4.1 Motivation von Variationsmethoden Variationsmethoden im Sobolevraum Motivation von Variationsmethoden

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1 Kapitel 4 Das Dirichlet Prinzip Bevor wir uns der Lösung von Randwertproblemen mithilfe der eben entwickelten Techniken zuwenden, wollen wir uns einer Idee zur Lösung widmen, die einige Elemente dieser Entwicklung benötigt, jedoch historisch einer der fruchtbarsten mathematischen Ansätze ist und bleibt. Die Idee besteht darin die Lösung eines Randwertproblems als Lösung einer Minimierungsaufgabe zu charakterisieren. Inhaltsangabe 4.1 Motivation von Variationsmethoden Variationsmethoden im Sobolevraum Motivation von Variationsmethoden Wir beginnen mit dem Dirichletschen Randwertproblem für harmonische Funktionen. In der allgemeinen Form hat es für ein Gebiet Ê n die Gestalt u = 0 in (4.1) u = g auf für eine gegebene stetige Funktion g : Ê. Das folgende Lemma motiviert die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen mit sogenannten Variationsmethoden. 79

2 80 KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP Lemma Eine Funktion u C 2 () C(), welche die Minimierungsaufgabe u 2 dx = min löst, löst die Gleichung (4.1). v 2 dx v C 2 () C(), v = g, Beweis. Für festes v C 2 () C() betrachten wir die Funktion j(t) = u + t v 2 dx. Aufgrund der Voraussetzung ist t = 0 ein Minimum dieser Funktion. Es gilt j(t) = u + t v, u + t v dx = j(0)+2t u, v dx+t 2 v 2 dx. Damit die Funktion j bei t = 0 ein Minimum hat, ist notwendig, dass u, v dx = 0 ist, für jedes v C 2 () C(). Wählen wir speziell eine Funktion v C 0 (), so ergibt sich, aufgrund unserer Überlegungen in Abschnitt 3.1, dass u, v dx = 0 ist. Nun gilt dies für alle v C0 (). Diese Menge liegt dicht in L2 () (nach Lemma 3.2.6). Damit ist u, v dx = 0 für alle v L 2 () (da das Skalarprodukt stetig ist). Also ist u = 0.

3 4.1. MOTIVATION VON VARIATIONSMETHODEN 81 Definition Das Integral (wenn immer es existiert) D(u) = wird als Dirichletintegral von u bezeichnet. u 2 dx Die eben angestellten Überlegungen lassen sich unschwer auf die Poissonsche Gleichung übertragen. Wir wollen dies nun ausführen. Wir betrachten die Gleichung u = f in u = g auf, (4.2) wobei f C() und g C( ) stetige Funktionen seien. Setze U = u C 2 () C() u = g. In diesem Raum würden wir gerne Lösungen für die Gleichung (4.2) finden. Definition Für u U sei J(u) = 1 2 u 2 dx + uf dx das Energieintegral von u. Satz Die Gleichung (4.2) besitzt höchstens eine Lösung. 2. Ist u C 2 () C() eine Lösung der Poissonschen Gleichung, so minimiert u das Energieintegral im folgenden Sinn: J(u) = min J(v) v U. 3. Ist u U ein Minimum des Energieintegrals auf U, so löst u die Poissonsche Gleichung. Beweis.

4 82 KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP 1. Angenommen wir hätten zwei Lösungen, so würde die Differenz w C 2 () C() die Gleichung mit f = 0 und g = 0 auf der rechten Seite lösen. Damit ist 0 = w w dx = w 2 dx. Also ist w konstant und damit ist w = 0 aufgrund der Randbedingung. 2. Sei u U eine Lösung der Gleichung (4.2). Für ϕ C0 () betrachten wir J(u + ϕ) = 1 (u + ϕ), (u + ϕ) dx + (u + ϕ)f dx 2 = J(u) + = J(u) = J(u) + u, ϕ dx + J(ϕ) uϕ dx + J(ϕ) ϕ 2 dx J(u). Nun liegt C 0 () dicht in H1 0 () und damit kann jedes v C2 () C 0 () H 1 0() durch ϕ C 0 () approximiert werden. Also ist für v C 2 () C 0 () J(u + v) J(u), insbesondere hat u die gewünschten Minimierungseigenschaften. 3. Dieser Schritt ist eine geringfügige Modifikation des Beweis von Lemma Für ϕ C0 () betrachten wir J(u + tϕ) = 1 (u + tϕ), (u + tϕ) dx + (u + tϕ)f dx 2 = J(u) + t u, ϕ dx + ϕf dx + t2 2 ϕ 2 dx.

