Fachhochschule Bochum

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1 Fachhochschule Bochum Prof.Dr.Martin Sternberg Prof.Dr.Eckehard Müller Skript zur Vorlesung Physik (Teil ) für Mechatroniker, Elektrotechniker, Informatiker und Maschinenbauer Stand:. Fehlerrechnung.... Systematische Abweichungen.... Statistische Abweichungen....3 Fehlerfortpflanzung Schwingungen Ungedämpfte Schwingungen Gedämpfte Schwingungen....3 Erzwungene Schwingungen Überlagerung harmonischer Schwingungen Wellen Eindimensionale Wellen Transversal- und Longitudinalwellen Mehrdimensionale Wellen Doppler-Effekt Beugung und Interferenz Optik Reflexion und Brechung Geometrische Optik Dispersion Polarisation Holographie Wellenpakete Akustik Schallausbreitung Schallstärke, Schallpegel und Lautstärke Wärmeleitung Strömung Strömung idealer Fluide Strömung realer Fluide Physik, FH Bochum, Stand

2 . Fehlerrechnung Am Beginn des Physikkurses stand der Begriff des Messens, also der Vergleich mit einer bekannten Größe gleicher Qualität. Das Ergebnis des Vergleichs, d.h. der Wert der physikalischen Größe, ist fast immer unvollkommen. Es werden Fehler gemacht. Das Ziel der Fehlerrechnung ist es, Aussagen über die Genauigkeit von Messergebnissen zu machen, also den Fehler zu quantifizieren. Dabei unterscheidet man zwischen systematischen und statistischen Abweichungen.. Systematische Abweichungen Diese Fehler führen zu einer Abweichung des Messwerts vom wahren Wert in einer Richtung. Ursachen dafür können sein: Falsche Kalibrierung des Messgeräts (Beispiel: ein Metermaß weist eine falsche Länge auf, ein Voltmeter misst generell eine zu kleine Spannung) Ungleichmäßige Skaleneinteilung (Beispiel: auf einem Zollstock ist die Strecke zwischen m und, m kleiner als die Strecke zwischen, m und, m) Beeinflussung des Messobjekts durch das Messgerät (Beispiel: beim Ausmessen eines Rohres mit einem Messschieber weitet sich das Rohr) Beeinflussung des Messgeräts durch den Messvorgang (Beispiel: beim Ausmessen mit dem Messschieber verbiegen sich die Backen) Nichtberücksichtigung von Nebenumständen (Beispiel: ein Messschieber misst bei niedrigen Temperaturen anders als bei hohen) Systematische Abweichungen müssen erkannt und klein gehalten werden. Der Einfluss systematischer Abweichungen auf das Messergebnis muss abgeschätzt werden und das Messergebnis entsprechend korrigiert werden. Kann die systematische Abweichung mit A abgeschätzt werden, so ist das Messergebnis anzugeben als: X k = X + K mit K = -A, X: unkorrigierter Messwert, X k : korrigierter Messwert. Die Gründe für diese Korrektur sind ebenfalls anzugeben. Die Unsicherheit bei der Abschätzung der systematischen Abweichung beträgt u S und wird bei der Angabe des Gesamtfehlers benötigt. Am Schluss des Kapitels über den statistischen Fehler wird noch einmal auf diese Unsicherheit u S eingegangen.. Statistische Abweichungen Selbst wenn die systematischen Abweichungen null sind, führen verschiedene Messungen derselben Größe mit demselben Messgerät sehr häufig zu leicht verschiedenen Ergebnissen. Die Ursachen dafür können sehr vielfältig sein, hier ein paar Beispiele: ein Längenmessgerät wird nicht exakt angelegt, die Skala eines Messgeräts wird ungenau abgelesen, Beginn und Ende eines Messintervalls werden nur mit einer gewissen Toleranz gestoppt, Physik, FH Bochum, Stand

3 3 Kontaktwiderstände sind mal größer und mal kleiner. Allen diesen Abweichungen ist gemeinsam, dass sie einmal zu einer Vergrößerung und einmal zu einer Verkleinerung des Messwerts führen können. Man bezeichnet sie daher als statistische Abweichungen. Beispiel: Längenmessung am Urmeter Es ist sinnvoll, die Messungen in Klassen einzuteilen. Dabei wird der Bereich um den erwarteten Messwert in gleich große, überlappungsfreie Intervalle aufgeteilt und ermittelt, wieviele Messwerte in einem Intervall liegen. Die Verteilung der Messwerte auf die Intervalle bezeichnet man als Häufigkeitsverteilung. Applet: 8.- StatCrunch (Statistikprogramm) ( Folien: Statistische Abweichungen mit N = 5, N =, N = 3, N = Je mehr Messungen berücksichtigt werden, um so stärker nimmt bei vielen Messungen die Häufigkeitsverteilung eine charakteristische Form an. Bei der Messung kontinuierlicher Größen mit statistischen Abweichungen erhält man im Grenzfall für unendlich kleine Intervalle und unendlich viele Messungen oft die Gauß'sche Normalverteilung oder wegen ihrer Form auch Gauß'sche Glockenkurve genannt. Folie: Gauß'sche Normalverteilung Man erhält diese Verteilung aber keineswegs immer, z.b. dann nicht, wenn man diskrete Größen misst. Es gibt noch weitere Verteilungen, die wir hier aber nicht betrachten. s x Diese Verteilung hat drei charakteristische Punkte: Das Maximum liegt bei x und die Wendepunkte liegen bei x s und x + s. In der Tat ist die Gauß'sche Normalverteilung vollständig durch x und s beschrieben. Man erhält: f ( x x) s ( x) = e π s x : Wert, um den die Messwerte schwanken: Mittelwert s: Maß der Schwankung der Messwerte um den Mittelwert (im Praktikumskript: εx) Standardabweichung Also noch einmal zusammengefasst: Die Gauß'sche Normalverteilung gibt an, wie bei einem gegebenen Messverfahren die Verteilung bei unendlich kleinen Intervallen und unendlich vielen Messungen aussehen würde. Weiterhin ist die Funktion so normiert, dass das Integral Physik, FH Bochum, Stand

4 4 über f(x) in den Grenzen von a bis b die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass ein Messergebnis im Intervall [a;b] liegt. Natürlich ist es praktisch unmöglich, unendlich viele Messungen durchzuführen. Man wird also den Mittelwert und die Standardabweichung aus den vorhandenen endlich vielen Messwerten abschätzen müssen. Liegen insgesamt N Messungen vor, so schätzt man den Mittelwert ab durch das arithmetische Mittel: x N N x i i=. x i : der i-te Messwert von N Die Standardabweichung der Messung wird folgendermaßen abgeschätzt: s N i= ( x i x) N Bei nur einer Messung (N = ) kann natürlich keine Standardabweichung bestimmt werden. Der wie oben bestimmte Mittelwert x ist natürlich mit einer Unsicherheit versehen, die um so kleiner ist, je größer die Anzahl der Messungen ist. m = s N = N i= ( x i x) N( N ) m: Standardabweichung des Mittelwerts Die Standardabweichung der Messung ist durch das Messverfahren und Messgerät gegeben, kann also durch die Anzahl der Messungen nicht verändert werden. Dagegen ist die Standardabweichung des Mittelwerts umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Anzahl der Messungen. Um die Standardabweichung des Mittelwerts zu halbieren, müssen also die vierfache Anzahl an Messungen durchgeführt werden. Man kann nun angegeben, dass der wahre Wert des Mittelwerts x w mit der Wahrscheinlichkeit -α im Intervall [ x m x + τ m] τ, liegt. -α wird als Vertrauenniveau bezeichnet. Der Parameter τ hängt vom Vertrauensniveau und von der Anzahl N der Messungen ab. Folie: Vertrauensniveaus Das vollständige Messergebnis muss also enthalten:. Den um die systematische Abweichung korrigierten Mittelwert x k = x + K. Die Anzahl N der Messungen 3. Das Vertrauensniveau -α 4. Die Messunsicherheit (Fehler) u = τ. m + u s (u s war die Unsicherheit bei der Abschätzung der systematischen Abweichung) Physik, FH Bochum, Stand

5 5 Das Messergebnis lautet dann: x k ± u. Die Unsicherheit bei der Abschätzung des systematischen Fehlers muss ebenfalls auf das angegebene Vertrauensniveau - α bezogen werden. Der wahre systematische Fehler muss mit der Wahrscheinlichkeit - α im Intervall [ A us, A+ u S ] liegen. Die Abschätzung der Unsicherheit bei der Bestimmung des systematischen Fehlers ist häufig schwierig. Ein Anhaltspunkt ist die vom Hersteller angegebene Messgenauigkeit eines Messgeräts, die sich meist auf das Vertrauensniveau 68% bezieht. Die Messunsicherheit u wird i.d.r. auf eine Dezimalstelle aufgerundet. Auf die signifikante Dezimalstelle der Messunsicherheit wird der korrigierte Mittelwert dann gerundet. Beispiel: Aus x =,93758 ±,75 wird: x =,93 ±,3 oder aus x = 56, ± 3,59 wird: x = 56 ± 4 Oft ergeben relative Fehler einen besseren Eindruck von der Genauigkeit: Standardabweichung des Mittelwerts m r = m/ x = bzw. Mittelwert Gesamtfehler u r = u/ x =. Mittelwert Der relative Fehler ist auf eine signifikante Stelle aufzurunden und wird in der Regel in % angegeben, also z.b. %. Verbindlich festgelegt ist die Angabe von Messunsicherheiten im Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen, DIN V ENV 35. Hinweise zum Praktikum: Das Vertrauensniveau -α ist ca. gleich /3 (67%), τ wird vereinfacht zu angenommen, u s wird meist vernachlässigt. Liegt überhaupt nur eine Messung vor, muss der Fehler abgeschätzt werden..3 Fehlerfortpflanzung In den meisten Fällen werden physikalische Größen indirekt über die Messung mehrerer Größen bestimmt. Beispiele: Die Geschwindigkeit wird über die Messung von Ort und Zeit bestimmt Δx v =, Δt Physik, FH Bochum, Stand

6 6 der spezifische Widerstand eines Leiters über d ρ = Uπ (U: Spannung, d: Durchmesser des Leiters, I: Strom, l: Länge des 4 Il Leiters). Dabei werden die Einzelgrößen wiederholt gemessen, systematische Fehler und Unsicherheiten bei der Angabe des systematischen Fehlers ermittelt, Mittelwerte sowie Standardabweichungen der Mittelwerte berechnet, und schließlich daraus die Gesamtfehler der einzelnen Messgrößen ermittelt. Da bei zusammengesetzten Größen die Messfehler der einzelnen Messgrößen nur Zwischenergebnisse bei der Ermittlung des Fehlers der gesuchten Größe sind, dürfen sie an dieser Stelle nicht gerundet werden. Ist die zu berechnende Größe G eine Funktion der Messgrößen G, G, G 3 etc. mit den Mittelwerten G, G, G3 etc. und den Gesamtfehlern u, u, u 3 etc., dann ist der Gesamtfehler des Mittelwerts der Größe G gegeben durch das Gauß'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz: u G G G = u + u + u G G G Dabei sind G G i die partiellen Ableitungen von G nach G i an den Stellen G i. Einschub zu partiellen Ableitungen: Es sei g eine Funktion, die von mehreren Variablen x, x, x 3, bis x n abhängt. Dann wird die g partielle Ableitung von g nach x i geschrieben als. Wichtig in der Schreibweise sind die x i runden. Bei der partiellen Ableitung nach x i geht man so vor, dass alle anderen Variablen als Konstanten angesehen werden. Somit ist g dann nur noch eine Funktion von x i, und man bildet die normale Ableitung nach dieser Variablen. Die partiellen Ableitungen sind in der Regel wieder Funktionen der Variablen x bis x n. (Ende des Einschubs) Man kann den Fehler nach oben hin abschätzen durch: u G u G + G u G + G u G (Begründung: a + b a + b da ( a + b + b ) = ( a + b ) = a + b + a b a ) Der Mittelwert der gesuchten Größe G berechnet sich zu: G = G G, G,...). ( G3 Physik, FH Bochum, Stand

7 7 Physik, FH Bochum, Stand Beispiel: Il d U 4 π ρ = Damit wird: l I d U = 4 π ρ l I d U u l u I u d u U u ρ ρ ρ ρ also: l I d U u Il d U u l I d U u Il d U u Il d u π π π π Weitere Beispiele und Faustformeln finden sich in den Praktikumsunterlagen.

