Lineare Gleichungen Lösungen
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- Käte Küchler
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1 1) Welches Zahlenpaar ist eine Lösung der linearen Gleichung mit zwei Variablen? Ordne richtig zu. 2x + y = 2 5x 2y = 11 2x + y = 10 A(2 6) A(1,2 0) A(1 5) -x 2y = 4 A(0,5 1) 5x 0,6y = 6 6x 3y = -9 A(3 2) A(-1-1,5) 2) Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem? Überlege, welcher Sonderfall zweier Geraden hier vorliegt. Gleichungssystem: I : x + 2y = 3 II: x + 2y = 5 Die Geraden stehen normal aufeinander. - Ein Zahlenpaar als Lösung. Die Geraden fallen zu einer Geraden zusammen. - Unendlich viele Lösungen. Die Geraden liegen parallel zueinander. - Keine Lösung. Alle Rechte vorbehalten / 5
2 3) Ergänze die Beschreibungen der rechnerischen Lösungsverfahren. Bei der Einsetzungsmethode wird eine Gleichung nach einer Unbekannten Einsetzungsmethode Additionsmethode Gleichsetzungsmethode nach einer Unbekannten durch Division nach beiden Unbekannten aufgelöst und der Term in die andere Gleichung eingesetzt. Die Einsetzungsmethode ist günstig, wenn eine Gleichung einfach nach einer Variablen aufgelöst werden kann. beide Gleichungen eine Gleichung eine Variable Bei der Gleichsetzungsmethode werden beide Gleichungen Einsetzungsmethode Gleichsetzungsmethode Subtraktionsmethode nach derselben Unbekannten nach derselben Unbekannten nach allen Unbekannten nach verschiedenen Unbekannten aufgelöst und die erhaltenen Terme gleichgesetzt. Die Gleichsetzungsmethode ist besonders günstig, wenn gleichgesetzt subtrahiert eliminiert dieselbe Variable aus beiden Gleichungen einfach ausgedrückt werden kann. alle Unbekannten ein Koeffizient dieselbe Variable weggekürzt eliminiert einfach ausgedrückt Beim Eliminationsverfahren werden beide Gleichungen so umgeformt, Bei der Einsetzungsmethode Bei der Gleichsetzungsmethode Beim Eliminationsverfahren dass eine Variable durch Addition oder Subtraktion der beiden Gleichungen wegfällt. Addition oder Subtraktion Division Multiplikation Alle Rechte vorbehalten / 5
3 4) Ordne die Gleichungssysteme den Verfahren zu, die am schnellsten zur Lösung führen. I: x + 4y = 3; II: 3x 2y = 6 I: 2x 3y = 5; II: 5x 6y = -3 Einsetzungsverfahren I: 3x + y = 7; II: -2x 3y = 12 I: y = 3x + 5; II: 5x 3y = 9 Gleichsetzungsverfahren I: 6x 5y = -12; II: 2x y = 5 I: y = -2x + 5; II: y = 5x 1 Eliminationsverfahren I: x = 4y + 5; II: x = 2y 7 5) Überlege, welcher Lösungsfall hier vorliegt. Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Gleichungssystem: I : 3x y = 5 II: 6x 2y = 10 Die Geraden fallen zu einer Geraden zusammen. - Unendlich viele Lösungen. Die Geraden liegen parallel zueinander. - Keine Lösung. Die Geraden haben einen Schnittpunkt im Ursprung. - (0 0) ist die Lösung. Alle Rechte vorbehalten / 5
4 6) Welches Gleichungssystem passt zum Text? Die Summe zweier Zahlen ist 25. Das Doppelte der ersten ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl. I : x y = 25 II: 2x + 3y = 1 I : x + y = 25 II: 2x = 3y I : 25 = y x II: 2x 3y = 0 7) Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. Wähle selbst ein geeignetes Lösungsverfahren. I : x = y 7 II: x 5y = -23 L = {( -3 4 )} I : 7x + 2y = 33 II: 3x + 4y = 11 L = {( 5-1 )} Alle Rechte vorbehalten / 5
5 8) Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es. Eine Flasche Cola und ein Hotdog kosten am Würstelstand 5,80. Für zwei Flaschen Cola und drei Hotdogs muss man 15,10 bezahlen. Verwende x als Anzahl der Cola-Flaschen und y als Anzahl der Hotdogs. I : x + y = 5,80 II: 2x + 3y = 15,10 L = {( 2,30 3,50 )} Eine Flasche Cola kostet 2,30 und ein Hotdog kostet 3,50. 9) Erstelle ein Gleichungssystem und löse es. In einer Jugendherberge können 145 Leute in insgesamt 30 Zimmern übernachten. Es gibt Sechsbettzimmer und Doppelzimmer und ein Matratzenlager für 15 Personen. Verwende x als Anzahl der Sechsbettzimmer und y als Anzahl der Zweibettzimmer. I : 6x + 2y + 15 = 145 II: x + y + 1 = 30 L = {( )} In der Jugendherberge gibt es 18 Sechsbettzimmer und 11 Zweibettzimmer. Alle Rechte vorbehalten / 5
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