Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)

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1 Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal: Seien V und W Vektorräume über K. Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung L : V W, v L(v mit L(v + w = L(v + L(w für alle v, w V und L(cv = cl(v für alle v V und c K. linabb4.pdf, Seite

2 Beispiele ( ( L : R 2 R 2 v v, v 2 v 2 (Spiegelung an der. Koordinatenachse ist eine lineare Abbildung, denn ( ( ( v + w L(v + w = v w = + (v 2 + w 2 v 2 w 2 = L(v + L(w ( cv v und L(c v = = c( = c L(v cv 2 v 2 für alle v, w R 2 und c R, ( ( Die Abbildung L : R 2 R 2 v v, v 2 v 2 + (Verschiebung um eine Einheit nach oben ist nicht linear. Dies erkennt man beispielsweise daran, dass mit v = ( und w = ( gilt L(v + w = L ( = ( L(v + L(w = ( + ( 2 2 = (. 3 linabb4.pdf, Seite 2

3 Beispiel Lineare Abbildung L(v = ( ( v v2 Die Linearität führt dazu, dass sich L(v + w aus den Vektoren L(v + L(w zusammensetzen lässt. linabb4.pdf, Seite 3

4 Beispiel Nichtlineare Abbildung L(v = ( ( v v2 + ( Hier wird die Struktur der Bildvektoren links zerstört. linabb4.pdf, Seite 4

5 Weiteres Beispiel Sei V = W = {p(x = ax 2 + bx + c : a, b, c R} der Vektorraum aller Polynome vom Grad 2. Dann ist L : p(x p (x = 2ax + b eine lineare Abbildung, denn mit p(x = ax 2 + bx + c und q(x = dx 2 + ex + f gilt (p + q (x = 2(a + dx + (b + e = 2ax + b + 2dx + e = p (x + q (x. Analog rechnet man nach (λ p (x = λ p (x für Skalare λ R. Ebenfalls eine weitere lineare Abbildung ist z. B. L : V R, p p(2 = 4a + 2b + c, denn es gilt (p + q(2 = p(2 + q(2 und (λ p(2 = λ p(2. linabb4.pdf, Seite 5

6 Bemerkungen Aus L( = L( = L( = folgt, dass jede lineare Abbildung den Nullvektor von V auf den Nullvektor von W abbilden muss. Die Abbildung f : R n R m, x Ax + b mit b R m ist keine lineare Abbildung, falls b. Solche Abbildungen werden als ane Abbildungen bezeichnet. Es gibt jedoch einen Trick, der es ermöglicht, auch Translationen der Form x x + b als lineare Abbildungen zu beschreiben. Dieser besteht im Hinzufügen einer zusätzlichen Dimension und der Betrachtung homogener Koordinaten. linabb4.pdf, Seite 6

7 Anwendungen Geometrische Operationen wie Drehungen um den Koordinatenursprung, Spiegelungen, Streckungen, Projektionen etc. werden durch lineare Abbildungen beschrieben. Zum Beispiel beschreibt ( L α : x y ( cos α sin α sin α cos α ( in der Ebene eine Linksdrehung um den Winkel α. Lineare Codes L : Z n 2 Z n+k 2, (x,..., x n (x,..., x n, y,..., y k mit den Kontrollbits (y,..., y k = (x,..., x n A, wobei A eine n kmatrix mit Koezienten in Z 2 ist. x y linabb4.pdf, Seite 7

8 Satz Ist {v,..., v n } eine Basis von V, so ist jede lineare Abbildung L : V W durch die Bilder der Basisvektoren L(v,..., L(v n eindeutig festgelegt. Beweis Ein beliebiges x V hat eine eindeutige Darstellung x = c v c n v n mit c,..., c n K. Durch wiederholtes Anwenden von L(v i + v j = L(v i + L(v j und L(c i v i = c i L(v i folgt L(x = L(c v c n v n = L(c v L(c n v n = c L(v c n L(v n. d. h. L(x ist durch L(v,.., L(v n eindeutig bestimmt. linabb4.pdf, Seite 8

9 Beispiel L : R 2 R 2 sei die lineare Abbildung mit ( ( ( ( 3 L = und L =. 2 ( x Für beliebiges R 2 folgt y ( ( ( ( x L = L x + y y ( ( = L x ( = x L = ( x + 3y 2x + 4y 4 ( ( + L y ( + y L ( = ( = x ( x y 2 ( + y 3 4 linabb4.pdf, Seite 9

10 Folgerung: Abbildungsmatrix Eine Abbildung L : R n R m ist genau dann linear, wenn es eine m nmatrix gibt mit L(x = Ax für alle x R n. zum Beweis: Dass jede Abbildung der Form x Ax linear ist, folgt aus den Regeln der Matrizenmultiplikation A(x + y = Ax + Ay und A(cx = cax für Skalare c R. Ist umgekehrt eine lineare Abbildung L : R n R m gegeben, so bilden die Bilder L(e, L(e 2,..., L(e n der Standardeinheitsvektoren gerade die Spalten der zugehörigen Abbildungsmatrix A (vgl. letztes Beispiel. Im letzten Beispiel ( ( ( Aus L = und L ( x L = y ( ( x = y ( = 3 4 ( x + 3y 2x + 4y folgt. linabb4.pdf, Seite