8 8. Schwingungen Falls die Kraft konstant ist oder nur von der Zeit abhängt, lässt sich die Bahnkurve eines Körpers mit Hilfe des. Newtonschen Axioms direkt berechnen. Schwieriger ist es, wenn die Kraft auch vom Ort abhängt. In diesem Kapitel geht es um die Berechnung spezieller Bahnkurven bei ortsabhängigen Kräften.. Ungedämpfte Schwingungen Man betrachte eine spezielle Anordnung: Federpendel m F x m (Schwerkraft vernachlässigt) Demonstration: Federpendel und Pohlrad Ein Körper der Masse m ist mit Federn gleicher Stärke zwischen zwei Wänden gespannt. In der Mitte wirkt auf ihn keine Kraft, da die Kräfte beider Federn sich gerade kompensieren. Lenkt man ihn aus seiner Ruhelage um eine Strecke x aus, so wirkt auf ihn eine Kraft, die versucht, ihn wieder in die Ruhelage zurückzubringen. Es soll nun die Bahnkurve eines solchen Körpers berechnet werden, der um eine Strecke b ausgelenkt wird, und zum Zeitpunkt t = losgelassen wird. Wir beschränken uns auf eine eindimensionale Bewegung. Die Kraft auf den Körper bei Auslenkung um die Strecke x ist nach dem Hooke'schen Gesetz: F = Dx D: Federkonstante, in diesem Fall der Anordnung aus zwei Federn, Einheit der Federkonstante: N/m Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Federkraft der Auslenkung entgegen wirkt. Applet: 7.- Mass on a Spring ( Nach dem. Newtonschen Axiom gilt aber: dv d x F = ma = m = m. Dabei hängt die Auslenkung x von der Zeit t ab! dt dt Setzt man die Federkraft ein, so erhält man: d x d x Dx = m, bzw. m + Dx =. dt dt Physik, FH Bochum, Stand

9 9 Es ist nun die Bahnkurve x(t) gesucht, die diese Gleichung erfüllt. Die Gleichung lässt sich nicht unmittelbar nach x auflösen, weil außer x auch noch die zweite Ableitung von x enthalten ist. Es handelt sich um die Differentialgleichung der ungedämpften Schwingung. Führt man den oben skizzierten Versuch durch, so wird man finden, dass der Körper eine periodische Bewegung vollführt: er schwingt. Man kann daher probieren, ob ein Lösungsansatz mit einer periodischen Funktion, z.b. einem Sinus, zum Ergebnis führt. Man macht also den Ansatz: x = x sin( ωt). Dies ist zunächst nur eine Vermutung, ω und x sind Konstanten. Nun setzt man diesen Ansatz in die Differentialgleichung der ungedämpften Schwingung ein. Dazu benötigt man zunächst die zweite Ableitung von x: dx dt d x = ω x cos( ω t), und = ω x sin( ωt). Also eingesetzt: dt mω x sin( ωt) + Dx sin( ωt) =. Daraus folgt: m ω = D bzw. D ω = ±. m Also ist x( t) = x sin( ωt) Lösung der Differentialgleichung, wenn ω der angegebenen Bedingung entspricht. Das Einsetzen des Ansatzes x( t) = x sin( ωt) in die Differentialgleichung hat also zu einer Bedingung für die Konstante ω geführt. Die zweite Konstante x ist offenbar noch frei wählbar. Die Lösung ist im folgenden Bild graphisch veranschaulicht: Harmonische Schwingung x(t) 3 4 t Applet: 7.- Feder, ungedämpfte Schwingung ( Der Körper vollführt also eine periodische Bewegung, d.h., x ( t) = x( t + T' ), bzw. x sin( ω t) = x sin( ω ( t + T')). Dies ist aber genau dann der Fall, wenn ωt ' = n π (n=,,,...). Daraus folgt: Physik, FH Bochum, Stand

10 π T ' = n. Die Periodendauer ist also ω T π = = ω. f Daraus folgt für die Kreisfrequenz ω : ω = πf. Da die Bewegung mit einer Sinusfunktion erfolgt, wird sie harmonische Schwingung genannt, ebenso die Bewegungen, die mit einer Cosinusfunktion erfolgen. Allgemein gilt: Schwingungen sind Bewegungen, bei denen sich der Bewegungszustand nach Vielfachen einer Periodendauer T genau oder annähernd wiederholt. Sie sind nicht notwendigerweise harmonisch. Die Lösung der Differentialgleichung der ungedämpften Schwingung ist nicht eindeutig. Wie man leicht verifizieren kann, ist auch die Funktion y( t) = y cos( ωt) Lösung. Auch ist die Summe x ( t) + y( t) eine Lösung. Die allgemeine Form der Lösung lautet: x t) = x sin( ω t) + y cos( ω ), oder x t) = x sin( ω t + ) ( t ( ϕ mit D ω =. m x und y, bzw. x und ϕ sind Konstanten, die aus den Anfangs-, bzw. Randbedingungen bestimmt werden müssen, beispielsweise dem Ort und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t =. Applet: 7.-3 Federpendel ( Beispiel : Gesucht ist die Auslenkung eines Körpers der Masse m an einer Feder der Federkonstante D mit den Anfangsbedingungen: x ( ) = und v ( ) = v Die erste Bedingung eingesetzt in x(t) ergibt: x ) = x sin( ω ) + y cos( ω ). Daraus folgt: ( = y =. Um die zweite Bedingung einzusetzen, muss zunächst v(t) durch Ableitung berechnet werden: dx v( t) = = xω cos( ω t) yω sin( ω t). dt Die zweite Bedingung eingesetzt in v(t) ergibt: Physik, FH Bochum, Stand

11 v ( ) = x ω ω = v. Daraus folgt: cos( ω ) yω sin( t) x ω =, bzw. v v x =. ω Somit steht aber die spezielle Lösung für das Problem mit den gegebenen Anfangsbedingungen fest: v x( t) = sin( ωt) mit ω D ω =. m Beispiel : Gesucht ist die Auslenkung einer Masse m an einer Feder mit Federkonstante D mit den Anfangsbedingungen: x ( ) = b und v ( ) =. Die erste Bedingung liefert eingesetzt in die Differentialgleichung: x sin( ω ) y cos( ω t = y = b. + ) Die zweite Bedingung eingesetzt in die Gleichung für v(t) ergibt: x ω cos( ω ) yω sin( ω ) = xω =. Daraus folgt: x =. Die spezielle Lösung des Problems mit gegebenen Anfangsbedingungen lautet also: x ( t ) = b cos( ω t ).. Gedämpfte Schwingungen Bei jeder realen Schwingung wird man mit der Zeit eine Abnahme der Amplitude beobachten (sofern dem System nicht von außen Energie zugeführt wird): die Schwingung ist gedämpft. Versuch: Abnahme der Schwingungsamplitude am Pohl-Rad Es wirken also (nichtkonservative) Reibungskräfte, die zu einer Abnahme der Summe aus potentieller und kinetischer Energie führen. Dies können sein: - Gasreibung - Gleitreibung, Rollreibung - Flüssigkeitsreibung - Elektrische Reibung (z.b. Wirbelstrombremse) Die Reibungskräfte können unabhängig von der Geschwindigkeit sein (Gleitreibung, Rollreibung), der Geschwindigkeit proportional (Fluidreibung bei laminarer Strömung), oder proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit sein (Fluidreibung bei turbulenter Strömung). Hier sei der Fall betrachtet, dass die Reibungskraft proportional der Geschwindigkeit ist: Physik, FH Bochum, Stand

12 F r = rv, bzw. eindimensional: = rv. r: Dämpfungskonstante, F r Dabei ist r die Dämpfungskonstante, eine Eigenschaft des reibenden Systems, mit der Einheit Ns/m = kg/s. Aus dem. Newtonschen Gesetz folgt dann: F d x ma = m dt = dx = Dx rv = Dx r, also: dt d x dx m + r + Dx =. Differentialgleichung der gedämpften Schwingung dt dt Applet: 7.- Gedämpfte Schwingung (weiter klicken auf Harmonische Schwingung Bewegung 3) ( Experimentell erhält man bei kleiner Dämpfung folgenden Verlauf der Auslenkung: Gedämpfte Schwingung Amplitudenhüllkurve x(t) t Der Schwingung ist also eine Amplitudenhüllkurve überlagert, die eine exponentielle Abnahme der Amplitude bewirkt. Man wählt daher folgenden Ansatz für den Schwingfall: δt x( t) = ye cos( ωt). y,ω, δ : Konstanten Mit der gleichen Berechtigung könnte man anstatt des Cosinus auch den Sinus wählen, wie es dem obigen Diagramm eher entspricht. Zur Überprüfung des Ansatzes, also dem Einsetzen in die Differentialgleichung, sind die ersten und zweiten Ableitungen notwendig: dx dt δt δt δt = δy e cos( ωt) ωye sin( ωt) = ye ( δ cos( ωt) ω sin( ωt)) Physik, FH Bochum, Stand

13 3 d x dt = δ y e δt δt δt cos( ωt) + ωδye sin( ωt) + δωye sin( ωt) ω ye δt cos( ωt) = δt ye (cos( ωt)( δ ω ) + sin( ωt) δω). Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt das: δt δt δt my e (cos( ωt)( δ ω ) + δω sin( ωt)) ry e ( δ cos( ωt) + ω sin( ωt)) + Dye cos( ωt) = Daraus folgt durch Ausklammern von Sinus und dem Cosinus: y e δt und Zusammenfassen der Faktoren vor dem δt y e (cos( ωt)( mδ mω rδ + D) + sin( ωt)(mδω rω)) = Für y = ist die Gleichung trivialerweise immer erfüllt. Soll bei von null verschiedenem y die Gleichung für alle Zeiten gelten, müssen die Faktoren vor sin( ω t) und cos( ωt) null werden: (i): mδω ωr =. Daraus wird: r = mδ, also: r δ =. m Der Parameter δ wird Abklingkonstante genannt, da er das exponentielle Abklingen der Amplitude beschreibt (ii): mδ mω rδ + D =, also:. ω = δ rδ + m D m = δ r m D m D m D m δ + = δ δ + = δ Damit wird: ω = ± D δ m = ± ω δ Die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung ist also kleiner als die der ungedämpften, hängt aber auch nicht von der Amplitude ab. δt Der Ansatz x = ye cos( ωt) liefert also nur dann reelle Frequenzen, wenn ω > δ ist. Offensichtlich gilt der Ansatz also nicht für alle physikalischen Bedingungen. In der Tat gilt er nur dann, wenn der Körper tatsächlich eine Schwingung ausführt (Schwingfall). Physik, FH Bochum, Stand

14 4 δt Es ist also ye cos( ωt) Lösung der Differentialgleichung der gedämpften Schwingung, r wenn ω Eigenfrequenz ist und δ =. Genauso kann man zeigen, dass auch m δt x' ( t) = xe sin( ωt) Lösung ist mit den gleichen Bedingungen für δ und ω. Damit ist aber auch die Summe x '( t) + x( t) Lösung. Die allgemeine Form der Lösung lautet: t t x t) = x e δ sin( ωt) + y e δ cos( ω ), ( t r δ = und m D ω = δ m Da die Lösung durch die Sinus- und Cosinusterme periodisch ist, bezeichnet man diesen Fall als Schwingfall. Die Konstanten x und y müssen aus den Anfangsbedingungen ermittelt werden. Ein schwingfähiges System wird auch als Oszillator bezeichnet. Die Frequenzen der gedämpften oder ungedämpften Schwingungen heißen auch Eigenfrequenzen des Oszillators, da es die Frequenzen sind, mit denen das System ohne äußere periodische Anregung schwingt.. Beispiel: Das Federpendel werde zur Zeit t = bei einer Auslenkung von b mit der Geschwindigkeit null losgelassen. x ( ) = b und v ( ) =. Aus der ersten Bedingung folgt sofort: δ δ x ( ) = x e sin( ω) + y e cos( ω = y = b. ) Da die zweite Bedingung ist, dass die Geschwindigkeit bei t = null ist, muss die Ableitung an der Stelle betrachtet werden: dx dt δt δt δt δt = δxe sin( ωt) + ωxe cos( ωt) δye cos( ωt) ωye sin( ωt), und damit: v( ) = ω x δy =, also: δ δ x = y = b. ω ω Damit lautet die Lösung für das spezielle Problem (x() = b, v() = ): δt δ x( t) = be (cos( ωt) + sin( ωt)), ω r δ = und m D ω = δ m δ Bei sehr kleiner Dämpfung (δ << ω ) gilt:. Damit vereinfacht sich die ω Lösung zu: δt x( t) = be cos( ωt). Physik, FH Bochum, Stand

15 5 Betrachtet man ein Federpendel bei sehr großer Dämpfung, wird man finden, dass es gar nicht mehr schwingt, sondern nur noch langsam in seine Ruhelage "kriecht". Dies bezeichnet man als den Kriechfall. Versuch: Pohl-Rad bei sehr großer Dämpfung Applet: 7.- Gedämpfte Schwingung (weiter klicken auf Harmonische Schwingung Bewegung 3, k muss größer als 5 sein ) ( Es ergibt sich experimentell der folgende Verlauf der Auslenkung: Kriechfall x(t) t Betrachtet man die Lösung für den Schwingfall, so sieht man, dass sich keine reelle Frequenz mehr für δ > ω ergibt. Es liegt also nahe, dort die Grenze zwischen Schwing- und Kriechfall zu vermuten. λt Man macht nun den Ansatz: x( t) = x e. Zum Einsetzen in die Differentialgleichung benötigt man wiederum die ersten und zweiten Ableitungen: dx dt λt = λx e, d x dt = λ xe λt. Setzt man dies in die Gleichung ein, ergibt sich: λt λt λt mλ x e rλx e + Dx e =. Für x muss gelten: r D r mλ rλ + D =. Daraus folgt: λ λ + =, also mit δ = m m m : D λ δλ + =. Daraus folgt für λ : m Physik, FH Bochum, Stand

