mindestens zweiten Grades 1. Teil:

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1 mindestens zweiten Grades (Eine kompakte Darstellung zur Wiederholung). Teil: Quadratische Gleichungen Biquadratische und ähnliche Gleichungen mit und ohne Substitution Eine ausführlichere Behandlung quadratischer Gleichungen mit über 70 Beispielen steht in der Datei Nr. 3. Datei Nr. 0 Drucken nur von der Mathematik-CD möglich Friedrich W. Buckel April 000 Geändert Februar 003 Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Inhalt. Lösen von quadratischen Gleichungen Gleichungen mit Brüchen Die p-q-formel 5 Sonderform: Reinquadratisch 6 Sonderform: Ohne Absolutglied: 7 Übersichtsblatt 8 Aufgaben mit Lösungen 9. Biquadratische Gleichungen a + b + c Versteckte quadratische Gleichungen

3 Quadratische Gleichungen. Lösen von quadratischen Gleichungen Die allgemeine quadratische Gleichung hat die Form a + b + c 0 Zu ihr gehört die Lösungsformel, ± b b ac a die im Volksmund auch Mitternachtsformel heißt. Beispiel : --50 hat die Koeffizienten a, b - und c - 5. Die Formel, b b ac ± liefert, a ± + 60 ± Beispiel : +5+0 hat die Koeffizienten a, b 5 und c. Formel liefert, 5± 56 5± 9 5± 3 Beispiel 3: hat die Koeffizienten a 5, b 9 und c -., 9± ± 9± Beispiel : +-0 hat die Koeffizienten a, b und c -. ± + ( ± 5) ± 5, Beispiel 5: ergibt 6± 36+ 6± 8 6± 6 3 6± 3 6, ± 3 3± 3 Hier muß man die Wurzel teilweise ziehen und dann zum Kürzen den großen Bruch in zwei kleine zerlegen! Beispiel 6: ergibt, 5 3± 9 3± 9 0 3± R Da hier der Radikand negativ wird, hat diese Gleichung keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist also leer.

4 Quadratische Gleichungen Beispiel 7: Beispiel 8: ± ± 55,? 6 6 Neuer Anlauf: Division durch erleichtert die Lösung: ± + ± 97 0 ergibt, ± Löst man mit diesen Brüchen, folgt + 7 ( ) ( ) { ± + 8 ± ± 3 ± ± , Die Brüche erschweren die Rechnung und sind eine Fehlerquelle. Man sollte sie durch Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner wegschaffen:, Beispiel ergibt 8 0 und der Lösung 6 3 ± + 8 ± 96 ± 8 {, was deutlich besser ist! Wir rechnen ohne Umformung: 3± ± ± 5, { Jetzt ist eine besondere Situation eingetreten: Der Koeffizient a vereinfacht die Rechnung in zweierlei Hinsicht: Zum einen entsteht im Nenner a, man benötigt also gar keinen Bruch mehr und der Radikand wird auch kleiner. Flotte Rechner erkennen dies sofort und schreiben in diesem Fall gar keinen Bruch mehr auf. Dann sieht die einfache Lösung so aus: 8, 3± ± 5 { Schüler die nun konsequent alle Brüche beseitigen, tun sich in diesem Fall keinen großen Gefallen, denn der Schreibaufwand wird größer! ergibt mit 3 8 0, 6 ± ± ± 00 6 ± 0 8 {

