Lösungen: (Die Aufgaben sind fett, die Lösungen normal geschrieben.)

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1 KANTONSSCHULE ROMANSHORN MATURITÄTSPRÜFUNGEN 00 TYPUS MAR MATHEMATIK - Std. Klasse 4 MD - hcs Lösungen: (Die Aufgaben sind fett, die Lösungen normal geschrieben.) () Zuerst zwei (mit gleich vielen Punkten bewertete) Kurzaufgaben: Nach der Matura bekommen alle 8 Schüler (davon 0 Mädchen) einer Klasse ein Geschenk: Insgesamt sind es gleiche Blumensträusse und 6 verschiedene Bücher. (i) Auf wieviele Arten kann der Rektor die Geschenke verteilen? Zuerst wählt er aus den 8 Schülern aus, die einen Blumenstrauss bekommen: ( 8 ) Danach verteilt er die 6 Bücher auf die 6 Schüler (geht auf 6! Arten) ( ) 8 6! = ' (ii) Auf wieviele Arten kann der Rektor die Geschenke verteilen, wenn jedes Mädchen einen Blumenstrauss erhalten soll? Zunächst bekommen alle Mädchen einen Blumenstrauss (geht auf Art) 8 Er wählt aus den 8 Jungen aus, die einen Blumenstrauss bekommen:! " & Danach verteilt er die 6 Bücher auf die 6 verbliebenen Jungen (geht auf 6! Arten) 8! " & 6! = 0 60 (iii) Von einer anderen Klasse sind gleiche Blumensträusse übriggeblieben. Auf wieviele Arten lassen sich diese unter den 0 Mädchen der Klasse aufteilen, wenn jedes Mädchen beliebig viele Blumensträusse behalten darf? Dies ist ein ungeordnetes Experiment (Blumensträusse sind alle gleich) mit Zurücklegen (der Mädchen) Formel total! " n+ k! ( k ), wobei n = Mädchen, k = Anzahl Blumensträusse 4 & = '07'04 Möglichkeiten (b) Im Jahr 98 lebten 4.08 Milliarden Menschen auf der Erde, im Jahr 000 waren es 6.67 Milliarden. Zwei Wissenschaftler A und B sollen die Entwicklung der Weltbevölkerung voraussagen. A tut dies mit der Exponentialformel B(t) = B 0 q t. B benützt als Modell eine arithmetische Folge, das heisst bei B ist der Zuwachs jedes Jahr konstant. Wie gross schätzen A und B die Erdbevölkerung im Jahr 00, und in welchem Jahr überschreitet nach den Meinungen von A und B die Bevölkerung die 0- Milliarden-Grenze? 6.67 Nach Wissenschaftler A: B 0 = 4.08 ; q = 9 = (mit exaktem Wert weiterrechnen!!!!) 4.08 Bestand im Jahr 00 = B(t=9) = 4.08 q 9 = 7.4 Mia Überschreiten der 0-Mia-Grenze: B(t) = 4.08 q t = 0 bzw. q t = t = 4.9, also nach 4.9 Jahren, während des Jahrs 06 oder Nach Logarithmieren erhält man: Seite von 7

