1 AVL-Bäume. 1.1 Aufgabentyp. 1.2 Überblick. 1.3 Grundidee

Transkript

1 AVL-Bäume. Aufgabentyp Fügen Sie in einen anfangs leeren AVL Baum die folgenden Schlüssel ein:... Wenden Sie hierbei konsequent den Einfüge /Balancierungsalgorithmus an und dokumentieren Sie die ausgeführten Operationen. Nutzen Sie die Abkürzungen: i(x) - für das Einfügen des Knotens mit dem Schlüsselwert x, L(x) - für die Linksrotation um den Knoten mit dem Schlüsselwert x, R(x) - für die Rechtsrotation um den Knoten mit dem Schlüsselwert x.. Überblick. i(x): neues Element als Blatt einfügen, sodass Suchbaumeigenschaft erfüllt bleibt. Balancewerte auf Einfügepfad Richtung Wurzel berechnen (b n =maximale Pfadlänge rechts - maximale Pfadlänge links), solange b n {,, } bzw. Wurzel erreicht. Falls b n = oder b n =, wähle eine Variante: b n = b n = : Doppelrotation: L(n ),R(n) b n = b n = : Doppelrotation: R(n ),L(n) b n = b n = : Einfachrotation: R(n) b n = b n = : Einfachrotation: L(n). Bei Rotation abgetrennte Nachfolger wieder normal in Suchbaum einfügen. Grundidee Ein naiver Algorithmus zum Suchen besteht darin, einfach alle Elemente aus der Datenmenge mit dem zu suchenden Element zu vergleichen. Dies ist natürlich sehr ineffizent. Besser ist es, wenn die Daten schon sortiert sind. Da dies jedoch relativ aufwändig ist, bieten Suchbäume einen guten Mittelweg an. Für jeden Knoten eines Suchbaums gilt: alle Schlüssel im linken Teilbaum sind kleiner und alle Schlüssel im rechten Teilbaum sind größer als der Schlüssel des Knotens. Somit ist es also möglich in O(log n) statt O(n) Schritten die Suche abzuschließen. Normale Suchbäume haben allerdings das Problem, dass sie sehr schnell entarten können. Wird ein solcher Suchbaum aus einer schon aufsteigend sortierten Liste erstellt, entsteht als Baum wiederum nur eine Liste (bzw. alle Knoten des Baumes haben keinen linken Nachfolger). Damit hat der Baum gegenüber der Liste keine Verbesserung gebracht. Balancierte Bäume sollen dieses Problem beheben, indem bei jeder Einfüge/Lösche-Operation darauf geachtet wird, dass der Baum nicht entartet, also die Anzahl der linken bzw. rechten Nachfolger jedes Knotens in etwas gleich ist. Die AVL-Bäume, benannt nach Adelson-Velskij und Landis, sind solche balancierten Bäume,

2 bei denen sich die Höhen des linken und rechten Teilbaums um höchstens unterscheiden. Die in der Übung behandelten Operationen beziehen sich ausschließlich auf das Einfügen von Elementen in einen AVL-Baum. Die Schrittfolge hierbei ist recht einfach: Zuerst wird der Wert so eingefügt, dass die Suchbaumeigenschaft erhalten bleibt, danach wird geprüft, ob die AVL-Eigenschaft noch gilt (also ob der Baum ausbalanciert ist). Wenn dies nicht der Fall ist, wird durch Rotationen eine Balance geschaffen.. Erklärung am Beispiel In einen anfangs leeren AVL Baum sollen folgende Zahlen eingefügt werden:,,,,,,,, 6, 7,. Zuerst soll die (in den noch leeren) Baum eingefügt werden. Die Suchbaumeigenschaft ist offenbar immer erfüllt, wenn der Baum nur aus einem Wurzelknoten besteht. Also wird der neue Baum nur aus der als Wurzel bestehen. Als nächstes ist zu prüfen, ob der Baum auch noch die AVL-Eigenschaft erfüllt. Dafür muss für jeden Knoten auf dem Einfügepfad die Balance berechnet werden. Der Einfügepfad besteht hier offenbar nur aus dem Knoten mit der selber. Dieser ist jedoch ein Blatt und hat somit die Balance (rechter-linker Nachfolger=-=). Damit ergibt sich: i() Als nächstes soll die eingefügt werden. ist offenbar kleiner als, muss also im linken Teilbaum der zu finden sein (Suchbaumeigenschaft). Da die noch keine Nachfolger hat, wird die selber der direkte linke Nachfolgerknoten der. Nun muss auf dem Einfügepfad (,) in Richtung Wurzel (,) die Balance berechnet werden. Der Knoten ist ein Blatt hat also die Balance. Die hat keinen rechten Nachfolger, aber einen linken Nachfolger, also ergibt sich als Balance -=-: i() Nun wird die hinzugefügt: ist kleiner als, also in den linken Teilbaum. ist kleiner als, also in den linken Teilbaum der. Da dieser nicht existiert, wird dort die angehängt: i() Die Berechnung der Balance (Reihenfolge:,,) ergibt einen Widerspruch der AVL- Eigenschaft an der (Da der Balancewert nicht -, oder ist). Da der letzte und vorletzte betrachtete Balancewert jeweils negativ ist, erfolgt eine einfache Rotation. Offenbar ist der Baum stark linkslastig, sodass nach rechts (d.h. im Uhrzeigersinn) gedreht werden muss. Die Rotationsachse ist bei einer Einfachrotation der Knoten, bei dem der AVL-Fehler zuerst aufgetreten ist, hier also die :

