Die Unlösbarkeit der Gleichung fünften Grades durch Radikale. Teilnehmer: Gruppenleiter:

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1 Die Unlösbarkeit der Gleichung fünften Grades durch adikale Teilnehmer: Max Bender Marcus Gawlik Anton Milge Leonard Poetzsch Gabor adtke Miao Zhang Gruppenleiter: Jürg Kramer Andreas-Oberschule Georg-Forster-Oberschule Georg-Forster-Oberschule Georg-Forster-Oberschule Georg-Forster-Oberschule Andreas-Oberschule Humboldt-Universität zu Berlin, Mitglied im DFG-Forschungszentrum Matheon Mathematik für Schlüsseltechnologien Die Gruppe beschäftigte sich mit der Frage nach der Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades durch adikale Zunächst wurde dazu festgestellt, dass lineare, quadratische, kubische und quartische Gleichungen durch adikale lösbar sind Mit Hilfe von N-H Abels Originalarbeit aus dem 19 Jh erarbeitete sich die Gruppe dann das Ergebnis, dass die allgemeine Gleichung fünften Grades nicht durch adikale lösbar ist Dazu musste sich die Gruppe einige Grundlagen der Gruppen- sowie der Körpertheorie erarbeiten Speziell spielte das Verständnis der symmetrischen Gruppe S von fünf Elementen eine wichtige olle 13

2 Die Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades durch adikale 1 Einleitung Die allgemeine Gleichung eines Polynoms n-ten Grades mit den Koeffizienten σ 1,, σ n lautet fx) = X n σ 1 X n 1 ± + 1) n 1 σ n 1 X + 1) n σ n Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt ein solches Polynom genau n Nullstellen x 1,, x n C Somit lässt sich die Funktion eindeutig als Produkt ihrer Linearfaktoren darstellen fx) = X x 1 ) X x 2 ) X x n ) Nach dem Vietaschen Wurzelsatz ergeben sich folgende Zusammenhänge zwischen den Nullstellen x 1,, x n und den Koeffizienten σ 1,, σ n σ 1 = σx 1,, x n ) = x x n, σ 2 = σx 1,, x n ) = x 1 x 2 + x 1 x x n 1 x n, σ n = σx 1,, x n ) = x 1 x 2 x n Aufgrund ihrer Symmetrie verändern sich die Werte dieser Funktionen beim Vertauschen Permutieren) der Variablen nicht Sie werden deshalb die elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen x 1,, x n genannt Von großer Bedeutung für den sich später ergebenden Widerspruch ist, dass die x 1,, x n als variabel vorausgesetzt werden Das bedeutet, dass keine algebraischen Zusammenhänge zwischen den Variablen x 1,, x n bestehen dürfen Als Vorbereitung auf die nachfolgende, grundlegende Definition betrachten wir das Beispiel einer quadratischen Gleichung, dh X 2 σ 1 X + σ 2 = 0 1) Die beiden Lösungen dieser Gleichung lassen sich mithilfe der p, q-formel berechnen zu x 1,2 = σ 1 2 ± σ1 2 4 σ 2 14

3 Dabei sieht man, dass die auftretenden Funktionen p = σ 1 /2 und = σ 2 1/4 σ 2 rationale Funktionen in diesem Fall sogar Polynome) in den elementarsymmetrischen Polynomen σ 1, σ 2 sind 2 Die Problemstellung Für die Fortführung ist es zunächst wichtig, einige Bezeichnungen einzuführen Dazu sei C[x 1,, x n ] die Menge der Polynome in x 1,, x n mit komplexen Koeffizienten Ein Quotient zweier Polynome P, Q C[x 1,, x n ] heißt rationale Funktion Entsprechend bezeichnen wir mit { } P Cx 1,, x n ) := Q P, Q C[x 1,, x n ] den Körper aller rationalen Funktionen in den n Variablen x 1,, x n Analog sei C[σ 1,, σ n ] die Menge der Polynome in σ 1,, σ n bzw Cσ 1,, σ n ) der Körper der rationalen Funktionen in σ 1,, σ n Wir haben und C[σ 1,, σ n ] C[x 1,, x n ] Cσ 1,, σ n ) Cx 1,, x n ) Im Beispiel 1) wurde ein Polynom zweiten Grades mit der p, q-formel gelöst Dabei ergab sich die Form x 1 = p + 2) mit p, Cσ 1, σ 2 ) Wir stellen uns nun die Frage, ob ia die Nullstellen von f durch solche adikale darstellbar sind Die Form der Gleichung 2) und die Cardano-Formeln für Polynome dritten und vierten Grades motivieren dabei die folgende Definition Definition Eine Nullstelle x = x j heißt durch adikale darstellbar, falls es ein m N und rationale Funktionen, p, p 1,, p m 1 Cσ 1,, σ n ) gibt, so dass x = p + p 1 m + + p m 1 m ) m 1 gilt; dabei gilt m / Cσ 1,, σ n ) 1

