Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 2007

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1 Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 2007 Prof. Lengauer Sven Apel, Michael Claÿen, Christoph Zengler, Christof König Blatt 5 Votierung in der Woche vom Aufgabe 12 Manuelle Sortierung Sortieren Sie das Array {10, 23, 8, 19, 12, 2, 4} mittels unten stehender Algorithmen von Hand. Verdeutlichen Sie grasch alle wichtigen Schritte sowie Zwischenergebnisse der jeweiligen Sortierverfahren. SelectionSort { 10, 23, 8, 19, 12, 2, 4} {2, 23, 8, 19, 12, 10, 4 } {2, 4, 8, 19, 12, 10, 23} {2, 4, 8, 19, 12, 10, 23} {2, 4, 8, 10, 12, 19, 23} {2, 4, 8, 10, 12, 19, 23} (b) InsertionSort 1

2 {10, 23, 8, 19, 12, 2, 4 } Erste for-schleife {10, 23, 8, 19, 12, 2, 4} {10, 23, 8, 19, 2, 12, 4} {10, 23, 8, 2, 19, 12, 4} {10, 23, 2, 8, 19, 12, 4} { 10, 2, 23, 8, 19, 12, 4} {2, 10, 23, 8, 19, 12, 4} Beginn der zweiten for-schleife (Iteration für 23) {2, 10, 23, 8, 19, 12, 4} Beginn der neuen Iteration für 8 {2, 10, 23, 23, 19, 12, 4} Beginn der while-schleife {2, 10, 10, 23, 19, 12, 4} {2, 8, 10, 23, 19, 12, 4} Ende der while-schleife {2, 8, 10, 23, 19, 12, 4} Beginn der neuen Iteration für 19 {2, 8, 10, 23, 23, 12, 4} Beginn der while-schleife {2, 8, 10, 19, 23, 12, 4} Ende der while-schleife {2, 8, 10, 19, 23, 12, 4} Beginn der neuen Iteration für 12 {2, 8, 10, 19, 23, 23, 4} Beginn der while-schleife {2, 8, 10, 19, 19, 23, 4} {2, 8, 10, 12, 19, 23, 4} Ende der while-schleife {2, 8, 10, 12, 19, 23, 4 } Beginn der neuen Iteration für 4 {2, 8, 10, 12, 19, 23, 23 } Beginn der while-schleife {2, 8, 10, 12, 19, 19, 23} {2, 8, 10, 12, 12, 19, 23} {2, 8, 10, 10, 12, 19, 23} {2, 8, 8, 10, 12, 19, 23} {2, 4, 8, 10, 12, 19, 23 } Ende der while-schleife BubbleSort 2

3 {10, 23, 8, 19, 12, 2, 4 } Erste for-schleife {10, 23, 8, 19, 12, 2, 4} {10, 23, 8, 19, 2, 12, 4} {10, 23, 8, 2, 19, 12, 4} {10, 23, 2, 8, 19, 12, 4} { 10, 2, 23, 8, 19, 12, 4} {2, 10, 23, 8, 19, 12, 4 } Zweite for-schleife {2, 10, 23, 8, 19, 4, 12} {2, 10, 23, 8, 4, 19, 12} {2, 10, 23, 4, 8, 19, 12} {2, 10, 4, 23, 8, 19, 12} {2, 4, 10, 23, 8, 19, 12 } Dritte for-schleife {2, 4, 10, 23, 8, 12, 19} {2, 4, 10, 23, 8, 12, 19} {2, 4, 10, 8, 23, 12, 19} {2, 4, 8, 10, 23, 12, 19 } Vierte for-schleife {2, 4, 8, 10, 23, 12, 19} {2, 4, 8, 10, 12, 23, 19 } Fünfte for-schleife (d) MergeSort {10, 23, 8, 19, 12, 2, 4} Rekursiv zerlegen {10, 23, 8}{19, 12, 2, 4} {10}{23, 8}{19, 12}{2, 4} {10}{23}{8}{19}{12}{2}{4} {10}{8, 23}{12, 19}{2, 4} Mischen {8, 10, 23}{2, 4, 12, 19} 3