5 Quadratische Gleichungen 3 Beispiel 0: Wir rechnen unverändert: 3 ± ± 6 3 ± 8, 0 Nun eine trickreiche Lösung, die uns kleine Zahlen beschert. Wir erkennen, daß 3 und 0 gerade Zahlen sind, und dividieren die Gleichung durch. So werden günstige Koeffizienten erzeugt : a : : ergibt , 6 ± ± ± 6 6 ± { 0 Man kann nun fragen, was bringt es, wenn wir diese Gleichung gar durch teilen? : ± 6, ( 8 ) ( 8 ) { 60 ± ± 0 Man erhält dann im Nenner a. Und die Division durch führt zu einer Multiplikation mit. a ist auch unter der Wurzel ideal! Beispiel Man sollte nicht mit multiplizieren:, 3± 9+ ( ) ( ) 3 3± 3± 3 6± 3 Beispiel : Multiplikation mit ( - ) ist angeraten: 5± 5+ 5± 69 5± , {. Beispiel 3: (Wichtig!) 6 ± ± 8 6 ± 6 ±, ± Wer die Brüche nicht beseitigt, muß so rechnen: ( ) ± ± + ± ± ± ± , ( ) ± ±., 6 3

6 Quadratische Gleichungen Die Frage, welche Brüche man stehen lassen soll (kann) zeigt uns die Mitternachtsformel :, -b ± b - ac () Geklärt haben wir schon, wie günstig es ist, wenn a ist. Setzen wir dies ein, dann folgt: a b± b c b± b c b± b c, Man sieht, daß der Nenner verschwindet und sich Wurzel vereinfachend auswirkt. a auch unter der () Wenn a ist und zusätzlich c ein Bruch mit dem Nenner ist: Beispiel : 3, ± dann entsteht 3 ± + 3 ± { 3 (3) Wenn a und sonst kein weiterer Bruch mehr vorhanden ist, ist das auch hervorragend für die Lösungsformel: Beispiel 5:, 7± ergibt ( ) ( ) 5 7± 7± 6 ± 6. Also besteht auch hier kein Grund zur Beseitigung des Bruches. Im Gegenteil: Würde man die Gleichung mit Multiplizieren, bekäme man große Zahlen! () c als Bruch mit dem Nenner ist auch günstig: 7 Beispiel 6: 3 0 3± 9 7 3± ±, ( ) 7 (5) Völlig ungünstig ist jedoch ein Bruch im Koeffizienten b, denn dieser dringt bis in den Radikanden vor: Beispiel 7: ± + ± + ± ±, Und hier nach Multiplikation mit ohne Brüche: + 3 0, 3± ± 5!!!

7 Quadratische Gleichungen 5 Beispiele zur p-q-formel Gleichungen mit a schreibt man allgemein auch in dieser Form: +p+q0 Dazu gibt es eine Lösungsformel:, p p ± q Ich verwende nun Beispiele, die bereits vorher mit der Mitternachtsformel gelöst worden ist. Auf diese Weise kann man die Lösungswege mit Seite 3 vergleichen! Beispiel : --50 hat die Koeffizienten p - und q - 5. p p 5, ± q führt dann zu, ± + 5 ± { 3 Beispiel : +5+0 hat die Koeffizienten p 5 und c. p p, ± q führt zu , ± ± ± ± Jetzt zeigt die p-q-formel bereits leichte Schwächen, denn sie zwingt zum Bruchrechnen, was nichts Schlimmes ist, was aber Fehler provoziert. { Beispiel 3: hat die Koeffizienten a 5, b 9 und c -. Damit die p-q-formel überhaupt erst anwendbar wird, muß man die Gleichung unsinnigerweise durch 5 dividieren, damit der neue Koeffizient von ist Die p-q-formel liefert dann: ± + ± + ± ± , 0 ( 0 ) Zum Vergleich die Lösung mit der Mitternachtsformel (Seite 95):, 9± ± 9± Bemerkung des Autors: Ich verwende diese p-q-formel nie und stelle neue Schüler auch immer um auf die allgemeine Lösungsformel, denn sie hat (vor allem in der Oberstufe, wenn man mit Parametern arbeitet, deutliche Nachteile.

