Einführung in die Zahlentheorie

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1 Einführung in die Zahlentheorie Jörn Steuding Uni Wü, SoSe 2015

2 I Zahlen II Modulare Arithmetik III Quadratische Reste IV Diophantische Gleichungen V Quadratische Formen Wir behandeln die wesentliche Zahlentheorie bis einschließlich 1801 (Erscheinungsjahr der Disquistiones Arithmeticae von Gauß). Die Kapitel I, II und III sind relevant für das gymnasiale Lehramt.

3 IV. Diophantische Gleichungen David Hilbert fragte in seinem zehnten Problem nach einem Verfahren zur Entscheidbarkeit, ob eine über Z definierte diophantische Gleichung lösbar ist, was Yuri Matjasevich 1970 negativ beantwortete. A number theorist cannot be replaced by a computer. sagte hierzu treffend Henri Darmon. 13. Summen von Quadraten 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven 16. Quadratische Irrationalzahlen 17. Die Pellsche Gleichung

4 13. Summen von Quadraten Welche natürlichen Zahlen lassen sich darstellen als Summe von zwei, drei usw. vielen Quadraten? X 2 + Y 2 = 30449? Die abgebildete Platte beweist 41 =

5 13. Summen von Quadraten der Zweiquadratesatz Satz 13.1 (Zweiquadratesatz von Fermat). Jede Primzahl p 1 mod 4 besitzt eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten: p 1 mod 4 2. Zum Beispiel: 13 = = Selbiges ist unmöglich für (Prim)zahlen 3 mod 4 2. Es gibt eine Vielzahl von Beweisen; Fermat benutze wahrscheinlich seine Methode des unendlichen Abstiegs ( descente infinie ). Dieser Beweis ist konstruktiv (bis auf den Einstieg, also die Existenz eines z mit z 2 1 mod p).

6 13. Summen von Quadraten Normgleichungen Die Identität aus dem Beweis (xv + yw) 2 +(xw yv) 2 = (x 2 + y 2 )(w 2 + v 2 ) ist die Normgleichung im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] = {a + ib : a, b Z} mit der Norm definiert als Betrag komplexer Zahlen a+ ib 2 = (a+ib)(a ib) = a 2 + b 2. Insbesondere ist die Menge aller Zahlen, die sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lassen, multiplikativ abgeschlossen: m,n 2 = mn 2.

7 13. Summen von Quadraten Charakterisierung der Summen zweier Quadrate Korollar Eine natürliche Zahl n lässt sich genau dann als Summe von zwei Quadraten schreiben, wenn jeder ihrer Primfaktoren p 3 mod 4 in gerader Potenz in der Primfaktorzerlegung von n vorkommt. Beispiel: 20 = = 2 2 ( ) =

8 13. Summen von Quadraten der Vierquadratesatz Überraschenderweise benötigt man lediglich vier Quadrate für alle natürlichen Zahlen: Satz 13.3 (Vierquadratesatz von Lagrange, 1770). Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von vier Quadraten darstellen: N 0 = 4. Hier hilft die Normengleichung für Quaternionen, wie auch im Beispiel: 2443 = = ( )( ) = Bei Summen von zwei und vier Quadraten steht die multiplikative Struktur von gewissen Zahlbereichserweiterungen im Hintergrund (was Fermat und seinen Zeitgenossen natürlich unbekannt war).

9 13. Summen von Quadraten Drei Quadrate Die Beweislage bei drei Quadraten ist ungleich schwieriger: Satz 13.4 (Dreiquadratesatz von Gauß, 1801). Eine natürliche Zahl lässt sich genau dann als Summe von drei Quadraten schreiben, wenn n 4 k (8m+7) für k,m N 0.

10 13. Summen von Quadraten Darstellungsanzahlen Primzahlen besitzen im Wesentlichen nur eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten (ohne Vorzeichenunterscheidung); hingegen lassen sich zusammengesetzte Zahlen n auf {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) Z 4 : x1 2 + x2 2 + x2 3 + x2 4 = n} = 8 d n;d 0 mod 4 viele Weisen als Summe von vier Quadraten schreiben, wie Jacobi bewies. Die Beweisidee für solche Aussagen basiert auf der Thetafunktion als erzeugende Funktion: θ(τ) = + x= exp(πix 2 τ). d

