Aufgabenblatt zum Seminar 09 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

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1 Aufgabenblatt zum Seminar 9 PHYS7357 Elektrizitätslehre und Magnetismus Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, othmar.marti@uni-ulm.de) Aufgaben. Durch eine Spule mit n = 8 Windungen, die einen Querschnitt A = cm hat, iesst ein Strom I =.3 A. a) Wie gross ist das magnetische Moment m dieser Spule? b) Welches Drehmoment M wirkt auf diese Spule in einem Magnetfeld H = A/m, das mit der Spulenachse einen Winkel von 5 einschliesst?. Optimiere bei Helmholtzspulen parallel aufgebaute gleiche Spulen mit grösseren Radius R auf gemeinsamer Achse), deren Abstand und Radius so, dass das Magnetfeld möglichst homogen wird im Arbeitsbereich dieser bendet sich in der Mitte der beiden Spulen auf der Spulenachse bei z = ). 3. Durch den Querschnitt einer Aluminiumplatte mit der Dicke a =. mm und der Höhe b iesst ein Strom I = 5 A. Diese Platte bendet sich in einem Magnetfeld mit der Induktion B =.5 T, das senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zu b verläuft. Wie gross ist der Potentialunterschied über die Höhe der Platte? Die Ladungsträgerdichte sei gleich der Atomdichte. 4. Durch eine Kupferplatte Dicke a =.5 mm, Höhe b = mm) iesst ein Strom I = A. Bendet sich diese Platte in einem Magnetfeld der Induktion B = T parallel zur Dicke entsteht ein Potentialunterschied von U H = 3. µv über der Breite der Platte. Wie gross ist die Konzentration der leitenden Elektronen im Kupfer und ihre mittlere Geschwindigkeit?

2 EM 9, Aufgabenblatt Nr Eine ktive Hallsonde - Gerät zum Ausmessen eines Magnetfeldes - soll aus einer Platte. mm dick) eines Materials mit positiven Ladungsträgern Ladungsträgerkonzentration n + = 3 8 /m 3 ) und negativen Ladungsträgern n = 5 8 /m 3 ) hergestellt werden. Für die Beweglichkeiten gelte < v > / < v + > =. Die Ladungen beider Träger seien jeweils Elementarladungen. Mit dieser Sonde soll das Erdmagnetfeld 5 µt) auf % genau ausgemessen werden. Es steht dafür eine einstellbare Stromquelle und ein Voltmeter zur Verfügung, das auf nv genau misst. Welchen Strom muss die Stromquelle mindestens liefern? Diskutiere das Ergebnis und mache Vorschläge zu einer verbesserten Ausführung einer Hallsonde. 6. Sie iegen mit einem Raumschi mit der Geschwindigkeit v R =.c e x an einer elektrostatisch geladenen Sonne vorbei. Die Sonne trägt die Ladung Q S = GC. Sie hat den Durchmesser D S = Gm. Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems sei am Mittelpunkt der Sonne. Sie benden sich zur Zeit t = bei r = Gm Welche elektromagnetischen Felder messen Sie? 7. Im Laborsystem existieren die beiden homogenen Felder E = V/m und B = mt Wie schnell und in welcher Richtung müssen Sie sich Sie sich durch das Labor bewegen, damit die z-komponente des elektrischen Feldes verschwindet? c 9 Ulm University, Othmar Marti

3 3 EM 9, Aufgabenblatt Nr Im Seminar Minuten) Im Laborsystem existieren die beiden homogenen Felder E = V/m und B = mt Wie schnell müssen Sie sich in die y-richtung durch das Labor bewegen, damit die x- Komponente der magnetischen Induktion verschwindet? Gäbe es noch andere Möglichkeiten? c 9 Ulm University, Othmar Marti 3