16 6 Physik, FH Bochum, Stand ω δ δ δ δ λ ± = ± = m D. Es ergeben sich also zwei Werte für die Konstante λ. Jeder davon führt zu einer Lösung der Differentialgleichung. Also ist auch die Summe beider Lösungen eine Lösung (weil die Differentialgleichung linear ist). Damit lautet die allgemeine Lösung für den Kriechfall: t t e y e x t x ) ( ) ( ) ( ω δ δ ω δ δ + + =, m r = δ und m D = ω Die Konstanten x und y müssen wiederum aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Der Ansatz t e x x λ = liefert aber nur dann reelle Amplituden, wenn δ > ω ist. Dies ist die Bedingung für den Kriechfall. Beispiel: Das Federpendel werde zur Zeit t = bei einer Auslenkung von b mit der Geschwindigkeit null losgelassen. Durch Einsetzen dieser Bedingungen in Auslenkung und Geschwindigkeit (Ableitung) in Abhängigkeit von der Zeit ergibt sich als Lösung des speziellen Problems: ) ) ( ) (( ) ( t t t e e e b t x ω δ ω δ δ ω δ δ ω δ δ + + =, m r = δ und m D = ω. Bei sehr großer Dämpfung (δ >> ω ) vereinfacht sich die Lösung zu: t be t x δ ω ) ( =. (Zur Ableitung dieser Beziehung beachte man, dass ω δ δ für δ >> ω gegen geht, und dass δ ω δ δ ω δ δ ω δ ω δ δ ω δ 4 4 = = + ) Abklingzeit: Man sieht, dass bei sehr großer Dämpfung die Amplitude um so langsamer abnimmt, je größer die Dämpfung ist. Dies ist auch verständlich, da bei sehr großer Dämpfung das Pendel nur sehr langsam in seine Ruhelage zurückkehrt. Als Abklingzeit definiert man die Zeit, in der die Amplitude auf den Bruchteil /e ihrer Ausgangsamplitude abgesunken ist. Im Schwingfall nahm die Amplitude der Schwingung mit e δt ab, also um so schneller, je größer die Dämpfung ist. Die Abklingzeit nimmt also zunächst mit größer werdender Dämpfung ab, dann aber mit weiter steigender Dämpfung wieder zu. Es muss also eine Dämpfung geben, bei der die Abklingzeit minimal ist. Dieser Fall ergibt sich beim Übergang vom Schwingfall zum Kriechfall, also bei δ = ω. Da dann gerade keine periodische Bewegung mehr vorliegt, bezeichnet man dies als aperiodischen Grenzfall.

17 7 Folie: Abklingzeiten Als allgemeine Lösung für den aperiodischen Grenzfall ergibt sich: x( t), δt δt = xe + yte r δ = m Die Konstanten x und y müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Für die gleichen Anfangsbedingungen wie beim Schwing- und Kriechfall (x() = b und v() = ) ergibt sich als spezielle Lösung: δt x( t) = be ( δ t + ), r δ =. m Ein System im aperiodischen Grenzfall kehrt also nach einer Auslenkung in der kürzest möglichen Zeit in seine Ruhelage zurück. Folie: Drei Fälle der gedämpften Schwingung Energie der Schwingung Ein Feder-Masse-System besitzt potentielle und kinetische Energie. Bei der gedämpften Schwingung treten auch noch andere Energieformen wie Wärme und Verformungsenergie auf. Ungedämpfte Schwingung: Die potentielle Energie ergibt sich zu E p = Dx, wobei die willkürliche Konstante der potentiellen Energie so gewählt wurde, dass E p in der Ruhelage der Feder bei x = null ist. Die kinetische Energie ist Ek = mv. Es kann nun gezeigt werden, dass die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant ist. Daher genügt es, als Gesamtenergie der ungedämpften Schwingung entweder das Maximum der kinetischen oder der potentiellen Energie zu betrachten. Hat das System eine maximale Auslenkung von a, dann ist die Geschwindigkeit an dieser Stelle null und die Gesamtenergie ist: Da E =, a: maximale Auslenkung D: Federkonstante Gedämpfte Schwingung, Schwingfall: Die Amplitude nimmt mit ab. Betrug die maximale Auslenkung zur Zeit t = a, so ist sie nach der Zeit t auf den Wert ae δt abgesunken. Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ergibt sich dann wiederum als Maximum der potentiellen Energie zu: e δt E p δt δt δt D( ae ) = Da e = Ee + Ek = E : Gesamtenergie zur Zeit t = Die Differenz zu E ist in Wärme, Verformungsenergie o.ä. umgewandelt. Physik, FH Bochum, Stand

18 8 Für die näherungsweise Abnahme der Summe aus potentieller und kinetischer Energie in einer Periode kann man schreiben: de δt E( t + T) E( t) T = δe e T = δet. T: Periodendauer der Schwingung dt Die Energieabname in einer Periode ist also proportional zu δ, E und T. Gedämpfte Schwingung, Kriechfall und aperiodischer Grenzfall: Hier muss die Summe aus kinetischer und potentieller Energie berechnet werden. Bei sehr großer Dämpfung kann die kinetische Energie vernachlässigt werden und es ergibt sich für die Summe: E k ω ω t t δ δ + E p E p = D( ae ) = Da e..3 Erzwungene Schwingungen Wir betrachten jetzt ein gedämpftes Feder-Masse-System, auf das eine periodische externe Kraft F(t) wirkt. m F(t) Man nehme nun an, dass die externe periodische Kraft harmonisch sei: F( t) = F sin( ωt) F : Amplitude der externen Kraft ω : Frequenz der externen Kraft ω ist also jetzt nicht die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung, die sich aus der Masse m, der Federkonstante D und der Dämpfungskonstanten r ergibt, sondern eine beliebige, von der externen Kraft aufgezwungene Frequenz. Versuch: Pohl-Rad mit verschiedenen Anregungsfrequenzen und konstanter Anregungsamplitude Es zeigt sich, dass nach einer gewissen Einschwingdauer das Federpendel mit der Frequenz der externen Kraft schwingt. Die Amplitude hängt dabei von der Frequenz ab und hat bei einer mittleren Frequenz ein Maximum. Die Phasendifferenz zwischen Auslenkung und Anregung hängt ebenfalls von der Frequenz ab. Als Phasendifferenz bezeichnet man dabei die Differenz der Argumente der periodischen Funktion, die Auslenkung und Anregung beschreibt. Zu der Federkraft auf die Masse m und der Reibungskraft tritt nun noch die externe Kraft F(t) hinzu. Dann kann man wieder mit dem. Newton'schen Axiom sagen: dx d x F = Dx r + F sin( ω t) = m, also: dt dt Physik, FH Bochum, Stand

19 9 d x dx m + r + Dx = F sin( ωt) Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung dt dt Die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung unterscheidet sich von der Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung also nur durch den einen Term F sin( ω ), der nicht von der Auslenkung x(t) abhängt. t Aus dem Versuch folgte, dass nach dem Einschwingen die resultierende Schwingung die Frequenz der anregenden Kraft hat, aber phasenverschoben ist. Daher wählt man den Ansatz: x ( t) = x sin( ω t + ϕ) ω : Frequenz der Anregung x (ω ): Amplitude ϕ (ω) : Phasendifferenz zwischen Auslenkung und anregender Kraft Zum Einsetzen in die Differentialgleichung werden die ersten und zweiten Ableitungen gebildet: dx dt d x = xω cos( ωt + ϕ), = xω sin( ωt + ϕ). dt Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt das: mxω sin( ωt + ϕ) + rxω cos( ωt + ϕ) + Dx sin( ωt + ϕ) = F sin( ωt). Für sehr kleine Frequenzen gehen ω und ω gegen null. Damit wird aus obiger Gleichung: Dx sin( ω t + ϕ) = F sin( ω ). t F Daraus folgt, dass ϕ = ist und x =. Die Masse folgt der Kraft ohne Phasendifferenz. D Die Reibungskraft spielt keine Rolle, weil die Geschwindigkeiten klein sind, ebenso die Beschleunigungen. Für sehr große Frequenzen wird ω sehr viel größer als ω und D. Aus der Differentialgleichung wird dann: mxω sin( ωt + ϕ) = F sin( ωt) o o Da sin( x + 8 ) = sin( x) ist, folgt daraus, dass die Phasenverschiebung ϕ = 8 ist, und F x =. Auslenkung und Kraft sind also gegenphasig, und die Amplitude geht für große mω Frequenzen gegen null. Da die Phasendifferenz für kleine Frequenzen null ist und für große -8 o, wird sie vermutlich bei einer mittleren Frequenz -9 o betragen. In diesem Fall wird die Geschwindigkeit: Physik, FH Bochum, Stand π cos( ω t ) = sin( ωt)

20 cos( ω t) t dx π v = = x π ω π cos( ωπ t ) = x πωπ sin( ωπ t), da cos( x π ) = sin( x). dt,, ω π bezeichnet dabei eben jene Kreisfrequenz, bei der die Phasenverschiebung gleich π/ ist, x die bei dieser Kreisfrequenz sich einstellende Amplitude der Auslenkung., π Also hat unter diesen Bedingungen die Geschwindigkeit immer die gleiche Richtung wie die anregende Kraft. Daher bewirkt die durch die Kraft hervorgerufene Beschleunigung stets eine Zunahme der Geschwindigkeit. Die Kraft verrichtet also ständig Arbeit an dem schwingenden System, bzw. das schwingende System nimmt ständig Arbeit auf. Da die Energie zunimmt, muss auch die Amplitude wachsen. Wenn keine Reibung wirkt, nimmt die Amplitude der Schwingung ständig zu. Film: 9- Bowling Ball Pendulum Resonance 9-6 Glass Breaking with Sound Bei der Frequenz, die eine Phasendifferenz von -9 o zwischen Auslenkung und Kraft hervorruft, wird also die maximale Leistung übertragen. Man nennt dies Leistungsresonanz. Durch die Reibung wird dem schwingenden System aber auch laufend Energie entzogen. Eine konstante Amplitude stellt sich dann ein, wenn dem System durch die externe Kraft ständig genauso viel Energie zugeführt wird, wie ihm durch Reibung entzogen wird. Es muss also die zugeführte Leistung gleich der durch Reibung abgeführten sein. Für die Leistung, die eine Kraft F an einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Körper erbringt, gilt aber: P = F v. Da die Leistungen der externen Kraft und der Reibungskraft dem Betrag nach gleich sein müssen, gilt also: P extern = F sin( ω π t) v = PRe ibung = Fr v = rvv = rv. Somit gilt: Physik, FH Bochum, Stand

21 F sin( ω t) = rv = rx ω sin( ω ). π π π π t, Da die Gleichung für alle Zeiten gelten muss, folgt daraus: F x π =., rω π Betrachtet man nun die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung: d x dx m + r + Dx = F sin( ωt), und berücksichtigt die oben ermittelte Beziehung: dt dt dx F sin( ω π t) = rv = r, so sieht man, dass bei der Kreisfrequenz ω π die Summe der dt beiden übrigen Terme auf der linken Seite null ergeben muss: d x m + Dx =. Dies ist aber genau die Differentialgleichung der ungedämpften dt Schwingung. Bedingung dafür, dass diese Gleichung gilt, ist aber gerade: D ω π = = ω. Kreisfrequenz bei Leistungsresonanz m Das Maximum der Leistungsübertragung ergibt sich also, wenn die Anregungsfrequenz gleich der Eigenfrequenz des ungedämpften schwingenden Systems (Oszillators) ist. Bei beliebiger Anregungsfrequenz lautet der Zusammenhang zwischen der Amplitude der Schwingung, der Anregungsfrequenz und der Amplitude der anregenden Kraft: x =, m ( ω ω ) + 4δ ω F D ω =, m r δ =. m Amplitude der erzwungenen Schwingung Für die Phasendifferenz zwischen Auslenkung und Anregung ergibt sich: tanϕ = δω ω ω Applet: 7.3- Erzwungene Schwingung ( Folie: Amplitude und Phase der erzwungenen Schwingung Folie: Resonanzkurven für verschiedene Dämpfungen Physik, FH Bochum, Stand