5 4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM 83 Notwendig für die Minimierungsbedingung ist, das Verschwinden des Faktors bei t. Dann ist 0 = u, ϕ dx + ϕf dx = ( u + f)ϕ dx. Wie oben folgt aus Tatsache, dass diese Gleichung für alle ϕ C 0 () gilt, dass u f = 0. Damit ist diese Aussage bewiesen. Weierstraß 1 [22] hat gezeigt, dass es nicht notwendig eine Funktion u C 2 () C() mit vorgegebenen Randwerten gibt, die das Dirichletintegral minimiert. Bis dahin ist man davon ausgegangen, dass ein solches Minimierungsproblem immer eine Lösung besitzt. Natürlich kann man andere Funktionenräume wählen um die Existenz eines Minimums zu erzwingen. Dabei ist naheliegend größere Funktionenräume heranzuziehen. Wir haben im letzten Kapitel schon vorgearbeitet und die Sobolevräume eingeführt. 4.2 Variationsmethoden im Sobolevraum In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass für gewisse Gleichungen die Minimierungsmethoden aus dem letzten Abschnitt 4.1 im Sobolevraum H 1 () zum Erfolg führen. Wir beginnen wieder mit der Gleichung (4.1) u = 0 u = g in auf Ziel ist es, eine Funktion u H 1 () zu finden, so dass u g H 1 0() liegt und u das Dirichletintegral, das ja für Funktionen in H 1 () definiert ist, minimiert. Den Zusammenhang mit der klassischen Aufgabenstellung werden wir in einem getrennten Schritt untersuchen. Zunächst also die Formulierung des Ergebnisses. Satz Es sei Ê n ein beschränktes Gebiet, g H 1 (). Dann existiert eine Funktion u H 1 () mit folgenden Eigenschaften: 1 Karl Weierstraß ()

6 84 KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP 1. u g H0 1 () und 2. u 2 dx = min v 2 dx v H 1 (), v g H0 1 (). Beweis. Wir betrachten das Infimum τ := inf v 2 dx v H 1 (), v g H 1 0() und eine Folge u n n Æ in H 1 () mit u n g H0 1 () und τ = lim u n 2 dx. n Wir nennen die Folge u n n Æ eine Minimalfolge. Für das Dirichletintegral der Differenz zweier Folgenglieder ergibt sich D(u n u m ) = (u n u m ), (u n u m ) dx = D(u n ) + D(u m ) 2 u n, u m dx = 2 (D(u n ) + D(u m )) D(u n ) + 2 u n, u m dx + D(u m ) = 2 (D(u n ) + D(u m )) (u n + u m ), (u n + u m ) dx = 2 (D(u n ) + D(u m )) 4 ( 1(u 2 n + u m )), ( 1(u 2 n + u m )) dx ( ) un + u m = 2 (D(u n ) + D(u m )) 4D. 2