11 Weiteres Beispiel Welche Matrix beschreibt im R 2 eine Spiegelung an der Geraden x 2 = 2x? Vektoren, die auf der Gerade liegen, ( werden ( auf sich selbst abgebildet, z. B. muss gelten L =. Vektoren, die senkrecht zur Gerade stehen, ( werden ( auf ihr 2 2 Negatives abgebildet, z. B. muss gelten L =. { ( ( } 2 Da {v, v 2 } =, Basis des R 2 ist, ist die lineare 2 Abbildung L durch diese zwei Bedingungen eindeutig festgelegt. 2 2 linabb4.pdf, Seite

12 Fortsetzung Beispiel Um beispielsweise L(e mit e = ( zu bestimmen, kann e bezüglich der Basis {v, v 2 } dargestellt werden. Man erhält das LGS ( ( ( ( ( 2 2 c = c + c 2 = 2 2 c 2 ( ( { 2 2 c = 2c 2 =, c 2 =, 4 Es folgt e =, 2v +, 4v 2 und somit L(e =, 2L(v +, 4L(v 2 ( ( ( 2, 6 =, 2 +, 4 = 2, 8. linabb4.pdf, Seite 2

13 Fortsetzung Beispiel Mit einer analogen Rechnung erhält man ( ( ( 2 e 2 = =, 4 +, 2 und somit ( L(e 2 =, , 2 ( 2 (, 8 =, 6 Es folgt, dass die Abbildungsmatrix die Form hat (, 6, 8 A =, d. h. für einen beliebigen Vektor, 8, 6 ( x x = R 2 ist x 2 ( ( (, 6, 8 x, 6x L(x = Ax = =, 8x 2., 8, 6 x 2, 8x +, 6x 2. linabb4.pdf, Seite 3

14 Spezielle lineare Abbildungen L : R 2 R 2 Spiegelungen (vgl. auch letztes Beispiel: Eine Spiegelung an der y Achse wird bespielsweise ( beschrieben durch die Abbildungsmatrix A = linabb4.pdf, Seite 4

15 Drehung um 3 o : A = 2 ( 3 3 Allgemein ( beschreibt die Abbildungsmatrix cos α sin α A = in der Ebene eine Linksdrehung um den sin α cos α Winkel α. linabb4.pdf, Seite 5

16 Streckung: A = ( a a mit einer Konstanten a >. linabb4.pdf, Seite 6

17 Verzerrung: A = ( a /a linabb4.pdf, Seite 7

18 Scherung: A = ( b linabb4.pdf, Seite 8

19 Drehungen im R 3 um die Koordinatenachsen mit den Winkeln α, β bzw. γ werden beschrieben durch die Drehmatrizen cos α sin α (Drehung um die x Achse, sin α cos α cos β sin β (Drehung um die x 2 Achse und sin β cos β cos γ sin γ sin γ cos γ (Drehung um die x 3 Achse. Beliebige Drehungen können durch Produkte dieser Matrizen dargestellt werden. linabb4.pdf, Seite 9

20 Komposition linearer Abbildungen Sind F : V W und G : W Z lineare Abbildungen, so auch G F : V Z, x G(F (x. Ist F (x = Ax und G(x = Bx, so folgt G F (x = B(Ax = (BAx, d. h. die Komposition linearer Abbildungen entspricht der Multiplikation von Matrizen. Inverse Abbildung Die lineare Abbildung F : V W heiÿt invertierbar, wenn es eine Abbildung F : W V gibt mit F F (x = x und F F (y = y für alle x V und y W. Ist F (x = Ax, so ist f genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. In diesem Fall ist F (y = A y. linabb4.pdf, Seite 2

21 Beispiel Eine Spiegelung im R 2 an der x 2 Achse ( wird beschrieben durch die Abbildungsmatrix A =, eine Spiegelung (, 6, 8 an der Geraden x 2 = 2x durch B =., 8, 6 Wird erst an der x Achse und dann an der Geraden durch x 2 = 2x gespiegelt, so ist die zugehörige Abbildungsmatrix gleich (, 6, 8 BA =, 8, 6 ( ( =, 6, 8, 8, 6 Dies entspricht einer Linksdrehung um 53, 3 o, da gilt cos 53, 3 o, 6 und sin 53, 3 o, 8. Weiterhin sind die Matrizen A und B jeweils zu sich selbst invers (d. h. es ist A = A und B = B. Geometrisch bedeutet dies, dass das Rückgängigmachen einer Spiegelung durch erneute Anwendung der gleichen Operation erfolgt.. linabb4.pdf, Seite 2