4 Wir können folgende Vereinfachungen erreichen: p 1 = 1 m eine Primzahl Ersetzt man nämlich durch /p m 1, so erhält man p 1 = 1 und verändert die Voraussetzungen nicht Auf den Fall m = Primzahl sind wir geführt, indem wir eine Iteration der obigen Darstellung vornehmen Annahme Um herauszufinden, ob die Nullstellen von f als adikale darstellbar sind, treffen wir die Annahme, dass die Gleichung fx) = 0 eine solche Lösung besitzt Nach der ersten Vereinfachung ist die angenommene Lösung also von der Form x 1 = p + m + + p m 1 m ) m 1 Im Weiteren wird es unser Ziel sein, einen Widerspruch zu dieser Annahme herzuleiten 3 Der erste Beweisschritt Wir schränken nun auf den Fall n = ein; außerdem erinnern wir uns daran, dass m eine Primzahl ist Wir nehmen also an, dass unsere Ausgangsgleichung fx) = 0 eine Lösung der Form x 1 = p + m + + p m 1 m ) m 1 3) besitzt Bevor wir im ersten Beweisschritt fortfahren, haben wir noch die m-ten Einheitswurzeln ζ j einzuführen; dabei ist ) ) 2π 2π ζ = e 2πi/m = cos + i sin m m und j = 0,, m 1 ist Wir erinnern daran, dass die m Einheitswurzeln 1, ζ, ζ 2,, ζ m 1 im Einheitskreis der komplexen Ebene mit dem Ursprung als Zentrum) ein regelmäßiges m-gon einbeschreiben 16

5 Nach langwierigen Überlegungen, welche aber im wesentlichen nur Methoden der Linearen Algebra und die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen benötigen, stellen wir fest, dass mit der Lösung 3) gleichzeitig auch x 2 = p + ζ m + + p m 1 ζ m ) m 1 x m = p + ζ m 1 m + + p m 1 ζ m 1 m ) m 1 Lösungen der Ausgangsgleichung fx) = 0 sind Diese stellen sich als paarweise verschieden heraus, dh wir haben somit m verschiedene Lösungen der Ausgangsgleichung Da nun aber fx) ein Polynom vom Grad n = ist, kann es höchstens verschiedene Nullstellen haben, dh wir haben m Da m aber eine Primzahl ist, haben wir den Beweis auf die Fälle m = 2, m = 3, m = reduziert Diese gilt es im Folgenden zu untersuchen Dabei beschränken wir uns hier auf die Betrachtung des Falls m = ; der Fall m = 2 lässt sich analog behandeln Schließlich lässt sich zeigen, dass der Fall m = 3 gar nicht auftreten kann 4 Der zweite Beweisschritt Wir gehen aus von den m Gleichungen x 1 = x 2 = p + m ) m m p m 1, p + ζ m + + p m m 1 ζ ) m 1, x m = p + ζ m 1 m + + p m 1 ζ m 1 m ) m 1 Indem wir y 1 = p, y 2 = m ) m 2 ) m m 1, y 3 = p 2,, ym = p m 1 17

6 setzen, erhalten wir das lineare Gleichungssystem y 1 + y 2 + y y m = x 1 y 1 + ζy 2 + ζ 2 y ζ m 1 y m = x 2 y 1 + ζ m 1 y 2 + ζ 2m 1) y ζ m 1)2 y m = x m Nach der bekannten Theorie der linearen Gleichungssysteme sind die Lösungen y 1, y 2,, y m gegeben als Quotienten von Polynomen in den Koeffizienten des Gleichungssystems, dh y 1, y 2,, y m sind rationale Funktionen in x 1, x 2,, x n Insbesondere stellen wir fest m Cx1,, x n ) Zum Beispiel berechnet man im Fall m = 3 leicht 3 = x 1 + ζ 2 x 2 + ζ x 3 3 Der dritte Beweisschritt Die symmetrische Gruppe S n vom Index n ist definiert als die Menge aller Permutationen von n Elementen Eine Permutation π ist dabei einfach eine Anordnung der n Elemente, wobei jedes Element in der neuen Anordnung genau einmal vorkommen soll und je zwei verschiedenen Elementen auch zwei verschiedene Bildelemente zugeordnet werden Wir können sie also auch als injektive Abbildung der Menge der n Elemente auf sich selbst auffassen Eine Permutation ist also insbesondere bijektiv Wir arbeiten im Folgenden mit den natürlichen Zahlen von 1 bis n als Elementen Diese Permutationen finden ihre Anwendung nun bei Polynomen und rationalen Funktionen in den n Variablen x 1,, x n Wir lassen dabei eine Permutation auf die Indizes wirken Sei also π S n eine Permutation Dann definieren wir g π x 1,, x n ) := gx π1),, x πn) ), wobei g Cx 1,, x n ) ist Nun definieren wir weiter die Wertemenge von g durch W g) := {g π π S n } 18