7 4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM 85 Die Definition von τ ergibt (beachte un+um g = 1 ((u 2 2 n g) + (u m g)) H0()) 1 ( ) un + u m τ D. 2 Da D(u n ) τ konvergiert, gibt es zu ε > 0 eine Zahl N mit n > N impliziert, dass τ D(u n ) τ + ε Mit n, m > N folgt dann 0 D(u n u m ) = 2 (D(u n ) + D(u m )) 4D ( u n+u m ) 2 4τ + 4ε 4τ = 4ε. Damit ist die Folge u n n Æ (4.3) eine Cauchy-Folge in L 2 (). Aus Satz folgt nun (man beachte, dass u n u m = (u n g) (u m g) H 1 0 () liegt), dass die Folge u n n Æ eine Cauchy-Folge in L 2 () bildet und daher einen Grenzwert in L 2 () besitzt. Wegen der Konvergenz der ersten Ableitungen hat man sogar Konvergenz in H 1 () und man findet einen Grenzwert H 1 () u = lim n u n. Da das Dirichletintegral auf H 1 () stetig ist, folgt, dass D(u) = min D(v) v H 1 (), v g H0 1 (). Bemerkung Im Beweis haben wir in (4.3) quasi en passant die Ungleichung D ( 1 2 (u + v)) 1 2 D(u) D(v) gezeigt, da die linke Seite nichtnegativ ist. Tatsächlich gilt mehr, eine kleine Rechnung zeigt, dass für 0 λ 1 die folgende Ungleichung erfüllt ist. D(λu + (1 λ)v) λd(u) + (1 λ)d(v). (4.4)

8 86 KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP Definition Es sei V ein linearer Raum, I : V Ê eine Abbildung. Genügt diese Abbildung der Gleichung (4.4), d.h. gilt für alle 0 λ 1 und alle (u, v) V V I(λu + (1 λ)v) λi(u) + (1 λ)i(v), so nennen wir I konvex. Bemerkung Der Begriff der Konvexität ist für die Variationsrechnung zentral. Für die Existenzbeweise von Minimierern von Funktionalen spielt die Konvexität eine wichtige Rolle. Nun haben wir natürlich noch keine harmonische Funktion gefunden, die unsere Gleichung löst, sondern nur eine Funktion in H 1 (). Wir kommen nun zu einem ersten Regularitätsresultat, das besagt, dass die Minimallösung u tatsächlich harmonisch ist, d.h. schwache Lösungen der Laplacegleichung sind auch harmonisch. Satz (Weylsches 2 Lemma) Es sei u L 1 () und für alle ϕ C 0 () gelte u ϕ dx = 0. Dann ist u harmonisch auf. Beweis. Es sei h > 0 und h = x dist(x,ê n \ ) > h. Für x h sei J h u(x) die Regularisierung von u. Es sei ϕ C 0 ( h) und ρ, die zu J h gehörende Glättungsfunktion. Dann ist (unter Verwendung von 2 Hermann Weyl ( ) wurde in Elmshorn geboren und wirkte unter anderem an der ETH Zürich. Sein mathematisches Werk betrifft fast alle modernen Gebiete der Mathematik. Er gilt als einer der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts.

9 4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM 87 Satz 3.2.7) J h u(x) ϕ dx = = = = 1 h n 1 h n ( ) x y ρ u(y) dy ϕ(x) dx h ( ) x y ρ u(y) ϕ(x) dx dy h uj h ( ϕ) dy u (J h ϕ) dy Insbesondere ist = 0. J h u(x) ϕ dx = 0 für alle ϕ C0 ( h). Dann ist aber J h u harmonisch, denn wir können die Ableitungen auf J h u wälzen, d.h. 0 = J h u(x) ϕ dx = (J h u(x))ϕ dx d.h. für alle ϕ C0 ( h ). Der Beweis des Satzes zeigt, dass für jedes x h die Menge J h u(x) [ ρ L u L 1, ρ L u L 1 liegt. Wir schätzen nun die Differenz J h u(x 1 ) J h u(x 2 ) ab. Da J h u harmonisch ist, gilt die Mittelwertgleichung (auf hinreichend kleinen Kugeln in h ). Dies wollen wir ausnutzen. Also für B r (x i ) h J h u(x i ) = 1 ω n r n Dann hat man die folgende Abschätzung J h u(x 1 ) J h u(x 2 ) 1 ω n r n B r(x i ) u(y) dy. (B r(x 1 )\B r(x 2 )) (B r(x 2 )\B r(x 1 )) u(y) dy cµ((b r (x 1 ) \ B r (x 2 )) (B r (x 2 ) \ B r (x 1 )).

