Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1
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- Til Schubert
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1 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1 Andreas Čap Sommersemester 2015 Wiederholung grundlegender Begriffe (1 Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung f : R 3 R 3, die gegeben ist durch f(x, y, z = (3x 2y + z, y z, 6x y z. (2 Bestimme alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems über K = R: 3x 1 2x 2 +3x 3 x 4 = 1 x 1 +x 2 5x 3 +2x 4 = 3 +x 2 2x 3 +x 4 = 5 (3 Für welche Werte a, b, c R sind die Vektoren ( 1 1, 0 ( 01 1, ( ab c linear unabhängig? (4 Bestimme alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems über K = Z 7 : 3x+ 2y +z = 4 x+ 3y z = 1 2x + 4z = 5 (5 Sei R 2 [x] der Raum der reellen Polynome vom Grad 2. Für p R 2 [x] schreibe die zugehörige Polynomfunktion R R als t p(t. Zeige, dass {p R 2 [x] : p( 1 = p(1} R 2 [x] ein Teilraum ist und finde einen komplementären Teilraum von R 2 [x]. (6 Bestimme den Rang der Matrix A M 4 (R, die gegeben ist durch A = (7 Sei R 2 [x] der Raum der reellen Polynome vom Grad 2. Für p R 2 [x] schreibe die zugehörige Polynomfunktion R R als t p(t und betrachte die Abbildung ϕ : R 2 [x] R, die gegeben ist durch ϕ(p := 1 p(tdt. Zeige, dass ϕ eine lineare 0 Abbildung ist. Anleitung: Berechne ϕ(p explizit als Funktion der Koeffizienten von p. (8 Erweitere die Vektoren v = (0, 2, 3, 1 und w = (1, 0, 0, 1 zu einer Basis von R 4. 1
2 2 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe 2015 (9 Sei g R 3 die affine Gerade durch den Punkt (1, 2, 3 in Richtung des Vektors (1, 1, 1. Bestimme die lineare Hülle g von g und gib eine Basis für diesen Teilraum an. (10 Sei V ein endlichdimensionaler K Vektorraum, W V ein Teilraum und v 0 V ein Vektor mit v 0 / W. Zeige, dass es eine linear Abbildung f : V K gibt, sodass W ker(f und f(v 0 = 1 gilt. Anleitung: Zeige, dass die Vereinigung einer Basis von W mit {v 0 } linear unabhängig ist, erweitere zu einer Basis für V und definiere f auf dieser Basis. (11 Für den Vektorraum R 2 berechne die beiden Matrizen [id]{( S B und [id]b ( S zu den Basiswechseln zwischen der Standardbasis S und der Basis B =, } (12 Zeige, dass B := {x 2 1, x 2 3x+2, x 2 x 2} eine Basis von R 2 [x] ist und bestimme die Koordinatenvektoren der Polynome 1, x und x 2 bezüglich dieser Basis. (13 Berechne die Matrixdarstellung [D] B,B des Ableitungsoperators D : R 2 [x] R 2 [x], der gegeben ist durch D(ax 2 + bx + c = 2ax + b, bezüglich der Basis B aus dem letzten Beispiel. (14 Seien U, V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K und seien f : U V und g : V W lineare Abbildungen. Zeige, dass für die Ränge die Abschätzung rg(g f min{rg(f, rg(g} gilt. Zeige durch Beispiele, dass Gleichheit gelten kann aber nicht gelten muss. (15 Für eine Matrix A M m,n (K und k, l N mit k m und l n definiert man eine k l Teilmatrix von A als eine Matrix, die entsteht, wenn man in A (m k Zeilen und (n l Spalten weglässt. Versuche, eine präzise Definition des Begriffs der Teilmatrix zu geben und zeige mit Hilfe des vorigen Beispiels, dass für eine Teilmatrix B von A immer rg(b rg(a gelten muss. (16 Sei A M m,n (K eine Matrix. Zeige, dass A genau dann Rang r hat, wenn es eine r r Teilmatrix von A gibt, die invertierbar ist, aber keine (r +1 (r +1 Teilmatrix diese Eigenschaft hat. Anleitung: Hat A Rang r, dann zeige zunächst, dass