Technische Mechanik III Übung WS 2004 / Klausur Teil 2. Linz, 21. Jänner Name: Vorname: Matrikelnummer: Studienkennzahl: Unterschrift:

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1 Technische Mechanik III Übung WS 004 / 005 Klausur Teil Institut für Robotik o. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Hartmut Bremer Tel.: +43/73/ Fax: +43/73/ bremer@mechatronik.uni-linz.ac.at Sekretariat: Mag. Martina Mayr / DW 9788 mayr@mechatronik.uni-linz.ac.at Linz,. Jänner 005 Name: Vorname: Matrikelnummer: Studienkennzahl: Unterschrift: Punkte: / 00 Note: Schreiben Sie Ihre Antworten und Berechnungen nur in die vorgesehenen Kästchen! Falls der Platz nicht ausreichen sollte: Kreuzen Sie an und führen Sie Ihre Rechnung unter Angabe der genauen Aufgabennummer (z.b...) auf der Rückseite der vorherigen Seite weiter. Antworten und Berechnungen, die nicht genau zugeordnet sind, werden für die Beurteilung nicht berücksichtigt!

2 Technische Mechanik III Übung WS 004 / 005. Verkehrsschild (50 Punkte) Gegeben sei ein Verkehrsschild, das aus zwei starren, masselosen Schildern, elastischen Balken und einem kleinen starren Querbalken besteht. Die Verbindung zwischen dem kleinen (nicht beweglichen) Querbalken und dem elastischen Balken sei locker verschraubt, so dass dies als ein Gelenk angesehen werden kann. Für die beiden elastischen Balken soll jeweils ein Ritzansatz verwendet werden. Zusätzlich soll noch eine Kraft auf die jeweiligen Schilder zu berücksichtigen werden (z.b. auf Grund von Wind), die man durch eine resultierende Kraft mit einem Angriffsspunkt in der Mitte annehmen kann. Gewichtskräfte / -potentiale sind zu vernachlässigen. Die Abmessungen und sonstigen Daten seien aus folgenden Bild zu entnehmen. Minimalkoordinaten: qt = (, q ) Trägheitsparameter um die y-achse: I Dichte & Querschnittsfläche: ρ, A Länge unterer Balken: 3L Länge unteres Schild: a Länge oberer Balken: L Länge oberes Schild: a Klausur Teil vom 6. November 004 Seite /

3 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Geom. Randbedingungen unterer Balken 3 Punkte Geben Sie die geometrischen Randbedingungen für den unteren Balken an:.. Ritzansatz unterer Balken 3 Punkte Welche sind geeignete Ritzansätze mit w ( x, t) = w( x) q( t) (bitte ankreuzen): Ritzansatz geeignet nicht geeignet x( x L) w = L x ( x L) w = 3 8 L x( L x ) w = 3 0 L.3. Wahl Ritz-Ansatz 3 Punkte Wählen Sie den einfachst möglichen Ansatz aus und berechnen Sie zusätzlich die ersten beiden Ableitungen nach der Ortskoord. x und nach der Zeit w ( x, t), w ''( x, t), w& ( x, ) an: ' t Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 3 / 3

4 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Kinetische Energie des unteren Balken 6 Punkte Berechnen Sie die Kinetische Energie T des unteren Balkens mit ρa=konst..5. Potentielle Energie des unteren Balkens 6 Punkte Berechnen Sie die Potentielle Energie V des unteren Balkens mit EI=konst. Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 4 / 4

5 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Geom. Randbedingungen oberer Balken 3 Punkte Geben Sie die geometrischen Randbedingungen für den oberen Balken, im körpereigenen Koordinatensystem ( x, z) an: Beachten Sie, dass die Verbindung zwischen unterem starren Schild und oberen elastischen Balken starr sein soll!!.7. Ritzansatz oberer Balken 3 Punkte Welche sind geeignete Ritzansätze mit w ( x, t) = w( x) q( t) (bitte ankreuzen): Ritzansatz geeignet nicht geeignet x w = L 3 x w 3 8 L w sin( x) = =.8. Wahl Ritz-Ansatz oberer Balken 3 Punkte Wählen Sie den einfachst möglichen Ansatz aus und berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen nach der Ortskoord. x und nach der Zeit w ( x, t), w ''( x, t), w& ( x, ) an: ' t Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 5 / 5

