Wiederholung: lineare Abbildungen

Transkript

1 Wiederholung: lineare Abbildungen Def Es seien (V,+, ) und (U, +, ) zwei Vektorräume Eine Abbildung f : V U heißt linear, falls für alle Vektoren v 1, v 2 V und für jedes λ R gilt: (a) f (v 1 + v 2 ) = f (v 1 ) + f (v 2 ), (b) f (λ v 1 ) = λf (v 1 ) Übung Sei f : V U linear Dann gilt: f (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) In der Tat, f (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) (a) = f (λ 1 v 1 ) + f (λ 2 v 2 ) (b) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) Übung Sei f : V U linear Dann gilt: f (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 ) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) + λ 3 f (v 3 ) In der Tat, f (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 ) (a) = f (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) + f (λ 3 v 3 ) (a) = f (λ 1 v 1 ) + f (λ 2 v 2 ) + f (λ 3 v 3 ) (b) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) + λ 3 f (v 3 ) Analog Es gilt: f (λ 1 v λ n v n ) = λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) (mehrmals das Trick anwenden)

2 Definition von Isomorphismus noch einmal Def (V, +, ), (U, +, ) seien Vektorräume Eine lineare Abbildung f : V U heißt Monomorphismus Epimorphismus Isomorphismus Endomorphismus falls injektiv falls surjektiv falls bijektiv falls V = U Monomorphismus heute benutzen heute besprochen Die Vektorräume V und U heißen Isomorph, falls ein Isomorphismus f : V U existiert

3 Logic des Abschnitts Vektorraum : synthetische Aufbau Definition in Vorl 2 gegeben durch Eingenschaften (= Axiomen ) Einige Eigenschaften, die man aus Axiomen durch logischen Schlussfolgerungen bekommt alle Vorlesungen bis jetzt und eine grosse Familie von Beispiele R n in Vorl 3, 4 eingeführt Eine Aussage, dass alle Vektorräumen den Vektorräumen aus der Familie von Beispiele gleich sind Frage: Was soll man hier unter gleich sind verstehen? Antwort: Isomorph

4 Haupsatz der linearen Algebra Satz 11(Hauptsatz der linearen Algebra) Zwei endlichdimensionalen Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben Satz 11 (Hauptsatz der linearen Algebra) einfachere Version Jeder Vektorraum der Dimension n ist zu R n isomorph Bemerkung Die Satze 11, 11 sind äquivalent Die Richtung Satz 11 = Satz 11 ist einfach: weil dim(r n ) = n, ist nach Satz 11 ein Vektorraum der Dimension n zu R n isomorph Die (andere) Richtung = ist ein bisschen aufwendige; wir werden sie später beweisen

5 Beweis = (für Satz 11 und Satz 11 ) Zz: Sind V und U Isomorph, so ist dim(u) = dim(v) Sei f : V U ein Isomorphismus Sei {v 1,,v n } eine Basis in V Wir zeigen, dass die n elementige Menge {f (v 1 ),,f (v n )} U eine Basis in Bild f U ist, dh, es ist linearunabhängig und erzeugend Bemerkung Da ein Isomorphismus nach der Definition injektiv ist, sind die Vektoren f (v 1 ),,f (v n ) verschieden; die Menge {f (v 1 ),,f (v n )} ist deswegen tatsächlich n elementig Linearunabhängigkeit: Sei λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) = 0 Um Linearunabhängigkeit von {f (v 1 ),,f (v n )} zu zeigen, müssen wir zeigen, dass alle λ s gleich 0 sind Da f linear ist, ist λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) = f (λ 1 v λ n v n ); also f (λ 1 v λ n v n ) = 0 Da f ein Isomorphismus ist, ist f injektiv, deswegen ist Lemma 11 Kern f = { 0}, deswegen aus f (λ 1 v λ n v n ) = 0 folgt λ 1 v λ n v n = 0 (weil λ 1 v λ n v n Kern f und Kern f = { 0} ist) Da {v 1,,v n } eine Basis ist, ist sie linearunabhängig Dann aus λ 1 v λ n v n = 0 folgt λ 1 = = λ n = 0, was unseres Ziel war

6 {f (v 1 ),, f (v n )} ist erzeugend: Zz: jedes u U kann man als Linearkombination von f (v 1 ),,f (v n ) bekommen Da die Abbildung f surjektiv ist, ist jeder Vektor von U das Bild eines Vektors aus V, also v V mit f (v) = u Da {v 1,,v n } eine Basis ist, kann man ein beliebiges Element von V als Linearkombination von {v 1,,v n } bekommen, also λ 1,,λ n R mit λ 1 v λ n v n = v Dann gilt: u = f (v) = f (λ 1 v λ n v n ) Linearität = λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) Also, u ist tatsächlich Linearkombination von Elementen aus {f (v 1 ),,f (v n )},