2 6.67! 4.08 Nach Wissenschaftler B: AF mit a = 4.08 und d = 000!98 Bestand im Jahr 00 = a 0 = d = 7.98 Mia Überschreiten der 0-Mia-Grenze: a n = (n ) d = 0 bzw. n = n = 60., also nach 60. Jahren, während des Jahrs 04 oder 04 = (mit exaktem Wert weiterrechnen!!) 0! 4.08 d +. () Die Punkte A, B, C, D, E, F, G und H sind die Eckpunkte eines Würfels (siehe Bild im Anhang). Die Punkte A, B, C und D liegen auf der Ebene E: x y z 4 = 0. Man kennt den Eckpunkt H(4 8) und den Diagonalenschnittpunkt der Deckfläche M D (4 4 ). Unter welchem Winkel schneidet die Ebene E die xy-ebene?! 0 Die xy-ebene hat den Normalenvektor 0 " &. Die Ebene E hat den Normalenvektor "!'.!& cos(!) = " " & 0& ( ) 0( ' ' 9 ) = " = α = 48.9 (b) Bestimmen Sie die fehlende Koordinate z B des Punktes B(6 z B ). Setze x =6 und y = in die Ebenengleichung ein: 6 z 4 = 0 z = B(6 ) Berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes der Grundfläche. Fälle die Lotgerade g auf E durch M D und schneide diese mit der Ebene E M G! 4! g: y& = 4& + t' (& (Richtungsvektor = n E ) Schneide g mit E: (4 + t) (4 t) ( t) 4 = 0 " " ( t = und M G (6 0 ) Geben Sie die Gleichung der Umkugel des Würfels an. Mittelpunkt der Kugel ist Mittelpunkt von B und H M ( ) = ( ) " Radius der Kugel ist die Länge des Vektors BM = ' r = + + (!) = 7! & Gleichung der Kugel: (x ) + (y ) + (z ) = 7 (e) S(8 4 ) ist die Spitze einer geraden quadratischen Pyramide. Die Punkte E, F, G und H liegen auf den vier Seitenkanten der Pyramide. Die Eckpunkte A', B', C' und D' der Grundfläche der gesuchten Pyramide A'B'C'D'S liegen auf der Ebene E. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D' und das Volumen der Pyramide A'B'C'D'S.! 8! 4 D erhält man, indem man die Gerade durch S und H mit E schneidet: (SH): y& = '4& + t ( ' & " ' " ' Schneide (SH) mit E: (8 + 4t) ( 4 t) ( t) 4 = 0 t = und D (6..) Für das Volumen der Pyramide braucht man die Seitenlänge des Grundflächenquadrats. Man kennt aber nur " 0 die Länge der halben Diagonale D! M G =. ' = 4.. Die ganze Diagonale misst also 4.!. & Seite von 7

3 Für die Diagonale d im Quadrat mit der Seitenlänge s gilt: d = s In unserem Quadrat ist s =. Wir brauchen noch die Höhe h der Pyramide. Dies ist der Abstand vom Punkt S zur Ebene E: 8! "(!4)! " (!)! 4 h = d(e,s) = = 6 (HNF) + (!) + (!) V = 6 = 8 () Gegeben ist die Funktion f: y = x! x! x + Diskutieren Sie die Funktion f. Berechnen Sie dazu den Definitionsbereich D, die Nullstellen, die Ableitung von f und daraus die Extrema, die Polstellen, die Grenzwerte bei den Definitionslücken für x ± sowie die Gleichung der Asymptoten für x ±. Skizzieren Sie den Graphen im Bereich x [ 8,8]. Definitionsbereich D Nenner wird Null für x =. D = IR \ {.} Nullstellen Zähler wird Null für x = und x = (quadratische Gleichung) Extrema f!(x) = (x " ) (x + ) " (x " x " ) (x + ) wird Null, wenn der Zähler Null ist x = 0 oder x = E ( 4) ; E (0 ) Asymptoten: lim x!+" f(x) = +" ; lim x!" f(x) = " Asymptotengleichung durch schriftliches Dividieren: (x x ):(x + ) = x! 7 9 4! 4 x+ Asymptote: y = x! 7 4 lim x!". x<". f(x) = " ; lim x!". x>". f(x) = + ; Asymptotengleichungen x =. ; y = x! 7 4 Graph: Seite von 7

4 (b) Eine Gerade g mit negativer Steigung m schneidet den Graphen der Funktion f bei x = 6 unter einem Winkel von 60. Berechnen Sie die Gleichung dieser Geraden. (Werte auf Stellen nach dem Komma runden.) Um den Schnittwinkel der gesuchten Gerade g: y = mx + q und dem Graphen berechnen zu können, brauchen wir die Steigungen bei x = 6. Die Gerade hat dort die Steigung m, der Graph von f(x) die Steigung f (6) = (Ableitung siehe oben). Mit der Formel für den Schnittwinkel folgt: arctan(0.48..) arctan(m) = 60. Da arctan(0.48..) =.64 ist also arctan(m) = Nimmt man von beiden Seiten der Gleichung den Tangens, so erhält man: m = Um den Achsenabschnitt q der Geraden zu bestimmen, setzt man in den Ansatz y = 0.684x + q die Koordinaten des Punkts (6.4) ein, der auf f und g liegt:.4 = q q =.0 g: y = 0.684x +.0 (4) Ein fairer Würfel(alle Seiten des Würfels werden gleich häufig geworfen) ist ungewöhnlich beschriftet: er trägt auf seinen sechs Flächen die Zahlen,,,,,. X bezeichne die beim einmaligen Werfen des Würfels geworfenen Augenzahl. (i) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einer Tabelle dar. X P(X =...) 4 6 = 6 = (ii) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. E(X) =! +! = (b) Dieser Würfel wird nun solange geworfen, bis die Augensumme mindestens sieben beträgt. (i) Stellen Sie dieses Experiment mit Angabe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm dar. Seite 4 von 7