22 Folie: Phasenverhalten für verschiedene Dämpfungen Das Maximum der Amplitude der Auslenkung ergibt sich durch Differenzieren und Nullsetzen. Überraschenderweise liegt das Maximum nicht exakt bei der Frequenz der Leistungsresonanz, sondern bei einer etwas kleineren Frequenz. Der Grund dafür ist, dass die dämpfende Kraft mit der Geschwindigkeit, und damit mit der Amplitude zunimmt. Das Maximum der Amplitude wird als Resonanzamplitude, die zugehörige Frequenz als Resonanzfrequenz bezeichnet. Sie errechnet sich zu: r ω δ = πf r ω =. Die Resonanzfrequenz ist also kleiner als die Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators und kleiner als die Eigenfrequenz des gedämpften Oszillators. Für ω < δ gibt es keine Resonanzfrequenz mehr. Die Resonanzamplitude beträgt: F x, r =. mδ ω δ Als Resonanzüberhöhung eines Oszillators wird das Verhältnis zwischen der Resonanzamplitude und der maximalen Amplitude bei der Anregungsfrequenz null bezeichnet. Die Resonanzüberhöhung ist näherungsweise gleich der Güte (englisch quality) eines Oszillators. Q x F, r D = D mδ ω δ. Resonanzüberhöhung und Güte sagen also aus, wie ausgeprägt das Resonanzmaximum ist. Sie sind stark von der Dämpfung abhängig. Durch Resonanz können so große Amplituden auftreten, dass die Festigkeitsbedingungen des Systems nicht mehr erfüllt sind. Es kommt zur Zerstörung des Systems. Dies nennt man Resonanzkatastrophe. Versuch: Pohl-Rad mit geringer Dämpfung in Resonanz Folie: Tacoma Narrow's Bridge Film: Tacoma Narrow s Bridge Betrachtet man die Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung, so sieht man, dass man zu einer Lösung dieser Gleichung auch eine Lösung der Differentialgleichung der gedämpften Schwingung hinzuaddieren kann, und die Summe ist immer noch Lösung der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung. Die gedämpfte Schwingung erfolgt natürlich (im Schwingfall) mit ihrer Eigenfrequenz. Es treten dann also in der Lösung die Frequenz der erregenden Kraft und die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung auf. Die Schwingung mit der Eigenfrequenz ist allerdings gedämpft und wird sich nach einiger Zeit Physik, FH Bochum, Stand

23 3 nicht mehr bemerkbar machen. Diese Addition von Lösungen der gedämpften Schwingung benötigt man zur Beschreibung spezieller Anfangsprobleme. Man bezeichnet die sich ergebenden Lösungen dann auch als Einschwingvorgänge. Folien: Erzwungene Schwingung mit Drehmomentsprung.4 Überlagerung harmonischer Schwingungen Es sei nun ein gedämpftes Feder-Masse-System betrachtet, an dem mehrere periodische Kräfte F, F, F 3 etc., mit unterschiedlichen Frequenzen und Phasen angreifen. Aus der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung wird dann: d x dx m + r + Dx = F sin( ωt + ϕ) + F sin( ω t + ϕ ) + F3 sin( ω3t + ϕ3) +... dt dt Wenn x i (t) Lösung der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung mit einer externen Kraft F i ist, dann ist x (t) + x (t) + x 3 (t) +... Lösung der Gleichung für die Summe der Kräfte F, F, F 3 etc. Dies liegt daran, dass die Differentialgleichung linear ist, d.h. die Funktion und ihre Ableitungen nur mit der ersten Potenz vorkommen. Es ist dann nämlich die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen. Somit gilt das Prinzip der ungestörten Superposition: Wird ein Körper zu mehreren Schwingungen angeregt, so addieren sich die Auslenkungen ohne gegenseitige Störung. Man kann also für jede einzelne Kraft die Schwingungsgleichung lösen und die Lösungen dann addieren. Das gilt so lange, wie die Differentialgleichung linear ist. In der Praxis ist das bei nicht zu großen Auslenkungen und Geschwindigkeiten der Fall. Wenn die beteiligten Frequenzen ein gemeinsames Vielfaches haben, ergibt die Summe der Lösungen eine periodische Schwingung, die aber nicht notwendigerweise harmonisch sein muss. Aus der Überlagerung harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen kann also eine nicht harmonische (anharmonische) periodische Schwingung entstehen. Es lässt sich zeigen, dass sogar allgemein gilt: Jede periodische Schwingung lässt sich als Überlagerung harmonischer Schwingungen darstellen. π Sei x(t) eine periodische Schwingung mit der Periodendauer T gemäß ω =. ω heißt T Grundfrequenz der anharmonischen Schwingung. Dann lässt sich x(t) fast überall darstellen als: n= x( t) = x + ( an sin( nω t) + bn cos( nωt)). Fourier-Reihe bzw. Fourier-Darstellung Applet: 7.4- Fourierreihenentwicklung: Physik, FH Bochum, Stand

24 4 Die Koeffizienten x, a n und b n können experimentell, z.b. durch Frequenzfilterung, oder rechnerisch ermittelt werden. Diesen Vorgang nennt man Fourier-Analyse. Es ergeben sich: T T x = x( t) dt an = T ω π T T x( t)sin( nω t) dt b n ω = π T T x( t) cos( nω t) dt. Eine besondere Implementierung der Fourier-Analyse für schnelle Berechnungen ist FFT (Fast Fourier Transform). Die Darstellung der Koeffizienten a n und b n über der Frequenz nennt man Fourier-Spektrum. Die Zusammensetzung einer Schwingung aus harmonischen Schwingungen gemäß der Fourier-Reihe nennt man Fourier-Synthese. Folie: Fourier-Synthese Folie: Fourier-Spektrum In der Akustik bestimmt die Grundfrequenz eines Tons die Tonhöhe, das Fourier-Spektrum den Klang. Versuch: Tonhöhe und Klang bei Sinus- Dreieck- und Rechteckschwingung Applet: 7.4- Fourier-Synthese mit Ton: Fourier-Darstellung nicht periodischer Vorgänge Zeitlich begrenzte, nicht periodische Auslenkungen können auch als Überlagerung harmonischer periodischer Schwingungen dargestellt werden. Aus der Fourier-Reihe wird dann das Fourier-Integral: x ( t) = ( a( ω)sin( ωt) + b( ω)cos( ωt)) dω Die Funktionen a (ω ) und b (ω ) bilden das Fourier-Spektrum. Folie: Fourier-Spektrum nicht periodischer Vorgänge Es ist schon sehr erstaunlich, dass aus der Überlagerung lauter zeitlich periodischer, unbegrenzter harmonischer Schwingung ein zeitlich begrenzter, nichtperiodischer Vorgang entsteht. Physik, FH Bochum, Stand

25 5 3. Wellen 3. Eindimensionale Wellen Eine Welle ist die räumliche Ausbreitung einer zeitlichen Störung in Materie oder im Vakuum. Versuch: Wellenausbreitung an der Wellenmaschine Versuch: Wellenausbreitung an der Wellenwanne Applet: 9.- Transversal-, Longitudinal- u. Oberflächenwellen ( Folie: Transversalwellen Voraussetzung für die Wellenausbreitung ist, dass es einen Kopplungsmechanismus gibt, der bewirkt, dass die Abweichung eines physikalischen Zustands vom Gleichgewichtszustand zu einer zeitlich verzögerten Zustandsänderung an den benachbarten Orten führt. Dieser Kopplungsmechanismus kann ganz unterschiedlicher Natur sein: Kopplungs von Pendeln durch Federn (Wellenmaschine) Kopplung von Atomen im Festkörperverband (Schallausbreitung im Festkörper) Film: 9.9 Wave on a Rope Kopplung von Molekülen in Flüssigkeiten (Wasserwellen, Schall im Wasser) Kopplung von elektrischen und magnetischen Feldern (elektromagn. Wellen) Folie: Einige Wellen und ihre Frequenzen Folie: Spektrum elektromagnetischer Strahlung Im zeitlichen Mittel erfolgt bei der Wellenausbreitung kein Materietransport, aber Energieund Impulstransport. Wellen müssen nicht periodisch oder harmonisch sein, wir beschränken uns aber im Wesentlichen auf harmonische Wellen. Zur Herleitung der Wellengleichung sei wiederum die Pendelkette betrachtet. Folie: Transversalwellen Wir betrachten zunächst ein Pendel an einem festen Ort (x = const.). Dies führt eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω aus, also z.b. g = g sin( ωt) als Lösung der Schwingungsgleichung (g ist die Auslenkung des Pendels) d g m + Dg =. dt Betrachtet man die Auslenkung zu einer festen Zeit (t = const.), so findet man ebenfalls eine harmonische Funktion g = g sin( kx), die der Gleichung genügt: Physik, FH Bochum, Stand

26 6 d g () a + bg =, mit dx b k =. a m d g a d g Aus () folgt: g =, aus (): g =. D dt b dx Da die Auslenkung g offensichtlich eine Funktion sowohl des Ortes, als auch der Zeit ist, muss man anstatt der Ableitungen die partiellen Ableitungen verwenden. Es wird somit: m D g t a g g g = g =, bzw. =. b x ω t k x x = const. T = π/ω t = const. λ = π/k g g t x In einer Periode T hat sich die Welle genau um eine Wellenlänge λ ausgebreitet. Also ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Schwingungszustand ausbreitet, die Phasengeschwindigkeit: v ph λ = = λ f T π ω ω = =. k π k Damit kann man die für die Welle gefundene Differentialgleichung schreiben als: g k x ω g t =, bzw. mit v ph = ω/k : g x v ph g t =. Eindimensionale Wellengleichung Es handelt sich um eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Gesucht ist jetzt die Funktion g(x,t), die die obige Wellengleichung erfüllt. Zum Zeitpunkt t = kennen wir eine Lösung bereits. Sie lautet: Physik, FH Bochum, Stand

27 7 g ( x,) = g sin( kx). Ein Zeitintervall t später hat sich die Welle um die Strecke Δx weiter ausgebreitet: Δx Zwei Momentaufnahmen der Welle g t = t x Man findet nun den Funktionswert der um Δx nach rechts verschobenen Kurve, indem man auf der x-achse um Δx nach links geht und dort den Wert der nicht verschobenen Kurve nimmt: g( x, t) = g( x Δx,) = g sin( k( x Δx)). Nun breitet sich die Welle aber mit der Phasengeschwindigkeit v Ph aus, so dass man schreiben kann: Δx v Ph =, bzw. Δ x = vpht. Somit wird: t g x, t) = g sin( k( x v t)) = g sin( kx kv ). ( Ph Pht Aus der Beziehung: v Ph ω = folgt aber: kv Ph = ω. k Eine Lösung der eindimensionalen Wellengleichung ist also: g = g sin( kx ω ) harmonische, eindimensionale Welle t Demo: Excel-Diagramm Wellenausbreitung Es gibt aber noch sehr viel mehr Lösungen, denn jede zweimal differenzierbare Funktion g(kx-ωt) ist Lösung der Wellengleichung, wenn v ph = ω/k, z.b. also auch ein Impuls oder ein Wellenpaket. Physik, FH Bochum, Stand

28 8 Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der physikalische Zustand ausbreitet. Sie darf nicht mit der Geschwindigkeit verwechselt werden, mit der sich Teilchen (z.b. Pendel einer Pendelkette oder Atome eines Gases oder Festkörpers) bewegen. 3. Transversal- und Longitudinalwellen Die Auslenkung von Wellen kann senkrecht oder parallel zur Ausbreitungsrichtung erfolgen. Folie: Transversalwellen Applet: 9.- Transversalwellen ( Film: 9- Torsional Waves Transversalwellen: Die Auslenkung erfolgt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Beispiele: Schwingendes Seil Elastische Transversalwellen in Festkörpern Elektromagnetische Wellen Folie: Longitudinalwellen Applet: 9.- Longitudinalwellen ( Film: 9-4 Longitudinal Waves Longitudinalwellen: Die Auslenkung erfolgt parallel zur Ausbreitungsrichtung. Bespiele: Elastische Longitudinalwellen in Festkörpern Schallwellen in Gasen und Flüssigkeiten Steht einer Welle nur ein begrenzter Raum zur Ausbreitung zur Verfügung, bzw. die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle in einem Hohlleiter, so bilden sich keine reinen Transversal- oder Longitudinalwellen. Dazu zählen auch die Oberflächenwellen, die eine Kombination aus Transversal- und Longitudinalwellen darstellen (z.b. Wasserwellen). Applet: 9.-3 Oberflächenwellen ( 3.3 Mehrdimensionale Wellen Die Ausbreitung von Wellen erfolgt nicht nur entlang einer Linie, sondern kann auch entlang einer Fläche oder im Raum erfolgen. Aus der eindimensionalen Wellengleichung wird dann: Physik, FH Bochum, Stand

