Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr / Fach (A) Prüfungstag 5. Mai Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 9: - : Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, und Gesamtpunkte und Gesamtnote : Aufgabe Nr. Soll % = BE 4 Ist % = BE Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Punkte = Note : Punkte = Note : Datum, Unterschrift: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule Aufgabenvorschlag A / 4 Ein neuseeländischer Architekt entwirft die Fassade für ein meeresbiologisches Museum in Hamburg. Diese Fassade hat eine Breite von m und eine Höhe von m. Es gibt einen verglasten Bereich, der durch den Graphen der Funktion 4 45 f ( x) = x + x +, x D f wellenförmig begrenzt wird. Der Rest der Fassade, also alles außerhalb der durch den Graphen der Funktion f und der x-achse begrenzten Fläche, ist mit Blech verkleidet. Die große Eingangstür zum Museum hat eine Höhe von,5 m und ist links und rechts begrenzt durch die beiden Wendestellen x W und x W. Höhe h X W X W Breite b. Welches Symmetrieverhalten hat die wellenförmige Begrenzung des verglasten Fassadenbereiches? Begründen Sie ihre Aussage. /. Berechnen Sie die Breite b des verglasten Bereiches. /. Berechnen Sie die Höhe h des verglasten Bereiches. /.4 Berechnen Sie die Breite der Eingangstür. / 6.5 Berechnen Sie den Inhalt der Fassadenfläche, die mit Blech verkleidet wird. / 7.6 Die Breite b des verglasten Bereiches soll genau m betragen. Berechnen Sie, um wie viele Meter der Graph der Funktion f nach oben verschoben werden muss! / 4 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von

3 Abschlussprüfung Fachoberschule Aufgabenvorschlag A / 5 Eine ganzrationale Funktion f vierten Grades besitzt den Sattelpunkt S ( ). Die Tangente an den Graphen der Funktion f im Koordinatenursprung verläuft durch den Punkt P( 6). Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung dieser Funktion. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht erforderlich. Lösen Sie stattdessen das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte 4 Funktionsgleichung f ( x) = ax + bx + cx + dx+ e der Funktion f. Gehen Sie davon aus, dass der fehlende Koeffizient e den Wert hat. 8a + 4b + c + d = 4a + 4b + 5c + d = 48a + b + c + d = 6 a + 8b + c + d = / 5 In eine Kugel mit dem Radius R = 4cm soll ein Zylinder mit möglichst großem Rauminhalt hineinpassen (siehe Zeichnung). Hinweis: Geben Sie bei den Rechnungen die Ergebnisse auf eine relevante Stelle nach dem Komma an.. Weisen Sie nach, dass die Funktionsgleichung der Zielfunktion zur Bestimmung des Zylindervolumens wie folgt lautet: ( ) π h V h = 6 h 4. Wie groß sind der Grundkreisdurchmesser d und die Höhe h des optimalen Zylinders? / 7 / 5. Berechnen Sie den Rauminhalt des Zylinders mit maximalem Volumen. / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von

4 Abschlussprüfung Fachoberschule Aufgabenvorschlag A 4 Runden Sie alle Ergebnisse und Zwischenergebnisse auf Stellen nach dem Komma (außer bei 4..). 4. In der Abbildung ist als grau gefärbte Fläche die Seitenansicht einer Relaxliege Abbildung dargestellt, die in einem Stück aus einem Hartschaumblock gefertigt ist. f Der obere Rand lässt sich im Koordinatensystem (LE m) durch die Funktionsgleichung 4 f( x) =,8x +,x,5x +, 6x+,9 darstellen. Der linke Rand ist die y-achse, l der untere Rand die x-achse. 4.. Lesen Sie aus Abbildung die ungefähre Länge l der Liege ab und benutzen Sie diesen Wert als Startwert für ein Näherungsverfahren, mit dem Sie l in zwei Iterationsschritten genauer berechnen. Runden Sie das Ergebnis der letzten Iteration angemessen und begründen Sie die Anzahl der gewählten Nachkommastellen. 4.. Berechnen Sie den Flächeninhalt der in Abbildung grau gefärbten Fläche und das Volumen der Liege, die,6 m breit ist. / / / 7 4. In der Abbildung ist unter dem Graph der Funktion f (s.o.) die Parabel p eingezeichnet, die im Koordinatensystem (LE m) durch die Funktionsgleichung px ( ) =, 5x +,x+, 76 beschrieben wird. p f Abbildung 4.. Zeigen Sie, dass die Parabel p den Graphen von f an der Stelle,6 schneidet. 4.. Bei einigen Liegen wird im Intervall [ ;,6] entlang der Parabel p ein Stück abgesägt, das in der Abbildung grau gefärbt ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser grauen Fläche und zeigen Sie, dass das Volumen des abgesägten Stücks ca. 5, % des anfänglichen Gesamtvolumens beträgt. / / Ende der Aufgabenstellung Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von

5 Teilaufgaben Abschlussprüfung Fachoberschule Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A Erwartete Teilleistung BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung. G f ist achsensymmetrisch zur y-achse, da alle im Funktionsterm vorkommenden Exponenten von x gerade sind. (oder auch: f(x)=f(-x) für alle x des Definitionsbereiches.) f( x) = = x + x + 4 = x x 45 Substitution mit u = x ergibt 45 u / = u u = ± 66 u,88 und u,88 Einsetzen in die Substitutionsgleichung ergibt : =,88 4,89 4,89 x x und x,88 x = x/4 R : Die gesuchte Breite b beträgt 9,78 m. Zwischensumme: 8 4 Aufgaben..bis. Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von 7

