Grundlagen der Informatik II
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- Bernt Wagner
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1 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2 Professor Dr. Hartmut Schmeck Miniaufgabe * bevor es losgeht * Finden Sie die drei Fehler in der Automaten- Definition. δ: A = E, S, δ, γ, s 0, F, E = 0,1, S = s 0, s 1, s 2, s 4, s 5, s 6, s 7, F = s 4 KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2 Professor Dr. Hartmut Schmeck Miniaufgabe * bevor es losgeht * Finden Sie die drei Fehler in der Automaten- Definition. δ: 1 A = E, S, δ, γ, s 0, F, 2 E = 0,1, S = s 0, s 1, s 2, s 4, s 5, s 6, s 7, F = { s 4 } 3 s 3 KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
3 nukit Selbsttests Die ersten nukit-selbsttests sind online. Zugriff entweder über Webanwendung oder App Zeitplanung: ab ab ab ab ab ab ab ab ab Kap. 2 Kap. 3 Kap. 4 Kap. 5 Kap. 6 Kap. 7 Kap. 8 Kap. 9 Kap Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
4 Für die Fleißigen Weitere Aufgaben zu den Themen dieses Tutoriums Aus dem Aufgabenpool bzw. Übungsbuch: Kapitel 2: Endliche Automaten ohne Ausgabe (15 Aufgaben), Kapitel 4: RL. Gramm. und reg. Ausdrücke (letzte 8 Aufgaben), Kapitel 5: automaten (6 Aufgaben), Kapitel 6: Kontextfreie Grammatiken (erste 7 Aufgaben). Auf Übungsblatt 2 (4 Aufgaben) Aufgaben, die mit für zuhause markiert sind HU-2-1, HU-2-2, HU-2-3, HU-2-4 Bei Fragen oder Kommentaren zu allen Aufgaben nutzen Sie die Diskussionsplattformen oder fragen Sie Ihren Tutor. Klick 4 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
5 Einführungsaufgabe: Auf welchen Basisoperationen basiert ein regulärer Ausdruck und welche Sprache wird durch folgenden regulären Ausdruck a beschrieben? α = (a + b a)b Basisoperationen: L α = {w {a, b} w = a n b oder w = b n ab für n N 0 } Was ist der Unterschied zwischen einem deterministischen und einem nichtdeterministischen endlichen Automaten? Deterministisch: von jedem Zustand für jedes Eingabesymbol genau ein Folgezustand E = {0,1,2} Nichtdeterministisch: von jedem Zustand pro Eingabesymbol eine endliche Menge an Folgezustände (kann auch leer sein) E = {0,1,2} Iteration Reguläre Ausdrücke Endliche Automaten Summe 2 Produkt Wie viele der dargestellten Automaten sind nichtdeterministisch? Könnten die Basismengen für α durch φ, a, b angegeben werden? Wie viele der dargestellten Automaten sind nicht deterministisch? 5 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
6 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke Konstruieren Sie zu jedem der folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten äquivalente deterministische EA aus der Vorlesung und äquivalente reguläre Ausdrücke α i durch logisches Überlegen, sodass gilt: A i ( Ei, Si, i, s0i, Fi ) L A' ( E, S ( A ) L( A' ) L( a ) mit i i i i i ' i ' i ',, s i ' 0i {1, 2}, F ' i ) mittels des Verfahrens (a) A ({0,1},{ s 1 0, s 1, s 2 },, s 1 0,{ s 2 }) : 1 Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
7 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke Lösung: Durch Anwendung des Verfahrens aus der Vorlesung ergibt sich folgende Zustandsüberführungstabelle: 0 1 {s 0 } {s 0 } {s 0, s 1 } {s 0, s 1 } {s 0 } {s 0, s 1, s 2 } {s 0, s 1, s 2 } {s 0 } {s 0, s 1, s 2 } NEA: Mit A s 0 { s0}, s 1 ˆ { s0, s1}, s 2 ˆ { s0, s1, s ' ' ({ 0,1},{ s, s, s},, s,{ s}) ˆ 2 ' mit 1 Skript ID-4284 } ergibt sich der DEA Skript ID-4276 Der reguläre Ausdruck ist a 1 = (0 + 1) 11 (leicht aus dem NEA ableitbar) 7 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
8 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke (b) A ({0,1},{ s 2 0, s 1, s 2 },, s 2 0,{ s 1 }) 2 : Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