5 (ii) Die Zufallsvariable Z sei die Anzahl der benötigten Würfe, um mindestens die Augensumme sieben zu erzielen. Stellen Sie tabellarisch die Verteilung von Z dar, und berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl der nötigen Würfe. Z 4 P(Z =...) 0! +! +! = 9 E(Z) =! 0 +! 9 +! ! 8 7 = 74 7 =.74!! = 4 7!!! +!!! = 8 7 Zwei Spieler A und B machen eine Wette. Spieler A besitzt den oben beschriebenen Würfel, Spieler B einen gewöhnlichen Würfel mit den Augenzahlen,,, 4,, 6. Jeder würfelt einmal mit seinem Würfel. B gewinnt, wenn er eine höhere Augenzahl wirft als A, sonst gewinnt A. Stellen Sie die möglichen Spielausgänge in einer Tabelle dar und berechnen Sie, ob das Spiel fair ist, das heisst, ob jeder Spieler die gleiche Chance auf einen Sieg hat. A wirft B wirft eine Zahl... > > Sieger ist... B A B A Wahrscheinlichkeit! = 4 9! = 9! 6 = 8! 6 = 8 P(A gewinnt) = = Spiel ist fair. Der Würfel mit den Zahlen,,,,, wird nun achtmal geworfen. Y bezeichne die Augensumme aller acht Würfe. (i) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal die geworfen wird? B(8, ; ) =! 8 " & ' ( ) '( ) = (ii) Welche Werte kann Y annehmen? 8 = 6 ; 7 + = 9 ; 6 + = usw. bis 8 = 40 6, 9,,, 8,, 4, 7, 40 (iii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme Y den Wert annimmt. B(8, ; ) =! 8 " & ' ( ) '( ) = 0.7 () Im Jahr 00 baut die Erde eine Weltraumstation, die mit einem Erkundungsraumschiff ausgerüstet ist. Prompt nimmt ein ausserirdisches Raumschiff Kontakt mit der Erde auf und übermittelt die Warnung: Jeder Mensch, der die Grenzebene E: x 8y + 68 = 0 überschreitet, wird eliminiert. Das Koordinatensystem haben wir so gewählt, das eure Raumstation S(0 0 0) auf eurer Seite der Grenze im Urpsrung liegt und eine Einheit 000 km entspricht. Schnell berechnen Sie die momentanen Koordinaten R( 0 7) des Erkundungsraumschiffs und stellen fest, dass es tatsächlich auf der anderen Seite der Grenze liegt. Wie weit (auf km genau) sind die Station S und das Raumschiff R von der Grenze entfernt? x! 8y + 68 HNF: ±d(s,e) = = 0! ! ("0) " 8! +68 = ; ±d(r,e) = = (!8) Seite von 7