es r linear unabhängige Zeilen in A gibt, dann betrachte die von diesen Zeilen gebildete r n Teilmatrix. (17 Bestimme die Dimension des Teilraumes von R 5, der von den Vektoren (1, 1, 2, 0, 0, (0, 1, 2, 0, 1, (1, 2, 0, 1, 0 und (0, 1, 6, 1, 2 erzeugt wird. Anleitung: Führe das Problem auf die Bestimmung des Ranges einer Matrix zurück. (18 Für die Matrizen E = ( und F = ( berechne (E+F 2 und E 2 +2EF +F 2. (19 Definiere den Kommutator [A, B] von zwei Matrizen A, B M n (K durch [A, B] = AB BA. Zeige, dass die Gleichung (A + B 2 = A 2 + 2AB + B 2 genau dann gilt, wenn [A, B] = 0 ist. Beweise weiters, dass für A, B, C M n (K die Jacobi Identität [A, [B, C]] = [[A, B], C] + [B, [A, C]] gilt. Kapitel 5: Quotientenräume und Dualräume
3 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe (20 Betrachte den Teilraum von W = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 0} R 3. Konstruiere explizit einen linearen Isomorphismus zwischen dem Quotientenraum R 3 /W und dem Teilraum {(t, t, t : t R} R 3. (21 Seien U und V zwei K Vektorräume und W V ein Teilraum. Zeige, dass man den Raum L(U, W von linearen Abbildungen als Teilraum von L(U, V betrachten kann und dass der Quotient L(U, V /L(U, W isomorph zu L(U, V/W ist. Anleitung: Der Isomorphismus kann durch die Abbildung π (f := π f realisiert werden, wobei π : V V/W die natürliche Quotientenabbildung ist. (22 Seien V und Z zwei K Vektorräume und W V ein Teilraum. Zeige, dass man den Raum L(V/W, Z von linearen Abbildungen mit dem Teilraum {ϕ L(V, Z : w W : ϕ(w = 0} L(V, Z identifizieren kann. Anleitung: Der Isomorphismus kann durch die Abbildung π (f := f π realisiert werden, wobei π : V V/W die natürliche Quotientenabbildung ist. (23 Zeige, dass es reelle Zahlen a, b, c R gibt, sodass für jedes Polynom p R 2 [x] die zugehörige Polynomfunktion p : R R die Gleichung p(5 = a(p( 1 + b(p(0 + c(p(1 erfüllt. Bestimme diese Zahlen explizit. (24 Betrachte den Raum R n [x] von Polynomen mit reellen Koeffizienten, und schreibe die Polynomfunktion zu p R n [x] als t p(t. Zeige, dass für jeden Punkt t R die Abbildung ev t (p := p(t ein Element des Dualraumes (R n [x] definiert. Zeige weiters, dass für n + 1 paarweise verschiedene Punkte t 0,..., t n die Menge {ev t0,..., ev tn } eine Basis für (R n [x] bildet. Interpretiere das vorige Beispiel in Anbetracht dieses Resultats. (25 Zum Ableitungsoperator D : R 2 [x] R 2 [x] aus Beispiel (13 sei D die duale Abbildung. Bestimme die Matrixdarstellungen von D bezüglich der dualen Basis B zu B = {1, x, x 2 }. (26 Bestimme die Matrixdarstellung der Abbildung D aus dem letzten Beispiel bezüglich der Basis C = {ev 1, ev 0, ev 1 }. Kapitel 6: Determinanten (27 Verifiziere direkt, dass für zwei Matrizen A, B M 2 (R die Gleichung det(ab = det(a det(b gilt. (28 Zeige: Ist A M n (R und r R, dann ist det(ra = r n det(a. (29 Löse das folgende lineare Gleichungssystem über R mit Hilfe der Cramer schen Regel 3x + y z = 0 x + y + z = 0 y z = 1
