Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen

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1 Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen 21. November 2016 Siehe Skript, Kapitel 8 Kammeyer & Kroschel, Abschnitt 4.1

2 1 Einführung Filterstrukturen: FIR vs. IIR 2

3 Motivation: Grundlage für Hardware- und Software-Realisierung digitaler Systeme Auswahl optimaler Struktur Vermeidung quantisierungsbedingter Probleme

4 Filterstrukturen: FIR vs. IIR Kurznotation: Signalflussgraph Technisches Element Signalflussgraf z x( k) T x( k-1)= D x( k) X( z) -1 1 z X( z) x( k) a x( k) x( k) a x( k) a a a1 x1 ( k) x1 ( k) a2 x2( k) x2( k) + a1 a2 a a x ( k) a x ( k) 3 i i i i i a i 3 x3( k) x3( k) Figure : Elemente zeitdiskreter LTI-Systeme [2].

5 Filterstrukturen: FIR vs. IIR Struktur eines FIR-Filters v(k) b 0 y(k) z -1 v(k-1) z -1 v(k-2) b 1 b 2 v(k-n-1) b N-1 z -1 v(k-n) b N Figure : Filter mit endlicher Impulsantwort (Finite Impulse Response - FIR).

6 Filterstrukturen: FIR vs. IIR Mögliche Struktur eines IIR-Filters v(k) b 0 y(k) z -1-1 z b -1 v(k-1) 1 a 1 y(k-1) z -1 z b -1 v(k-2) 2 a 2 y(k-2) v(k-n-1) b N-1 a N-1 y(k-n-1) z -1 z b -1 v(k-n) N a N y(k-n) Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response - IIR). Dies ist die Direktform I, andere Strukturen werden im nächsten Abschnitt besprochen.

7 Filterstrukturen: FIR vs. IIR FIR vs. IIR-Filter FIR-Filter IIR-Filter Übertragungs- nur i.a. funktion Nullstellen Pole und Nullstellen Stabilität immer nicht immer Effizienz oft große i.a. geringere Filterordnung nötig Ordnung besondere linearphasiger Nachimplementierung Möglichkeiten Entwurf analoger Filter Probleme Rechenaufwand Stabilität

8 Faktorisierung der Übertragungsfunktion Die Übertragungsfunktion war: H(z) = m µ=0 b µz µ n ν=0 a νz ν mit a 0 = 1 (1) oder m H(z) = z n m µ=0 b µz m µ n ν=0 a. (2) n ν νz

9 Mögliche Struktur eines IIR-Filters v(k) b 0 y(k) z -1-1 z b -1 v(k-1) 1 a 1 y(k-1) z -1 z b -1 v(k-2) 2 a 2 y(k-2) v(k-n-1) b N-1 a N-1 y(k-n-1) z -1 z b -1 v(k-n) N a N y(k-n) Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response - IIR). Dies ist die Direktform I.

10 Varianten und Verbesserungsmöglichkeiten Die erste, geradlinige Realisierung hat einige Nachteile, vor allem: Unnötig viele Verzögerungsterme und Unnötig viele Signalpfade.

11 Erste kanonische Form Sukzessive Umformung führt zur ersten kanonischen Struktur: v(k) b 0 y(k) z -1 b 1 -a 1 z -1 b 2 -a 2 b N-1 -a N-1 b N z -1 -a N Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, erste kanonische Struktur

12 Zweite kanonische Struktur Zur Umformung jedes beliebigen Signalflussgrafen lässt sich die Graph-Transponierung einsetzen. Dabei wird jede Signalflussrichtung umgekehrt jede Verzweigung zu einem Summenknoten und umgekehrt und der Eingang wird mit dem Ausgang vertauscht. Beweis: Siehe [1] (Abschnitt zur Gain Formula of Signal Flow Graph Theory. )

13 Zweite kanonische Struktur Graph-Transposition führt zur zweiten kanonischen Struktur: v(k) b 0 y(k) z -1 -a 1 b 1 z -1 -a 2 b 2 -a N-1 b N-1 z -1 -a N b N Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, zweite kanonische Struktur

14 Die dritte kanonische Struktur ergibt sich aus einer Faktorisierung der Gesamtübertragungsfunktion: p H(z) = H i (z). (3) Dabei werden alle einzelnen Übertragungssysteme als Systeme erster oder zweiter Ordnung realisiert: bzw. i=1 H i (z) = b 0i + b 1i z a 1i z 1 (4) H i (z) = b 0i + b 1i z 1 + b 2i z a 1i z 1 + a 2i z 2 (5) Teilsysteme erster Ordnung können je einen Pol und eine Nullstelle des Gesamtsystems beitragen, während Teilsysteme zweiter Ordnung ein konjugiert komplexes Pol-/Nullstellenpaar liefern.

15 Dritte kanonische Struktur V(z) H 1 (z) H 2 (z)... H p (z) Y(z) Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, dritte kanonische Struktur Die Teilsysteme werden in 1. oder 2. kanonischer Struktur realisiert.

16 Dritte kanonische Struktur Vorteile: Pole und Nullstellen können so zusammengefasst werden, wie es am sinnvollsten ist. Das heißt: Jede Stufe sollte möglichst gut ausgesteuert sein und in jeder Stufe sollte der Fehler durch Koeffizientenquantisierung minimiert werden (siehe VL6.) Stabilität kann pro Teilsystem überprüft werden.

17 Dritte kanonische Struktur Figure : Matlab-Filter in Biquad-Struktur

18 Vierte kanonische Struktur Die vierte (und letzte) kanonische Struktur ist schließlich durch eine Partialbruchzerlegung von H(z) in der Form H(z) = b 0 + q H i (z). (6) zu erhalten, und stellt das Gesamtsystem also als Summe von Teilsystemen dar: i=1

19 ... Vierte kanonische Struktur b 0 H 1 (z) V(z) H 2 (z) Y(z) H q (z) Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, vierte kanonische Struktur

20 Vierte kanonische Struktur Überlegungen: Es bleiben die Vorteile der dritten kanonischen Struktur gegenüber den ersten beiden, direkten Realisierungen: Pole und Nullstellen können so zusammengefasst werden, wie es am sinnvollsten ist. Stabilität des quantisierten Systems kann pro Teilsystem überprüft werden. Die Struktur ist nun parallel statt sequentiell.

21 Lernziele Sie sollten die Unterschiede zwischen FIR- und IIR-Filtern kennen, und die Vor- und Nachteile beider Filterarten verstehen. Sie sollten die vier kanonischen Filterstrukturen kennen, und diese ineinander umrechnen können.

22 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

23 S. Mason and H.J. Zimmermann. Electronic Circuits, Signals and Systems. Wiley, New York, Hans Wilhelm Schüßler. Digitale Signalverarbeitung, volume Auflage, Berlin: Springer, 1994.

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