungen zeigten dann, dass der Wert 2 für den Exponenten mit grosser Genauigkeit gilt. Å 'LH*DYLWDWLRQVNRQVWDQWH Die zur Vervollständigung des Gravitationsgesetztes erforderliche Proportionalitätskonstante g konnte Newton nur sehr grob abschätzen. Erst im Jahr 1797 gelang es Cavendish mit einem ausgeklügelten Experiment (der sogenannten Gravitationswaage) die Anziehungskraft zweier Massen direkt zu messen und daraus die fehlende Proportionalitätskonstante zu bestimmen. Man erhält auf diese Weise den Wert: g = (6.672 ±.4) 1-11 [ þþþþþþþþþþþþþ 1P2 ]. kg 2 Kennt man die Erdbeschleunigung g = 9.81 [ þþþþþ P ] und den Erdradius 5 V 2 ( = 637[km], so lässt sich aus der Gleichung [5] die Erdmasse berechnen: ( = þþþþ J 5 2 ( = 5.98 ¼ 1 24 [kg] g Die Genauigkeit dieses Wertes hängt natürlich von der Genauigkeit der Gravitationskonstante und der Erdbeschleunigung ab. Ausserdem ist die Erde keine Kugel, sondern an den Polen "HWZDVDEJHSODWWHW". Die Erbeschleunigung g lässt sich sehr genau aus der Schwingunsdauer von Pendeln bestimmen, dazu kommen wir im Abschnitt 6FKZLQJXQJHQXQG:HOOHQ.

4 *DYLWDWLRQVIHOGVWlNH Wir können das Gravitationsgesetz (am Beispiel der Erde) wie folgt interpretieren: Auf einen Probekörper der Masse m wirkt ausserhalb der Erdkugel eine Kraft, die auf den Erdmittelpunkt hin gerichtet ist und mit Entfernung vom Mittelpunkt umgekehrt zum Abstandsquadrat abnimmt:» ) H L = -g þþþþþþ 2 P þþþ [9] Dabei ist þþþþ nichts anderes als ein Vektor der Länge 1 (Betrag 1), der vom Erdmittelpunkt zum Probekörper zeigt. Wir können das Kraftfeld auch graphisch veranschaulichen, indem wir an einzelnen Punkten die Kraftvektoren antragen: 6KRZ@.DIW9HNWRHQD E ú Graphics ú Man kann sich nun auch vorstellen, dass dieses Kraftfeld auch dann vorhanden ist, wenn sich kein 3REHN SH darin befindet. Es liegt daher nahe, eine Formulierung für das Kraftfeld zu finden, die unabhängig vom Vorhandensein eines Probekörpers ist. Dazu dividieren wir die Gleichung [9] durch m und definieren das Ergebnis als *DYLWDWLRQVIHOGVWlNH:

5 Kraft Masse des Probekörpers Gravitationsfeldstärke = þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ»»» Ḑ H L = ) þþþþþ = -g þþþþþþ þþþ P 2 [ þþþþþ P ] V 2 [1] Die Gravitationsfeldstärke besitzt die Einheit einer Beschleunigung und die gleiche Abstandsabhängigkeit wie die Gravitationskraft )» und natürlich das gleiche Feldbild. Üblicherweise veranschaulicht man solche Vektorfelder, indem man statt der einzelnen Kraft- oder Beschleunigungsvektoren deren Verbindungslinien zeichnet, die die Richtung der Feldvektoren kennzeichnet. Die räumliche Dichte der Feldlinien ist dann ein Mass für die Stärke des Feldes: 6KRZ@.DIW)HOGOLQLHQD E ú Graphics ú Mit zunehemendem Abstand von der Erdoberfläche wird die Dichte der Feldlinien und damit die Gravitationsfeldstärke geringer! Zum Schluss untersuchen wir noch, wie sich die Gravitationsfeldstärke innerhalb einer Masse verhält, wenn man beispielsweise in einen tiefen senkrechten Schacht hinabsteigt.