4 4 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe 2015 (30 Löse das folgende lineare Gleichungssystem über R mit Hilfe der Cramer schen Regel 2x y + z = 1 x + 3y 2z = 0 4x 3y + z = 2 (31 Sei A = (a ij M n (R eine untere Dreiecksmatrix, d.h. a ij = 0 für j > i. Benutze die Definition von det aus Satz 6.4 der Vorlesung und Induktion nach n um zu beweisen, dass det(a = a 11 a nn gilt. (32 Für n 2 und λ C betrachte die Matrix A λ = (a ij M n (C, die gegeben ist durch a ii = 1 für i = 1,..., n, a i+1,i = λ für i = 1,..., n 1, a 1n = λ und alle anderen Eintragungen gleich Null. Zeige, dass det(a λ = 1 + ( 1 n 1 λ n gilt. (33 Eine Matrix M = (m ij M n (R heißt Block untere Dreiecksmatrix der Größe k, falls m ij = 0 gilt, wann ( immer i k und j > k gilt. Das bedeutet gerade, dass man A 0 M in Blockform als für A M B C k (R, C M n k (R und B M n k,k (R. Benutze die Definition( von det aus Satz 6.4 der Vorlesung und Induktion nach k um A 0 zu beweisen, dass det = det(a det(c gilt. B C (34 Erstelle eine Liste aller Permutationen in S 3, stelle jede dieser Permutationen als ein Produkt von höchstens drei Transpositionen dar und bestimme ihr Signum. (35 Sei k < n N und σ S n eine Permutation, sodass σ(j k für alle j k gilt. Zeige, dass es eindeutige Permutationen σ S k und σ S n k gibt, sodass σ(j = σ (j für j k und σ(j = σ (j k + k für alle j > k gilt. Weiters zeige, dass sgn(σ = sgn(σ sgn(σ gilt. (36 ( Für Matrizen A M k (R und B M l (R betrachte die (k + l (k + l Matrix A 0 ( Blockdiagonalmatrix. Benutze das vorige Beispiel und die Leibnizformel 0 B für die Determinante um zu zeigen, dass die Determinante dieser Matrix det(a det(b ist. Verallgemeinere das auf endlich viele Blöcke. (37 Berechne die Determinanten der folgenden Matrizen durch Entwickeln nach Zeilen oder Spalten: (38 Berechne die Determinanten der folgenden Matrizen:
5 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe (39 Berechne mit Hilfe von Determinanten die Inverse der komplexen Matrix 1 i i i (40 Sei V ein n dimensionaler komplexer Vektorraum und sei {v 1,..., v n } eine Basis für V. Für welche Werte λ C ist auch {w 1,..., w n } eine Basis von V, wobei w 1 = v 1 + λv 2, w 2 = v 2 + λv 3,...,w n 1 = v n 1 + λv n, w n = v n + λv 1. (Vergleiche mit Beispiel 32. (41 Seien u und v zwei linear unabhängige Vektoren in R 3. Zeige, dass für einen Vektor w R 3 genau dann det(u, v, w = 0 gilt, wenn w in dem von u und v erzeugten Teilraum von R 3 liegt. Benutze das, um explizit eine lineare Abbildung f : R 3 R anzugeben, deren Kern der von (1, 2, 3 und ( 2, 0, 5 erzeugte Teilraum von R 3 ist. (42 Sei A M n (R eine invertierbare Matrix mit ganzzahligen Eintragungen. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (a Für jeden Vektor b R n mit ganzzahligen Eintragungen sind alle Komponenten der eindeutigen Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ganzzahlig. (b Alle Eintragungen der inversen Matrix A 1 sind ganzzahlig. (c det(a = ±1. 7. Eigenwerte und charakteristisches Polynom (43 Bestimme mit Hilfe des Gauß schen Algorithmus die Eigenwerte der Matrix ( 1 1 A = M (R. Anleitung: λ ist genau dann ein Eigenwert, wenn A λi Rang kleiner als zwei hat. (44 Für θ [0, 2π bestimme das charakteristische Polynom der Matrix ( cos(θ sin(θ A θ = M sin(θ cos(θ 2 (R und bestimme damit die Eigenwerte von A θ. Interpretiere die lineare Abbildung x A θ x geometrisch. (45 Sei A M 3 (R eine Matrix, sodass A 3 = I aber A I gilt. Zeige: A kann nicht diagonalisierbar sein. Gilt das auch für A M 3 (C? Anleitung: Zeige, dass (T AT 1 3 = T A 3 T 1 gilt und benutze das. (46 Sei K ein Körper. Zeige, daß die Multiplikation auf K[x], ( a i x i ( b j x j = c k x k mit c k = k i=0 a ib k i assoziativ, kommutativ und distributiv bezüglich der Addition ist. (47 Dividiere das Polynom 2x 5 x 4 +3x 3 2x 2 +3x+1 R[x] mit Rest durch x 2 2x+1. (48 Zeige: über K = Z 2 gibt es unendlich viele Polynome, die keine Nullstelle in K haben.