3 R() Nun wird die hinzugefügt. Da kleiner als und kleiner als ist, wird sie links an die gehängt. Die Balancewerte werden nun in der Reihenfolge,, berechnet und die AVL-Eigenschaft bleibt erhalten: i() Da die kleiner, kleiner aber größer als ist, wird sie rechts an die angehängt. Die Berechnung der Balancewerte erfolgt wieder entlang des Einfügepfades in Richtung Wurzel, wobei bei der schon ein Fehler auftritt. An dieser Stelle kann die Berechnung abgebrochen werden, da bereits klar ist, welche Rotation erfolgen muss: i() Offenbar hat ein Vorzeichenwechsel bei den Balancewerten (- und ) stattgefunden, sodass eine Doppelrotation ausgeführt werden muss. Eine Doppelrotation beginnt bei dem vorletzten betrachteten Element (bezüglich der Balancewerte) mit einer Rotation. Danach wird auf das letzte Element die genau gegenläufige Rotation ausgeführt. Das vorletzte Element ist hier offenbar die. Der der Teilbaum der rechtslastig ist, erfolgt zuerst eine Linksrotation um die, danach eine Rechtsrotation um die : L() R() Balancewerte müssen hier nicht (zwangsläufig) neu berechnet werden, da eine korrekte Rotation die AVL-Eigenschaft erzwingt. Zur Überprüfung ist dies jedoch trotzdem empfehlenswert. Jetzt wird die hinzugefügt. Da kleiner, aber größer als und wird diese als rechter Nachfolger an die angehängt. Die Berechnung der Balancewerte ergibt wieder einen Fehler, da die den Wert - hat:

4 i() Offenbar hat auch hier ein Vorzeichenwechsel stattgefunden, sodass es sich um eine Doppelrotation handeln muss. Der vorletzte Teilbaum (Knoten ) ist wieder stark rechtslastig, sodass zuerst eine Linksrotation um die ausgeführt werden muss und dann eine Rechtsrotation um die. Bei letzterer ergibt sich das Problem, dass der Baumknoten abgespalten wird. Dieser muss nach der Rotation unter der Beachtung der Suchbaumeigenschaft wieder hinzugefügt werden ( größer, aber kleiner, also als linker Nachfolger der ): L() R() Das Hinzufügen der und erfolgt nun ohne, dass eine Rotation nötig wird: i() i() Das Einfügen der 6 hat wiederum eine zu schlechte Balance zur Folge. Durch die verschiedenen Vorzeichen ( und -), ist eine Doppelrotation nötig. Da der Teilbaum mit Knoten linkslastig ist, erfolgt zuerst eine Rechtsrotation um die. Danach eine Linksrotation um die :

5 i(6) R() L() Nach dem Einfügen der 7 liegt ein einfacher Fehler vor, da kein Vorzeichenwechsel stattgefunden hat (die letzten Balancewerte sind und ). Offenbar ist der Baum mit Wurzelknoten rechtslastig, also muss eine Linksrotation um die erfolgen. Dabei wird jedoch der Baum mit dem Wurzelknoten abgespalten, sodass dieser nach erfolgter Rotation wieder angefügt werden muss (unter Einhaltung der Suchbaumeigenschaft, also als rechter Nachfolger der ): i(7) L() Das Einfügen der ändert nichts an der vorhandenen AVL-Eigenschaft, sodass keine Rotation nötig ist: i() Eigenschaften Komplexität: O(log n) (für Suchen, Einfügen und Löschen)