11 13. Summen von Quadraten Summen von k-ten Potenzen Das Waringsche Problem (1770) fragt, ob es zu jedem k 2 ein g = g(k) gibt, so dass jedes n N als Summe von g vielen k-ten Potenzen darstellbar ist. Dies wurde von Hilbert mit einem kombinatorischen Beweis positiv beantwortet. Mit der Kreismethode gelingt ein analytischer Beweis, der zusätzliche Informationen bereitstellt. Vermutlich genügen stets (3 ) k + 2 k 2 2 k-te Potenzen. Beispielsweise zeigte Wieferich g(3) = 9

12 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung Nicht-triviale Lösungen der quadratischen diophantischen Gleichungen X 2 + Y 2 = Z 2 heißen pythagoräische Tripel; man nennt ein solches (x,y,z) primitiv, wenn x, y, z (paarweise) teilerfremd sind. Z.B. (3, 4, 5) und (5, 12, 13). Bereits die Babylonier kannten Beispiele und nutzten diese zur Konstruktion rechter Winkel!

13 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung Euklids Parametrisierung Pythagoras kannte bereits unendlich viele Beispiele (2n+1) 2 +(2n 2 + 2n) 2 = (2n 2 + 2n+1) 2. Satz 14.1 (Euklid). Seien a > b teilerfremd und unterschiedlicher Parität; dann ist x = a 2 b 2, y = 2ab, z = a 2 + b 2 ein primitives pythagoräisches Tripel. Alle primitiven pythagoräischen sind von dieser Form mit eindeutig bestimmten a und b. Der Beweis benutzt: Wenn ein Quadrat ein Produkt teilerfremder Faktoren ist, so ist jeder der Faktoren selbst ein Quadrat!

14 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung Ein geometrischer Beweis Ein alternativer geometrischer Beweis nach Bachet basiert auf Schnitten des Einheitskreises mit gewissen Geraden:

15 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung Fermats Last Theorem Fermat äußerte (um 1635), dass im Gegensatz zum quadratischen Fall, die Gleichung X n + Y n = Z n nur triviale Lösungen in ganzen Zahlen zuließe: xyz = 0 (bzw. keine in N) und er hierfür einen wunderbaren Beweis hätte, er diesen aber aus Platzgründen nicht niederschreibe. Vielleicht dachte er an seine Abstiegsmethode und den Fall n = 4: Satz 14.2 (Fermat/Euler). Alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung X 4 + Y 4 = Z 2 (und insbeondere der Fermat-Gleichung zum Exponenten n = 4) sind trivial: xyz = 0.

16 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung die Lösung Euler bzw. Gauß bewiesen die Fermatsche Vermutung für n = 3. U.a. Sophie Germain, Lejeune Dirichlet und Ernst Kummer lieferten wertvolle Beiträge für weitere kleine Exponenten; Letztgenannter machte den Ansatz Z p = X p + Y p = (X +ζ j Y) 0 j<p mit einer primitiven p-ten Einheitswurzel ζ, welcher einen der Beginne der algebraischen Zahlentheorie markiert. Gelöst wurde die Fermatsche Vermutung jedoch erst 1995 durch Andrew Wiles (nach bedeutenden Vorarbeiten von u.a. Richard Taylor, Ken Ribet, Barry Mazur Yves Hellegouarch, Gerhard Frey uvm.) mit Hilfe von Algebra, Geometrie und Modulformen.

17 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung ohne Worte

18 14. Pythagoräische Tripel und die Fermatsche Vermutung die abc-vermutung Motiviert durch ein polynomielles Analogon formulierten Masser und Oesterle in den 1980ern die abc-vermutung: Für teilerfremde a,b,c mit a+ b = c gilt max{ a, b, c } C(ǫ) p 1+ǫ, p abc wobei ǫ > 0 beliebig ist und die Konstante C(ǫ) nur von ǫ abhängt. Mit dieser bislang unbewiesenen Vermutung beweist sich sehr leicht die Fermatsche Vermutung für hinreichend große Exponenten n.

19 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven Eine natürliche Zahl n heißt Kongruenzzahl, wenn es ein rechtwinkliges Dreieck mit rationalen Seitenlängen und Fläche n gibt; dies lässt sich auch als folgendes diophantisches Problem formulieren: wobei a,b,c Q gesucht sind. a 2 + b 2 = c 2 und n = 1 2 ab,

20 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven Beispiele Mit dem pythagoräischen Tripel offenbart sich n = 6 als eine Kongruenzzahl; ferner ist n = 5 eine Kongruenzzahl, denn bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit Flächeninhalt 5 (wie zuerst Fibonacci beobachtete). Die ersten Kongruenzzahlen sind 5,6,7,13,14,15,20,...,96,101,...,

21 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven Quadrate in arithmetischer Progression Satz Eine Zahl n ist genau dann eine Kongruenzzahl, wenn es drei Quadrate rationaler Zahlen in arithmetischer Progression gibt, also x 2 = y 2 n und z 2 = y 2 + n. Gesucht sind also rationale Punkte auf zwei speziellen Quadriken; Mulitplikation derselben liefert eine kubische Kurve und (vermöge X = y 2 ) folgt Korollar n ist genau dann eine Kongruenzzahl, wenn die Kurve E n : Y 2 = (X n)x(x + n) einen rationalen Punkt (x,y) mit y 0 enthält.