6 (b) Begründen Sie rechnerisch, wieso Raumschiff R und Station S auf verschiedenen Seiten der Grenzebene E liegen. Da mit der HNF einmal ein positives und einmal ein negatives Resultat herauskommt. Das Raumschiff fliegt auf direktem Weg zur Station zurück. In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneidet es die Grenzebene? Da R und S gleichweit von E entfernt sind, ist der gesuchte Punkt genau die Mitte von R und S: im Punkt! (" "7 + 0) = ( )! 0! (0 (Man kann auch die Gerade durch R und S: y& = 0& + t' & mit der Ebene E schneiden) " 0 " (7 " 0 " Winkel: Die Flugrichtung des Raumschiffs ist RS =!', Normalenvektor der Ebene E ist n E =!8'. 7 & 0 & Mit der Winkelformel Ebene-Gerade: sin(!) = "0 "7 & ( ) ' "8 0 & ( ' ) 809 = "0.989 = α = 8.0 Die Ausserirdischen bauen ebenfalls eine Raumstation und zwar genau symmetrisch zur Raumstation S der Erde bezüglich der Grenzebene E. Berechnen Sie die Koordinaten der ausserirdischen Station.! 0! Fälle die Lotgerade g von S auf die Ebene E: g: y& = 0& + t' (8& und schneide g mit E: " 0 " 0 (0 + t) 8(0 8t) + 68 = 0 t = setze t = in die Geradengleichung von f ein F( 0 6 0). Dies ist der Durchstosspunkt der Lotgerade durch e. Um die Koordinaten der ausserirdischen Station zu bekommen, wähle t doppelt so gross (t = 4) oder setze den Vektor SF an den Punkt F an. ausserirdische Station bei ( 0 0) (6) Gegeben ist die Funktion: f(x) = 0.0 ( x! ) 0x! x Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich von f(x). Definitionsbereich: Untersuche den Radikanden (Wurzelinhalt) 0x x ist nicht negativ zwischen den beiden Nullstellen 0 und 0 D = [0,0] Der Wertebereich liegt zwischen 0 (f ist im Definitionsbereich überall nicht negativ) und dem Maximum der Funktion: Bestimme das Maximum durch Differenzieren (Produktregel und beim Wurzelterm noch Kettenregel): f (x) =!0.0" ( ) " 0x! x + (!0.0)" ( x! ) " " (0! x). Diese Ableitung 0x! x wird Null gesetzt. Man multipliziert die Gleichung mit der Wurzel und dividiert durch 0.0: (0x! x ) + ( x! )(0! x) = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen x = 4.47 und x = Der zweite Wert liegt nicht in D, daher ist das Maximum ( ) W = [0,.96] Seite 6 von 7

7 (b) Die Funktion f rotiert um die x-achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. 0 V x =! " [f(x)] dx =! " 0.00 ( x x 87x + 60x) dx 0 0 V x =! " 0.00 ( x 0 + x 4 & & x x + 60 ) ' ) ( 0 ) 0 = 0.646π F ist die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion über dem Definitionsbereich und der x-achse. Diese soll durch gleichbreite Rechtecke angenähert werden, die nebeneinander, als Streifen über der x-achse angeordnet sind. Die zusammengesetzte Fläche der Rechtecke soll die Fläche F gerade noch überdecken (Obersumme). Bestimmen Sie die Gesamtfläche der Rechtecke. Die Breite der Rechtecke ist. Bis zum Maximum bei x = 4.47 steigt die Funktion, nachher fällt sie, daher nimmt man für die ersten beiden Rechtecke als Höhe den Funktionswert der rechten Intervallsgrenze, beim mittleren das Maximum und bei den letzten beiden den Funktionswert der linken Intervallsgrenze: O = [f() + f(4) + f(4.47) + f(6) + f(8) =.94 Bestimmen Sie einen Punkt P auf der x-achse, so dass das rechtwinklige Dreieck O(0,0), P(x,0), Q(x,f(x)) maximale Fläche hat. Das gesuchte Dreieck hat die Fläche A = x f(x), da x und f(x) die beiden Katheten dieses rechtwinkligen Dreiecks sind. Setzt man für f(x) den Funktionsterm ein, so ergibt dies: A = x ( 0.0) (x! ) 0x! x. Das Maximum bestimmt man durch Ableiten und Null setzen: A = ( 0.0) ( x! ) 0x! x + ( x 4! x ) " & " (0! x) ( 0x! x '( = 0 Wieder multipliziert man mit der Wurzel und erhält zum Schluss: x + x 70x = 0 mit den Lösungen x = 0 ; x = ; x = 4.9; wobei x = 0 die minimale Fläche ergibt und x = 4.9 nicht im Definitionsbereich liegt. P(7.676.) Seite 7 von 7