29 9 g x g + y g + z v ph g t =. Dreidimensionale Wellengleichung Die Lösung dieser Wellengleichung hängt nun davon ab, welche Gestalt die Orte gleicher Phase, also die Orte gleichen physikalischen Zustands haben. Diese bezeichnet man als Phasenflächen. Versuch: Erzeugung von Kreiswellen und ebenen Wellen an der Wellenwanne Sonderfälle sind die ebenen Wellen und die Kugelwellen. Applet: 9.3- Ebene Wellen: Bei den ebenen Wellen sind die Phasenflächen Ebenen, also unendlich ausgedehnt. Die Lösung der Wellengleichung lautet: g = g sin( k x ω ). t Dabei ist k k = k k x y z der Wellenvektor mit v ph = k x ω + k y + k z. α x k α x Die geometrische Interpretation des Skalarprodukts k x ist die Multiplikation der Länge des Vektors k mit der Länge der Projektion des Vektors x auf k. Diese Projektion ist aber für alle Vektoren x auf einer Ebene durch x und senkrecht auf k gleich. Die Phasenflächen sind also Ebenen. Die Phasenflächen stehen senkrecht auf dem Wellenvektor und die Phasengeschwindigkeit hat die Richtung des Wellenvektors. Applet: 9.3- Kugelwellen (Kugelwellen: Bei den Kugelwellen sind die Phasenflächen Kugelflächen. Dieser Lösungstyp ergibt sich, wenn eine rotationssymmetrische Quelle in alle Raumrichtungen gleich strahlt. Zu einem festen Zeitpunkt t darf die Wellenfunktion g also nur vom Abstand des betrachteten Orts x vom Ursprung der Welle bei x abhängen. Physik, FH Bochum, Stand

30 3 r = x x x x Der Abstand vom Ursprung der Welle bei x Kugelfläche um x mit Radius r., also r, ist gleich für alle Punkte auf einer Der Abstand lässt sich berechnen zu: r = r = x x ( x x ) + ( y y ) + ( z ) = z Die Lösung der Wellengleichung in diesem Fall lautet: g( x) = g r sin( kr ωt) mit r = ( x x z und ) + ( y y ) + ( z ) x x = y z sowie x x = y z als Ursprung der Kugelwelle. Man beachte, dass die Auslenkung im Gegensatz zu den ebenen Wellen mit /r abnimmt. Dies ist notwendig, weil sonst die Energie der Welle mit steigender Entfernung zum Ursprung zunehmen würde. Die Energie ist proportional zum Quadrat der Auslenkung (man vergleiche z.b. mit der Energie des Federpendels E = ½ D x ). Die Phasenfläche der Welle, also die Kugeloberfläche, nimmt mit dem Quadrat des Abstands von der Quelle zu. Also muss die Energiedichte mit dem Quadrat des Abstands von der Quelle abnehmen. Dies ist aber der Fall, wenn die Auslenkung g mit /r abnimmt. 3.4 Doppler-Effekt Wenn sich die Wellen-erzeugende Quelle und der Beobachter relativ zueinander bewegen, kommt es zu Änderungen der Frequenzen. Bewegte Quelle: Ein Reisender wandert im 8. Jahrhundert von Köln nach Italien und schickt jede Woche einen Brief nach Hause. Solange er nach Italien reist, werden die Briefe Zuhause seltener als alle Woche eintreffen, auf der Rückreise häufiger. Applet: 9.4- Bewegte Quelle ( Physik, FH Bochum, Stand

31 Bewegtes Auto ( Bewegter Beobachter: Auf der Trasse der U35 fährt alle 5 min ein Zug in Richtung Herne. Fährt man im Auto parallel die Universitätsstraße entlang, so trifft man seltener auf einen Zug, wenn man in die gleiche Richtung fährt (sogar nie, wenn man die gleiche Geschwindigkeit wie die U35 hat), und häufiger, wenn man in die entgegengesetzte Richtung fährt. Bewegter Beobachter v ph v B v ph : Phasengeschwindigkeit v B : Geschwindigkeit des Beobachters relativ zur ruhenden Quelle Für die Frequenz, die der bewegte Beobachter wahrnimmt, gilt: v f B = f ( ± v B ph ) f: Frequenz, mit der die ruhende Quelle emittiert f B : Frequenz, die der bewegte Beobachter wahrnimmt + : Beobachter bewegt sich auf die Quelle zu - : Beobachter bewegt sich von der Quelle weg Bewegte Quelle (mediengebundene Wellen) Versuch: Wellenwanne mit strömendem Wasser Die Welle breitet sich im Medium weiterhin mit der Phasengeschwindigkeit v ph aus. v ph v Q Für die Frequenz, die der ruhende Beobachter wahrnimmt, gilt: Physik, FH Bochum, Stand

32 3 f B = f v v Q ph v Q : Geschwindigkeit, mit der sich die Quelle relativ zum Medium bewegt - : Quelle bewegt sich auf den Beobachter zu + : Quelle bewegt sich vom Beobachter weg Diese Frequenzverschiebung tritt z.b. im Straßenverkehr bei vorbeifahrenden Fahrzeugen deutlich in Erscheinung. Nähert sich die Geschwindigkeit der Quelle der Phasengeschwindigkeit der Welle an, kommt es also zu einer Verdichtung der Wellen in Vorwärtsrichtung. Ist die Quellengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit, so liegen in Vorwärtsrichtung alle Wellen übereinander. Die Auslenkungen addieren sich und ergeben eine außerordentlich große Gesamtauslenkung. Dies wird bei Schallwellen als Überschallknall bezeichnet und tritt bei schnellen Flugzeugen in Erscheinung. Bei noch größeren Quellengeschwindigkeiten bildet sich ein Mach-Kegel aus, dessen halber Öffnungswinkel gegeben ist durch: v ph α sin α = = Ma: Machzahl v Ma v Q Q Folie: Schallmauer und Machkegel Applet: Bewegte Quelle und Überschallgeschwindigkeit ( Film: Sonic Boom Cloud Auch bei der elektromagnetischen Strahlung kommt es zu extrem großen Feldstärken, wenn sich die Quelle mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Dies kommt vor, wenn sich strahlende Elementarteilchen in einem Medium bewegen, dessen Lichtgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) unter der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit liegt. Das als Cerenkov- Effekt bezeichnete Phänomen kann z.b. als helles Blitzen bei der Abbremsung schneller Neutronen in Wasser beobachtet werden. Bewegte Quelle und bewegter Beobachter In diesem Fall müssen sowohl die Geschwindigkeit der Quelle, als auch die des Beobachters berücksichtigt werden. Es ergibt sich für den Fall, dass die Geschwindigkeiten unterschiedliche Richtungen haben: f B = f v v ph ph ± v v B Q Haben die Geschwindigkeiten die gleiche Richtung, so gilt: Obere Vorzeichen: Beobachter und Quelle bewegen sich aufeinander zu untere Vorzeichen: Beobachter und Quelle bewegen sich voneinander weg Obere Vorzeichen: Beobachter ist hinter der Quelle untere Vorzeichen: Beobachter ist vor der Quelle Physik, FH Bochum, Stand

33 33 f B = f v v ph ph ± v ± v B Q Doppler-Effekt für elektromagnetische Wellen Da elektromagnetische Wellen für die Ausbreitung kein Medium benötigen, kann hier von einer Bewegung der Quelle relativ zum ruhenden Medium nicht gesprochen werden, ebensowenig von einem bewegten Beobachter. Quelle und Beobachter können sich aber relativ zueinander bewegen. Weiterhin muss die Relativitätstheorie berücksichtigt werden. Es ergibt sich der relativistische Doppler-Effekt: f B = f c c ± v r v r Technisch wird der Doppler-Effekt bei elektromagnetischen Wellen zur Radar- Geschwindigkeitsmessung im Straßenverkehr eingesetzt. Er wird auch zur Geschwindigkeitsmessung von Sternen herangezogen. Sterne bestehen hauptsächlich aus Wasserstoff. Daher gibt es im Spektrum der Sterne charakteristische Absorptionslinien. Bewegt sich ein Stern relativ zur Erde, so sind diese charakteristischen Linien zu anderen Frequenzen hin verschoben. Aus der Verschiebung lässt sich die Relativgeschwindigkeit berechnen. Bewegen sich die Sterne von uns weg, was für weiter entfernte Sterne immer gilt, so spricht man von einer Rotverschiebung. Folie: Rotverschiebung bei Sternen v r : Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter c : Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Obere Vorzeichen: Beobachter und Quelle bewegen sich aufeinander zu untere Vorzeichen: Beobachter und Quelle bewegen sich voneinander weg 3.5 Beugung und Interferenz g g Die Linearität der Wellengleichung = führt dazu, dass die Summe zweier x v t ph Lösungen der Wellengleichung g und g auch Lösung der Wellengleichung ist. Wellen können sich also überlagern. Die Auslenkungen, z.b. elektrische Feldstärken, addieren sich. Applet: 9.5- Superposition Principle of Wave ( Es sei zunächst eine ebene Welle betrachtet, aus der man durch einen Spalt einen Teil ausblendet. Man könnte die Erwartung haben, dass sich die Welle hinter dem Spalt genauso ausbreitet, wie davor, nur dass der ausgeblendete Teil fehlt. Physik, FH Bochum, Stand

34 34 Tatsächlich zeigt sich aber ein ganz anderes Verhalten. Versuch: Ebene Wellen an Wellenwanne mit Spalt Versuch: Laserbeugung am Einzelspalt Hinter dem Spalt zeigt sich eine Kreiswelle, also im dreidimensionalen Fall eine Kugelwelle. Man erhält also durch Ausblenden aus einer ebenen Welle eine Kugelwelle. Nun ist es ganz egal, an welcher Stelle der ebenen Welle die Ausblendung erfolgt. Daher schließt man, dass von jedem Punkt der ebenen Welle eine Kugelwelle ausgeht. Das ist das Huyghens'-Fresnel'sche Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfläche sendet Wellen in den Raum hinaus, sogenannte Elementarwellen. Die Überlagerung dieser Elementarwellen ergibt die tatsächlich beobachtete Welle. Dieses Prinzip ermöglicht das Verständnis von Beugung, Reflexion und Brechung. Folie: Huyghens'sches Prinzip für ebene Wellen und Kugelwellen Hinter einem Hindernis überlagern sich wiederum die Elementarwellen. Auch in den geometrischen Schattenraum hinein werden sich Elementarwellen ausbreiten. Dies nennt man Beugung. Versuch: Wellenwanne, ebene Welle mit Hindernis Ein sehr enger Spalt lässt nur eine Elementarwelle hindurchkommen. Es seien jetzt zwei Spalte dicht nebeneinander angeordnet. Versuch: Wellenwanne mit Doppelspalt Versuch: Laserbeugung am Doppelspalt Film: 3- Microwave Double Slit Interference Physik, FH Bochum, Stand

35 35 Die beiden Elementarwellen überlagern sich offensichtlich so, dass interessante Strukturen entstehen. Zwei Elementarwellen, die jede für sich an jedem Ort Auslenkungen hervorrufen, rufen offensichtlich in der Summe an manchen Orten keine Auslenkung hervor. Das widerspricht zunächst der Erwartung. Nicht für jede Wellenauslenkung besitzt der Mensch ein Sinnesorgan. Viele Wellenerscheinungen, insbesondere die elektromagnetischen, kann er nur über sekundäre Effekte wahrnehmen. Dabei spielt die durch die Welle übertragene Energie pro Fläche und Zeit eine wichtige Rolle. Diese Größe bezeichnet man als Intensität I (Beispiel: Wirkung der elektromagnetischen Wärmestrahlung auf die menschliche Haut). I = lim ΔE = lim Δt ΔA ΔA Δt, ΔA P ΔA Die Intensität einer Welle ist proportional zum Quadrat der Auslenkung. Dies gilt z.b. auch für die Energie eines Federpendels, E = ½ D x. Bei der Überlagerung zweier Kugelwellen ist es nun nicht so, dass sich die Einzelintensitäten, also die Quadrate der Einzelauslenkungen, addieren. Wäre es so, dann gäbe es beispielsweise keine Erklärung für die entstehenden Bereiche mit Gesamtintensität null. Diesen Effekt, dass es bei der Überlagerung von Wellen zu Abweichungen von der Addition der Intensitäten kommt, nennt man Interferenz. Es gilt dann: I g + g ) I( g ) + I( ). ( g Dabei sind I(g + g ) die Intensität der Summe und I(g ) bzw. I(g ) die Einzelintensitäten an einem Ort. Wenn g und g zwei Wellen sind, dann ist die Gesamtintensität proportional zu (g + g ), und dies kann durchaus von der Summe der Einzelintensitäten verschieden sein. Excel-Diagramm: Holographie-Schwingungen Δ E : Energie, die pro Zeitintervall Δ t in dem Flächenelement Δ A, senkrecht zur Phasengeschwindigkeit, auftritt P : Leistung Man nehme an, eine Welle treffe auf eine um 8 phasenverschobene Welle der gleichen Amplitude und Frequenz. In diesem Fall löschen sich die Wellen aus und die Gesamtintensität ist null. g g g + g Auslenkung g Summe zweier Wellen an einem Ort mit Phasendifferenz π. Zeit t Physik, FH Bochum, Stand

