Brownsche Bewegung. M. Gruber. 19. März Zusammenfassung

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1 Brownsche Bewegung M. Gruber 19. März 2014 Zusammenfassung Stochastische Prozesse, Pfade; Brownsche Bewegung; Eigenschaften der Brownschen Bewegung: Kovarianz, Stationarität, Selbstähnlichkeit, quadratische Variation.

2 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse sind Familien von Zufallsvariablen X(t) auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), die von einem kontinuierlichen Parameter t abhängen. Typischerweise durchläuft der Parameter t ein Intervall nichtnegativer reeller Zahlen, z.b. das Intervall [0, T] oder [0, [. Man schreibt dann den Prozess als (X(t)) 0 t T bzw. (X(t)) t 0 Man kann sich t als Zeit und X(t) als Ort oder Zustand vorstellen. Jedes X(t) unterliegt einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der realisierte Wert eines X(t) ist X(t, ω). 1

3 Pfade In erster Linie interessiert man sich für die Pfade stochastischer Prozesse. Ein Pfad beschreibt die Orte oder Zustände, die eine Realisierung des Prozesses im Laufe der Zeit aufsucht. Mathematisch ist ein Pfad die Abbildung t X(t, ω). Ein stochastischer Prozess hat i.a. viele Pfade für jedes ω Ω einen. Die Menge aller Pfade eines Prozesses bildet seinen Pfadraum. Der Pfadraum ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. 2

4 Brownsche Bewegung Die Brownsche Bewegung ist fundamental für alles, was wir hier behandeln werden. Denition 1. [Brownsche Bewegung] Ein stochastischer Prozess (B(t)) t 0 ist eine Brownsche Bewegung (oder: Wienerprozess), wenn gilt: 1. B(0) = 0, 2. B(t) B(s) N(0, t s) für 0 s < t, 3. {B(t i+1 ) B(t i ) 0 t 1 t 2... t k } sind unabhängige Zufallsvariablen, 4. t B(t, ω) ist fast sicher stetig, d.h. P({ω t B(t, ω) ist stetig}) = 1. Anstatt (B(t)) t 0 ist auch die Notation (W(t)) t 0 (W für Wienerprozess, benannt nach Norbert Wiener) für die Brownsche Bewegung gebräuchlich. 3

5 Simulation einer Brownschen Bewegung Abbildung 1: Drei Pfade einer Brwownschen Bewegung 4

6 Kovarianz der Brownschen Bewegung Satz 1. Cov(B(s), B(t)) = min{s, t}. Beweis Sei 0 s t. Nach dem Verschiebungssatz für die Kovarianz ist Cov(B(s), B(t)) = E B(t)B(s) E B(t) E B(s). Da die Erwartungswerte E B(t) und E B(s) null sind, ist Cov(B(s), B(t)) = E B(t)B(s). Es ist E B(t)B(s) = E(B(s) + B(t) B(s))B(s) = E(B(s) + B(t) B(s))B(s) = E B(s) 2 + E(B(t) B(s))(B(s) B(0)). Die Zuwächse B(t) B(s) und B(s) B(0) sind unabhängig und haben den Erwartungswert null. Folglich ist Cov(B(s), B(t)) = E B(s) 2 = s. 5

7 Stationarität der Brownschen Bewegung Wenn man die Zuwächse einer Brownschen Bewegung ab einem beliebigen Zeitpunkt beobachtet, sieht man wieder eine Brownsche Bewegung: Satz 2. Ist (B(t)) t 0 eine Brownsche Bewegung und s > 0, so ist auch (B(s + t) B(s)) t 0 eine Brownsche Bewegung. Beweis Der neue Prozess erfüllt alle vier Punkte von Denition 1. 6

8 Selbstähnlichkeit einer Brownschen Bewegung Wenn man die Pfade einer Brownschen Bewegung in geeigneter Weise zoomt, sieht man wieder eine Brownsche Bewegung: Satz 3. Ist (B(t)) t 0 eine Brownsche Bewegung und c > 0, so ist auch ( 1 c B(ct)) t 0 eine Brownsche Bewegung. Beweis Der neue Prozess erfüllt alle vier Punkte von Denition 1. Bemerkung. Die Aussage gilt sowohl für sehr groÿe als auch sehr kleine c. 7