7 Da der Satz 11 (oder 11 ) sehr wichtig ist, werde ich separat die Satze 11, 11 in der Richtung = beweisen Ich werde zuerst Satz 11 beweisen, dh, ich werde zeigen, dass jeder (V,+, ) von Dimension n zu R n isomorph ist

8 Beweis von Satz 11 in der Richtung = Wir mussen beweisen dass, jeder Vektorraum (V,+, ) der Dimension n zu R n isomorph ist (V,+, ) sei n Dimensional, sei B = (v 1,,v n ) ein Basis-Tupel in (V,+, ) Wir betrachten die Koordinatenabbildung C B : V R n Nach Definition von Koordinatenabbildung gilt: ¼ C B (λ 1 v λ n v n ) := λ 1 λ n ist, dh, C B linear, injektiv und surjektiv ist ½ Wir zeigen, dass C B ein Isomorphismus Linearität: Lemma 10 (Sagt, dass die Koordinatenabbildung linear ist) Injektivität: Nach Lemma 11c genugend es zu zeigen, dass Kern CB = { 0} Dh, wir mussen zeigen, dass C B (v) = 0 = v = 0 Dh, wir mussen zeigen, dass 0 v v n = 0, was offensichtlich ist ¼ Surjektivität: Wir mussen zeigen, dass jedes λ 1 ½ ¼ R n Bild eines v V ist Aber C B (λ 1 v λ n v n) = λ n Warum war Beweis so einfach? Weil wir Vorarbeit vorher gemacht haben λ 1 λ n ½

9 Vor Beweis des Satzes 11 in = Richtung brauchen wir Vorarbeit Vor dem Beweis: Frage f : V R 2 ( sei eine ) lineare Abbildung ( ) Für 4 2 die Vektoren v 1, v 2 V gelte: f (v 1 ) =, f (v 3 2 ) = Was 1 ist f (v 1 + v 2 )? Antwort ( f (v 1 + v 2 ) Linearität 4 = f (v 1 ) + f (v 2 ) = 3 Frage Was ist f (2v 1 3v 2 )? ) ( ) = ( 6 4 Antwort f (2v 1 3v ( 2 ) Linearität ) = ( f (2v ) 1 ) + ( f (( 3)v ) 2 ) Linearität = f (v 1 ) 3f (v 2 ) = 2 3 = Wir haben gesehen, dass (in den Beispiele oben) Bilde von Vektoren bestimmen die Bilde deren Linearkombinationen eindeutig Wir werden jetzt eine Veralgemeinerung dieser Aussage als Lemma formulieren und beweisen )

10 Lemma 15 (V,+, ) und (U,+, ) seien n dimensionale Vektorräume, (v 1,,v n ) sei ein Basis-Tupel in V und (u 1,,u n ) sei ein n Tupel der Vektoren aus U Dann gilt: Es existiert genau eine lineare Abbildung f : V U so dass f (v i ) = u i für alle i = 1,,n Bsp ( Sei V = U = R 3, als (v 1,v 2,v 3 ) nehmen wir die Standardbasis ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½) v 1 := 1 0,v 2 := 0 1,v 3 := 0 0, und als (u 1,u 2,u 3 ) nehmen wir ( ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½) u 1 := 1 4,u 2 := 2 5,u 3 := Lass uns die Formel für die lineare Abbildung f, die v 1 u 1, v 2 u 2, v 3 u 3, finden (ähnlich wie in Fragen Antworten oben) ¼ ½ ( ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½) f x y = f x y z 0 0 = z ( ¼ ½) ( ¼ ½) ( ¼ ½) ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ f x 1 0 +f y 0 1 +f z 0 0 = x 1 4 +y 2 5 +z 3 x + 2y + 3z 6 = 4x + 5y + 6z 0 0 Die Abbildung ist linear (Hausaufgabe 2d Blatt 4) und hat die Eigenschaft f (v i ) = u i (i=1,2,3) x + 8y + 9z

