Übungsblatt 8 Physik für Ingenieure 1

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1 Übungsblatt 8 Physik für Ingenieure 1 Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de) Aufgaben für die Übungsstunden Statische Gleichgewichte 1, Gravitation 2, PDF-Datei 3 1. Bei einem Kollergang wird ein Rad der Masse m im Kreis um eine zentrale Befestigung geführt und rollt in der Horizontalebene, wobei die Radachse (masselos) in 0 gelenkig und reibungsfrei gelagert sei. Berechne den Normaldruck als Funktion der Winkelgeschwindigkeit ω 0 der Radumdrehung. Was ist das Resultat für a r? 2. Ihnen steht eine Waage mit einer Auflagefläche von 1m 2 und einer Höhe von 10 cm sowie 7 Holzplatten zur mit der Fläche 1m 2 und einer Höhe von 10 cm Verfügung. Sie sollen das Gesamtgewicht eines Lastzuges mit einer Übungsblatt 8 1 c 2001 University Ulm, Othmar Marti

2 Übungsblatt achsigen Zugmaschine sowie einem zweiachsigen Sattelauflieger nachmessen. Geht das? Was ist die Messvorschrift? Diskutieren Sie das Problem unter dem Gesichtspunkt der Gleichgewichtsbedingungen. 3. Zwei Punktmassen der Grösse m sind auf der y-achse im Abstand a symmetrisch auf beiden Seiten des Nullpunkts plaziert (Ihre Koordinaten sind (0; a; 0) und (0; a; 0). (a) Ein drittes Teilchen m 0 befinde sich im Abstand vom Ursprung auf der -Achse. Zeigen Sie, dass die Kraft, die von den beiden Punktmassen auf dieses Teilchen ausgeübt wird, gegeben ist durch F 2Gmm 0 ( 2 + a 2 ) (3/2) e (b) Ermitteln Sie das durch die beiden Massen auf der y-achse hervorgerufene Gravitationsfeld g auf der -Achse. (c) Zeigen Sie, dass die von den beiden auf der y-achse befindlichen Massen hervorgerufene Gravitationsfeldstärke g annähernd 2Gm/ 2 ist, wenn wesentlich grösser als a ist. (d) Zeigen sie, dass g an den Punkten ± a/ 2 maimal ist. 2 Hausaufgabe 4. Io, einer der Jupitermonde, hat einen mittleren Bahnradius von m und eine Umlaufdauer von s. (a) Bestimmen Sie den mittleren Bahnradius von Callisto, einem anderen Jupitermond, dessen Umlaufzeit s betrage. (b) Berechnen Sie mit dem bekannten Wert von G die Jupitermasse. 5. Zwei Planeten gleicher Masse bewegen sich um einen Stern mit wesentlich grösserer Masse. Planet 1 mit der Masse m 1 bewege sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius m. Seine Umlaufdauer betrage 2 Jahre. Planet 2 mit der Masse m 2 bewege sich auf einer elliptischen Bahn, wobei der Kleinste Abstand zum Stern m (Punkt P) und der grösste Abstand m (Punkt A) betrage. (a) Berechnen sie die Umlaufdauer von Planet 2. Berücksichtigen Sie dabei, dass der mittlere Bahnradius einer elliptischen Bahn gleich der Länge der grossen Halbachse ist. (b) Wie gross ist die Masse des Sternes? Übungsblatt 8 2 c 2001 University Ulm, Othmar Marti

3 Übungsblatt 8 3 (c) Welcher Planet hat die grössere Gesamtenergie? (d) Welcher Planet hat am Punkt P die grössere Geschwindigkeit? (e) Welche Geschwindigkeit besitzt Planet 2 im Punkt P im Vergleich zur Geschwindigkeit im Punkt A? Übungsblatt 8 3 c 2001 University Ulm, Othmar Marti

4 Übungsblatt Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde 1. Das Rad legt den Weg 2πa zurück und dreht sich dabei 2πa a/r mal. 2πr Also ist ω aω. r Wenn ω nach rechts zeigt, muss Ω nach unten zeigen. ω + Ω zeigt auf den Mittelpunkt der Auflagelinie. ω + Ωist die momentane Drehachse. Der Drehimpuls des Rades zeigt nach rechts. M dl dt Die Drehimpulsänderung durch Ω bewirkt ein Drehmoment. In der Zeit dt ändert sich L I Rad ω um dl LΩdt I Rad ωωdt also ist M I Rad ωω I Rad Ω 2 a r 1 2 mr2 Ω 2 a r ar 2 mω2. Die resultierende Normalkraft minus die Gewichtskraft ist das Drehmoment und gleich a(n mg) ar 2 mω2 und damit N mg + mω2 m [ g + Ω2] Wenn man sich den Kollergang als Gewichtsbehafteten Kreisel vorstellt, wäre die Normalkraft genau dann null, wenn sich der Kreisel mit Ω nach oben zeigend bewegen würde. Dann ist die Gewichtskraft durch das Reaktionsdrehmoment des Kreisels kompensiert. Ist Ω 0, ist die Normalkraft N mg, da wir mit dieser Kraft unterstützen müssen. Dreht der Kreisel wie in diesem Falle entgegengesetzt der Präzessionsrichtung, muss N entsprechend grösser werden! 2. Wir nummerieren die acht Räder mit Jeweils ein Rad, Rad Nummer i steht auf der Waage, die anderen auf dem Holz. Da alle Untersätze die gleiche Höhe haben, ist die Gewichtsverteilung wie vorher Übungsblatt 8 4 c 2001 University Ulm, Othmar Marti