22 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven Elliptische Kurven Sei K ein Körper einer Charakteristik 2,3. Dann definiert die Menge aller Punkte (x,y) K 2, welche der kubischen Gleichung Y 2 = X 3 + ax + b mit 4a b 2 0 genügen, plus ein unendlich ferner Punkt eine elliptische Kurve E(K).

23 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven Addition von Punkten Y 2 X X 20 P 3,9 10 P Q , Q , Durch Schnitt mit Geraden lässt sich eine (über K abgeschlossene) Addition von Punkten auf einer elliptischen Kurve definieren.

24 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven die Sätze von Poincaré und Mordell Satz 15.3 (Poincaré, 1901). Eine elliptische Kurve E(K) zusammen mit der Addition ist eine abelsche Gruppe. Der Beweis der Assoziativität ist recht aufwendig (ohne projektive Geometrie bzw. elliptische Funktionen). Mehr Struktur offenbart Satz 15.4 (Mordell, 1922). Die Gruppe der rationalen Punkte einer über Q definierten elliptischen Kurve ist endlich erzeugt, d.h. E(Q) Z r Tors(E), wobei r N 0 der Rang und Tors(E) die Torsionsuntergruppe (bestehend aus den Punkten endlicher Ordnung, und insbesondere endlich) ist.

25 15. Kongruenzzahlen und elliptische Kurven 1 ist keine Kongruenzzahl Mit Fermats Abstiegsmethode gelingt Satz Es gilt E 1 (Q) = {,(0,0),±(1,0)}, d.h. die diophantische Gleichung Y 2 = X 3 X ist in Q nur trivial lösbar. Korollar 15.6 (Fermat). Weder n = 1 noch irgendein Quadrat ist eine Kongruenzzahl. Die Birch & Swinnerton-Dyer Vermutung ist eines der sieben Millenniumsprobleme und würde weitere Informationen zur Struktur elliptischer Kurven liefern...

26 16. Quadratische Irrationalzahlen Quadratische Irrationalzahlen sind algebraische Zahlen vom Grad zwei, d.h. irrationale Nullstellen quadratischer Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, wie beispielsweise 2,G = i = und Diese sind interessant sowohl hinsichtlich algebraischer Eigenschaften als auch mit Blick auf deren Kettenbruchentwicklung.

27 16. Quadratische Irrationalzahlen quadratische Zahlkörper Jede quadratische Irrationalzahl α R\ Q besitzt eine eindeutige Darstellung α = a+b d mit quadratfreiem d Z ungleich eins und a,b Q. Insbesondere ist d irrational. Die Menge Q( d) = Q(α) = {a+ b d : a,b Q} bildet einen Körper und wird reell- oder imaginär-quadratischer Zahlkörper genannt, je nachdem ob d > 0 oder d < 0. Dies ist eine algebraische Erweiterung von Q vom Grad zwei und kann aufgerfasst werden als Q[X] X= d.

28 16. Quadratische Irrationalzahlen Beispiele Reelle quadratische Irrationalzahlen besitzen interessante Kettenbruchentwicklungen: 5+1 = [1,1,1,...] = [1] 2 bzw. allgemein n = [n,2n] und n = [n,n,2n] für beliebiges n N, wobei a j,...,a j+n eine Periode andeutet.

29 16. Quadratische Irrationalzahlen Charakterisierung Satz 16.1 (Lagrange, 1770). Eine Irrationalzahl α R\ Q ist genau dann quadratisch irrational, wenn die Kettenbruchentwicklung von α schließlich periodisch ist. Die einfache Implikation war bereits Euler bekannt. Die Aussage liefert eine Charakterisierung der quadratischen Irrationalzahlen in Analogie zur Charakterisierung der rationalen Zahlen durch ihre peridoische Dezimalbruchentwicklung! Insbesondere sind die Teilnenner der Kettenbrüche quadratischer Irrationalzahlen beschränkt; es ist ungeklärt, ob die Teilnenner algebraischer Irrationalitäten höheren Grades wie etwa 3 2 unbeschränkt sind?