4 QuickSort { 10, 23, 8, 19, 12, 2, 4} Partitionieren { 10, 4, 8, 19, 12, 2, 23} Tauschen { 10, 4, 8, 2, 12, 19, 23} Tauschen {2, 4, 8, 10, 12, 19, 23} Pivot in der Mitte platzieren { 2, 4, 8}, 10, { 12, 19, 23} Neue Pivot-Elemente wählen Aufgabe 13 Abschätzung von Sortierverfahren Geben Sie zu folgenden Sortierverfahren die best-, average- und worst case- Komplexität an: SelectionSort (b) InsertionSort BubbleSort (d) MergeSort QuickSort SelectionSort: falls in-situ implementiert: nicht stabil (z. B. 2,2,1) falls nicht in-situ implementiert: stabil best: O(n 2 ) jedes Mal Minimum bestimmen average: O(n 2 ) jedes Mal Minimum bestimmen worst: O(n 2 ) jedes Mal Minimum bestimmen (b) InsertionSort: in-situ, stabil best: O(n) falls Eingabe sortiert ist, braucht man nur einen Durchlauf ohne Vertauschungen average: O(n 2 ) O(n) mal einsortieren und O(n 2 ) Elemente werden verschoben worst: O(n 2 ) O(n) mal einsortieren und O(n 2 ) Elemente werden verschoben 4

5 BubbleSort: in-situ, stabil best: O(n 2 ) zwei verschachtelte for-schleifen (O(n) für die adaptive Variante) average: O(n 2 ) zwei verschachtelte for-schleifen worst: O(n 2 ) zwei verschachtelte for-schleifen (d) MergeSort: stabil, nicht in-situ best: O(n log n) wegen Mastertheorem und rekursivem Aufruf average: O(n log n) wegen Mastertheorem und rekursivem Aufruf worst: O(n log n) wegen Mastertheorem und rekursivem Aufruf QuickSort: nicht stabil, in-situ best: O(n log n) optimale Aufteilung im rekursiven Fall (Mastertheorem) average: O(n log n) relativ komplizierte Rechnung worst: O(n 2 ) schlechte Wahl des Pivot-Elements (wenn man den Median in O(n) berechnet: O(n log n)) Aufgabe 14 Aussagen über Sortierverfahren Welche der folgenden Aussagen treen zu? Begründen Sie Ihre Aussage. (Bei wahren Aussagen genügt es dabei, ein Beispielarray mindestens der Länge 8 und das Vorgehen des Sortierverfahrens darauf anzugeben. Bei falschen Aussagen bedarf es einer stichhaltigen Begründung.) (b) Es gibt Fälle, in denen die Laufzeit von QuickSort in O(n 2 ) ist. Es gibt Fälle, in denen die Laufzeit von QuickSort in O(n) ist. Es gibt Fälle, in denen die Laufzeit von MergeSort in O(n 2 ) ist. (d) BubbleSort läuft immer in O(n 2 ). InsertionSort kann in O(n) laufen. SelectionSort kann in O(n) laufen. Ja, z. B. eine vorsortierte Liste [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] und Pivotelement immer das erste Element (falls der Median nicht in O(n) berechnet wird). (b) Nein. Untere Grenze für Quicksort ist O(n log n) Nein. MergeSort ist stabil bezüglich der Laufzeit. Liegt also immer in O(n log n) 5