36 36 Beträgt die Phasendifferenz hingegen o, so verstärken sich die Wellen. g g g + g Auslenkung g Summe zweier Wellen an einem Ort mit Phasendifferenz. Zeit t Natürlich kann auch eine beliebige Phasendifferenz vorliegen, z.b. 5/6. π. g g g + g Auslenkung g Summe zweier Wellen an einem Ort mit Phasendifferenz 5/6. π. Zeit t Es kommt bei der Überlagerung von Wellen also auf die Phasendifferenz an. Bei Phasendifferenz ergibt sich eine maximale Intensität, bei Phasendiffenz π die Intensität null. Die Phasendifferenz zwischen zwei Wellen wird in der Regel eine Funktion des Ortes und der Zeit sein. Beobachten können wir Interferenzerscheinungen aber nur, wenn die Phasendifferenz zeitlich konstant ist. Dies wird durch den Begriff Kohärenz beschrieben. Man bezeichnet zwei oder mehr Wellen als kohärent, wenn ihre Phasenbeziehungen an jedem Ort zeitlich konstant sind. Dann ergeben sich Interferenzeffekte, also Abweichungen von der Addition der Intensitäten. Bei harmonischen Wellen bedeutet dies insbesondere, dass die Wellen die gleiche Frequenz haben müssen, dies ist aber kein ausreichendes Kriterium. Physik, FH Bochum, Stand

37 37 Sind die sich überlagernden Wellen inkohärent (nicht kohärent), so addieren sich natürlich auch an jedem Ort und zu jeder Zeit die Einzelauslenkungen. Da die Phasendifferenzen aber nicht zeitlich konstant sind, mitteln sich Interferenzeffekte weg und es ergibt sich als Gesamtintensität die Summe der Einzelintensitäten. Zwei normale Glühbirnen stellen inkohärente Quellen dar. Die Überlagerung der von den Birnen ausgelösten Wellen ergibt eine Intensität, die an jedem Ort der Summe der beiden Einzelintensitäten entspricht. Selbst wenn man nur eine Farbe aus dem weißen Licht ausfilterte, ergäbe sich keine Interferenzerscheinung. Anders ist es, wenn man das Licht aus zwei von demselben Laser beleuchteten Spalten betrachtet. Die Wellen sind kohärent und rufen eine beobachtbare, zeitlich konstante Interferenzerscheinung hervor. Zum Verständnis der Interferenzerscheinung beim Doppelspalt seien zwei Folien mit Kreiswellen betrachtet. Applets: 9.5- Double Slit Interference ( Zwei Kreiswellen ( Versuch: Zwei Kreiswellen am Overheadprojektor oder Applet Interferenz ( Man sieht, dass es Bereiche gibt, bei denen die schwarzen Striche übereinander liegen (Phasendifferenz ), und Bereiche, bei denen die schwarzen Striche der einen Welle über den durchsichtigen Strichen der anderen Welle liegen (Phasendifferenz π). In den ersten Bereichen kommt es zur Verstärkung der Wellen, in den zweiten zur Auslöschung. d ϑ Die beiden Elementarwellen überlagern sich. Es wird die Intensität der Überlagerung auf dem Schirm beobachtet. Ist der Abstand zwischen Schirm und Doppelspalt groß gegenüber dem Abstand der beiden Spalte, so sind die Verbindungslinien zwischen einem auf dem Schirm betrachteten Punkt und den Mittelpunkten der Spalte nahezu parallel. Dann kann man schematisch zeichnen: ϑ d ϑ Physik, FH Bochum, Stand

38 38 Δl Am Spalt haben beide Elementarwellen die gleiche Phasenlage. Betrachtet man eine um den Winkel ϑ gegenüber der Normalen auf dem Spalt verkippte Richtung, findet man einen um die Strecke Δl vergrößerten Weg für die untere Welle. Beträgt dieses Δl ein Vielfaches der Wellenlänge λ, so beträgt die Phasendifferenz ein Vielfaches von 36 o, und damit tritt Verstärkung ein. Ist die Weglängendifferenz Δl ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge, so beträgt die Phasendifferenz ein ungerades Vielfaches von 8 o, und es tritt Auslöschung ein. Maximale Intensität ergibt sich also für: Δ l = nλ (n =,,,3,...) Ist der Abstand zwischen Schirm und Doppelspalt groß gegenüber dem Abstand der Spalte, kann man schreiben: Δl sinϑ max =, also Δl = d sin ϑmax = nλ und damit: d sin ϑ = n λ max ( n =,,,3,...) d Auslöschung ergibt sich für ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge, also: Δl = ( n + )λ (n =,,,3,...). Damit wird: Δl = d sinϑ min = ( n + )λ, also: λ sinϑ min = ( n + ) (n =,,,3,...) d Die Richtungen der Maxima und Minima hängen also vom Abstand der Spalte und von der Wellenlänge ab. Man kann einen Doppelspalt also z.b. auch zur Spektralanalyse verwenden. Applet: Two-Slit Interference ( Ordnet man anstatt zweier Spalte drei, vier oder N Spalte jeweils im Abstand d an, so erhält man ein Gitter. N = 4 Die Bedingungen für ϑ max bleiben gleich, aber die Maxima werden schärfer. Je mehr Spalte man verwendet, um so schärfer werden die Interferenzmaxima. Physik, FH Bochum, Stand

39 39 d Folie: Beugung am Gitter Versuch: Laserbeugung am Gitter ( l/mm, 5 l/mm, 57 l/mm) Bei Gittern gibt man meist die Anzahl der Linien pro Millimeter an (z.b. 57 Linien/mm). Der Spaltabstand ist der Kehrwert davon. Verwendet man als Wellen Röntgenstrahlung einer Wellenlänge von - m, so erhält man für einen Winkel von ϑ max = 5 o einen Spaltabstand von ca. -9 m, was ungefähr dem Abstand von Atomen in Festkörpern entspricht. Solche Spalte sind technisch nicht herstellbar. Man kann sich aber die regelmäßige Anordnung der Atome in Kristallen zunutze machen, um Interferenzeffekte mit Röntgenstrahlen sichtbar zu machen. Die darauf basierende Methode der Festkörper-Strukturuntersuchung mittels Röntgenstrahlen ist heute weit verbreitet. Folie: Röntgenbeugung an Kristallen Beleuchtet man einen einzelnen Spalt mit Laserlicht, so findet man in Abhängigkeit der Spaltöffnung auch hier Maxima und Minima. Dies liegt daran, dass innerhalb eines Spaltes nicht nur eine, sondern eine Vielzahl von Elementarwellen ausgelöst werden, deren Interferenz man beobachtet. Deshalb kommt es auch am Einzelspalt zu Beugungs- und Interferenzerscheinungen. Versuch: Laserbeugung am Einzelspalt Eine genaue Betrachtung führt zu der folgenden Abhängigkeit der Amplitude und Intensität vom Winkel ϑ: sin X πs A( X ) = A mit X = sin ϑ X λ I ( X ) = I sin X X A, I: Amplitude, bzw. Intensität unter dem Winkel ϑ A, I : Amplitude, bzw. Intensität unter dem Winkel o im betrachteten Abstand s: Spaltbreite λ: Wellenlänge Folie: Spaltfunktion Bei kreisrunden Blenden, mit denen man es in der Optik meist zu tun hat, wird aus der Spaltfunktion sin X/X die Bessel-Funktion. Bei Beugung und Interferenz an realen Spalten oder Gittern steht für die Überlagerung zwischen Wellen verschiedener Spalte nur jeweils die Amplitude A(X) zur Verfügung, die sich hinter jedem Spalt ergibt. Die Amplitude hinter einem Doppelspalt oder Gitter ergibt sich also als Produkt der Amplitude hinter einem Einzelspalt und der Funktion des Doppelspalts oder Gitters. Physik, FH Bochum, Stand

40 4 Applet: Überlagerung von Einzel- u. Doppelspalt ( Physik, FH Bochum, Stand

41 4 4. Optik Die Optik ist ein Teil der Wellenlehre und befasst sich mit dem für den Menschen sichtbaren Bereich der elektromagnetischen Strahlung und den angrenzenden Bereichen. Der Wellenlängenbereich reicht etwa von 8 nm (Infrarot) bis m (Ultraviolett). Für den Menschen sichtbar ist dabei der Bereich von 7 nm (Rot) bis 38 nm (Blau). 4. Reflexion und Brechung Die Wechselwirkung zwischen Lichtwelle und Medium führt nicht nur zu einer Abnahme der Intensität, sondern auch zu einer Änderung der Phasengeschwindigkeit. Dies ist so zu verstehen, dass von den angeregten Oszillatoren im Medium wiederum Lichtwellen der gleichen Frequenz ausgesandt werden, die sich mit der ursprünglichen Welle überlagern. Das Ergebnis der Überlagerung ist eine sich i.d.r. langsamer als im Vakuum ausbreitende Welle. Die Phasengeschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) hängt also vom Medium ab! Applet:.- Absorption und Emission von Strahlung ( Man charakterisiert ein Medium i durch seine Brechzahl n i : c =. ni ci c : Vakuumlichtgeschwindigkeit c i : Lichtgeschwindigkeit im Medium i In der Regel wird die Brechzahl eines Mediums also größer als sein. Es sei jetzt eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brechzahlen n und n betrachtet, wobei gelten soll: c > c, bzw. n < n. Eine ebene Welle falle unter dem Winkel α zum Lot aus dem Medium auf die Grenzfläche. B A' α α α' α' A β B' A'' β c, n c, n Physik, FH Bochum, Stand

42 4 Applet:.- Wellenausbreitung in zwei Medien: Film: 9- Refraction of Water Waves Die Wellenfläche AB löst beim Fortschreiten auf der Grenzfläche Elementarwellen aus, die sich im Medium mit c und im Medium mit c ausbreiten. Die Elementarwellen überlagern sich wieder zu ebenen Wellenflächen. Die Zeit, die die Welle von B nach B' braucht, sei τ. Es gilt nun: BB ' = c τ, AA ' = c τ und AA '' = c τ. Außerdem gilt: BB' AA' = sinα, = sinα ' AB' AB' Nun kann man schreiben: und AA' ' = sin β. AB' BB ' = cτ = sinα AB' = AA' = AB' sinα'. Daraus folgt: α = α' sinα = sinα', bzw.: Reflexionsgesetz (Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel) Aus: BB ' = cτ = AB' sinα und AA '' = cτ = AB' sin β folgt durch Division: c c = sinα, bzw. unter Berücksichtigung der Brechzahlen sin β c n = : c n sinα n = sin β n. Snellius'sches Brechungsgesetz Da man in der Praxis leicht mit den α, β, n und n durcheinander kommt, empfiehlt es sich, den Satz in folgender Weise zu merken: Die Sinus der Winkel zum Lot verhalten sich umgekehrt wie die entsprechenden Brechzahlen. Das Medium mit der kleineren Lichtgeschwindigkeit, also der größeren Brechzahl, wird optisch dichteres Medium genannt, das Medium mit der größeren Lichtgeschwindigkeit, also der kleineren Brechzahl, optisch dünneres Medium. Versuch: Reflexion und Brechung am Plexiglasquader. Physik, FH Bochum, Stand

43 43 Beim Übergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Medium, z.b. von Luft zu Glas, ergibt sich: n sin β = sinα <. n Somit findet man zu jedem Einfallswinkel α einen Winkel β des gebrochenen Strahls. Allerdings nimmt bei größer werdendem Einfallswinkel die Intensität des gebrochenen Strahls ab und die Intensität des reflektierten Strahls zu. Beim Übergang vom optisch dichteren zum optisch dünneren Medium, z.b. von Wasser zu Luft, gilt: sin n β = sinα mit > n n n. Damit existiert nicht für jeden Einfallswinkel ein Winkel des gebrochenen Strahls. Für Einfallswinkel größer als ein Grenzwinkel α Grenz wird das Licht vollständig reflektiert. Dies bezeichnet man als Totalreflexion. Der Grenzwinkel der Totalreflexion ergibt sich aus: n sinα =. Daraus folgt: n sin Grenz n α Grenz =. n Versuch: Totalreflexion am Plexiglasdreieck und Glasstab Applet:.-3 Reflection/Refraction (mit Totalreflexion): ( Film: - Critical Angle/Total Internal Reflection Die Totalreflexion wird bei den Lichtleitfasern ausgenutzt, die bei Durchmessern von bis 5 µm flexibel sind (vielfache Totalreflexion). Folie: Totalreflexion Geordnete Bündel von Lichtleitfasern (Faserbündel) leiten ein auf die Stirnfläche projiziertes Bild zur anderen Stirnfläche weiter. Das ist die Grundlage der Glasfaseroptik, die z.b. in der Endoskopie Anwendung findet. Film: -3 Light Pipes -4 Optical Path in Fibers Bei großer Hitze bildet sich über Straßen eine Luftschicht erhöhter Temperatur, verringerter Dichte und damit kleineren Brechungsindex im Vergleich zur übrigen Luft. Somit kann es an Physik, FH Bochum, Stand

