Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr

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1 Studiengng: Mtrikelnummer: Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure , Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber keine Vorlesungsoder Übungsmitschriften, Formelsmmlungen ber keine Lehrbücher, die vorgegebene Tbelle von Grenzwerten, Reihen, Grundintegrlen und Integrtionsformeln, Tschenrechner (uch grfikfähig) ber ohne Computer-Algebr-System (CAS). Berbeiten Sie bitte jede Aufgbe uf einem seprten Bltt bzw. uf seprten Blättern. Ds Aufgbenbltt ist mit bzugeben. Vergessen Sie bitte nicht, uf dem Aufgbenbltt und jedem Lösungsbltt Ihre Mtrikelnummer gut leserlich nzugeben. Der Lösungsweg ist stets nzugeben, er sollte in llen Schritten durch eigene Rechnungen deutlich erkennbr, begründet und nchvollziehbr sein. Ds gilt insbesondere für uftretende Integrle, die durch Anwendung geeigneter Integrtionsmethoden zu lösen sind. Nur dnn knn nch detillierter Bewertung die volle Punktzhl erreicht werden. Viel Erfolg! Aufgbe : 8 Punkte () Skizzieren Sie die Menge der komplexen Zhlen z = x + iy in der Gußschen Zhlenebene, welche gleichzeitig die beiden Bedingungen erfüllen. z + z und Re(z ) + (Im z) (b) Mn bestimme den Betrg z > 0 und ds Argument rg z [0, π) der komplexen Zhl z = + i e π 8 i. Geben Sie uch Betrg und Argument von z 8 n. () Die erste Bedingung bedeutet geometrisch, dss der Abstnd von z zur Zhl kleiner oder gleich dem Abstnd zur Zhl ist ls Lösung ergibt sich dher die bgeschlossene Hlbebene rechts von der Mittelsenkrechten der Strecke zwischen und, d. h. Re z = x 0. Zur lterntiven rechnerischen Lösung knn mn die Ungleichung qudrieren (d beide Seiten nichtnegtiv sind, ist dies eine äquivlente Umformung) und erhält z + z (x + iy) + (x + iy) ( x) + ( y) ( + x) + y x x x 0.

2 Die zweite Bedingung ergibt mit z = x + iy die Beziehung Re(x + ixy y ) + y x y + y = x, lso x (ein bgeschlossener Streifen im Abstnd links und rechts der imginären Achse). Beide Bedingungen zugleich sind genu im Flle 0 x erfüllt: hben wir w =, für ϕ = rg w gilt tn ϕ =, und d w im (b) Für w = + i 3. Qudrnten liegt, ist ϕ = π + rctn = 5π. Nun gilt z = e 5π i e π 8 i 5π = e( + π 8 )i = e π 8 i, π lso z = und rg z = 8. Weiterhin ist z 8 = z 8 = ( ) 8 = 6 sowie rg(z8 ) = 8 rg z = π bzw., wenn mn sich wie üblich uf ds Intervll [0, π) einschränkt, rg(z 8 ) = π. Aufgbe : 7 Punkte () Bestimmen Sie die Grenzwerte der nchstehenden Folgen, sofern sie existieren. Leiten Sie Ihre Ergebnisse rechnerisch her bzw. begründen Sie sie. ( ) n ( ( ) n ) (i) lim n + (ii) lim ( ) n +. n n (b) Berechnen Sie die Summe der Reihe ( ) n und geben Sie die k-te Prtilsumme dieser Reihe in Abhängigkeit von k n. () (i) Nutzung des beknnten Grenzwertes lim ( + x ) n = e x : n n ( ) n (( lim n + = lim + ) n ) = ( e ) = e n n n