6 R E r ú Graphics ú Die obigen Betrachtungen gelten dann weiterhin für den inneren, in der Graphik gelb markierten Teil der Erdkugel mit der Masse: L = 9 L þþþþþþ = þþþþþþ 3 = H þþþþ L3 [11] Für diese Masse ergibt sich eine Anziehungskraft (Betrag!) von ) L =g P L þþþþþ 2 =g þþþþþþþþþ P. 5 3 [12] Man kann zeigen, dass die darüber befindliche Kugelschale keine Nettokraft auf die Probemasse ausübt, indem man die aus jeweils gegenüberliegenden Masseteilen resltierenden Kräfte vergleicht: sie heben sich gegenseitig auf. Es ergeben sich daher zusammenfassend folgende Kraft bzw. Gravitationsgesetzte (wenn man berücksichtigt, dass folgender Zusamenhang zwischen Erdbeschleunigung und Gravitationskonstante gilt : g = g ( þþþþþþþþ ): ) L =g þþþþþþþþþ P 5 3 D L =g þþþþþþ = J þþþþ [13]!5 ) D =g þþþþþ P 2 D D =g þþþþþþ = J þþþþþþ [14]

7 Gravitation.nb Im,QQHQ eines kugelförmigen Körpers nimmt die Gravitationsfeldstärke proportional zum Abstand vom Mittelpunkt zu. Im bxvvhhq nimmt sie umgekehrt zum Quadrat der Entfernung vom Mittelpunkt ab. 3RWHQWLHOOH(QHJLHXQG*DYLWDWLRQVSRWHQWLDO In der Nähe der Erdoberfläche ist die Gravitationsfeldstärke nahezu konstant und hat den Wert g = 9.81 þþþþþ P. V 2 In diesem, nahezu homogenen Feld hatten wir bereits die potentielle Energie wie folgt definiert: ( S = PJK wobei der Nullpunkt (willkürlich) bei h= (Erdoberfläche) festgelegt wurde. Wir wollen diesen Begriff des Potentials nun im Bezug auf dass allgemeine Gravitationsgesetz verallgemeinern. Wir müssen uns daher die Frage stellen, welche Arbeit aus dem Kraftgesetz» ) =-g þþþþþþþþþþþ P þþþþ 2 folgt, wenn wir einen Körper an den Ort transportieren. Den rsprung von legen wir in den Erdmittelpunkt (Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt!). Die Arbeit wird üblichweise so berechnet, dass der Ausgangspunkt des Transports im nendlichen liegt (dies ist eine reine Definitionssache!). Das Arbeitsintegral lässt sich am einfachsten auswerten, wenn der Transport entlang einer Kraft- oder Feldlinie stattfindet:» W = -¾ ) 1 Ç = gp¾ Š þþþþþ Ç = gp@- þþþþ 1 D 2 Š = -g P þþþþþþ. [15] Das negative Vorzeichen in [15] bedeutet, dass man Arbeit gewinnt, wenn man einen Körper aus dem nendlichen zum Ort transportiert. Dies entspricht der Erfahrung, da die Gravitationskraft eine anziehende Kraft zwischen Massen ist. Man definiert die potentielle Energie daher so, dass der Energienullpunkt im nendlichen liegt. Nach Gleichung [15] gilt daher: ( S HL = -g P þþþþþþ (r > R) [16] Die potentielle Energie im Erdinnnern erhält man aus der Kraftbeziehung der Gleichungen [12] oder [13] und unter Berücksichtigung, dass das Potential an der Erdoberfläche sich aus Gleichung [16] zu ( S H5L =-g P þþþþþ ergibt: 5