9 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke Lösung: Durch Anwendung des Verfahrens aus der Vorlesung ergibt sich folgende Tabelle: 0 1 {s 0 } {s 2 } {s 1 } {s 1 } {s 0, s 2 } {s 2 } {s 1 } {s 0, s 2 } {s 1, s 2 } {s 1 } {s 1, s 2 } {s 0, s 1, s 2 } {s 0, s 1, s 2 } {s 0, s 1, s 2 } {s 1 } NEA: 9 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
10 10 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2 Aufgabe 1: EA / Reg. Ausdrücke {} ˆ },,, { ˆ },, { ˆ },, { ˆ }, { ˆ }, { ˆ }, { ˆ s s s s s s s s s s s s s s s s s : mit }),,,{, },,,,,,, ({0,1},{ ' ' ' 2 s s s s s s s s s s s A Lösung: Mit ergibt sich folgender DEA Der Reguläre Ausdruck ist a 2 = (00 + 1)(0( )) NEA: Skript ID-4300
11 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Für die Überführung eines deterministischen endlichen Automaten in einen nichtdeterministischen endlichen Automaten ist ein (nicht-trivialer) Algorithmus erforderlich. WAHR FALSCH 11 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
12 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Für die Überführung eines deterministischen endlichen Automaten in einen nichtdeterministischen endlichen Automaten ist ein (nicht-trivialer) Algorithmus erforderlich. WAHR X FALSCH 12 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
13 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Für die Überführung eines deterministischen endlichen Automaten in einen nichtdeterministischen endlichen Automaten ist ein (nicht-trivialer) Algorithmus erforderlich. WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Ein deterministischer Automat ist ein Spezialfall eines nichtdeterministischen Automaten mit genau einem Folgezustand pro Eingabe/Zustand-Kombination. (Für die umgekehrte Überführung eines nichtdeterministischen in einen deterministischen endlichen Automaten ist dagegen der gerade genutzte Potenzmengen-Algorithmus zuständig.) 13 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
14 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke * Für ein Alphabet E, w E, a E bezeichne die Anzahl der a s in w. w a Erzeugen Sie zu den Sprachen L i, i {3,4,5} reguläre Ausdrücke a i, sodass gilt: (a) L 3 * w{ 0,1} w 1 1 L(a ) i L i 14 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
15 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke * Für ein Alphabet E, w E, a E bezeichne die Anzahl der a s in w. w a Erzeugen Sie zu den Sprachen L i, i {3,4,5} reguläre Ausdrücke a i, sodass gilt: L(a ) i L i (a) L Lösung: 3 * w{ 0,1} w 1 E {0,1} RA : a 1 * * 3 (0 1) 1(0 1) beliebig Skript ID-4330 Es gibt mindestens eine Eins. Davor und danach können beliebig viele Einsen oder Nullen stehen. 15 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
16 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke * (b) L w 0,1} w 3 4 { 1 16 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
17 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke (b) L 4 * w{ 0,1} w 1 3 Lösung: E {0,1} Es muss keine Eins kommen, aber es kann eine kommen. Die Nullen davor und danach sind beliebig Skript ID-4360 * * * * * * RA : a 4 0 (0 10 )(0 10 )(0 10 * ) 1te Eins 2te Eins 3te Eins (Die Anzahl der Einsen ist maximal drei, die Anzahl der Nullen ist beliebig.) 17 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
18 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke 2n (c) L w { 0,1} n IN Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
19 Aufgabe 3: Reguläre Ausdrücke (c) L Lösung: 2n 5 w 0,1} { n IN 0 E {0,1} RA : a5 ((0 1)(0 1)) 1tes Zeichen 2tes Zeichen (Die Anzahl der Zeichen ist gerade.) * Beliebige Wiederholung zweier Zeichen. Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
20 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede reguläre Sprache kann durch einen regulären Ausdruck, einen endlichen Automaten und eine rechtslineare Grammatik dargestellt werden. WAHR FALSCH 20 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
