9. Übung zur Linearen Algebra II -

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1 9. Übung zur Linearen Algebra II - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 00. Aufgabe 33 (i) Beweise oder widerlege: In einem euklidischen VR gilt x + y = x + y x y (Satz von Pythagoras). (ii) Gilt der Satz von Pythagoras in einem unitären VR? (iii) Man zeige, daß in einem Prähilbertraum (X, ) gilt x + y + x y = ( x + y ) (Parallelogrammgleichung) Zu (i): Der Satz von Pythagoras gilt in einem euklidischen Vektorraum: x + y = x + y (x + y) = x + y x + xy + yx + y = x + y x + y + xy = x + y xy = 0 xy = 0 x y. Zu (ii): Der Satz von Pythagoras gilt i.a. nicht in unitären Vektorräumen. Der Beweis aus (i) ändert sich an der Stelle xy + yx = xy, denn das unitäre Skalarprodukt ist nicht symmetrisch, sondern hermitisch. Es gilt stattdessen xy + yx = xy + xy = Re(xy). Beweis durch Gegenbeispiel. Sei X = C der eindimensionale C Vektorraum. Betrachte x = und y = i. Es gilt nicht x y aber Re(xy) = 0. Also kommt es vor das in unitären VRen nicht senkrechte Vektoren die Pythagoras Gleichung erfüllen.

2 Zu (iii): x + y + x y = (x + y) + (x y) = x + xy + yx + y + x xy yx + y = x + y = x + y. Aufgabe 34 (i) Im C-VR C 4 sei das Skalarprodukt definiert durch (x,..., x 4 ) (y,..., y 4 ) := x y + + x 4 y 4. Man bestimme eine Basis des orthogonalen Komplements des von den Vektoren (, i, 0, ) und (i, 0,, 0) aufgespannten Unterraums. (ii) Sei X der VR der stetigen reellwertigen Abbildungen auf dem Intervall [0, ] mit dem Skalarprodukt f g := 0 f(x)g(x)dx. Bestimme eine Orthonormalbasis von [, x, x ] in (X, ). Zu (i): Drei svorschläge:. Basisergänzung und Orthonormalisierung nach E. Schmidt.. Orthogonale Basisergänzung durch Ausprobieren. 3. Reelles, lineares Gleichungssystem lösen. Erste : Seien u = (, i, 0, ), v = (i, 0,, 0) und U = [u, v]. Eine einfache Basisergänzung liefert die Zerlegung X = U [e, e ], wobei e i der i-te Einheitsvektor ist. Eine orthogonale Basis von U ist {u, v } mit v = v (u v)u. Eine Basis des orthogonalen Komplements von U ist dann {e, e } mit e = e (e u)u v (e v )v e = e (e u)u v (e v )v

3 Zweite : Orthogonale Vektoren zu v sind z.b. in der ersten und dritten Komponente gleich 0. Wähle einen der auch senkrecht auf u steht: a = (0,, 0, i). av = 0, au = i + i = 0. Als zweiten Vektor b wähle (, 0, i, ) und ändere die vierte Komponente, sodaß er auch auf u senkrecht steht. b = (, 0, i, ). bv = 0, bu = + = 0. Fertig ist man erst, wenn man zeigt, daß die 4 Vektoren auch linear unabhängig sind. Untersuche deshalb den Rang der Matrix i 0 i 0 i 0 0 i i 0 0 i 4 + 4i. 0 i i Dritte : Gleichungssystem mit 4 complexen (oder 8 reellen) Variablen ansetzen und lösen: x + ix + x 4 = 0 ix + x 3 = 0 D.h. homogenes Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix ( i 0 ) i 0 0 lösen und Basis der konjugieren. Zu (ii): Es sei B = (f(x) =, g(x) = x, h(x) = x ) die zu orthonormierende Basis und B = ( ˆf, ĝ, ĥ) die zu B gehörende ONB. Nach dem Verfahren von E. Schmidt wird der erste Vektor normiert. Zur klaren Unterscheidung ist das Skalarprodukt und die Multiplikation zwischen Skalar und Vektor Nun wird der zweite bearbeitet f = = ˆf = f. und normiert g ( ˆf g) ˆf = x g ( ˆf g) ˆf = x = = ĝ = (x ). Nun wird der dritte bearbeitet und normiert h ( ˆf h) ˆf (ĝ h) ĝ = x x + 6 x x + 6 = 80 = h = 80(x x + 6 ). 3

4 Aufgabe 35 (i) Man gebe die Strukturmatrix an für ein Skalarprodukt auf dem R-VR R derart, daß die beiden Vektoren (, 0), (0, ) nicht orthogonal zueinander sind und keiner der beiden Vektoren die Länge besitzt. (ii) Man gebe eine ONB bzgl. dieses Skalarprodukts an. Zu (i): Sei ( a ) b b c die zu so einem Skalarprodukt gehörende symmetrische (da VR euklidisch) und positiv definite Strukturmatrix. Es werden drei zusätzliche Forderungen an die Matrix gestellt (, 0) = a (0, ) = d (, 0) (0, ) 0 b 0 Wähle also zum Beispiel die Strukturmatrix ( ) A =. Die Eigenwerte von A sind 3 und, also ist A positiv definit und die durch A definierte Bilinearform somit ein Skalarprodukt. ( ) ( ) 0 Zu (ii): Das Verfahren von E. Schmidt ergibt für (, ) 0 Aufgabe 36 ( ( ), 0 ( ) ). 6 Man bestimme die Menge aller x R 3, sodaß Ax b minimal wird. Dabei sei das Skalarprodukt definiert durch (x, x, x 3 ) (y, y, y 3 ) = x y + 3x y + x 3 y 3 und A = 0 0, b =. 4

5 Gesucht ist zunächst die eindeutig bestimmte orthogonale Projektion von b auf den Unterraum U := {Ax x X}. U ist der von den Spalten von A aufgespannte Raum. Sei s i die i-te Spalte von A. Offenbar gilt s s 3 = (s s 3 ) Eine Basis von U ist {s, s }. Diese muss nun orthonormalisiert werden: s = s s = 4 s = s (s s )s = 0 s = s s = 0 Eine ONB von U ist deswegen {s, s }. Die gesuchte Projektion b von b auf U ist b = (s b)s + (s b)s = 4 7. Letztlich die Menge von Vektoren bestimmen, die auf b abgebildet werden, d.h. ein LGS lösen. Ax = = x 0 + [ ]. 7 0 Außerdem ist b b =