6 6 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe 2015 (49 Für ϕ [0, 2π finde eine Basis von C 2 die aus Eigenvektoren der Matrix ( cos(ϕ sin(ϕ sin(ϕ cos(ϕ besteht. (50 Berechne das charakteristische Polynom der Matrix A = M 3 (R Bestimme die Eigenwerte von A und finde eine Basis von R 3, die aus Eigenvektoren von A besteht. (51 Berechne das charakteristische Polynom der Matrix A = M 3 (R Bestimme die Eigenwerte von A und finde eine Basis von R 3, die aus Eigenvektoren von A besteht. (52 Sei V := C([0, 1], R der Vektorraum aller stetigen Funktionen [0, 1] R. Zeige: Die Funktion I : V V, die gegeben ist durch I(f(x = x f(sds ist linear und besitzt 0 keinen Eigenwert. Anleitung: Wäre f ein Eigenvektor, dann wäre f(0 = 0. Andererseits folgt aus I(f = λf das f differenzierbar ist und eine bestimmte Differentialgleichung erfüllt (53 Zeige: Sind λ 1,..., λ n C die Nullstellen eines komplexen Polynoms der Form p = t n +a n 1 t n 1 + +a 1 t+a 0, dann ist a n 1 = (λ 1 + +λ n und a 0 = ( 1 n λ 1 λ n. Im Fall n = 3 zeige auch a 2 = λ 1 λ 2 + λ 1 λ 3 + λ 2 λ 3. (54 Zeige allgemein, daß für die Koeffizienten a 0,... a n 1 des Polynoms p aus dem letzten Beispiel die Formel a n k = ( 1 k (λ i1 λ ik gilt, wobei die Summe über alle n Tupel (i 1,..., i k von Indizes mit 1 i 1 < i 2 < < i k n geht. ( a b (55 Zeige: Für a, b R sind die Eigenwerte von die komplexen Zahlen a ± ib. b a ( a b (56 Zeige: Für a, b, c R ist die Matrix M b c 2 (R immer diagonalisierbar. (57 Zeige: Ist A M n (R diagonalisierbar und sind alle Eigenwerte von A 0, dann gibt es eine Matrix B M n (R, sodaß B 2 = BB = A gilt. Anleitung: diagonalisiere A, wähle eine Wurzel davon, und bilde daraus eine Wurzel von A. (58 Zeige für beliebiges n N, dass es keine Matrizen A, B M n (C gibt, die AB BA = I erfüllen. Anleitung: Bilde die Spur. (59 Zeige, dass es keine Matrix A M 3 (R gibt, die A 2 = I erfüllt. Finde eine Matrix B M 2 (R mit B 2 = I. Anleitung: Benutze, dass A mindestens einen reellen Eigenwert haben muss, weil das charaktieristische Polynom p A Grad 3 hat.