11 Beweis von Lemma 15 Zuerst Existenz Wir werden diese Abbildung kostruieren, die Methode ist analog ¼ zu Fragen-Antworten oben und Bsp nach Lemma 15 Sei w V seien Koordinaten von w in der Basis (v 1,,v n ), dh w = x 1 v 1 + x 2 v x n v n = n i=1 x iv i Wir setzen x 1 x n ½ f (w) := x 1 u 1 + x 2 u x n u n = n x i u i i=1 ( ) Zu zeigen: (i) f (v i ) = u i und (ii) f ist linear Wir zeigen (i): Der Koordinatenvektor von v i in der Basis (v 1,,v n ) ist ¼ ½ i te Zeile 0, weil v i = 0 v v }{{} i v n, also i te Stelle f (v i ) ( ) = 0 u u i u n = u i wie behauptet

12 Wir zeigen (ii): f ist linear w,u V habe Koordinaten ¼ Koordinaten von w + u sind ¼ x 1 x n ½ ¼ bzw x 1 + y 1 x n + y n y 1 y n ½ Also, ½ Nach Lemma 10, die Lemma 10 f (w + u) = f ( n i=1 (x i + y i )v i ) ( ) = n i=1 (x i + y i )u i = n i=1 x iu i + n i=1 y ( ) iu i = f (w) + f (v) ¼ Ähnlich, nach Lemma 10, die Koordinaten von λw sind f (λw) = n i=1 λx iu i = λ n i=1 x iu i = λf (w) λx 1 λx n ½ Also,

13 Eindeutigkeit Die Abbildung f : V U erfülle die Voraussetzungen von Lemma 15, dh, f sei linear und f (v i ) = u i für i = 1,,n Wir müssen zeigen, dass w V f (w) = f (w), wobei f die die oben in ( ) konstruierte Abbildung ist ¼ w V habe Koordinaten x 1 x n ½, dh w = x 1 v 1 + x 2 v x n v n Wir haben f (w) = f (x 1 v 1 + x 2 v x n v n ) Linearität = f (x 1 v 1 ) + f (x 2 v 2 ) + + f (x n v n ) Linearität = x 1 f (v1 ) + x 2 f (v2 ) + + x n f (vn ) Voraussetz = x 1 u 1 + x 2 u x n u n Def von f = f (w)

14 Beweis von Satz 11 in = Richtung Seien (V,+, ) und (U,+, ) n dimensionale Vektorraume mit Basen jeweils (v 1,,v n ) und (u 1,,u n ) Das Ziel ist zu zeigen, dass es einen Isomorphismus f : V U existiert; wir werden den Isomorphismus mit Hilfe von Lemma 15 konstruieren Nämlich, wir betrachten die lineare Abbildung f : V U sodass f (v i ) = u i ; i = 1,,n Solche Abbildung existiert (und ist eindeutig) nach Lemma 15 Wir zeigen jetzt, dass f ein Isomprphismus ist; dh; wir zeigen dass f injektiv und surjektiv ist

15 Injektivität: Angenommen, f (v) = f (ṽ) Zz: v = ṽ Die Vektoren v und ṽ habe jeweils die Koordinatenvektore ¼λ 1 ½ ¼ ½ λ 1 und Dann gilt λ n λ n Konstr von f = f (v) = f (λ 1 v λ n v n ) Linearität = λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) λ 1 u λ n u n, ¼λ 1 ½ also f (v) hat den Koordinatenvektor in der Basis (u 1,,u n ) Analog gilt: f (ṽ) = f ( λ 1 v λ n v n ) Linearität = λ1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) λ 1 u λ n u n ¼ ½ λ n Also auch f (ṽ) hat den Koordinatenvektor λ 1 λ n Konstr von f = in der Basis (u 1,,u n ) Da nach Voraussetzungen f (ṽ) = f (v) ist, sind die Koordinatenvektoren ¼λ 1 ½ ¼ ½ λ 1 von f (ṽ) und f (v) auch gleich, also ist = Dann sind v = n i=1 λ iv i = n i=1 λ i v i = ṽ Die Abbildung f ist also injektiv λ n λ n

16 Die Abbildung f ist surjektiv Sei u U ein beliebiger Vektor Wir mussen zeigen, dass v V mit f (v) = u ¼λ 1 ½ Der Vektor u habe den Koordinatenvektor in der Basis (u 1,,u n ), dh, u = λ 1 u λ n u n Wir setzen v := λ 1 v λ n v n V Es gilt: f (v) = f (λ 1 v λ n v n ) Linearität = Konstr von f λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) = λ 1 u 1 + λ n u n = u Wir haben gesehen, dass ein beliebiger Vektor u das Bild eines Vektors v V ist; Surjektivität von f ist damit bewiesen Also, die Abbildung f : V U ist linear und surjektiv und injektiv, ist deswegen ein Isomorphismus Die }{{} bijektiv Vektorraume V und U sind deswegen isomorph, λ n