8 ( S H < 5L = ( S H5L + 9-¾»»» 5 ) L Ç = = -g P þþþþþþ + g þþþþþþþþþ P 5 5 ¾ 3 5 Ç [17] = -g P þþþþþþ + þþþþ g P þþþþþþþ - þþþþ g P þþþþþþ 5 Die potentielle Energie im Erdinnern ergibt sich daraus zu: ( S HL = 1 þþþþ þþþþþþþþþ H-3 + H þþþþ 5 5 L2 L (r ˆ R) 2 g P [18] Sehen wir uns die Abhängigkeit der potentiellen Energie vom Radius zum Massenmittelpunkt im Zusammenhang an: $EELOGXQJÃ Der Nullpunkt liegt gemäss unserer Defintion bei r=š! Im Erdinnern wächst die potentielle Energie proportional zu 2, im Äusseren dagegen proportional zu þþþþ 1. Befreien wir die Definitionen in den Gleichungen [16] und [18] wieder von den speziellen Eigenschaften des Probekörpers m, so gelangen wir zur Defintion des Gravitationspotentials F der Erde:

9 potentielle Energie Masse des Probekörpers Gravitationspotential = þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ F= ( S þþþþþþþ þþþþþþ [ - P kg P2 ] oder [ þþþþþþþ ] V 2 F L HL = - 1 þþþþ 2 g þþþþþþ H3 - H þþþþ 5 5 L2 L, (r ˆ R) [19] F D HL = -g þþþþþþ, (r > R) Die Flächen konstanten Potentials nennt man btxlsrwhqwldoiolfkhq. Da das Potential nur vom Radius r abhängig ist, sind die Äquipotentialflächen zwangsläufig konzentrische Kugelflächen um den Erdmittelpunkt. Im Gegensatz zur Gravitationsfeldstärke ist das Gravitationspotential keine vektorielle, sondern eine skalare Grösse. Es beschreibt die Gravitation jedoch in gleicher Weise wie die Feldstärke, ist matematisch jedoch leichter zu handhaben. 'LH.HSOHVFKHQ*HVHW]H Basierend auf den Ideen des Kopernikus ( ) und den astronomischen Beobachtungen des Tycho Brahe ( ) formulierte Johannes Kepler ( ) folgende Gesetzmässigkeiten für die Bewegung von Planeten: 1.: Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2.: Der von der Sonne zum Planeten gezogene Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen ("konstante Flächengeschwindigkeit") 3.: Die Quadrate der mlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der grossen Halbachsen ihrer mlaufbahnen. Newton lieferte die theoretische Erklärung dieser Gesetze, indem er zeigte, dass sie mit seinem Gravitationsgesetz verträglich sind. Allerdings war dadurch noch nicht ausgeschlossen, dass möglicherweise ein anderes Potenzgesetz für die Gravitation die Keplerschen Gesetze ebenfalls untermauert. Erst später konnte man beweisen, dass lediglich das þþþþþ 1 Gesetz von Newton die Planetenbewegungen 2 vollständig erklärt.

10 Å (LQIDFKH(NOlXQJGHNHSOHVFKHQ*HVHW]H Zur exakten Erklärung der Keplerschen Gesetze benötigt man GHQ(QHJLHVDW] ( N + ( S = const. þþþþ 1 2 PY2 - g þþþþþþþþ P þþþ = ( ges = const. XQGGHQ'HKLPSXOVHKDOWXQJVVDW] PY» =» / = const. Der mathematische Nachweis der Ellipsenbahnen ist etwas umfangreich und kann im Rahmen dieser Vorlesung nicht erbracht werden. Die Rechnungen zeigen, dass sich nur dann Ellipsenbahnen ergeben, wenn ( ges < ist (d.h. die kinetische Energie des Planeten geringer ist als der Betrag der potentiellen Energie!) Das 2.te Keplersche Gesetz der konstanten Flächengeschwindigkeit gilt immer dann, wenn man es mit Zentralkräften zu tun hat (alle Kräfte weisen auf einen zentralen Punkt). Solche Kräfte können keine Drehmomente erzeugen und damit kann sich der Drehimpuls des Systems nicht ändern. Eine mathematische Analyse des Drehimpulserhaltungssatzes zeigt, dass dieser gleichwertig mit dem Gesetz der Flächenerhaltung ist. $EELOGXQJÃ Das 3.te Keplersche Gesetz lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht der Zentripetalkraft»»»»»»» ) ZP = -P w 2 und der Gravitationskraft

