Zeitreihenanalyse. Seminar Finanzmathematik. Andreas Dienst SS Einleitung - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe. 2.

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1 Seminar Finanzmathematik - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe 3. Zusammen - fassung Zeitreihenanalyse Andreas Dienst SS 2006

2 Zeitreihen: Definition und Motivation - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe Stochastischer Prozess: Eine Zeitreihe ist eine Realisation des betrachteten stochastischen s: 3. Zusammen - fassung Biologie Physik Wirtschaftswissenschaften Finanzmathematik Charakterisierung Bildung eines Modells Vorhersage

3 Inhaltsangabe - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe 3. Zusammen - fassung Hauptteil: 1. Kennzahlen und Begriffe stochastischer : Mittelwertfunktion, Autokovarianz, Autokorrelation und Stationarität, Weißes Rauschen 2. Autoregressive (AR)-, Grundlagen, Beispiele 3. Moving Average (MA)-, Grundlagen, Beispiele 4. Kombination von 1. & 2. zu ARMA sowie ARIMA-n 5. Parameter-Fitting mit dem Maximum--Ansatz

4 Die Mittelwertfunktion - MA- - AR- Beobachtung einer Zufallsvariable Y t liefert: Ausdehnung der Beobachtungszeit: Immer noch einzelne Realisation des s! Betrachtung von I verschiedenen Realisationen: Dichtefunktion f (y Yt t)von Y t mit dem Erwartungswert:

5 Autokovarianz, Varianz Stationarität und Autokorrelation - MA- - AR- Definition der j-ten Autokovarianz von Y t : Nullte Autokovarianz entspricht der Varianz: Falls für alle t und j gilt: Prozess ist kovarianzstationär Für j-te Autokorrelation solcher gilt:

6 Ergodizität - Längsschnittdaten gleich Querschnittdaten Stationarität nicht hinreichend für konsistente Schätzungen von Mittelwerten & Korrelationen! - MA- - AR- Forderung der Ergodizität: Stationärer Prozess mit Mittelwertfunktion und Kovarianzfunktion heißt 1. mittelwertergodisch, wenn 2. kovarianzergodisch, wenn

7 Ergodizität - Längsschnittdaten gleich Querschnittdaten - MA- - AR- Prozess genau dann mittelwertergodisch, wenn gilt: Absolute Summierbarkeit

8 Weißes Rauschen - MA- - AR- Definition: Eine Sequenz für die gilt: Spezialfall: Gaußsches Weißes es Rauschen

9 MA(1) - Moving Average-Prozess erster Ordnung MA(1) - Prozess wird beschrieben durch: - MA- - AR- Mittelwertfunktion: Nullte Autokovarianzfunktion entspricht Varianz: Erste Autokovarianz: Erste Autokorrelation:

10 Autokorrelationsfunktion eines MA(1)- s in Abhängigkeit von Θ - MA- - AR- 2 verschiedene MA(1)- können die gleiche Autokorrelationsfunktion besitzen

11 MA(1) - Moving Average-Prozess erster Ordnung - MA- - AR- Zusammenfassend: Stationär Absolut summierbar, also mittelwertergodisch Falls Weißes Rauschen normalverteilt, dann kovarianzergodisch Nur drei Werte zu schätzen: Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

12 Autokorrelationsfunktion eines MA(1)-s in Abhängigkeit von j - MA- - AR-

13 MA(q) Moving Average-Prozess q-ter Ordnung Charakterisiert durch: - MA- - AR- Erwartungswert: Varianz: j-te Autokovarianz: Autokorrelationsfunktion ergibt Null nach q Verzögerungen; MA(q)-Prozess ist kovarianz- stationär, mittelwert- und kovarianzergodisch

14 Autokorrelationsfunktion eines MA(4)-s in Abhängigkeit von j - MA- - AR-

15 AR(1) Autoregressiver-Prozess erster Ordnung Prozessgleichung: - MA- - AR- Zufallsvariable nicht nur von Vorgängerin abhängig! Iteration: Prozess für! Der AR-Prozess ist invertierbar ; AR(1)- Prozess ist kovarianzstationär, mittelwert- und kovarianzergodisch (Rauschen normalverteilt)