3 (ii) binomische Formel, Nutzen der beknnten Grenzwerte für n mit < bzw. = : ( ( ) n ) ( ( n ( ) ) n lim ( ) n + = lim ( ) n + ( ) n + n n ) ( ( n ( ) n ) = lim n + ( ) n + n ) = = (b) Umformung zur geometrischen Reihe und Ausrechnen der Summe: ( ) n = ( ) n = = = 8 3 ( ) n Für die Berechnung der k-ten Prtilsumme nutzen wir die Formel us dem Tfelwerk: k ( ) n = ( ) k+ ( = 8 ( ) ) k+ 3 Aufgbe 3: Gegeben sei f (x) = ln( x) x mit konstntem R. 8 Punkte () Geben Sie den Definitionsbereich von f n und untersuchen Sie die Funktion uf Nullstellen. (b) Ermitteln Sie die Monotonieintervlle von f. Bestimmen Sie dnn die loklen Extremstellen und -werte und geben Sie deren Art n. (c) Berechnen Sie die Grenzwerte (d) Bestimmen Sie den Wertebereich von f. lim f (x) und lim f (x). x x () D die ln-funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss x > 0 gelten. Dnn ist uch der Nenner stets von 0 verschieden, der Definitionsbereich ist lso (, ). Weiter ist f (x) = 0 ln( x) = 0 x =, die einzige Nullstelle ist lso x 0 =.

4 (b) Die Ableitung ist nch der Quotientenregel (c) f (x) = (x ) ln( x) x = (x ) ln( x) (x ). f (x) ist monoton wchsend für f (x) 0, d. h. für ln( x) 0 ln( x) e x x e. Anlog ist f (x) 0, lso f monoton fllend, für x e. Aus dem Monotonieverhlten ergibt sich nun bereits, dss bei x = e ein lokles Minimum mit dem Funktionswert f ( e) = e vorliegt. [ ] ln x lim x x = = L Hosp. x lim x Für den linksseitigen Grenzwert bei gilt ln x lim x x = lim x (ln x) x (kein unbestimmter Ausdruck). = lim x x = 0. = ( ) ( ) = (d) Aus dem berechneten Extremwert und dem Verhlten im Unendlichen sowie m Rnd des Definitionsbereichs ergibt sich, dss der Wertebereich gleich [ e ), ist. Aufgbe : () Ermitteln Sie ds Integrl dx x 3 + x + x. (b) Bestimmen Sie die reelle Zhl so, dss (x + )e x dx = e gilt. 7 Punkte () D der Integrnd eine rtionle Funktion ist, führen wir eine Prtilbruchzerlegung durch. Der Anstz x 3 + x + x = x(x + x + ) = x(x + ) = A x + führt nch Multipliktion mit dem Huptnenner uf B x + + C (x + ) = A(x + ) + Bx(x + ) + Cx = A(x + x + ) + B(x + x) + Cx = (A + B)x + (A + B + C)x + A. () Koeffizientenvergleich führt nun uf die Gleichungen A + B = 0, A + B + C = 0, A =,

5 us denen A = und B = C = folgt. (Mn knn uch A und C durch Einsetzen der Nullstellen x = 0 bzw. x = in die erste Gleichung von () ermitteln und zur Berechnung von B noch einen weiteren Punkt einsetzen.) Dmit können wir integrieren: ( dx x 3 + x + x = x ) x + (x + ) (b) In dem Integrl (x + )e x dx integrieren wir prtiell mit u = x +, v = e x u =, v = e x. Es ergibt sich (x + )e x dx = (x + )e x + dx = ln x ln x+ + x + +C. e x dx = ( + )e e x = ( + )e e + e = ( + )e e. Setzen wir diesen Wert nun gleich e, erhlten wir ( + )e e = e ( + )e = 0 + = 0 =. Aufgbe 5: Gegeben sei die Funktion f(x) = ln(3 x), x < 3. 7 Punkte () Ermitteln Sie ds Tylorpolynom vom Grd 3 der Funktion f im Entwicklungspunkt x 0 =. (b) Berechnen Sie, usgehend vom Ergebnis von Aufgbe (), einige weitere Ableitungen, bis Sie eine llgemeine Formel für f (n) (x) sowie für f (n) () erkennen können. Geben Sie diese n! (c) Stellen Sie die Tylorreihe von f im Entwicklungspunkt x 0 = uf und ermitteln Sie ihren Konvergenzrdius. (Eine Untersuchung des Restgliedes wird nicht verlngt.)