11 Gravitation.nb»»»»» ) * = -g þþþþþþþþ P þþþ þþþþ 2 ableiten. Setzt man die beiden Kräfte gleich, so erhält man: P w 2 = g P þþþþþ 2 und mit w = þþþþþþþ 2 p folgt dann: þþþþþþþ þþþþþþþþþ = 4 p2 3 g = const. [2] Das Verhältnis des Quadrats der mlaufzeit T zur dritten Potenz des Bahnradius ist unabhängig von der Planetenmasse (M ist die Masse des Zentralgestirns, nicht die Masse des Planeten!). Liegt statt einer Kreisbahn eine Ellipsenbahn vor, so ist der Bahnradius durch die grosse Halbachse a zu ersetzten. 6DWHOOLWHQEDKQHQ Die Keplerschen Gesetze gelten natürlich auch für künstliche Satelliten und deren Flugbahnen um die Erde. Es gilt insbesondere immer der bereits oben erwähnte Energiesatz, der die Flugbahn bestimmt: 1 þþþþ 2 PY2 -g P þþþþþþ = ( ges [21] Darin ist m die Masse des Satelliten und M die Erdmasse. Für einen Satelliten, der keine eigene Antriebsenergie besitzt, ist die Gesamtenergie konstant. Wie bereits oben erwähnt, ergeben sich nur für ( ges < stabile Ellipsenbahnen um die Erde. ( ges > führt zu Hyperbelbahnen, ( ges = zu einer Parabelbahn. Damit ein Körper das Gravitationspotential der Erde überwinden kann (d.h. den Erdanziehungsbereich der Erde verlassen kann), muss ihm soviel kinetische Energie zugeführt werden, dass er nach r = Š gelangt (dort ist definitionsgemäss die potentielle Energie gleich null!). Startet der Körper auf der Erdoberfläche (r = R), muss ihm soviel potentielle Energie zugeführt werden, dass seine Gesamtenergie (Gleichung [21]) gleich Null ist: 1 þþþþ 2 PY2 = g P þþþþþþ Y = "############## 2 g þþþþþþ 11.2 þþþþþþþþ km 5 V [22] Man bezeichnet diese Geschwindigkeit als die HVWH)OXFKWJHVFKZLQGLJNHLW Y *. Soll ein Satellit eine stabile Erdumlaufbahn erreichen, muss seine Startgeschwindigkeit unterhalb dieser ersten Fluchtgeschwindigkeit liegen! Es gibt aber auch eine minimale Startgeschwindigkeit, die der Satellit besitzen muss, damit er nicht wieder auf die Erdoberfläche zurück fällt. Dies ist die Geschwindigkeit, die er für eine erdnahe Kreisbahn (r = R) benötigt.