21 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede reguläre Sprache kann durch einen regulären Ausdruck, einen endlichen Automaten und eine rechtslineare Grammatik dargestellt werden. X WAHR FALSCH 21 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
22 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede reguläre Sprache kann durch einen regulären Ausdruck, einen endlichen Automaten und eine rechtslineare Grammatik dargestellt werden. X WAHR FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Für ein Alphabet E gilt: L 3 (E) = L EA (E) = L nea (E) = L reg (E) = RA(E). L 3 (E): Menge der durch rechtslineare Grammatiken erzeugbaren Sprachen L EA (E): Menge der durch det. endliche Automaten erkennbaren Sprachen L nea (E): Menge der durch nichtdet. endliche Automaten erkennbaren Sprachen L reg (E): Menge der regulären Sprachen RA(E): Menge der durch reguläre Ausdrücke darstellbaren Sprachen 22 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
23 Einführungsaufgabe: automat Geben Sie die Verarbeitung des Wortes aabb durch den automaten KA = (E, S, K, δ, s 0, k 0, s e ) an und beschreiben Sie dessen Elemente. δ: (s 0, a, k 0 ) (s 0, ak 0 ) (s 0, a, a) (s 0, aa) (s 0, b, a) (s 1, λ) (s 1, b, a) (s 1, λ) (s 1, λ, k 0 ) (s e, k 0 ) Warum ist KA trotz des λ-übergangs deterministisch? Spezifikation ( endlicher Automat mit -Speicher LIFO ): KA = a, b, s 0, s 1, s e, {a, k 0 }, δ, s 0, k 0, s e Eingabealphabet alphabet Anfangszustand Endzustandsmenge Zustandsmenge Zustandsübergangsfunktion startzeichen Konfigurationsfolge: (s 0, aabb, k 0 ) (s 0, abb, ak 0 ) (s 0, bb, aak 0 ) (s 1, b, ak 0 ) (s 1, λ, k 0 ) (s e, λ, k 0 ) 23 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
24 * Wieder bezeichne für ein Alphabet E, w E, a E die Anzahl der a s in w. w a Geben Sie einen det. automaten KA6 ( E6, S6, K6, 6, s0, F6 ) 6 6 ( KA L * und L w 0,1 w w. L 6 ) 6 Zeigen Sie, dass Ihr automat das Testwort akzeptiert an mit 24 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
25 * Wieder bezeichne für ein Alphabet E, w E, a E die Anzahl der a s in w. w a Geben Sie einen det. automaten KA6 ( E6, S6, K6, 6, s0, F6 ) 6 6 L( KA L * und L w 0,1 w w. 6 ) 6 Zeigen Sie, dass Ihr automat das Testwort akzeptiert. Lösung: KA ({0,1},{ s 6 : 6 0, s 1 },{ k (s 0, 0, k 0 ) (s 1, 0k 0 ) (s 1, 1, 0) (s 1, λ) (s 1, 0, 1) (s 1, λ) (s 1, λ, k 0 ) (s 0, k 0 ) 0,0,1},, s 6 0, k 0,{ s 0 6 }) 0 1 an mit Die erste 0 bzw. 1 wird in den geschrieben. Sobald eine 1 auf eine 0 kommt oder umgekehrt wird diese aus dem gelöscht. Folgt eine 1 auf eine 1 oder eine 0 auf eine 0 werden diese auch in den geschrieben. Da das leere Wort akzeptiert wird und der Automat deterministisch sein soll (kein Lambda-Übergang von s 0 aus) und noch weitere Zeichen kommen können, ist F={s 0 }. 25 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
26 26 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
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80 Lösung: Erkennung des Testwortes mithilfe der Übergangsrelation: (s 0, , k 0 ) (s 1, , 1k 0 ) (s 1, , k 0 ) (s 0, , k 0 ) (s 1, 01110, 0k 0 ) (s 1, 1110, 00k 0 ) (s 1, 110, 0k 0 ) (s 1, 10, k 0 ) (s 0, 10, k 0 ) (s 1, 0, 1k 0 ) (s 1, λ, k 0 ) (s 0, λ, k 0 ) 80 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
81 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Deterministische automaten akzeptieren die gleiche Sprachklasse wie nichtdeterministische automaten. WAHR FALSCH 81 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
82 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Deterministische automaten akzeptieren die gleiche Sprachklasse wie nichtdeterministische automaten. WAHR X FALSCH 82 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
83 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Deterministische automaten akzeptieren die gleiche Sprachklasse wie nichtdeterministische automaten. WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Nichtdeterministische automaten sind mächtiger als deterministische automaten, erkennen also eine größere Sprachklasse. Beispielsweise können nichtdet. automaten den Umkehrpunkt bei Wörtern aus der Sprache der Palindrome ww raten, während man bei det. automaten diesen Umkehrpunkt explizit angeben muss, bspw. w$w. 83 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