9 Existenz einer Brownschen Bewegung: Lévy-Konstruktion Die Lévy-Konstruktion 1 (benannt nach Paul Lévy) ist ein konstruktiver mathematischer Beweis für die Existenz einer Brownsche Bewegung. Schrittweise wird eine Folge von Prozessen erzeugt, von denen jeder die Punkte 1 bis 3 von Denition 1 auf einer endlichen Menge dyadischer Stützstellen erfüllt und ausserdem stetige Pfade hat. Bei jedem Schritt wächst die Stützstellenmenge und liegt dichter auf dem Zeitstrahl. Die Folge der konstruierten Prozesse konvergiert pfadweise P-fast sicher gleichmäÿig auf kompakten Zeitintervallen gegen einen Grenzprozess. Dieser erfüllt alle vier Punkte von Denition 1. 1 Eine gut lesbare Beschreibung der Lévy-Konstruktion ndet man in [2]. 8

10 Grenzwert einer skalierten symmetrischen Irrfahrt Die Brownsche Bewegung kann durch eine skalierte symmetrische Irrfahrten approximiert werden 2. Seien X 1, X 2,... iid 3 mit P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1) = 1 2. Der diskrete Prozess (M k ) k N mit M k = 1 j k X j heisst symmetrische Irrfahrt. Für jedes n bilden die Zufallsvariablen B n (t) = 1 n 1 j nt X j = 1 n M nt einen kontinuierlichen Prozess (B n (t)) t 0, eine skalierte symmetrische Irrfahrt. Satz 4. d.h. Die Verteilung der Zuwächse B n (t) B n (s) konvergiert gegen N(0, t s), lim P n ( Bn (t) B n (s) t s ) a = Φ(a). 2 siehe hierzu [3], Abschnitt 3.2., und [1]. 3 unabhängig und identisch verteilt (independent, identically distributed) 9

11 Pfade skalierter symmetrischer Irrfahrten Abbildung 2: Einige Pfade von B 16 (t) (links) und B 256 (t) (rechts) für 0 t 1. 10

12 Quadratische Variation (1) Ein Maÿ für pfadweises Schwankungsverhalten stochastischer Prozesse ist die quadratische Variation. Denition 2. [Quadratische Variation] Die quadratische Variation [X, X] t eines Prozesses (X(t)) t 0 ist, falls er existiert, der Limes nach Wahrscheinlichkeit lim n (X(t (n) i 1 i k n ) X(t (n) i 1 ))2, wobei der Limes über beliebige verfeinernde Folgen von Partitionen Π n = {0 = t (n) t (n) 1... t (n) k n wird. = t} mit Π n = max 1 i kn t (n) i 0 t (n) i 1 0 für n gebildet Denition 3. [Quadratvariations-Prozess] Der Prozess ([B, B] t ) t 0 heiÿt Quadratvariations-Prozess. 11

13 Quadratische Variation (2) Satz [M, M] k := 1 j k (M j M j 1 ) 2 = k für k N, 2. [M, M] k = Var M k, 3. [B n, B n ] t := 1 j nt (B n( j n ) B n( j 1 n ))2 = t für t 0 mit nt N, 4. [B n, B n ] t = Var B n (t) für t 0 mit nt N, 5. [B, B] t = t P-fast sicher, 6. [B, B] t = Var B(t). Praktisch alle Pfade einer Brownschen Bewegung weisen also das gleiche Schwankungsverhalten auf. Wir werden auf dieses Resultat später zurückgreifen. 12

14 Literatur [1] David Gamarnik and Premal Shah. Brownian Motion; introduction. rdonlyres/b93a685b f-ad d2a4d0f/0/lec5.pdf. [2] Hank Krieger. Construction of Brownian Motion. brownianmotion.pdf. [3] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II. Springer,