12 Sie lässt sich leicht aus dem Kräftegleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Erdanziehungskraft herleiten: ) ZP = PY þþþþþþþþþþþ 2 = ) 5 * = g þþþþþþþþþ P 2 Y = "########## g þþþþþþ km = 7.9 þþþþþþþþ 5 V [23] Hier wurde als Bahnradius des Satelliten der Erdradius R angenommen. Die folgende Abbildung zeigt die Zusammenhänge in der Übersicht: $EELOGXQJÃ Mit Startgeschwindigkeiten zwischen 7.9 km/s und 11.2 km/s ergeben sich Bahnen die zwischen einer Kreisbahn und Ellipsenbahnen sehr hoher Exzentrizität liegen. Aufgrund der starken Reibung in der unteren Erdatmosphäre sind stabile Satellitenbahnen jedoch erst ab einer Höhe von ca. 2 km sinnvoll. Die mlaufzeit einer solch erdnahen Bahn beträgt ca. 1.5 h. m den Einfluss anderer Planeten im Sonnensystem (insbesondere der Sonne selbst) gering zu halten, sollte die grosse Halbachse einer Ellipsenbahn den hundertsten Teil der Entfernung Sonne - Erde nicht überschreiten. Die mlaufzeit einer solchen Bahn beträgt ca. 4 Monate. Technisch interessant ist die sogenannte geostationäre mlaufbahn, eine Kreisbahn um die Erde bei der der Satellit immer über dem gleichen Punkt der Erdoberfläche steht. Seine mlaufzeit muss dann genau der Zeit entsprechen, die die Erde für eine volle mdrehung benötigt, also 24 Stunden. Aus dem 3.ten Keplerschen Gesetzt (bzw. Gleichung [2]) lässt sich die Höhe einer solchen mlaufbahn berechnen:

13 r = "################# 3 7 gm þþþþþþþþþ 2 4 p km [24] Zieht man davon den Erdradius ab, so ergibt sich für die Höhe der geostationären Bahn über dem Erdboden ein Wert von ca. 359 km. Ein Satellit, der unser Sonnensystem verlassen soll, benötigt eine Startgeschwindigkeit, mit der er auch das Gravitationsfeld der Sonne überwinden kann. Eine ähnliche Überlegung wie bei der Herleitung der ersten Fluchtgeschwindigkeit liefert: Y ** =!!!!!!! 2 g "#################### þþþþþþþþ ( þþþþþþþþ V km þþþþþþþþ V [25] wobei ( die Erdmasse, 6 die Sonnenmasse und V der Abstand Sonne - Erde ist. Diese Geschwindigkeit ist erforderlich, wenn man den Satelliten senkrecht von der Erdoberfläche in Richtung der Verbindungslinie Sonne - Erde abgeschossen wird. Macht man sich die Relativgeschwindigkeit der Erde zur Sonne in Höhe von 29.8 km/s zu Nutze und schiesst den Satelliten tangential zur Erdmlaufbahn ab, so muss man lediglich die Differenzgeschwindigkeit in Höhe von 13.8 km/s aufbringen. Dieser Wert liegt nur geringfügig über der ersten Fluchtgeschwindigkeit. =XVDPPHQIDVVXQJ Å *DYLWDWLRQ *DYLWDWLRQVJHVHW] F = g P 1 P þþþþþþþþþþþþþþþ 2 2 g: Gravitationskonstante P 1, P 2 :Massen r: Abstand der Massen *DYLWDWLRQVIHOGVWlNH» Ḑ = )» þþþþþ [ þþþþþ P ] P V 2 (kugelförm. Körper mit»»» D DH L = -g þþþþþ 3 Masse M und Radius R»» Ḑ LH L = -g þþþþþþþ 5 3 (Definition) r R (aussen) r ˆ R (innen) *DYLWDWLRQVSRWHQWLDO F = ( S þþþþþþ þþþþþþþ P2 ] P V 2 (Definition) kugelförmiger Körper F D HL = -g þþþþþ r R (aussen) 2 F L HL =-g þþþþþþþþ I3 - þþþþþþþ M r ˆ R (innen) 5 2 Å 6DWHOOLWHQGH(GH Minimale Startgeschwindigkeit Y = "############ g ( þþþþþþþ 7.9[ þþþþþþþ km ] 5 ( V Erste Fluchtgeschwindigkeit Y * =!!!! 2 Y 11.2 [ þþþþþþþ km Zweite Fluchtgeschwindigkeit Y ** =!!!!!!!! 2 g "##################### þþþþþþþþ ( þþþþþþþ ( + 6 V V ] 43.6 [ km þþþþþþþ V ]