84 Einführungsaufgabe: Greibach-NF Was muss man tun, um eine (λ freie) rechtslineare Grammatik in Greibach-Normalform zu bringen? Nichts. Warum? G = (N, T, P, S) Rechtslinear: P RL N T TN λ Greibach-NF: P GREI N TN P RL ohne N λ ist Teilmenge von P GREI Wie bei der Chomsky-Normalform muss bei der Greibach-Normalform das leere Wort speziell behandelt werden. 84 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
85 Aufgabe 6: Ableitung Gegeben sei die Grammatik G = (N, T, P, S) mit N = {S, A} T = {a, b, +, x} P = S A A + S, A x aaa bab} a) Geben Sie die Sprache L(G) an und leiten Sie das Testwort axa + baxab ab. Geben Sie hierfür den Ableitungsbaum an. 85 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
86 Aufgabe 6: Ableitung Lösung: Der Term A wird entweder allein direkt aus S S A abgeleitet oder kann beliebig oft mit + verknüpft auftreten (S A + S). Jedes A hat die Form a n 1b n 2a n 3b n 4 x b n 4a n 3b n 2a n 1. Dies entspricht A vxv (v ist dabei die Umkehrung des Wortes v). d.h. A erzeugt die Menge aller Wörter w mit (1) w hat eine ungerade Anzahl von Zeichen w = v + x + v = 2 v + 1. (2) Das mittlere Zeichen ist x. (3) x existiert nur einmal in w. (4) w ist symmetrisch um x angeordnet, also ein Palindrom. Die von G erzeugte Sprache ist also: 86 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
87 Aufgabe 6: Ableitung Lösung: Produktion des Testworts: S A + S A + A aaa + A axa + A axa + bab axa + baaab axa + baxab Ableitung des Testwortes mithilfe des Ableitungsbaums: Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
88 Aufgabe 6: Ableitung b) Gegeben sei eine andere Grammatik G mit L(G ) = L(G). In welcher Normalform befindet sich diese Grammatik? Konstruieren Sie für G den Ableitungsbaum für das Wort axa + baxab. N = S, A, B, C, D, X, Y T = {a, b, +, x} P = {S x aax bay xb, X ab a, Y bb b, B +S, A x aac bad, C a, D b} 88 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
89 Aufgabe 6: Ableitung b) Gegeben sei eine andere Grammatik G mit L(G ) = L(G). In welcher Normalform befindet sich diese Grammatik? Konstruieren Sie für G den Ableitungsbaum für das Wort axa + baxab. N = S, A, B, C, D, X, Y T = {a, b, +, x} P = {S x aax bay xb, X ab a, Y bb b, B +S, A x aac bad, C a, D b} Lösung: Die Grammatik G befindet sich in Greibach Normalform. Diese erlaubt nur Regeln der Form N x TN. Anmerkung: Es existieren Algorithmen, um eine Grammatik, welche in Chomsky Normalform (CNF) steht, in Greibach Normalform zu überführen. Diese befinden sich allerdings außerhalb des Rahmens der Vorlesung. 89 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
90 Aufgabe 6: Ableitung Lösung: Skript ID-4584 Ableitungsbaum nach Greibach Normalform G : G: 90 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
91 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede Grammatik in Greibach-Normalform ist auch gleichzeitig eine rechtslineare Grammatik und umgekehrt. WAHR FALSCH 91 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
92 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede Grammatik in Greibach-Normalform ist auch gleichzeitig eine rechtslineare Grammatik und umgekehrt. WAHR X FALSCH 92 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
93 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Jede Grammatik in Greibach-Normalform ist auch gleichzeitig eine rechtslineare Grammatik und umgekehrt. WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Nur umgekehrt, falls die rechtslineare Grammatik λ-frei ist. Rest des Tages: Relaxen! 93 Grundlagen der Informatik II Tutorium 2
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