17 Bsp: geometrische Ebene ist isomorph zu R 2 Wiederholung: Sei E eine Ebene, O E und V die Menge V := {gerichtete Strecken mit Anfangspunkt O und Endpunkt auf E} mit Vektoraddition als Addition und Streckung/Stauchung als Multiplikation Wir haben gezeigt, dass eine Basis von (V,+, ) aus zwei beliebigen Vektoren u,v V besteht mit u 0 v und λ R λu v Also ist V zu R 2 isomorph nach Satz 11 Außerdem haben wir in Beweis von Satz 11 den Isomorphismus direkt konstruiert: f : R 2 V bildet λ µ R 2 auf λ u + µ v ab O Bemerkung Die Abbildung f ist eigentlich die inverse Abbldung zur im Beweis von Satz 11 konstruierten Isomorphismus O

18 Ein bisschen Philosophie Geometrie ist das Studium von mathematischen Modellen des Raumes, der uns auf Grund der Anschauung vertraut ist Die Geometrie gehört zu den ältesten Wissenschaften überhaupt Bemerkenswertes geometrisches Wissen finden wir bereits in den orientalischen Hochkulturen des 5 3 Jahrhunderts vor unserer Zeitrechnung Praktische Probleme aus der Messkunde, der Baukunst, der Astronomie und der Navigation wurden abstrahiert und führten zu geometrischen Regeln Mit Hilfe von Logic kann man aus diesen Regeln neue Aussagen bekommen, und anwenden

19 Schematisch könnte man es wie folgt vorstellen: Emipirische Wissenschaft ----> Formal-logische Theorie

20 Was haben wir bis jetzt gemacht? Wir haben die Eigenschaften genommen, die in Physik öfter vorkommen und empirisch nachgewiesen wurde die Eigenschaften I VIII des Vektorraums Dann haben wir alle mögliche (endlichdimensionale) Vektoräumen geschrieben Satz 11 alle sind zu R n isomorph In anderen Worten, wir haben vollständig die alle mögliche mathematischen Modellen des Raumes verstanden, in welchen die Axiomen I VIII erfüllt sind Außerdem kann man die mathematischen Methode, Ideen und Tricks aus Theorie von Vektorräumen auch in anderen Branchen der Mathematik, vor allen in Analysis benutzen Sie werden es während des Studiums mehrmals sehen

21 Def Wiederholung Sei f : V U eine lineare Abbildung Das Bild von f ist die folgende Teilmenge von U: Bild f = {u U so dass es gibt ein Element v V mit f (v) = u} (Andere Bezeichnung: f (V) wird in Analysis-Vorlesung verwendet) Der Kern von f ist die folgende Teilmenge von V: Kern f = {v V so dass f (v) = 0} (Andere Bezeichnung: f 1 ( 0); wird oft in Analysis verwenden Man bemerke aber dass f 1 nicht die inverse Abbildung nach unseren Definitionen ist; außerdem ist f 1 keine Abbildung Also f 1 ( 0) ist nur die Bezeichnung) Bsp Betrachte die Abbildung f : R 2 R 3, f (( x y )) := x Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R { } 0 Kern f = 0 (wird auf der nächsten Folie besprochen) x y 0

22 Satz 12 (1 Dimensionsformel) Sei f : V U eine lineare Abbildung Dann gilt: (a) Bild f ist ein Untervektorraum von U (b) Kern f ist ein Untervektorraum von V (c) Ist V endlichdimensional, so gilt: dim(v) = dim(bild f ) + dim(kern f ) Bsp Betrachte die Linearabbildung aus der Bsp oben ( f : R 2 R 3, f x ) ¼ ½ := x y y 0 Dann ( gilt: Kern f = { 0}, weil f x ) ¼ ½ ¼ ½ := x y = 0 0 = x 0 = y y 0 ; also dim(kernf ) = {¼ ½ } Bild f = x y x,y R ist 2-dimensional (mit der Basis 0 {¼ ½ ¼ ½} 1 0, 0 1 ; also ist die Dimensionsformel 0 0 dim(v) = dim(bild }{{} f ) +dim(kern }{{} f ) in diesem Bsp richtig }{{} 2 2 0

23 Beweis (a) Bild f ist ein Untervektorraum von U Beweis (a): Seien u 1, u 2 Bild f, dh u 1 = f (v 1 ), u 2 = f (v 2 ) Dann gilt: u 1 + u 2 = f (v 1 ) + f (v 2 ) Linearität = f (v 1 + v 2 ) Bild f λu 1 = λf (u 1 ) Linearität = f (λu 1 ) Bild f