10 88 KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP Damit ist die Familie J h u gleichgradig stetig, also relativ kompakt. Damit gibt es eine Folge h i Æ mit und lim h i = 0 i J hi u i Æ ist gleichmäßig konvergent auf h. Damit ist die Grenzfunktion v stetig, der Grenzwert genügt der Mittelwertgleichung und ist demnach harmonisch. Es gilt v = u f.ü. und daher ist u harmonisch. Bemerkung Dies ist nicht die bestmögliche Formulierung des Weylschen Lemmas. Wir wollen nun die Poissonsche Gleichung (4.2) betrachten. Definition Es sei f L 2 (), g H 1 (). Eine Funktion u H 1 () heißt schwache Lösung des Dirichletproblems für die Poisson-Gleichung u = f u = g in auf, falls, u g H0() 1 und für alle v H0() 1 ( u, v + fv) dx = 0 ist. Bemerkung Im Gegensatz zur klassischen Aufgabenstellung verlangen wir hier, dass die Randfunktion im Inneren von definiert ist. Im Kontext schwacher Lösungen bedarf die Definition von Funktionen auf dünnen Mengen zusätzlicher nichttrivialer Überlegungen. Lemma Eine Funktion u H 1 () ist genau dann eine schwache Lösung des Randwertproblems für die Poissongleichung aus Definition 4.2.7, wenn die Funktion w = u g eine Lösung der Aufgabe w v dx = fv g v dx v H 1 0 (4.5) w H0 1().

11 4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM 89 ist. Satz Schwache Lösungen u H 1 () des Dirichletproblems für die Poisson-Gleichung sind genau die Minimierer des Energieintegrals J auf H 1 () unter der Nebenbedingung, dass u g H0 1 () ist, also u ist schwache Lösung genau dann, wenn u g H 1 0() und J(u) = min J(v) v H0 1 (), v g H1 0 (). Beweis. Folgt aus den Überlegungen im Beweis von Satz Wir führen das Problem auf ein Problem mit Nullrandbedingungen zurück. Es sei u H 1 () die gesuchte Lösung und w = u g. Dann ist w H0 1 () eine schwache Lösung des Randwertproblems w = f g in w = 0 auf. Umgekehrt hat man eine schwache Lösung w H0 1 () dieses Problems, so entsteht durch u = w + g eine schwache Lösung des ursprünglichen Problems. Satz Zu jedem f L 2 (), g H 1 () gibt es eine Funktion u H 1 () mit u g H0 1 () und J(u) = min J(v) v H 1 (), v g H0 1 (). Beweis. Der Beweis folgt den Linien des Beweises von Satz Im ersten Schritt ist zu zeigen, dass J( ) nach unten beschränkt ist. Die Poincarésche Ungleichung garantiert uns ein c > 0 mit (u g) L 2 c u g 2 L 2. Mit

12 90 KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP w = u g ergibt sich J(u) = J(w + g) = 1 (w + g) 2 dx + 2 f(w + g) dx = 1 2 ( w w, g + g 2) dx c 2 w 2 H w, g dx + g 2 dx f L 2 w H 1 0 f L 2 g L 2 c 2 w 2 H 1 0 g H 1 0 w H 1 0 f L 2 w H 1 0 f L 2 g L 2 c 2 w 2 H 1 0 g H 1 0 w H 1 0 C. Dies ist offensichtlich nach unten beschränkt und damit gilt dies auch für das Energieintegral.Damit existiert die Zahl σ = inf J(v) v H 1 (), v g H0() 1 das Infimum des Energieintegrals. Sei u n n Æ eine Minimalfolge. Wie zuvor folgt aus der Eigenschaft der Minimalfolge zunächst die L 2 -Konvergenz von (u n g) und damit auch die von u n. Mit der Poincaréschen Ungleichung überträgt sich dies auf die L 2 -Konvergenz von u n g und damit auf die der Folge u n. Damit konvergiert die Folge u n n Æ in H 1 (). Der Grenzwert ist der Minimierer des Energieintegrals.