SYNTHESE LINEARER REGELUNGEN

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1 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung von 8 SYNTHESE LINEARER REGELUNGEN FORMELSAMMLUNG UND MERKZETTEL INHALT 2 Grundlagen Mathematische Grundlagen Bewegungsgleichungen Reglertypen Wurzelortskurven Was versteht man unter einer WOK? Berechnung von k r,krit und ω krit Berechnung von k an vorgegebener Stelle σ i (rechnerisch& graphisch) Vollständige Steuer- und Beobachtbarkeit Zustandsregelung Zustandsregelung im Zeitbereich Zustandsdifferentialgleichung Vorsteuerung Störgrößenaufschaltung Geregeltes System mit Zustandsregler Erweiterte Zustandsraumdarstellung (I-Anteil) Geregeltes System mit Beobachter Zustandsregelung im Frequenzbereich Grundgleichungen Beobachterentwurf Beobachterentwurf mit I-Anteil Typische Fragen Stabilität anhand Dynamikmatrix Zeitverhalten charakterisieren Wann werden Steuer- bzw. Beobachtbarkeitsdefekte sichtbar... 8

2 2 von 8 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung 2 GRUNDLAGEN 2. Mathematische Grundlagen Inversion einer -Matrix: Adjunkten siehe Abb.. mit der Inversion einer 2 2-Matrix: Abbildung : Adjunkte einer 3x3 Matrix 2.2 Bewegungsgleichungen ä 2.3 Reglertypen P-Regler I-Regler PID-Regler (ideal) PID-Regler (real) PI-Regler PD-Regler (ideal) PD-Regler (real) PT -Regler PT 2 -Regler 2 ²² 3 WURZELORTSKURVEN Die ersten vier Regeln zur WOK-Erstellung müssen auswendig gelernt werden Dämpfungsfaktor. Bestimmung des Stabilitätswinkels cos 3. Was versteht man unter einer WOK? Die WOK beginnt in den Polstellen und endet in den Nullstellen des offenen Kreises. Die WOK beschreibt die Pole und Nullstellen des geschlossenen Regelkreises in Abhängigkeit des WOK-Parameters (Kreisverstärkung).

3 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung 3 von Berechnung von k r,krit und ω krit. Nyquist Kriterium Separieren nach Real- und Imaginärteil, z.b.:, 0, 0,2 0 Bedingung: Realteil und Imaginärteil müssen beide gleich 0 sein:, 0, Betrag und Phase überprüfen Immer dann wenn in Aufgabe ein Tipp gegeben ist (z.b.: tan 0,4) 0 arg und 3.3 Berechnung von k an vorgegebener Stelle σ i (rechnerisch & graphisch) Rechnerische Bestimmung: Graphische Bestimmung (siehe Abb. ) über Ausmessen der Abstände von Polen/Nullstellen zum gewünschten Punkt der WOK und Multiplikation der selbigen (Beträge der Vektordifferenz = Abstand). 8,6 3 2, Gilt auch wenn Imaginärteil dabei ist: 0 ² ² 3.4 Vollständige Steuer- und Beobachtbarkeit Abbildung 2: Graphische Bestimmung des Verstärkungsfaktors Anzahl der Pole ist gleich Anzahl der Streckeneigenwerte Kein Kürzen von Eigenwerten der Übertragungsfunktion (z.b. Parameter finden damit Steuer- & Regelbar):

4 4 von 8 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung 4 ZUSTANDSREGELUNG A: Systemmatrix x(t): Zustandsvektor B: Eingangsmatrix (Eingrößenfall: Spaltenvektor) u(t): Eingangsvektor (Eingrößenfall: Skalar) G: Störeingangsmatrix z(t): Störung y: Ausgangsgröße C: Ausgangsvektor (Eingrößenfall: Zeilenvektor c T ) I: Einheitsmatrix (passender Größe) 0: Nullmatrix (passender Größe) K: Zustandsregler (Eingrößenfall: Zeilenvektor k T ) 4. Zustandsregelung im Zeitbereich 4.. Zustandsdifferentialgleichung Grundform (Strecke ohne Regelung) Für Zustandsregler mit Vorsteuerung: Beim Zusammenbau der Zustandsregelung ausgehend von einem Strukturbild sind Integratoren (I-Glieder) und P-T -Glieder Systemzustände (x, x 2, etc.). Alle anderen Ü- Glieder müssen in diese Elemente zerlegt werden! Z.B. ein P-T 2 -Glied, Eigenwerte der Systemmatrix,,,, det 0 Steuerbarkeitsmatrix Q s Das System ist vollständig steuerbar wenn det 0 oder wenn Übertragungsfunktion F(s) keine Nullstellen enthält. Beobachtbarkeitsmatrix Q B Das System ist vollständig beobachtbar wenn det 0 Übertragungsfunktion: det 4..2 Vorsteuerung Entwurfsziel: Stationäre Genauigkeit im Führungsverhalten ohne Reglerzutun. Einfache Form 0 Falls A nicht invertierbar ist: 0 0 Falls nicht invertierbar ist, stationäre 0 Führungsgenauigkeit ohne Reglerzutun nicht einstellbar. Falls dynamischer Filter M gefragt:

5 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung 5 von Störgrößenaufschaltung Entwurfsziel: Stationäre Genauigkeit im Störverhalten ohne Reglerzutun. Voraussetzung: Störgrößen messbar! Unabhängig vom Regler K: Überprüfung ob ein H existiert um Glg. zu erfüllen. Wenn nicht: 4..4 Geregeltes System mit Zustandsregler Eigenwerte des geregelten Systems mit Zustandsregler K: det det 0 Bestimmung von K über:. Koeffizientenvergleich det, Mit (im Eingrößenfall), ansonsten ist K eine Matrix. 2. Ackermann-Formel Ausgangsgleichung: Mit letzte Zeile von Und wird bestimmt aus Polvorgabe z.b.,, ³ ² wird bestimmt aus charakteristischen Glg. der Übertragungsfunktion det. Vorgehensweise wie bei (Koeffizientenvgl.). 3. Vollständige modale Synthese Ausgangsgleichung: Mit Eigenvektoren, = Zustandsreglerformeln (Vektoren sind meist gegeben) Regelabweichung. Regelabweichung im Führungsverhalten Mit z.b.: Im stationären Fall keine Reglerabweichung im Führungsverhalten: 0 2. Regelabweichung im Störverhalten Mit z.b.: Im stationären Fall keine Reglerabweichung im Störverhalten: 0 0

6 6 von 8 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung 4..5 Erweiterte Zustandsraumdarstellung (I-Anteil) Gleichungen des erweiterten Systems: Und C I über?,, Geregeltes System mit Beobachter Für einfache Systeme Bestimmung des Beobachterrückführvektors durch Koeffizientenvergleich: det, Hiermit Übertragungsfunktion ; Weitere Möglichkeit über Ackermannformel (siehe oben) mit geänderter Struktur: Ausgangsgleichung: Mit letzte Zeile von Und wird bestimmt aus vorgegebenen Beobachtereigenwerten (äquivalent zu Regelungseigenwerten s.o.). Beobachterfehler: Wenn stationärer Fehler: 0, Bei Wirken von sprungförmigen Stör- bzw. Eingangsgrößen σ(t): Und auflösen nach Zustandsregelung im Frequenzbereich 4.2. Grundgleichungen Offener Kreis: mit: det det,

7 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung 7 von Beobachterentwurf Beobachterübertragungsfunktionen: und mit festgelegt durch die Beobachtereigenwerte: Und, Berechnung von und über Koeffizientenvergleich: Übertragungsverhalten (Führungsverhalten) Störverhalten (geregelt) Störverhalten (ungeregelt) Wenn Störeingriff direkt am Ausgang: Damit Unbekanntes z* eliminiert Beobachterentwurf mit I-Anteil Verstärkungsfaktor des I-Anteils Mit det, Erweiterte Bestimmungsgleichung der Beobachter Übertragungsverhalten Störverhalten Regelung arbeitet nun im Führungs- und Störverhalten stationär genau (aufgrund I-Anteil), m dabei beliebig wählbar, sodass stationär gilt: 0 0 0

8 8 von 8 Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung 4.3 Typische Fragen 4.3. Stabilität anhand Dynamikmatrix Eigenwerte berechnen: det 0. Stabil wenn alle links der Imaginär-Achse Zeitverhalten charakterisieren det aufstellen und analysieren. Z.B.: Parabelförmiger Anteil im Zeitverhalten Ungedämpfte Schwingung da konjugiert komplexes Polpaar e-förmiger Anteil (abklingend) Wann werden Steuer- bzw. Beobachtbarkeitsdefekte sichtbar Nullstellen kürzen sich mit nicht steuer- bzw. beobachtbaren Eigenwerten in der Übertragungsfunktion. Im Schaubild sichtbar, wenn nicht alle Zweige von ω abhängig sind bzw. nicht alle Zweige in y einfließen/enden.