24 Beweis (b) Kern f ist ein Untervektorraum von V Beweis (b): Seien v 1, v 2 Kern f, dh f (v 1 ) = f (v 2 ) = 0 Dann gilt: f (v 1 + v 2 ) Linearität = f (v 1 ) + f (v 2 ) = = 0, dh v 1 + v 2 Kern f f (λv 1 ) Linearität = λf (v 1 ) = λ 0 = 0, dh λv 1 Kern f

25 Konstruktion einer Basis in Bild f Kern f ist ein Untervektorraum des endlichdimensionalen Vektorraums V und ist deswegen auch nach Folgerung (d) aus Satz 10 endlichdimensional Sei {v 1,,v k } eine Basis von Kern f Nach Folgerung (c) können wir die Basis {v 1,,v k } bis zum einer Basis in V erganzen: es gibt v k+1,,v n so dass {v 1,,v n } eine Basis ist Wir zeigen: {f (v k+1 ),,f (v n )} ist eine Basis in U Wir mussen zeigen, dass {f (v k+1 ),,f (v n )} linearunabhängig und erzeugend ist

26 Wir zeigen: {f (v k+1 ),, f (v n )} ist erzeugend Wir müssen zeigen, dass man jedes u Bild f als eine Linearkombination von Elementen f (v k+1 ),,f (v n ) darstellen kann Offensichtlich, kann man jedes u Bild f als eine Linearkombination von Elementen f (v 1 ),,f (v n ) darstellen In der Tat, jedes u Bild f ist Bild des irgentwelchen Vektors v Weil {v 1,, v n} eine Basis ist = λ 1 v λ n v n, also u = f (v) = f (λ 1 v λ n v n ) = λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) Aber f (v 1 ) = f (v 2 ) = = f (v k ) = 0, da v 1,,v k Kern f Dann u = λ k+1 f (v k+1 ) + λ k+2 f (v k+2 ) + + λ n f (v n ) Also ist span({f (v k+1 ),,f (v n )}) = Bild f

27 Wir zeigen: {f (v k+1 ),, f (v n )} ist linear unabhängig Angenommen ist die Linearkombination λ k+1 f (v k+1 ) + + λ n f (v n ) = 0 Zz: λ k+1 = λ k+2 = = λ n = 0 Wir haben: λ }{{} k+1 f (v k+1 ) + + λ n f (v n ) = 0 k mal Da f (v 1 ) = f (v 2 ) = = f (v k ) = 0, 1f (v 1 ) + 1f (v 2 ) + + 1f (v k ) + λ k+1 f (v k+1 ) + + λ n f (v n ) = 0 Weil f linear ist, f (1v 1 + 1v v k + λ k+1 v k λ n v n ) = 0 Also, 1v 1 + 1v v k + λ k+1 v k λ n v n Kern f Dann ist er die Linarkombination von Elementen v 1,,v k und deswegen (Satz 7(b)) λ k+1 = λ k+2 = = λ n = 0 Also gilt: dim(bild f ) = [Anzahl von Elementen in {f (v k+1 ),, f (v n)}] = n k Dann gilt: dim(v) }{{} n = dim(kern f ) +dim(bild f ), }{{}}{{} k n k

28 Anwendung 1 Dimensionsformel für Endomorphismen Def Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V V von Vektorraum V auf sich selbst Folgerung Sei f : V V ein Endomorphismus von endlichdimensionalen Vektorraum V Dann gilt: f ist surjektiv f ist injektiv Bemerkung In Hausaufgabe 1 Blatt 5 mussten Sie mehrere Beispiele konstruieren Sie werden sehen, dass falls U und V verschiedene Dimensionen haben, ist die Aussage der Folgerung nicht richtig Idea des Beweises: wir spielen mit der 1 Dimensionsformel (Satz 12): es gilt: dim(v) }{{} n = dim(bild f ) + dim(kern f )

29 Beweis (surjektiv) = (injektiv) Ist f surjektiv, so ist Bild f = V Wir haben dim(v) = dim(bild f ) + dim(kern f ) n = n +? Dann ist dim(kern f ) = 0, folglich Kern f = { 0} Nach Lemma 11c ist f injektiv

30 Beweis (surjektiv) = (injektiv) Ist f injektiv, so ist Kern f = { 0} Dann ist dim(kern f ) = 0 Wir haben dim(v) = dim(bild f ) + dim(kern f ) n =? + 0, folglich dim(bild f ) = n Dann enthält eine Basis B in Bild f n = dim(v) linear unabhängige Vektoren Nach Folgerung (a) aus Satz 10 ist dann B eine Basis in V, deswegen Bild f = span(b) = V,