6 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Kinetische Energie des oberen Balken 6 Punkte Berechnen Sie die Kinetische Energie T des oberen Balkens mit ρa=konst. Beachten Sie bitte dabei, dass ein Einfluss von q& ( t ) vorhanden ist: stellen Sie zuerst den Ortsvektor im Inertialkoordinatensystem auf und setzen Sie die Zeitableitung in T = r& T r& dm mit dm = ρadx ein. Beachten Sie beim Aufstellen des Ortsvektors, dass es auf Grund der Linearisierung zu keinen vertikalen Verschiebungen im System kommen kann..0. Potentielle Energie des oberen Balkens 6 Punkte Berechnen Sie die Potentielle Energie V des oberen Balkens mit EI=konst. Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 6 / 6

7 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Generalisierte Kräfte 8 Punkte Berechnen Sie die generalisierte Kraft Q zufolge der Kraft F, die jeweils auf ein Schild wirkt: Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 7 / 7

8 Technische Mechanik III Übung WS 004 / 005. Stabilität und Steuerbarkeit (0 Punkte) Gegeben sind folgende Bewegungsgleichungen der Form M q& + Pq& + Qq = Bu mit 0 u q B =, u =, und 0 q = u q a) M =, P =,, Q = b) M =, P =, und Q = c) M =, P =,. 0 Q = 5.. Stabilitätssätze für mechanische Systeme - Gültigkeit 5 Punkte Bei welcher der obigen Bewegungsgleichungen sind die in der Vorlesung behandelten Stabilitätssätze der Mechanik nicht anwendbar? Begründen Sie Ihre Antwort!.. Stabilitätssätze für mechanische Systeme - Instabilität 5 Punkte Bei welcher der obigen Bewegungsgleichungen können Sie ohne Rechnung sofort Instabilität feststellen? Begründen Sie Ihre Antwort! Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 8 / 8

9 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Stabilitätssätze für mechanische Systeme - Analyse 0 Punkte Führen Sie die Stabilitätsuntersuchung des verbleibenden Systems mit Hilfe des passenden Stabilitätssatzes der Mechanik durch. Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 9 / 9

10 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Pendel Linearisieren in der Kinematik (30 Punkte) Gegeben ist folgendes mechanische System (Einzelpendel) bestehend aus Körpern. Das Pendel bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in positive y Richtung. Am unteren Ende ist über eine Feder ein Torus (Rundkörper) mit dem Freiheitsgrad angebracht (reibungsfrei). Die entspannte Federlänge sei q. Das Motormoment M wirkt direkt auf das Pendel. v 0 y q 0 I M y Iy v 0y g Rundkörper: m, C S s Ix S x q q S k L reibungsfrei Ä Minimalkoordinaten: q T = ( q q ) T Minimalgeschwindigkeiten : q & = ( & & ) S C m T I g = S Trägheitsparameter um die z-achse:, C Massen:, m q q Erdbeschleunigung: ( g 0 0) Federkonstante : k Entspannte Federlänge : q0 Hinweis Taylorreihe : f f x f! x 3 f 3! x 3 ( x) = f ( x + x) = f ( x ) + x + x + x x 0 x x0 Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 0 / 0

11 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Schwerpunktsgeschwindigkeiten 6 Punkte Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeitsvektoren, v : v S S 3.. Winkelgeschwindigkeiten Punkte Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeitsvektoren, ω : ωs S Klausur Teil vom 6. November 004 Seite /

12 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Taylor Reihen 4 Punkte Geben Sie die Taylor Reihe für sin q und cos q um den Linearisierungspunkt q = 30 an. Linearisieren Sie bis zu der Ordnung, die Sie in weiterer Folge für eine gültige lineare Bewegungsgleichung brauchen. Setzen Sie für x = q. Hinweis: sin ( 30 ) =, ( 30 ) cos = Kinetische Energie T 6 Punkte Geben Sie die kinetische Energie T des Körpers an. Beachten Sie dabei, dass sin ( q) + cos ( q) = gilt, und setzen Sie für die Linearisierung benötigten Größen aus der Taylorreihe (3.3.) ein. Achten Sie auf die Ordnung der Terme, um ein linearisiertes System zu erhalten. Streichen Sie alle Terme, die keine lineare Bewegungsgleichung erzeugen. Klausur Teil vom 6. November 004 Seite /

13 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Potentielle Energie 5 Punkte Berechnen Sie die potentielle Energie V des Gesamtsystems, und setzen Sie auch hier wieder die Terme aus der Taylorreihe ein, um ein linearisiertes System zu erhalten Generalisierte Kräfte Punkte Berechnen Sie die generalisierte Kraft zufolge des Moments M : Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 3 / 3

14 Technische Mechanik III Übung WS 004 / Lagrange II Berechnen Sie V q T Punkte Geben Sie die Steifigkeitsmatrix K des linearisierten Systems an. Punkte Geben Sie das Haltemoment bzw. die Ruhelage der Feder q an. Punkte M Halt 0 Klausur Teil vom 6. November 004 Seite 4 / 4