30 16. Quadratische Irrationalzahlen Reinperidoische Entwicklungen Satz 16.2 (Galois, 1831). Die Kettenbruchentwicklung einer quadratischen Irrationalität α ist genau dann reinperiodisch, d.h. wenn α reduziert ist, d.h. wenn α = [a 0,a 1,...,a k ], α > 1 und 1 < α < 0 für die weitere Nullstelle α des Minimalpolynoms von α gilt. Beispiel: der goldene Schnitt G = = [1] besitzt das Minimalpolynom (X G)(X + g) mit g = G 1 =

31 16. Quadratische Irrationalzahlen Palindrom Korollar Für quadratfreies d N gilt d = [ d,a1,a 2,...,a 2,a 1,2 d ]. Beispiel: 2002 = [44,1,2,1,9,5,6,5,9,1,2, 1,88] Tatsächlich verbirgt sich stets ein Palindrom in der Periode solcher Quadratwurzeln!

32 17. Die Pellsche Gleichung Existieren ganzzahlige Punkte auf einer Hyperbel? Oder äquivalent: Besitzt die Pellsche Gleichung X 2 dy 2 = 1 mit d N Lösungen in Z? (Der Engländer John Pell hatte nichts mit dieser Gleichung zu schaffen...)

33 17. Die Pellsche Gleichung Geometrie Ganzzahlige Gitterpunkte auf der Hyperbel X 2 2Y 2 = 1. Die trivialen Punkte (±1,0) sowie die nicht-trivialen Punkte (±3,±2) bzw. ihre Quadrate (17,±12). Dem unsichtbaren Gitterpunkt (99,70) liegt das Din A-Format zugrunde.

34 17. Die Pellsche Gleichung Eulers Idee Stets ist x = ±1,y = 0 eine solche Lösung, aber existieren auch weitere, wobei wir wegen der Symmetrien nur noch nach Lösungen (x,y) N 2 fragen. Ist d ein Quadrat, existieren neben der trivialen Lösung keine weiteren (wie Faktorisieren zeigt). Andernfalls sind Lösungen (x,y) unter sehr guten rationalen Näherungen an d zu suchen: Faktorisieren im Ring Z[ d] liefert x d y = 1 y 2 ( d + x y ).

35 17. Die Pellsche Gleichung Unendlich viele Lösungen Satz 17.1 (Euler; Lagrange 1766). Wenn d Q und bezeichnet p n /q n die Folge der Näherungsbrüche an d, so liefert x = p m,y = q m für m = δkn 1 mit beliebigem k N sämtliche Lösungen der Pellschen Gleichung, wobei N die Länge der minimalen Periode des Kettenbruches von d ist und δ = 1 oder 2 ist, je nachdem ob N gerade oder ungerade ist: { (pkn 1,q (x k,y k ) = kn 1 ) falls N gerade, (p 2kN 1,q 2kN 1 ) falls N ungerade. Insbesondere liegen also unendlich viele ganzzahlige Punkte auf der durch die Pellsche Gleichung definierten Hyperbel.

36 17. Die Pellsche Gleichung Beispiele 2 = [1,2] (3,2) 3 = [1,1,2] (2,1) 5 = [2,4] (9,4) 19 = [4,2,1,3,1,2,8] (170,39) 61 = [7,1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14] ( , = [9,1,18] (10,1) 2002 = [44,1,2,1,9,5,6,5,9,1,2, 1,88] ( ,253128)

37 17. Die Pellsche Gleichung die Minimallösung Satz Alle Lösungen der Pellschen Gleichung ergeben sich durch Potenzieren der Minimallösung (x 1,y 1 ) N 2 mit minimalem x 1 (x 1 + y 1 d) n = x n + y n d für n Z. Die Lösungen bilden eine zyklische Gruppe (vermöge der Matrizen ( x dy y x ) als Untergruppe der SL 2(Z)). Insbesondere bilden die Elemente x + y d mit Norm x 2 dy 2 gleich eins die Einheitengruppe im Ring Z[ d]. Beispiel: (3+2 2) 2 =

38 17. Die Pellsche Gleichung Die Minus-Gleichung Die Pellsche Minus-Gleichung X 2 dy 2 = 1 hingegen ist schwieriger zu behandeln. Obwohl es sich wiederum um dieselbe Fragestellung handelt (ganzzahlige Punkte auf einer Hyperbel), ist hier hinsichtlich Lösbarkeit relativ wenig bekannt... Sie ist sicherlich unlösbar im Falle d 3 mod 4.

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