16 AR(1) Autoregressiver-Prozess erster Ordnung Mittelwertfunktion: - MA- - AR- Varianzfunktion: Kovarianzfunktion: Autokorrelationsfunktion:

17 Autokorrelationsfunktion eines AR(1)-s in Abhängigkeit von j - MA- - AR-

18 Verhalten eines AR(1)-s in Abhängigkeit von Φ - MA- - AR-

19 Verhalten eines AR(1)-s in Abhängigkeit von Φ - MA- - AR- Beispiel mit Maple (1)

20 Nichtstationäres Zeitreihenmodell - MA- - AR- Offensichtlich nichtstationär!

21 Nichtstationäres Zeitreihenmodell: Random Walk - MA- - AR- Sonderfall mit Φ = 1 und der Prozessgleichung: Mit Anfangswert y 0 vor t Perioden liefert Rekursion: Erwartungswert wächst/sinkt linear mit Zeit falls β ungleich Null; Random Walk mit Drift : Random Walk ohne Drift zwar mittelwertstationär, jedoch gilt für Varianz:

22 Random Walk - MA- - AR- Beispiel mit Maple (2)

23 AR(p) Autoregressiver-Prozess p-ter Ordnung Stochastischer Prozess mit Gleichung: - MA- - AR- Wenn Stationaritätsbedingung erfüllt ist gilt: Wann ist ein AR(p)-Prozess stationär? Genau dann, wenn alle Nullstellen außerhalb des Einheitskreises liegen, also λ >1 gilt!

24 AR(p) Autoregressiver-Prozess p-ter Ordnung Autokovarianzfunktionen: - MA- - AR- Division durch γ o ergibt Yule-Walker Gleichungen: Autokovarianz- und Autokorrelationsfunktion folgen der gleichen Differenzengleichung wie der AR(p)-Prozess selbst!

25 Kombination von AR(p)- und MA(q)- n zu ARMA(p,q) Gleichung des stochastischen s: - MA- - AR- Autoregressiver Prozess, wobei der Störterm korreliert ist! Genau dann stationär, wenn AR-Teil stationär Erwartungswert nur von AR-Parametern abhängig Autokovarianz- und Autokorrelationsfunktion entsprechen für Verzögerungen von j>q denen der AR-Differenzengleichung, ansonsten komplizierter Wold (1938) sowie Box und Jenkins (~1970)

26 Kombination von AR(p)- und MA(q)- n zu ARMA(p,q) - MA- - AR- Beispiel mit Maple (3)

27 ARIMA Bei Trends oder saisonale Schwankungen Grundidee: Anwendung von Differenzenfiltern zur Bereinigung: - MA- - AR- Rückrechnung der ursprünglichen Reihe aus Differenzenreihe: Integration ARIMA(p,d,q)-Prozess - Autoregressiver integrierter Moving Average Prozess: Statistischer Prozess,der durch d-malige Summation aus stationärem ARMA(p,q)-Prozess hervorgeht

28 Maximum Estimation - MA- - AR- Bisherige Annahme: Parameter (c, φ 1,, φ p,θ 1,,θ q, σ 2 ) bekannt MLE ist Methode um die unbekannten Parameter aus gegebener Realisation eines stochastischen s zu bestimmen Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeit, spezifische Realisation zu beobachten Idee: MLE von Θ maximiert Wahrscheinlichkeitsdichte

29 Maximum Estimation für einen gaußschen AR(1)-Prozess - MA- - AR- Prozessgleichung: Unbekannte Parameter: Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y 1 : Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y 2 :

30 Maximum Estimation für einen gaußschen AR(1)-Prozess Wahrscheinlichkeitsdichte für gesamte Realisation: - MA- - AR- Logarithmieren: Explizit für f r gaußschen AR(1)-Prozess Prozess: Maximierung

31 Zusammenfassung - MA- - AR- Kennzahlen: Erwartungswert, Autokovarianz, Autokorrelation Lineare Modelle: AR, MA, ARMA, ARIMA, Sonderfall Random Walk Parameterberechnung: Maximum Estimation Ausblick!

32 Seminar Finanzmathematik: Zeitreihenanalyse Fragen?