44 44 dieser Grenzschicht zu Totalreflexion kommen. Das macht sich als silbrig reflektierender Streifen bemerkbar, der manchmal wie eine Wasserschicht auf der Straße aussieht. Bei bestimmten Wetterlagen kommt es zur Bildung einer wärmeren Luftschicht in größeren Höhen. Auch hier kann es zu Totalreflexion kommen. Die bekannteste Erscheinung dazu ist die Fata Morgana in der Wüste. 4. Geometrische Optik Bei der geometrischen Optik handelt es sich um ein Näherungsverfahren zur Berechnung optischer Abbildung mit folgenden Annahmen: Es wird das Strahlenkonzept verwendet, d.h., Licht breitet sich geradlinig aus. Strahlen überlagern sich ohne Wechselwirkung. Es wird Reflexion und Brechung berücksichtigt. Beugung und Interferenz werden vernachlässigt. Für die Abbildung eines Objekts müssen zwei Bedingungen gegeben sein:. Alle Strahlen, die von einem Objekt ausgehen (und vom abbildenden System erfasst werden), werden wieder in einem Bildpunkt vereinigt.. Bild und Objekt sind sich geometrisch ähnlich. Zur Veranschaulichung sei die Abbildung eines punktförmigen Objekts betrachtet: δ δ α r r β α β Gegenstand Bild Optische Achse g (Gegenstandsweite) abbildendes System b (Bildweite) Das abbildende System ist durch eine Ebene angenähert. Daher gelten die im Folgenden gemachten Ableitungen für dünne Linsen. Ein Strahl wird vom abbildenden System um einen Winkel δ abgelenkt. Für diesen Winkel gilt: δ = α + β. Für die Winkel α und β lässt sich schreiben: r tan α = und g r tan β =. b Wir betrachten jetzt nur Strahlen, die unter kleinen Winkeln zur optischen Achse verlaufen (Näherung für kleine Winkel). Dies vereinfacht die Berechnung sehr und ist für viele Physik, FH Bochum, Stand

45 45 Anwendungen zulässig. Für kleine Winkel ist aber der Tangens eines Winkels ungefähr gleich dem Winkel selber (im Bogenmaß!): tan α α bzw. tan β β Damit ergibt sich für den Ablenkwinkel δ: δ = α + β r ( + ). g b Die vom Objekt ausgehenden Strahlen werden also genau dann alle wieder in einem Punkt vereinigt, wenn der Ablenkwinkel δ proportional zum Abstand r von der optischen Achse ist. Anders gesprochen: Ein System, bei dem der Ablenkwinkel δ proportional zum Abstand r von der optischen Achse ist, liefert eine Abbildung! Diese Systeme können sein: Sphärische Linsen Parabolische Spiegel Holographische Gitter Homogene magnetische Felder (für Teilchenstrahlen) Spezielle elektrische Felder (für Teilchenstrahlen) Für eine bikonvexe sphärische Linse (Flächen sind Ausschnitte aus Kugelflächen) gilt: r δ = ( n ) R r: Abstand von der optischen Achse R: Krümmungsradius der Linse n: Brechungsindex des Linsenmaterials R Damit wird: r δ = r( + ) = ( n ) und daraus folgt: + = ( n ). g b R g b R Man führt nun die Brennweite f als die Bildweite für ein unendlich weit entferntes Objekt ein. Wenn g sehr groß ist, wird der Kehrwert /g ungefähr gleich null. Dann gilt für die Bildweite: b = ( n ) = R. f Damit lässt sich der Zusammenhang so schreiben: Physik, FH Bochum, Stand

46 46 g + = Das ist die Linsenformel (für dünne Linsen). b f Die Linsenformel stellt also den Zusammenhang zwischen Gegenstands- und Bildweite, bzw. der Brennweite her. Sie gilt auch dann, wenn der abgebildete Objektpunkt nicht auf der optischen Achse liegt. Die Eigenschaften des abbildenden Systems stecken in der Brennweite. Der Kehrwert der Brennweite wird Brechkraft genannt: D =. Die Einheit ist die Dioptrie. ( dpt = /m) f Geometrische Konstruktion der optischen Abbildung Zur Konstruktion muss der Brennpunkt eingeführt werden. Dies ist ein Punkt auf der optischen Achse im Abstand der Brennweite vom abbildenden System. Zu jedem solchen System gehören also zwei Brennpunkte, ein objektseitiger und ein bildseitiger. Man kann nun einige Strahlen besonders leicht konstruieren: Die Strahlen, die durch den Mittelpunkt des abbildenden Systems auf der optischen Achse gehen, werden nicht abgelenkt (r = ). Die Strahlen, die parallel zur optischen Achse verlaufen, kann man sich denken als von einem unendlich weit entfernten Objekt herkommend. Daher werden sie so abgelenkt, dass sie durch den bildseitigen Brennpunkt gehen. Versuch: Abbildung mit Sammellinsen Applet:.- Abbildung mit dünner Linse ( g b G f f B Man erhält also ein auf dem Kopf stehendes, in diesem Fall leicht vergrößertes Bild. Die Bildweite erhält man aus der Linsenformel: g + =, also: b f = b f g = g f f g, daraus folgt: b = f g g f Physik, FH Bochum, Stand

47 47 Die Vergrößerung, d.h. das Verhältnis aus Bildgröße zu Gegenstandsgröße, erhält man aus dem Strahlensatz: B b f V = = = =. G g g f g f Film: -7 Lens Magnification Vergrößerung über Gegenstandsweite Vergrößerung f Gegenstandsweite Man sieht, dass die Vergrößerung für Gegenstandsweiten kleiner als die Brennweite negativ wird. Um das zu deuten, sei für diesen Fall die Abbildung betrachtet: B G f f Die Strahlen scheinen von einem aufrecht stehenden Bild auf der Objektseite des abbildenden Systems herzukommen. Dies bezeichnet man als virtuelles Bild, im Gegensatz zum reellen Bild das durch einen Schirm aufgefangen werden kann. Versuch: Erzeugung eines virtuellen Bildes mit einer Sammellinse Beispiele für reelle Bilder sind die projizierten Overhead-Folien, oder das Bild auf dem Film des Fotoapparates. Beispiele für virtuelle Bilder sind die Bilder hinter einer Lupe oder hinter dem Okular eines Mikroskops oder Fernrohrs. Rechnerisch ergibt sich aus der Linsenformel bei virtuellen Bildern eine negative Bildweite. Die Vergrößerung wird ebenfalls negativ. Wie man dem Diagramm der Vergrößerung über der Gegenstandsweite, bzw. der entsprechenden Gleichung, entnimmt, ergibt sich ein virtuelles Bild bei Gegenstandsweiten kleiner als die Brennweite. Für Gegenstandsweiten größer als die Brennweite und kleiner als die doppelte Brennweite ergibt sich eine Physik, FH Bochum, Stand

48 48 Vergrößerung größer als. Bei noch größeren Gegenstandsweiten ist die Vergrößerung kleiner als. Die bisher behandelte Typ der Bikonvexlinse ist ein Vertreter der Konvexlinsen. (Auch die Plankonvexlinsen sind Konvexlinsen, nur dass eine Fläche plan ist.) Alle Konvexlinsen haben die Eigenschaften, dass sie Strahlen in einem Punkt bündeln können. Man bezeichnet sie daher auch als Sammellinsen. Daneben gibt es die Konkavlinsen oder Zerstreuungslinsen. Diese Konkavlinsen sind nicht in der Lage, Strahlen in einem Punkt zusammenzuführen. Daher sind mit ihnen keine reellen Bilder möglich. Mit Zerstreuungslinsen können nur virtuelle Bilder erzeugt werden. Versuch: Zerstreuungslinse im Strahlengang In der Praxis verwendet man für die optische Abbildung meist nicht einzelne Linsen, sondern Kombinationen aus mehreren Linsen, sog. Objektive. Dabei werden mehrere Linsen (Sammellinsen und Zerstreuungslinsen) so zusammengesetzt, dass Abbildungsfehler weitestgehend kompensiert werden. Die wichtigsten Abbildungsfehler sind: Sphärische Aberration (Öffnungsfehler): Abweichung von der idealen Abbildung für achsferne Strahlen. Die Herleitung der Linsenformel erfolgte ja nur für achsnahe Strahlen (α und β klein). Chromatische Aberration (Farbfehler): Aufgrund der Dispersion hängt der Brechungsindex n, und damit die Brennweite, von der Frequenz des Lichts ab. Es kommt zu Farbsäumen. Astigmatismus schiefer Bündel: Für achsferne Strahlen liegt der Brennpunkt nicht in der Ebene senkrecht zur optischen Achse durch den Brennpunkt achsnaher Strahlen, sondern auf einer gewölbten Fläche. Die Ränder eines Bildes werden also unscharf und verzerrt. Ein weiterer Abbildungsfehler, der sich aber nicht kompensieren lässt, ist der Beugungsfehler: Aufgrund von Beugungs- und Interferenzerscheinungen an den Begrenzungen der Abbildungsoptik ist die Auflösung begrenzt. Oft verwendet man in der Praxis auch mehrstufige optische Systeme, um z.b. möglichst große Vergrößerungen, oder möglichst helle Bilder zu erzielen. Folie: Projektor Folie: Mikroskop Physik, FH Bochum, Stand

49 Dispersion Die geringere Lichtgeschwindigkeit in Materie im Vergleich zur Ausbreitung im Vakuum ergibt sich aus der Überlagerung der ursprünglichen Welle mit Sekundärwellen angeregter Oszillatoren. Die Anregung der atomaren Oszillatoren hängt aber von der Frequenz der Welle ab (Resonanz). Daher hängt auch die Phasengeschwindigkeit des Lichts, also die Lichtgeschwindigkeit, von der Frequenz ab. Dies bezeichnet man als Dispersion. Man muss also eigentlich für ein Medium die Lichtgeschwindigkeit, bzw. die Brechzahl, in Abhängigkeit der Frequenz angeben: c i (f), bzw. n i (f). Folie: Brechzahl und Absorptionsverlauf Für Licht ist n ε ε r : relative Dielektrizitätszahl r ε r ist aber ein Maß für die Polarisierbarkeit des Mediums, d.h. das Vermögen, elektrische Dipole zu induzieren. Dies ist frequenzabhängig. Für Luft unter Normalbedingungen ist n und die Frequenzabhängigkeit ist zu vernachlässigen. Die Dispersion hat folgende Konsequenzen: Licht unterschiedlicher Frequenz wird unterschiedlich gebrochen (n(f)). Versuch: Lichtbrechung und Dispersion am Prisma Applets:.3- Dispersion im Prisma ( Regenbogen ( Der Grenzwinkel der Totalreflexion hängt von der Frequenz ab. Bei einem Gemisch aus Wellen verschiedener Frequenzen geht die feste Phasenbeziehung zwischen den Wellen verloren, da sie sich unterschiedlich schnell ausbreiten. Dies führt z.b. zu einer Verbreiterung von Lichtpulsen und damit zu einer Begrenzung der Datenrate in der optischen Nachrichtentechnik Für sehr hohe Frequenzen (Röntgenlicht) wird n < (c > c ), damit ist Totalreflexion beim Übergang von Luft zu einem Medium möglich. Kein Effekt der Dispersion, sondern der Streuung sind das Himmelsblau und die Rotfärbung der Sonne bei Sonnenauf- und untergang. Blaues Licht wird an kleinen Partikeln stärker gestreut als rotes. Film: 4-8 Artificial Sunset 4.4 Polarisation Licht ist als elektromagnetische Welle eine Transversalwelle. Die elektrischen und magnetischen Feldstärken stehen also senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und senkrecht aufeinander. Betrachtet man beispielsweise die elektrische Feldstärke, so kann diese aber noch ganz verschiedene Orientierungen zur Ausbreitungsrichtung einnehmen. Physik, FH Bochum, Stand

50 5 Elektrische Feldstärke senkrecht zur Ausbreitungsrichtung Ausbreitungsrichtung Ist die elektrische Feldstärke (oder auch die magnetische) in bestimmter Weise zur Ausbreitungsrichtung ausgerichtet, so bezeichnet man die Welle als polarisiert. Linear polarisiertes Licht: Die elektrische Feldstärke hat genau eine Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Applet:.4- Polarisationsrichtungen ( Glühlampen oder Gasentladungslampen liefern in der Regel unpolarisiertes Licht, also Licht, bei dem die elektrische Feldstärke eine beliebige, laufend sich ändernde Orientierung zur Ausbreitungsrichtung hat. Man kann nun durch geeignete Filter, sogenannte Polarisationsfilter, aus unpolarisiertem Licht polarisiertes machen, indem man nur eine Richtung der Feldstärke durchlässt, und Anteile senkrecht dazu herausfiltert: Durchlassrichtung Vektor der elektrischen Feldstärke Anteil der elektrischen Feldstärke in Durchlassrichtung Unter idealen Bedingungen, also ohne Absorption, macht ein Polarisationsfilter aus einer Intensität I an unpolarisiertem Licht die Intensität I / an linear polarisiertem Licht. Folie und Versuch: Polarisation von Mikrowellen Applet:.4- Zwei Polarisationsfilter ( Versuch: Polarisationsfilter auf Overhead-Projektor In einer Anordnung aus zwei hintereinander angeordneten Polarisationsfiltern nennt man den ersten Filter Polarisator, den zweiten Analysator. Trifft linear polarisiertes Licht auf ein Polarisationsfilter, so hängt die Intensität des durchgelassenen Lichts von der Orientierung der Durchlassrichtung des Filters zur Polarisationsrichtung des Lichts ab. Ist die Durchlassrichtung parallel zur Polarisationsrichtung, bleibt die Intensität unverändert: Physik, FH Bochum, Stand