6 () Die Ableitungen luten: Dmit gilt f (x) = 3 x, f (x) = (3 x), f (x) = (3 x) 3. f() = 0, f () =, f () =, f () =, und ds gesuchte Tylorpolynom ist T 3 (x) = f() + f ()(x ) +! f ()(x ) + 3! f ()(x ) 3 = (x ) (x ) 3 (x )3. (b) Wegen f () (x) = 3 erkennen wir f (n) (x) = (n )! (c) Dmit erhlten wir (3 x), f (5) (x) = 3 (3 x),... 5, n =,, 3,.... (3 x) n f (n) () = (n )!, n =,, 3,... und die Tylorreihe lutet T (x) = f (n) () (x ) n = n! n= n (x )n. Der Konvergenzrdius dieser Potenzreihe mit den Koeffizienten n = n nun erhlten werden mittels R = lim n n = lim n + n n =. n+ knn Aufgbe 6: Es seien A = α, x = x x x 3 und b = β. 8 Punkte () Für welche Prmeter α, β R ht ds linere Gleichungssystem A x = b (i) keine Lösung (ii) genu eine Lösung bzw. (iii) unendlich viele Lösungen? (b) Bestimmen Sie im Fll α = und β = die Lösungsmenge des LGS A x = b.

7 (c) Für welche Prmeter α R bilden die Splten von A eine Bsis des R 3? (d) Für welche α R ist ds Volumen des von den Splten von A ufgespnnten Spts gleich 3? () Mittels Guß-Algorithmus wird zunächst die erweiterte Mtrix in eine Form gebrcht, in welcher Aussgen über die Lösbrkeit möglich sind α β 0 0 α β 0 0 α + β + Aus der letzten Gleichung (α + )x 3 = β + sind nun folgende Aussgen über die Lösbrkeit möglich: (i) keine Lösungen: α =, β (ii) genu eine α (iii) unendlich viele Lösungen: α =, β =. (b) Im Fll α = und β = steht m Ende eine Nullzeile, so dss nur zwei Leitgleichungen verbleiben: x x + 3x 3 = x + x 3 =. Dbei ist x 3 = t ls freier Prmeter zu wählen und von unten nch oben nch den beiden Leitunbeknnten x und x ufzulösen. Es ergibt sich x = t, x = (t ) + 3t = t +. Die llgemeine Lösung in Vektorschreibweise ist lso x = 0 + t, t R. (c) Die drei Splten von A bilden genu dnn eine Bsis des R 3, wenn sie liner unbhängig sind, d. h. wenn der Rng von A gleich 3 ist, lso in llen Splten Leitelemente entstehen. Dies ist genu dnn der Fll, wenn α gilt. (d) Ds Volumen des von den Splten von A ufgespnnten Spts ist gleich dem Betrg der Determinnte von A, die wir nch obiger Anwendung des Guß- Algorithmus berechnen können: det A = α + = α +. Ds Volumen wird lso gleich 3, wenn α + = 3, d. h. α + = 3 und somit α =, oder α + = 3 und somit α = 7 gilt.

8 Zustz - Aufgbe: Untersuchen Sie die Konvergenz des uneigentlichen Integrls dx x(ln x). 3 Punkte Ds Integrlkriterium ist nicht die richtige Vorgehensweise, d Sie dnn etws über die Konvergenz der Reihe wissen müssten. Ds ergibt sich ber im Rhmen k= k(ln(k)) der in der HM vermittelten Kenntnisse gerde erst us dem Konvergenzverhlten des Integrls. Mit der Substitution t = ln x, folglich dt = dx, erhält mn x dx A x(ln x) = lim dx ln A A x(ln x) = lim dt A ln t ln A ) = lim A t ln = lim A ( ln ln A = ln, ds uneigentliche Integrl konvergiert lso und ht den Wert ln.