4 EM 9, Aufgabenblatt Nr. 9 4 Lösungen. Das magnetische Moment m ist für eine Leiterschleife deniert als m = Ae A I, wobei e A der Normalenvektor auf die Fläche A der Schleife ist. Für eine kurze Spule mit N Windungen ergibt sich einfach: m = N Ae A I Für die angegebene Spule ergibt sich daraus m =.4 A m Das magnetische Moment zeigt in Richtung der Spulenachse. Das Drehmoment in einem Magnetfeld auf einen Körper mit magnetischen Moment berechnet sich zu M = m B = µ m H Mit der angegebenen Orientierung zwischen Feld und Spule ergibt sich M = µ m H sin ϕ =.64 3 N m. Die magnetische Induktion entlang der Symmetrieachse einer sehr kurzen) Spule mit N Windungen sei angenähert die einer einzelnen Windung mit N -fachen Strom. Die magnetische Induktion einer kreisförmigen Schleife mit Radius R, durch die der Strom I iesst, im Abstand ζ zum Kreismittelpunkt auf der Achse des Kreises berechnet sich mit Biot-Savart zu µ I ds r B a) = 4π r 3 kreis Bei Benutzung von ϕ und R zur Beschreibung des Kreises ergibt sich für die Position ζ R cos ϕ sin ϕ r = R sin ϕ und ds = R ζ cos ϕ wodurch ds r = ζ cos ϕ ζ sin ϕ R Rdϕ wird. Die Integration über ϕ mit den Grenzen und π liefert damit: B ζ) = µ I R R + ζ ) 3 also nur eine Komponente in Richtung der z-achse. Um die Homogenität in der Mitte beider Spulen zu prüfen, wählen wir eine Position a z a aus. Die Abstände sind dann ζ = a z und ζ = a + z. 4 c 9 Ulm University, Othmar Marti

5 5 EM 9, Aufgabenblatt Nr Das Magnetfeld ist die Summe der beiden Anteile, also ) B z ζ, ζ ) = B z z) = µ I R + R + ζ) 3 R + ζ) 3 = µ I R + R + a z) ) 3 R + a + z) ) 3 ) Damit ergibt sich: B z z) = µ I R R + a z) ) 3 + R + a + z) ) 3 Damit das Magnetfeld homogen ist, muss der Klammerausdruck in einem möglichst grossem Bereich z um konstant sein, also von z nicht abhängen. Also muss die Ableitung von B z nach z an der Stelle in möglichst hoher Ordnung null sein. Um die Berechnung zu erleichtern, wird die Klammer zuerst umgeschrieben: K = = + R + a az + z ) 3 R + a + az + z ) 3 R + a ) 3/ ) az z 3 + ) R +a + az+z 3 R +a z soll klein sein, so dass um z = eine Taylorentwicklung sinnvoll sein sollte, die hier nach dem quadratischen Term in z abgebrochen wird, wobei der Faktor vor der Klammer jetzt wieder weggelassen wird): K = + 3 a R + a z a R + a z + 3 = + 3 [ [ 5 a a [ 5 a R + a ) R + a ) ] R + a R + a ) ] z R + a R + a Dieser Ausdruck wird unabhängig von z, wenn R = a gilt, also der Durchmesser der Spulen doppelt so gross ist wie ihr Abstand. In diesem Falle ist die Reihenentwicklung für B z B z z) = 5 µ I ] z 4 5a 36 35a 5 z4 + O z 5) ) Das Feld ist also bis und mit der dritten Ableitung ach. z c 9 Ulm University, Othmar Marti 5