5 Übungsblatt 8 5 Es gilt F ges i 1 8 F i, wenn F i die Auflagekraft des Rades i ist. Bemerkung Nach dieser Methode kann das zulässige Gesamtgewicht und die zulässige Achslast mit mobilen Einrichtungen überprüft werden. Wenn Sie Gleichgewichte betrachten, dann muss die Summe aller Kräfte und die Summe aller Drehmomente bezüglich des Schwerpunkts null sein. Mit der Momentengleichung können Sie die Last auf jedem Rad berechnen. 3. Zwei Punktmassen der Grösse m sind auf der y-achse im Abstand a symmetrisch auf beiden Seiten des Nullpunkts plaziert (Ihre Koordinaten sind (0; a; 0) und (0; a; 0). (a) Verbindungsvektor r +a (; 0; 0) (0; a; 0) (; a; 0) und r a (; 0; 0) (0; a; 0) (; a; 0) Länge der Vektoren r +a a 2 r a 2 Die y-komponenten der Gravitationskräfte der einzelnen Massen sind vom Betrage her gleich gross, haben aber verschiedenes Vorzeichen: also gibt es nur die -Komponente der Gravitation. Mit einem pythagoräischen Dreieck, bei dem die Hypotenuse 1 ist, errechnet man: 1 (/r) 2 + (a/r) 2. Also ist F /F /r 1 (a/r) 2 1 a2 ( 2 +a 2 ) 2 +a 2 Die [ Gravitationskraft ] [ ist also ] F ((; 0; 0)) (F ; 0; 0) und F Gmm 0 +a F 2Gmm 0 a + 2 +a 2 2 +a 2 Gmm 0 a 2 +a 2 2Gmm 0 ( 2 +a 2 ) (3/2). Damit ist die Gleichung F 2Gmm 0 ( 2 +a 2 ) (3/2) e gezeigt. F (b) g g m 0 und damit g() 2Gm e ( 2 +a 2 ) (3/2) (c) Wir setzen ( 2 + a 2 ) (3/2) (1 3 + ( ) ) 2 3/2 a ( Für a ist 1 + ( a g 2Gm 2Gm ( 2 +a 2 ) (3/2) ) ) 2 3/2 ( ) a ( 1 + ( a (d) Maimum oder Minimum: Ableitung 0. dg d d 2Gm 2Gm d ( 2 +a 2 ) (3/2) 2Gm 2 a ( 2 +a 2 ) (5/2) 0 Also 2 2 a 2 0 und 2 a 2 /2 Damit folgt die Behauptung. ( 2 +a 2 ) (3/2) ( 3 2 ) 2 ) 3/2 2Gm 2 ) 2Gm 2 ( 2 +a 2 ) (5/2) Übungsblatt 8 5 c 2001 University Ulm, Othmar Marti

6 Übungsblatt Lösungen Hausaufgabe 4. (a) 3. Keplersches Gesetz: ( ) 3 ( ) T1 2. T 2 ( ) 2r2 ( ) 3 T1 T s s 10 8 m m (b) wir verwenden: E kin 1 2 mv2 1 1m ( ) 2 2π 2 T M J 4π2 G r 3 1 T 2 1 M J 4π ( ) 3 ( ) 2 kg kg GM J m 5. Zwei Planeten gleicher Masse bewegen sich um einen Stern mit wesentlich grösserer Masse. Planet 1 mit der Masse m 1 bewege sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius m. Seine Umlaufdauer betrage 2 Jahre. Planet 2 mit der Masse m 2 bewege sich auf einer elliptischen Bahn, wobei der Kleinste Abstand zum Stern m (Punkt P) und der grösste Abstand m (Punkt A) betrage. m S m 1 m 2 (a) Grosse Halbachse: a m 2 ( ) 3T1 ( ) T 2 2 a m 32J m 3, 67J (b) M S 4π2 G (c) (d) r 3 1 T 2 1 4π ( ) kg Die Gesamtenergie eines Planeten ist E ges 1 2 E pot Gm 1m S 2r E kin Planet 2 hat also die grössere Gesamtenergie, da die grosse Halbachse seiner Bahn grösser als Bei Plante 1 ist, die potentielle Energie also weniger negativ ist. Welcher Planet hat die grössere Gesamtenergie? Am Punkt P haben beide Planeten die gleiche potentielle Energie E pot Gm 1m S Gm 2m S. Die kinetische Energie ist E kin E tot E pot Also ist E kin,1 E tot,1 E pot und E kin,2 E tot,2 E pot 1m 2 1v1 2 Gm Sm Gm Sm 1 Gm Sm m 2v 2 2 Gm Sm 2 Gm S m 1 + 2a + Gm Sm 1 Gm Sm 2 ( ) 2 v 1 v 2 ] 2 [ Gm Sm 1 Gm Sm 1 ( 1 + ) Da ist, ist 1 und also v 1 v 2 [ ] Übungsblatt 8 6 c 2001 University Ulm, Othmar Marti

7 Übungsblatt 8 7 (e) Mit dem 2. Keplerschen Gesetz ist v 2,P dt v 2,A dt Also v 2,A v 2,P Übungsblatt 8 7 c 2001 University Ulm, Othmar Marti