7 Eine rationale Funktion g mit W g) = {g}, also W g) = 1, nennen wir eine symmetrische rationale Funktion Man überzeugt sich leicht davon, dass man Permutieren und Addieren bzw Multiplizieren vertauschen kann, da diese beiden Prozesse völlig unabhängig voneinander sind Induktiv erhält man dann, dass dies sogar für mehrere Summanden und Faktoren einer Summe bzw eines Produkts gilt Als Spezialfall, bei dem die Faktoren alle gleich sind, erhalten wir somit folgendes Vertauschungsgesetz für Potenzen: g π ) r = g r r N) Daraus folgt insbesondere für r = m = g π ) = g = ) = π = Letzteres Gleichheitszeichen gilt wegen der Voraussetzung Cσ 1,, σ n ) Somit ist wie auch eine Lösung der Gleichung z = 0 Diese Lösungen sind aber als fünfte Wurzeln alle von der Form z j = ζ j j {0,, 4}) Daraus folgt also = ζj mit einem j {0,, 4} Mithilfe von etwas Gruppentheorie Operationen, Bahnen und Stabilisatoren) kann man zeigen, dass auch wirklich jedes der z j j = 0,, 4) als Bild angenommen wird, dh dass es zu jedem dieser z j auch wirklich eine Permutation π S n gibt mit = ζj Somit folgern wir aus den obigen Überlegungen und dem letzten Argument, dass W ) = {, ζ,, ζ 4 } gilt und erhalten dann W ) = 19

8 6 Der Widerspruch Wir erinnern zunächst nochmals daran, dass wir mit der allgemeinen Gleichung fünften Grades arbeiten, dh wir nehmen an, dass die Nullstellen x 1,, x unabhängige Variablen sind, also keiner algebraischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten) genügen Ohne Beweis zitieren wir den folgenden Satz Satz Ist g Cx 1,, x ) eine rationale Funktion mit der Eigenschaft W g) =, so ist g ohne Beschränkung der Allgemeinheit) von der Form g = gx 1,, x ) = q 0 + q 1 x 1 + q 2 x q 3 x q 4 x 4 1 mit symmetrischen Funktionen q 0, q 1,, q 4 Cσ 1,, σ ) Nach dem zweiten Beweisschritt ist Cx 1,, x ) Da nach dem dritten Beweisschritt weiter W ) = gilt, können wir den vorhergehenden Satz anwenden Wir finden, dass die Gestalt = q0 + q 1 x 1 + q 2 x q 3 x q 4 x 4 1 hat, wobei q 0, q 1,, q 4 Cσ 1,, σ ) sind Wir wenden nun die Permutation ) π = auf die rationale Funktion an und erhalten = q 0 + q 1 x 1 + q 2 x q 3 x q 4 x 4 1 = q π 0 + q π 1 x 2 + q π 2 x q π 3 x q π 4 x 4 2 = q 0 + q 1 x 2 + q 2 x q 3 x q 4 x 4 2 ; dabei haben wir insbesondere beachtet, dass x π 1 = x 2 ist und dass die Funktionen q 0, q 1,, q 4 symmetrisch sind 20

9 Nach dem dritten Beweisschritt wissen wir andererseits, dass ein j {0,, 4} existiert, so dass = ζj gilt Zusammen mit der vorhergehenden echnung erhalten wir somit die elation q 0 + q 1 x 2 + q 2 x q 3 x q 4 x 4 2 = ζ j q 0 + ζ j q 1 x 1 + ζ j q 2 x ζ j q 3 x ζ j q 4 x 4 1 Zusammengenommen genügen x 1,, x somit der polynomialen Gleichung q 0 1 ζ j ) + q 1 x 2 ζ j x 1 ) + q 2 x 2 2 ζ j x 2 1) + q 3 x 3 2 ζ j x 3 1) + q 4 x 4 2 ζ j x 4 1) = 0 Dies stellt aber einen Widerspruch zur angenommenen algebraischen Unabhängigkeit der Variablen x 1,, x dar Damit ist zumindest im Fall m = gezeigt, dass die allgemeine Gleichung fünften Grades sich nicht mithilfe von adikalen lösen lässt 21

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