7 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe (60 Zeige, dass es keine Matrix B M 2 (R gibt, die B 2 = ( erfüllt. Anleitung: Zeige erst, dass die Abbildung f(x := Bx nichttrivialen Kern hat. Erweitere eine Basis von Ker(f zu einer Basis B von R 2. Nun überlege, dass [f] 4 B = 0 gilt, folgere daraus [f] 2 B = 0 und daraus B2 = 0. (61 Zeige: Die Matrix ist diagonalisierbar über R (62 Zeige: Die Matrix M 3 (R ist diagonalisierbar (63 Sei A M 3 (R die Matrix aus dem letzten Beispiel. Finde eine invertierbare Matrix T M 3 (R sodass T AT 1 eine Diagonalmatrix ist (64 Zeige: Die Matrix M 3 (R ist nicht diagonalisierbar (65 ( Finde Bedingungen an a, b, c, d R die äquivalent zur Diagonalisierbarkeit von A = a b (i über R und (ii über C sind. c d (66 Zeige: Um Nullstellen von Polynomen dritter Ordnung über C zu bestimmen, genügt es, Polynome der Form x 3 + px + q zu betrachten. Anleitung: Normiere erst den führenden Koeffizienten, dann eliminiere den quadratischen Term durch eine geeignete Substitution der Form t = x a. (67 Benutze die Idee des vorigen Beispiels um die Lösungsformeln für quadratische Gleichungen herzuleiten. (68 Zeige, wie man eine Lösung der kubischen Gleichung λ 3 + pλ + q = 0 über K = C finden kann. Anleitung: Substituiere λ = w p. Multipliziere die entstehende Gleichung mit 3w w 3, und löse die daraus erhaltene quadratische Gleichung für w 3. Dann muss man nur noch die dritte Wurzel ziehen und einsetzen. (69 Sei p R 2 [x] ein Polynom von Grad 2. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom q R 2 [x] gibt, sodass q(λ = p(λ + 1 für alle λ R gilt. Wie sieht das über K = Z 2 aus? (70 Zeige, dass man eine lineare Abbildung Φ : R 2 [x] R 2 [x] erhält, indem man Φ(p als das eindeutige Polynom q aus dem letzten Beispiel definiert. Berechne die Eigenwerte von Φ und zeige, dass Φ nicht diagonalisierbar ist. (71 Verallgemeinere das letzte Beispiel auf Polynome höheren Grades und auf Verschiebungen um µ R statt um 1.
8 8 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe 2015 (72 Sei f : R 3 R 3 eine lineare Abbildung, die 2 als einzigen Eigenwert bestizt, wobei die algebraische Vielfachheit 3 und geometrische Vielfachheit 2 beträgt. Zeige, dass es eine Basis B von R 3 gibt, sodass [f] B = gilt Anleitung: Wähle zunächst eine Basis des Eigenraumes V f 2 und erweitere sie durch einen Vektor v 3 zu einer Basis von R 3. Benutze die resultierende Matrixdarstellung und die Information über die Vielfachheiten um zu zeigen, dass v 2 := f(v 3 2v 3 V f 2 \ {0} gilt. Dann wählte v 1 V f 2 so, dass {v 1, v 2 } eine Basis für V f 2 ist und setze B = {v 1, v 2, v 3 }. 8. Normen und innere Produkte (73 Zeige, dass A, B := tr(ab t, wobei tr die Spur bezeichnet, ein positive definites inneres Produkt auf dem Raum M n (R der reellen n n Matrizen definiert. (74 Interpretiere die Parallelogrammidentität v + w 2 + v w 2 = 2( v 2 + w 2 geometrisch, und bringe sie mit dem Satz von Pythagoras in Verbindung. (75 Für die Vektoren v = (2, 1, 5 und w = (3, 1, 3 in R 3 berechene v, w, v, w, v + w und v w. (76 Sei (V,, ein euklidischer Vektorraum und B = {v 1,..., v n } eine Orthonormalbasis für V. Zeige: Ist f : V V eine lineare Abbildung, dann ist die Matrixdarstellung [f] B = (a ij gegeben durch a ij = f(v i, v j. (77 Zeige direkt, dass für das Standard innere Produkt auf R n und eine Matrix A M n (R die Gleichung Ax, y = x, A t y für alle x, y R n gilt. (78 Benutze das vorige Beispiel um folgendes Resultat zu beweisen: Ist A M n (R symmetrisch, d.h. A t = A, und sind v und w Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten, dann ist v, w = 0. (79 Finde eine Orthonormalbasis für den Teilraum von R 4, der von den Vektoren (1, 1, 1, 1 und (0, 1, 2, 2 erzeugt wird. (80 Finde eine Orthonormalbasis für den Teilraum von C 3, der von den Vektoren (1, i, 0 und (1, 1, 1 erzeugt wird. (81 Sei (V,, ein euklidischer Vektorraum, W V ein Teilraum und seine p, q V Punkte. Zeige: Im affinen Teilraum p+w = {p+w : w W } gibt es einen eindeutigen Punkt x 0, der minimalen Abstand von q besitzt. Zeige weiters, dass x 0 durch (x 0 q W charakterisiert ist. Anleitung: Benutze V = W W um die Existenz eines eindeutigen Punktes x 0 mit (x 0 q W zu zeigen. Für x p + W berechne dann x q mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. (82 Sei (V,, ein euklidischer Vektorraum, W V ein Teilraum und π : V W die Orthogonalprojektion auf W. Zeige: Ist {w 1,..., w k } eine Orthonormalbasis für W, dann ist π(v = k i=1 v, w i w i.