6 EM 9, Aufgabenblatt Nr ut 89. ut 88. ut 87. ut B z 86. ut 85. ut 84. ut 83. ut B z z) Approximation 4 mm mm m mm 4 mm z Berechnung mit N =, I = A, a =.5 m.) 3. Die Hall-Spannung beträgt U H = I B qdn q = Ladung der Ladungsträger, d = Strecke des Magnetfeldes in der Probe, n = Ladungsträgerdichte). Die Ladungsträgerdichte ist hier die Atomdichte die mit ρ = Dichte = 7 kg/m 3, m AL = 7 gmol, N A = 6 3 mol ) sich zu ergibt. n = ρ NA m Al = 6 8 m 3 Mit d = a =. mm, q = e Elektron =.6 9 A s erhält man U H =.6 µv 4. Nach der gleichen Formel wie in Aufgabe ergibt sich Dicke d = a, Ladung q = e): n = I B qdu H = I B e a U H = 8. 8 m 3 Die mittlere Geschwindigkeit berechnet sich aus dem Strom mit Höhe h = b) zu I = q n h d < v > 5. Die Hallspannungen berechnen sich gemäss < v >= I enba = 3. 4 m/s U H = I B qnd bei einer Stromstärke I in einem Material der Dicke d mit Ladungsträgern mit Ladung q der Konzentration n in einem Magnetfeld B senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zum Material. Die Spannung ist senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Stromrichtung. Sowohl positive geladene Ladungsträger wie die negativen werden in die gleiche Richtung in der Sonde ausgelenkt, so dass nur die Dierenz beider wirksam ist. 6 c 9 Ulm University, Othmar Marti

7 7 EM 9, Aufgabenblatt Nr Die Hallspannung ist also bei Vorhandensein von positiven und negativen Ladungsträgern: U H = U + U = µ B I+ I ) eb n + n andererseits gilt: U H = h v B = h B < v + > < v > Wenn nun < v > < v + > = ist, so kann der Gesamtstrom I = hb e n + < v + > + n < v > ) berechnet werden, der nötig ist, um die geforderte Hallspannung U H vorhandenen Magnetfeld B = 5µT zu erreichen: = 9 V beim U H = B h < v + > = B 99 h < v + > I = b e h < v + > n + + n ) = be UH B n+ + n 99 = 35A Dieser grosse Strom ist nötig, da die Ladungsträgerkonzentration gross ist. Sinnvoller wäre es, ein Material zu verwenden, dessen Ladungsträgerkonzentration sehr viel kleiner ist, z.b. einen dotierten Halbleiter. 6. Sie iegen in die x-richtung. Die Lorentztransformation für die Felder lautet dann E x = E x E y = γ E y v B z ) E z = γ E z + v B y ) B x = B x B y = γ B y + v ) c E z B z = γ B z v ) c E y Das elektrische Feld bei r = Gm ist E = 4πε Q r e y c 9 Ulm University, Othmar Marti 7

8 EM 9, Aufgabenblatt Nr. 9 8 Es hat also eine y-komponente. Alle anderen Felder sind null. Im Ruhesystem des Raumschies ist dann mit E x = E y = γ E y ) = γ Q 4πε r E z = γ + ) B x = B y = γ + v ) c B z = γ v ) c E y = γ v 4πε c Q r Mit den Zahlenwerten bekommen wir E y = mv/m und E y = mv/m B z = pt 7. Die Felder sind E = V/m und B = Wenn wir die Lorentztransformationen anschauen, mt E x = γ E x + v B z ) E y = E y E z = γ E z v B x ) B x = γ B x v ) c E z B y = B y B z = γ B z + v ) c E x sehen wir, dass eine Geschwindigkeit in die y-richtung E z könnte. Aus bekommen wir und E z v B x ) = v = E z B x = V/m mt = m/s zum Verschwinden bringen v = e y m/s 8 c 9 Ulm University, Othmar Marti

9 9 EM 9, Aufgabenblatt Nr Die Felder sind gleich wie vorher, aber B x soll im bewegten Bezugssystem null sein. Also muss = B x v c E z sein. Die Geschwindigkeit ist dann in die y-richtung und hat den Betrag v = c Bx E z = 9 Pm/s Diese Aufgabe ist, ausser in Science Fiction-Romanen, nicht lösbar! c 9 Ulm University, Othmar Marti 9

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