51 5 Durchlassrichtung Vektor der elektrischen Feldstärke Anteil der elektrischen Feldstärke in Durchlassrichtung I = I mit I: Intensität des Lichts hinter dem Polarisationsfilter I : Intensität des Lichts vor dem Polarisationsfilter Ist die Durchlassrichtung senkrecht zur Polarisationsrichtung, so ist die durchgelassene Intensität null: Durchlassrichtung Vektor der elektrischen Feldstärke I = Im allgemeinen Fall bilden Polarisationsrichtung und Durchlassrichtung einen Winkel θ: θ Durchlassrichtung Vektor der elektrischen Feldstärke Dann gilt für die Amplitude des durchgelassenen Lichts: Anteil der elektrischen Feldstärke in Durchlassrichtung A = A cos( θ ), A: Amplitude der elektrischen Feldstärke hinter dem Polarisationsfilter A : Amplitude der elektrischen Feldstärke vor dem Polarisationsfilter und für die Intensität: I = I cos θ. Versuch: Zwei Polarisationsfilter auf dem Overhead-Projektor Die Polarisation kann zum Nachweis physikalischer Effekte dienen, die die Polarisationsrichtung des Lichts drehen, z.b. der Kerr-Effekt und der Faraday-Effekt. Man kann auch über Drehung der Polarisationsrichtung eine schnelle Modulation der Physik, FH Bochum, Stand

52 5 Lichtintensität erreichen. Dies ist z.b. der Fall beim LCD-Display, das in den meisten Flachbildschirmen zur Anwendung kommt. Applet:.4-3 LCD-Bildschirm ( Außer durch Absorption kann eine Polarisation auch durch Reflexion an einer nicht metallischen Oberfläche erfolgen. Man erhält vollständige Polarisation unter dem Brewster- Winkel α Br mit: tan n α Br =. n unpolarisiert α Br polarisiert n n > n Die Reflexion erfolgt an dem Medium mit dem größeren Brechungsindex n, n ist der Brechungsindex des Mediums, in dem sich das Licht ursprünglich ausbreitet. Auf der Polarisation durch Reflexion beruht z.b. die Ausblendung störender Reflexe durch Polarisationsfilter in der Fotografie. Film: 4-5 Polarization by Reflection Applet:.4-4 Polarisation durch Reflexion ( 4.5 Holographie Der Holographie liegt der Wunsch zugrunde, ein Objekt so aufzunehmen, dass man das rekonstruierte Bild genauso betrachten kann wie das ursprüngliche Objekt, also dreidimensional, aus verschiedenen Perspektiven und in verschiedenen Schärfeebenen. Die konventionelle fotografische Aufzeichnung leistet das offensichtlich nicht, denn das Bild ist lediglich zweidimensional. Auch die übrigen existierenden Verfahren zur dreidimensionalen Bildwiedergabe, etwa mit Rot-/Grünbrille, Polarisationsbrille, Prismen oder Bildschirm und Shutter, leisten das nicht, denn das Bild ist nur aus der Perspektive zu betrachten, aus der heraus es mit zwei Kameras aufgezeichnet wurde, und ein Scharfstellen auf unterschiedliche Schärfeebenen ist nicht möglich. Film:.3 Holograms Es sei nun ein mit einfarbigem Licht beleuchteter Gegenstand betrachtet. Von jedem reflektierenden Punkt der Oberfläche des Gegenstands gehen Wellen aus, die sich zu spezifisch geformten Phasenflächen überlagern. Dieses Wellenfeld wird als Gegenstandsoder Objektwelle bezeichnet. Die Objektwelle enthält die vollständige Information über die sichtbare Oberfläche des beleuchteten Gegenstands. Physik, FH Bochum, Stand

53 53 Referenzwelle Beobachter Objekt Objektwelle y x Glasplatte / Fotoplatte Stellt man nun zwischen Objekt und Beobachter eine Glasplatte, so ändert sich nichts an den Betrachtungsmöglichkeiten für den Beobachter. Es sei nun angenommen, dass die Objektwelle eindeutig durch ihre Eigenschaften in der Ebene der Glasplatte bestimmt sei. Wäre das nicht so, so müssten zwei verschiedene Objektwellen zu der gleichen Feldstärkeverteilung in dieser Ebene führen. Da Wellen aber kein "Gedächtnis" haben, könnte ein Beobachter auf der rechten Seite nicht mehr zwischen den beiden Objektwellen unterscheiden. Damit können sich die Objektwellen aber auch nicht links von der Glasplatte unterschieden haben, da die Ausbreitung von Wellen umkehrbar ist. In der Ebene der Glasplatte lässt sich die Objektwelle beschreiben als harmonische Schwingung der elektrischen Feldstärke, deren Amplitude und Phase vom Ort (x,y) auf der Glasplatte abhängen. A(x,y): ortsabhängige Amplitude E Objekt ( x, y, t) = A( x, y) cos( ω t + ϕ( x, y)). ϕ(x,y): ortsabhängige Phase ω: Kreisfrequenz des Beleuchtungslicht Wenn es also gelingt, in der Ebene der Glasplatte Amplitude und Phase in Abhängigkeit vom Ort zu erfassen, so hat man die vollständige Information über die Objektwelle gespeichert und kann sie möglicherweise zu einem späteren Zeitpunkt wieder rekonstruieren. Es ist kein technisches Mittel bekannt, um unmittelbar mit hoher Ortsauflösung Amplituden und Phasen von Licht zu messen. Fotografische Methoden scheitern, weil die Belichtungszeiten im Vergleich zur Periodendauer der Lichtschwingung (etwa -4 s) sehr lang sind. Auf einer Fotoplatte wird die über die Belichtungszeit gemittelte Intensität registriert. Diese ist proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude der elektrischen Feldstärke. Die Information über die Phase ist verloren. Physik, FH Bochum, Stand

54 54 Es gibt aber einen Effekt, der bei Wellen eine phasenabhängige Intensität liefert: die Interferenz. Dazu ist kohärentes Licht notwendig. Man bestrahlt also den Gegenstand mit kohärentem Licht und überlagert der Objektwelle eine ebene, kohärente Referenzwelle. Die Referenzwelle führt in der Ebene der Glasplatte zu einer elektrischen Feldstärke der Form: Re ( x y, t) E cos( t) E ferenz = ω. ω: Kreisfrequenz des Beleuchtungslicht, Die Feldstärken von Objekt- und Referenzwelle addieren sich nun. Es ergibt sich eine Gesamtfeldstärke von: ( x y) cos( ωt + ϕ( x, y) ) E cos( ωt) EO bjekt Re ferenz = A + +,. Stellt man an die Stelle der Glasplatte eine Fotoplatte, so ist deren Schwärzung proportional zum zeitlichen Mittel der Intensität, also zu dem Signal: I ( A( x, y) cos( ω t + ϕ( x, y) ) + E cos( ωt) ) Objekt + Re ferenz. Als Beispiel seien zwei Orte auf der Phasenplatte betrachtet, bei denen sich die Objektwellen nur durch die Phase unterscheiden. An beiden Orten würde sich ohne Referenzwelle die gleiche Schwärzung der Fotoplatte ergeben, weil die zeitlich gemittelten Intensitäten gleich sind. Durch die Addition der Referenzwelle ändert sich das. Überlagerung Objekt- und Referenzwelle Überlagerung Objekt- und Referenzwelle Feldstärke/Intensität Objektwelle Referenzwelle Summe Intensität Feldstärke/Intensität Objektwelle Referenzwelle Summe Intensität Zeit gemittelte Intens. Zeit gemittelte Intens. Phase der Objektwelle ϕ = Phase der Objektwelle ϕ = π/ Überlagerung Objekt- und Referenzwelle Feldstärke/Intensität Zeit Objektwelle Referenzwelle Summe Intensität gemittelte Intens. Phase der Objektwelle ϕ = π Physik, FH Bochum, Stand

55 55 Excel-Diagramm: Holographie-Schwingungen Durch die Überlagerung von Objekt- und Referenzwelle hängt die zeitlich gemittelte Intensität in der Ebene der Fotoplatte nicht nur von den Amplituden von Objekt- und Referenzwelle ab, sondern auch von der Phase der Objektwelle (natürlich auch von der Phase der Referenzwelle, aber die wird konstant gehalten). Nach einigen Umrechnungen ergibt sich für die gemittelte Intensität in der Ebene der Fotoplatte: I ( E + A( x, y) ) + E A( x, y) cos( ϕ( x, y)) Objekt + Re ferenz. Die gemittelte Intensität hängt also tatsächlich von den Amplituden von Objekt- und Referenzwelle ab, aber auch von der Phase der Objektwelle. Um die Information über die Objektwelle möglichst genau zu speichern, muss die Fotoplatte eine möglichst hohe Auflösung haben, also möglichst feinkörnig sein. Dadurch ergeben sich oft erheblich lange Belichtungszeiten in der Größenordnung von einer Minute. Nach der Belichtung wird die Fotoplatte entwickelt. Sie enthält nun ein Muster von undurchlässigen und durchlässigen Bereichen. Vom ursprünglichen Gegenstand ist darauf nichts zu erkennen. Diese entwickelte Fotoplatte durchstrahlt man nun mit exakt der gleichen Referenzwelle, mit der die Aufnahme erfolgt ist. Es müssen also nicht nur die Frequenz, sondern auch die Richtung der Referenzwelle mit der der Aufnahme übereinstimmen. Dort, wo die Fotoplatte geschwärzt wurde, wird kein Licht durchgelassen, an den nicht geschwärzten Bereichen kann das Licht durch die Fotoplatte hindurch gehen. Durch Beugung und Interferenz bildet sich hinter der Fotoplatte, auf der Beobachterseite, ein Wellenfeld. Für die elektrische Feldstärke in der Ebene der Fotoplatte ergibt sich: E Rekonstrukti on = K E (, y) cos( ωt + ϕ( x, y)) + K A( x, y) cos( ωt ϕ( x, y)) cos( ω t) + K A x + Referenzwelle ähnlich Objektwelle Objektwelle K und K sind Konstanten. Der erste Term entspricht dem Referenzstrahl. Man sieht also auf der Beobachterseite die Lichtquelle des Referenzstrahls, eine unendlich weit entfernte Punktlichtquelle. Der zweite Term sieht ähnlich wie die Objektwelle aus, unterscheidet sich aber durch ein Vorzeichen im Kosinus. Er gehört zu einem reellen Bild, das sich auf der Beobachterseite ergibt. Der dritte Term beschreibt bis auf eine Konstante die Objektwelle. Es ergibt sich also auf der Beobachterseite die gleiche Objektwelle wie bei der Aufnahme. Man sieht den Gegenstand an derselben Stelle, an der er bei der Aufnahme gestanden hatte. Es handelt sich um ein virtuelles Bild. Im Unterschied zu allen anderen abbildenden Verfahren kann man sich dieses Bild aus unterschiedlichen Perspektiven und in unterschiedlichen Schärfeebenen anschauen. Physik, FH Bochum, Stand

56 56 Referenzwelle Beobachter y x Rekonstruierte Objektwelle Räumliches virtuelles Bild Belichtete und entwickelte Fotoplatte Folie: Holographie Als Lichtquelle verwendet man für die Aufnahme von Hologrammen zweckmäßigerweise einen Laser, da man kohärentes Licht benötigt (Interferenz). Der Laserstrahl wird bei der Aufnahme geteilt in einen Strahl, mit dem der Gegenstand beleuchtet wird, und einen Strahl, mit dem die Referenzwelle erzeugt wird. Die Holographie kommt prinzipiell ohne Linsen aus. Sie werden lediglich im praktischen Aufbau für die Strahlaufweitung eingesetzt. Bei der Sichtbarmachung des Bildes (Rekonstruktion) wird der Referenzstrahl am Hologramm gebeugt. Kohärentes Licht ist nicht erforderlich, aber Frequenz und Richtung müssen mit dem Referenzstrahl der Aufnahme übereinstimmen. Eine Sonderform der Hologramme sind die Weißlichthologramme, die zu Dekorations- und Kontrollzwecken eingesetzt werden. Dabei verwendet man dicke Fotoschichten, also dreidimensionale Fotoplatten. Bei der Aufnahme kommt der Referenzstrahl von der Beobachterseite. In der Fotoschicht bildet sich ein räumliches Interferenzmuster aus. Nach der Entwicklung können diese Weißlichthologramme mit weißem Licht bestrahlt werden. Durch die räumliche Struktur der entwickelten Fotoplatte wird das für die Rekonstruktion notwendige monochromatische (einfarbige) Licht herausgefiltert. Man muss allerdings eine punktförmige Quelle einsetzen, um einen ebenen Referenzstrahl zu erhalten, und der Winkel muss dem der Aufnahme entsprechen. Führt man die Aufnahme des Weißlichthologramms Physik, FH Bochum, Stand