8 Quadratische Gleichungen 6 0. Sonderformen quadratischer Gleichungen Übersicht: Die allgemeine Lösungsformel der Gleichung a +b +c 0 ist die sogenannte Mitternachtsformel und lautet -b ± b - ac, a Diese wendet man in genau zwei Fällen NICHT an, weil dies zu umständlich wäre.. Fall: Reinquadratische Gleichungen (b0): a +c 0 BEISPIEL : BEISPIEL : - 0 ± Lösungsmenge: L { ±}, -60, ± 3 Lösungsmenge: L { ± 3} Beispiel 3: L { } Da ein Quadrat nie negativ sein kann, gibt es keine Lösungen. Beispiel : Eine erweiterte reinquadratische Gleichung: ( ) ± 3 5, ± 3 L { 5; } Man sollte eine solche Gleichung ( ) 9 nie ausquadrieren! { Bemerkung: Fehlt in einer quadratischen Gleichung das lineare Glied, liegt also eine reinquadratische Gleichung vor, dann ist die Anwendung einer Lösungsformel zu umständlich. Man geht dann so vor wie gezeigt.

9 Quadratische Gleichungen 7. Fall: Gleichungen ohne Absolutglied (c0): a +b 0 Beispiel : - 0 Wenn das Absolutglied Null ist (also fehlt ), dann kann man ausklammern: ( ) 0. Jetzt liegt ein sogenanntes Nullprodukt vor. Man muß wissen: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor Null ist.. Faktor: 0. Lösung 0. Faktor: ( ) 0. Lösung Lösungsmenge: L { 0;} Beispiel : +5 0 ( + 5) 0 0, - 5 Lösungsmenge: L { 0; 5} Beispiel 3: ( ) 0, 6 Lösungsmenge: L { 0;6} Beispiel : ( 3+ ) 0 0, 3 Lösungsmenge: L { 0; } 3 Bemerkung: Fehlt in einer quadratischen Gleichung das Absolutglied, dann ist die Anwendung einer Lösungsformel zu umständlich. Man geht dann so vor wie gezeigt, d.h. man klammert aus und erhält ein Nullprodukt. Die erste Lösung ist in diesem Fall immer die Zahl 0.

10 Quadratische Gleichungen Übersicht 8 Die allgemeine quadratische Gleichung a +b +c 0 () hat die Lösungsformel ( Mitternachtsformel ) -b ± b - ac, a In drei Spezialfällen sollte man sie nicht anwenden, weil es einfachere Lösungswege gibt:. Spezialfall: Quadratische Gleichung ohne Absolutglied: a +b 0 () Ausklammern von führt auf ( ) a+b0 mit 0 usw.. Spezialfall: Reinquadratische Gleichungen: a +c 0 (3) Man isoliert, so daß eine Gleichung der Form k entsteht woraus bei nicht-negativem k folgt: k und, ± k 3. Spezialfall: Erweiterte reinquadratische Gleichungen: Eine Parabelgleichung in Scheitelform hat diese Gestalt: ( y-y ) a( - ) S Ihre Nullstellenberechnung führt auf diese erweiterte reinquadratische Gleichung S ( ) -r s () woraus bei nicht-negativem s folgt -r s mit -r± s und, r± s Man sollte eine Gleichung der Form () also nicht ausquadrieren!

11 Quadratische Gleichungen Übersicht 9 Aufgaben a) d) g) b) e) h) c) f) i) Lösungen a) b) c) d) e) f) g) h) i) , ± 6 ± 6 5 ± , 3± ± ± , 8± 6 8 8± 6 8± , ± + ± + 5 ± , ± 0 ± 8 ± , 9 ± 886 Es gibt keine reellen Lösungen, da der Radikand negativ ist ± + 8 ±,, ± ± 96 8 ± ± 8 ± 7 ± 7, Hier ist es wichtig, daß man zuerst die Gleichung durch (-5) dividiert! 30, 3 ± ± 89 3 ± 7