6 (d) Ja, zumindest in der in der Vorlesung vorgestellten Variante werden beide Schleifen ohne Bedingung abgearbeitet (in der adaptiven Variante O(n)). Ja, z. B. eine vorsortiertes Array [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Dann wird jedes Element nur einmal verglichen (nämlich mit dem letzten Element des bereits sortierten Teils des Arrays) und dahinter eingefügt. Dies führt zu einer insgesamt linearen Laufzeit. Nein. Denn es muss in jedem Durchgang das Minimum gesucht werden. Dies hat auch bei einer z. B. vorsortierten Liste lineare Laufzeit (es sei denn, man wüsste, dass die Liste vorsortiert ist, aber davon gehen wir nicht aus). Man braucht auÿerdem n Durchläufe, was zu einer (stabilen) Laufzeit in O(n 2 ) führt. Aufgabe 15 Auswahl des Sortierverfahrens Welche Sortierverfahren würden Sie für folgende Problemstellungen empfehlen, von welchen würden Sie abraten? Begründen Sie Ihre Aussagen. Achten Sie dabei auch auf die zu Grunde liegende Datenstruktur. (b) (d) Ein Array mit den präzisen Gewichten aller bekannter Planeten Eine Liste mit Messdaten eines physikalischen Systems, die häug bereits vorsortiert sind Eine doppelt verkettete Liste mit den Breitengraden aller Städte Europas, die mehr als Einwohner haben Ein Array mit ca. 4 GB an Daten. Dabei steht Ihnen kein zusätzlicher Speicherplatz zur Sortierung bereit. Ein Array mit beliebigen Einträgen, die nicht miteinander vergleichbar sind. Ein Array mit einer sehr groÿen Anzahl an Einträgen, über die im Vorhinein nichts bekannt ist. Ziel ist es, das Array möglichst schnell zu sortieren. Bei Planetengewichten handelt es sich um sehr groÿe Zahlen, daher ist laut Skript z. B. SelectionSort zu empfehlen. Dieses Sortierverfahren verträgt sich auch gut mit der Datenstruktur Array, da man nur einzelne Elemente vertauschen muss (die geht im Array in O(1)). Es sind keine Shift-Operationen notwendig. Nicht zu empfehlen ist hingegen Insertion- Sort, da es hier zu gröÿeren Shift-Operationen kommen kann, die im Array nur mit groÿen Aufwand O(n) realisierbar sind. Ebenfalls zu vermeiden wäre eine MergeSort Implementierung, die die Arrays bei jedem Mergevorgang wirklich kopiert, auch dies ist aufwendig. Denkbar ist natürlich auch eine QuickSort-Implementierung. 6

7 (b) (d) Hier ist ein Sortierverfahren zu empfehlen, dass auf die Vorsortierung Rücksicht nimmt. Also z. B. InsertionSort oder auch die adaptive Variante von BubbleSort. InsertionSort ist mit der Datenstruktur Liste gut verträglich, da hier im Gegensatz zum Array keine Shift-Operationen notwendig sind, sondern nur die geeignete Stelle zum Einfügen des Elements gefunden werden muss. Abzuraten ist von Verfahren, die eine evtl. Vorsortierung nicht beachten, wie z. B. SelectionSort, MergeSort oder QuickSort. Prinzipiell jedes Sortierverfahren. Wobei in der Praxis bei groÿen Datenmengen dann die rekursiven Verfahren MergeSort und QuickSort vorzuziehen sind. Hier bedarf es eines in-situ Verfahren, da man keinen zusätzlichen Speicherplatz zur Verfügung hat. In Frage kommen also: BubbleSort oder QuickSort, auÿerdem InsertionSort oder SelectionSort, sofern sie in-situ implementiert sind. Abzuraten ist auf alle Fälle von MergeSort. Hier kann kein Sortierverfahren angewendet werden, da alle vorgestellten Sortierverfahren vergleichbare Daten voraussetzen In der Praxis zeigt QuickSort die besten Ergebnisse. Häug wird dabei eine Kombination aus Quicksort und einem anderen Verfahren verwendet. Z. B. die Arrays.sort() Methode der Java API benutzt bis zu einer Arraygröÿe von 7 QuickSort und sortiert dann mit InsertionSort fertig. 7