6 Erwartungshorizont A..4 Zwischensumme: 8 4 Aufgaben..bis. Bestimmung der y Koordinate eines der beiden Hochpunkte f ( x) = x + x und f ( x) = x f ( x) = = x + x = x ( x + ) x =, x, und x, f () = > bei x lokales Minimum 5 f (,) = f (,) 4, 4 < lokale Hochpunkte bei H (, 8,) und H (, 8,) Die Höhe h des verglasten Fassadenbereichs beträgt 8, m. Bestimmung der x Koordinate eines der beiden Wendepunkte f ( x) ( s. o.) und 6 f ( x) = x 5 f ( x) = = x + = x 5 5 xw,9 und xw,9 Da f (, 9) und f (, 9), handelt es sich um die Wendestelle von f. Die Breite der Eingangstür beträgt,8 m. Zwischensumme: 9 Aufgaben..bis.4 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von 7

7 Erwartungshorizont A.5 A A Glas Blech 4, = ( x + x + ) dx ,89 = ( x + x + x ) 5,8m = (*) 5,8= 88,7 m Zwischensumme: 9 Aufgaben..bis Die Größe der Flächebeträgt88,7 m. Gegeben : z. B. P(5 ) 4 Gesucht : g( x) = x + x + k, k R g(5) = = + + k k = Der Graph muss um = =, 5 m nach oben verschoben werden. Summe 5 Mögliche BE: 4 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite von 7

8 Erwartungshorizont A Aufg. Erwartete Teilleistung Ansatz: 4 f ( x) = ax + bx + cx + dx+ e f ( x) = 4ax + bx + cx+ d f ( x) = ax + 6bx + c Bedingungsgefüge:. f () = Punkt P ( ). f '() = Sattelpunkt bei x =. f ''() = Wendepunkt bei x = 4. f () = Koordinatenursprung 6 5. '() = m = = 8 Anstieg der Tangente Gleichungssystem: aus 4. folgt e = und somit I: 6a + 8b + 4c + d = II: a + b + 4c + d = III: 48a + b + c = IV: d = 8 Lösungen des gegebenen Gleichungssystems a= ; b= 6; c= ; d = 8 4 Funktionsgleichung: f ( x) = x 6x + x 8x BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Summe: 4 Mögliche BE: 5 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite 4 von 7

9 Erwartungshorizont A Aufg. Erwartete Teilleistung BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung. d d Hauptbedingung HB: V(, r h) = π h= π h 4 Durchmesser d und Höhe h des Zylinders bilden mit dem Durchmesser der Kugel ( r ) als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck. Nebenbedingung NB: ( r) = d + h 64 = d + h d = 64 h Zielfunktion ZF: V( h) 64 h h π h = π h= π 6 h= 6πh π h π h V ( h) = 6π = = 6π h = h= 4, 6 d = 64 h = 6,5 h V ( h) = π < Maximum Antwortsatz: Der Zylinder hat einen Durchmesser von 6,5 cm und eine Höhe von 4,6 cm.. 8 π 8 Vmax = 6π 54,8 4 Antwortsatz:Der größte Zylinder hat ein Volumen von 54,8 cm. Summe: Mögliche BE: 5 Erreichte BE Endsumme Aufgabe Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite 5 von 7

10 Erwartungshorizont A Aufg. 4 Erwartete Teilleistung BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung 4.. Laut Abb. ist l f ( xn ) Newton-Iterationsformel : x n x + n f ( xn ) f ( x) =,x + 9,x 7,x +,6 n x n f ( x n ) f ( x n ),6 -,84, , ,8687, Die Liege ist ca., Meter lang, weil der letzte und vorletzte Näherungswert auf Stellen nach dem Komma gerundet übereinstimmen., 4.. Ansatz: A = f ( x) dx = F(,) F( ) F ist Stammfunktion von f F x =,6x +,775x,7 x +,x +,9x 5 4 ( ) F (,),9 und ( ) F = A,9 und V =,6,9,556 Der Flächeninhalt beträgt ca.,9 m² und das Volumen beträgt ca.,55 m³. f,6,56 und p,6, ( ) ( ) Also schneiden sich die Graphen an der Stelle,6. Zwischensumme: 4 5 Aufgaben 4...bis 4.. Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite 6 von 7

11 Erwartungshorizont A Aufg. 4,6 Erwartete Teilleistung 4.. A = h( x) dx = H(,6) H( ) BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Zwischensumme: 4 5 Aufgaben 4...bis 4.. h ist die Differenzfunktion von f und p 4 h( x) =,8x +,x,46x +,x +,968 H ist die Stammfunktion von h 5 4 H( x) =,6x +,775x,8x +,5x +,968x H(,6), und H( ) = Die weggeschnittene Seitenfläche beträgt ca.,49 m² Anteil :,49 m,5 5,%,9m Damit hat auch das weggeschnittene Volumen einen Anteil von ca. 5,% des anfänglichen Gesamtvolumens. Summe: 7 Mögliche BE: Erreichte BE Endsumme Aufgabe 4 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule Seite 7 von 7