12 Quadratische Gleichungen Übersicht 0. Biquadratische Gleichungen Eine Gleichung der Form a + b + c 0 heißt biquadratisch, weil sie eine quadratische Gleichung für ist! Beispiel : (). Lösungsweg: Substitution: Setze u, also u. u 9u () 9 ± ± 9 ± 5 u, Jetzt haben wir die Lösungen für die Gleichung (). Wir müssen also die Substitution wieder rückgängig machen und erhalten: Aus u 5 folgt 5 d.h., ± 5 Aus u folgt d.h., ± Die Gleichung () hat also Lösungen: L { 5; ;;5}. Lösungsweg: Ohne Substutution: Die Gleichung () stellt eine quadratische Gleichung für dar, daher liefert die Mitternachtsformel auch eine Lösung für : () 9 ± ± 9 ± 5 Aus 5 folgt, ± 5 Aus folgt, ± Die Gleichung () hat also Lösungen: L { 5; ;;5} Hier wird in Zukunft der. Lösungsweg bevorzugt! Beispiel : ± + 9 ± 96 ± 6 Aus folgt, ± ± 3 Aus - 6 folgt 3, Lösnungsmenge: L { ± 3} Beispiel 3: ± 83 9± 7 : 8 Da nicht negativ werden kann, gibt es keine reellen Lösungen.

13 Quadratische Gleichungen Übersicht 3. Versteckte quadratische Gleichungen Auf der Seite zuvor entstand aus der biquadratischen Gleichung Durch Substitution die quadratische Gleichung u 9u () Hierin hatte u die Bedeutung u. Gibt man u andere Terme, dann entstehen andere Gleichungen: (a) Für u z.b () (b) Für u 5 erhält man (3) (c) usw. Für u 9 erhält man () Jedesmal löst man die durch Substitution entstandene quadratische Gleichung () nach u, erhält 9 ± ± 9 ± 5 u, und führt anschließend die Rücksubstitution durch. (a) Hier heißt es dann: Aus u 5 folgt 5 also 65 aus u folgt also 6 (b) Aus u 5 folgt aus u folgt (c) Aus u 5 folgt aus u folgt 5 5 also 5 lg 5 lg 5 also 5 also lg lg 5 Aufgaben a) d) e) b) + 0 c) (Achtung: !!! ) e 30 e f) h) 3 0 g) ( ) ( )

14 Quadratische Gleichungen Übersicht Lösung Die Lösungen werden teils mit Substitution, teils direkt durchgeführt: a) ± 9 8 7± Aus folgt, ± ; aus 3 folgt 3, ± 3 L { ± ; ± 3} b) Substitution: Setze u Damit erhält man die quadratische Gleichung u 7u+ 0 mit der Lösung 7± 9 8 7± u, 3 Aus u folgt ; aus u 3 folgt 3 L { ; } 3 3 c) Substitution: Setze u Damit erhält man die quadratische Gleichung u 7u+ 0 mit der Lösung 7± 9 8 7± u, 3 Aus u folgt d.h. 6; aus u 3 folgt 3 d.h. 9, L {9;6} d) e) Substitution: Mit u erhält man die quadratische Gleichung u 36u u 8u u, 8 ± ± 96 8 ± Rücksubstitution: Aus u 3 folgt 3 5 Aus u folgt L {;5} e 30 e Dies ist eine quadratische Gleichung für e : Die Mitternachtsformel liefert daher 30 ± ± 0 5 e 5 Aus e 5 folgt ln 5 und aus e 5 folgt ln 5 L {ln 5;ln 5}

15 Quadratische Gleichungen Übersicht 3 f) Dies ist eine quadratische Gleichung für 5 : Die Mitternachtsformel liefert daher 5 5 Aus 5 5 folgt und aus 5 5 folgt L {; } ( ) g) ( ) 30 ± ± 0 5 ) Substitution: Mit u - erhält man die quadratische Gleichung u 30 u ± ± 0 5 u, 5 Aus u 5 folgt 5 d.h. 3 Aus u 5 folgt 5 d.h. 3 L {3;3} h) 3 0 Substitution: Mit u erhält man die quadratische Gleichung u u 3 0 ± + ± 3 u, Rücksubstitution: Aus u 3 folgt 3 d.h. 9 also 3 Aus u - folgt ohne Lösung, da eine Wurzel eine nicht negative Zahl ist. Probe für 3: L {3}