9 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1, A. Čap, SoSe (83 Betrachte die Ebene E in R 3, die von den Vektoren (1, 2, 2 und ( 1, 1, 0 erzeugt wird. Finde die Matrix A M 3 (R, sodass x Ax die Orthogonalprojektion auf E ist. Verfiziere, dass AA = A t = A gilt. Anleitung: Benutze die Formel für die Orthogonalprojektion aus dem letzten Beispiel. (84 Sei A M n (R eine Matrix. Zeige, dass b(x, y := Ax, y eine Bilinearform auf R n definiert, die genau dann symmetrisch ist, wenn A symmetrisch ist, also A t = A erfüllt. (85 In der Situation des letzten Beispiels nimm an, dass n = 2 gilt und A symmetrisch ist. Zeige, dass die Bilinearform b(x, y := Ax, y genau dann positiv definit ist, wenn die beiden Eigenwerte von A (vergleiche mit Beispiel 56 positiv sind. (86 ( In der Situation des letzten Beispiels zeige, dass die Bilinearform b zur Matrix A = a b genau dann positiv definit ist, wenn a > 0 und det(a > 0 gilt. b c (87 Für a, b R, a, b 0 finde einen Vektor n R 2 und eine Zahl d R, sodass {x R 2 : n, x = d} die affine Gerade durch die Punkte (a, 0 und (0, b ist. (88 Seien v, w R 3 linear unabhängig und p R 3 ein Punkt. Zeige, dass der Normalabstand von p von der von v und w erzeugten Ebene durch gegeben ist. p,v w v w,v w (89 Seien v, w R 3 linear unabhängig. Zeige, dass {v, v w, v (v w} eine Orthogonalbasis für R 3 ist. (90 Sei (V,, ein euklidischer Vektorraum und seien v 0, w 0 V beliebig. Für die lineare Abbildung f(v := v, v 0 w 0 bestimme die adjungierte Abbildung f. (91 Schreibe die Drehung um einen Winkel ϕ in R 2 explizit als Produkt von 2 Spiegelungen. (92 Betrachte den euklidischen Vektorraum V := R n (mit dem Standard inneren Produkt, den k dimensionalen Teilraum R k V sowie einen beliebigen weiteren Teilraum W V mit dim(w = k. Zeige, dass es eine orthogonale lineare Abbildung f : R n R n gibt, die f(r k = W erfüllt. Anleitung: Wähle eine Orthonormalbasis für W und ergänze sie zu einer Orthonormalbasis für V. Benutze diese Basis um eine geeignete orthogonale Matrix zu konstruieren. (93 Sei (V,, ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, W V ein Teilraum. Definiere die Spiegelung σ W : V V an W durch σ W (v = v 1 v 2 wobei v = v 1 + v 2 die eindeutige Darstellung mit v 1 W und v 2 W ist. Zeige, daß σ W eine orthgonale Abbildung ist, und das det(σ W = ( 1 dim(w ist. Was sind σ {0} und σ V? (94 Zeige: Sind V und W wie im letzten Beispiel und ist {v 1,..., v k } eine Orthonormalbasis für W, dann ist σ W (v = v 2 k i=1 v, v i v i. (95 Betrachte die Vektoren v = ( 1, 2, 1 und w = (0, 2, 1 in R 3. Finde eine orthogonale Abbildung, die v und w in die x y Ebene abbildet. Anleitung: Berechne v w und finde eine Spiegelung (an einer Ebene, die diesen Vektor auf (0, 0, v w abbildet.
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