1 Q12: Lösungen bsv 2.2
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- Sebastian Huber
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1 Q: Lösungen bsv Graphisches Bestimmen einer Integralfunktion a) Nullstellen (laut Graph): x = 0; x = VZT x < 0 x = 0 0 < x < x > f(x) G Io TIP HOP b) Aus der Abbildung ergibt sich: VZT x < x = x > f (x) G Io WEP c) Graph: G I G f d) Von 0 bis steigt der positiv orientierte Flächeninhalt an. Im Intervall von bis 3 wird er durch hinzukommende negativ orientierte Flächeninhalt ausgeglichen, bis bei 3 die Flächenbilanz 0 ist. Im weiteren Verlauf ergeben sich negative Flächenwerte, da die negativ orientierten Flächeninhalte immer stärker überwiegen. Bei Integration in negativer x-richtung ergeben sich positive Funktionswerte, da in negativer Richtung über negativ orientierte Flächeninhalte integriert wird. e) Suche ein Dreieck, dessen Fläche im Intervall [0;] zum Teil unter- und zum Teil oberhalb von G f verläuft, z.b. mit g = und h =, mit A = 0 f (x)dx g h = 0,6 Da der Graph um x = herum achsensymmetrisch erscheint kann man abschätzen:
2 A = 0 f (x)dx = f (x)dx = 0,6 =, 0 f) Der Graph ist an der x-achse gespiegelt, um nach rechts und um nach oben verschoben: f (x) = (x ) + = (x x + ) + = x + x g) I 0 (x) = x 0 t + tdt = [ t3 3 + t ] x 0 = x3 3 + x 5. a) Tabellen: VZT x < 0 x = 0 0 < x < 3 x = 3 x > 3 f (x) G I o TIP TEP VZT x < x = < x < 3 x = 3 x > 3 f (x) G I o WEP WEP b) Graph:
3 G Io G f Diagramm fällt aus, da keine Nullstelle bei x = Diagramm 4, weil der Graph vor x = rechtsgekrümmt, danach aber linksgekrümmt sein muss Diagramm 5, zeigt einen fallenden Graphen. Da aber f (x) > 0 für den gesamten Definitionsbereich, muss G I überall steigen. Diagramm besitzt an der Stelle x = von links und rechts kommend sehr unterschiedliche Steigungswerte, der Graph von f hingegen in dieser Umgebung nahezu konstante Funktionswerte um f (x) 0,8. 8. f (x) = e 0,5x ; I 0 (x) = x 0 f (t)dt; x R a) Die Aspekte im einzelnen: Monotonieverhalten: Da f (x) > 0 ist der gesamte Graph von I 0 (x) monoton steigend. Krümmungsverhalten: Da f (x) > 0 für x < 0 und f (x) < 0 für x > 0 ist der Graph von I 0 bei negativen x-werten linksgekrümmt und bei positiven Werten rechtsgekrümmt. 3
4 Symmetrie: f(x) ist achsensymmetrisch zu y-achse. Also werden Flächenbilanzen für einen positiven x-wert negativen Flächenbilanzen für den entsprechenden negativen x-wert entsprechen (von 0 aus nach links integriert). I 0 ( x) = I 0 (x) der Graph der Integralfunktion ist also punktsymmetrisch. b) I 0 ( ),5; I 0(),; I 0 () 3,; I 0 (4) 3,5 3 f a) Die Nullstellen des Graphen von f müssen mit Stellen waagerechter Tangente des Graphen von I a übereinstimmen. Aus diesem Grund muss der rote Graph derjenige von f und der blaue der von I a sein. An den Stellen wo der rote Graph Null ist, x = ;x = 0;x 3 = +; hat der blaue Graph Minimum, Terrassenpunkt und Maximum. b) Der Flächeninhalt lässt sich mit Hilfe der Funktionswerte von G Ia ablesen, im I. Quadranten besitzt der G Ia dort ein Maximum. A 4,. c) A = I a (,5) I a () = 3 = 0. Flächen graphisch bestimmen a) Die untere Grenze a der Integralfunktion muss Nullstelle sein, denn a a f (x)dx = 0. Einzige mögliche Stelle (im dargestellten Intervall) dafür ist x = 3. b) Monotonieverhalten durch Analyse von f(x): VZT x < x = < x < 3 x = 3 x > 3 f (x) G Io HOP TIP Dieses Verhalten steht in Übereinstimmung mit dem Graphen. 4
5 Krümmungsverhalten durch Analyse der Steigung von f(x): VZT x < 0, x = 0, 0, < x <,3 x =,3 x >,3 f (x) G Io WEP WEP Ebenfalls in Übereinstimmung mit dem Krümmungsverhalten des grünen Graphen. c) Es handelt sich um die Fläche unterhalb der x-achse im Intervall x [;3]. Über den gesamten Bereich verringert sich der orientierte Flächeninhalt laut Graph der Integralfunktion von A 3,5 auf A = 0. Also muss die Fläche unterhalb der x-achse ungefähr 3,5 Einheiten entsprechen. d) Aus dem Graphen liest man ab, dass die Flächenbilanz gegen Null strebt. Also gilt: x lim x I 3 (x) = 0 = lim x 3 f (t)dt = 3 f (x)dx = 0. Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-achse des Intervalls [ ; ] entspricht dem Flächeninhalt 3,5 wie er in der vorigen Teilaufgabe berechnet wurde. e) f (x) = (ax + bx + c) e x. Nullstellen ergeben sich nur aus dem vorderen Faktor. I: Setze 0 ein: c = c = II: Setze ein: a + b + = 0 = a + b + III: Setze 3 ein: 9a + 3b + = 0 III-3 II: 9a 3a + 3b 3b + 3 = 0 6a = 0 a = 3 in II: 3 + b + = 0 b = 4 3 f (x) = ( 3 x 3 4 x + ) ex. a) f (x) = 8 (x )(x 9) = 8 x4 5 4 x Symmetrie f ( x) = 8 (( x) )(( x) 9) = 8 (x )(x 9) = +f (x) Achsensymmetrie Nullstellen 5
6 f (x) = 0 = 8 (x + )(x )(x + 3)(x 3) (dritte binomische Formel rückwärts) x = 3;x = ;x 3 = +;x 4 = +3 Monotonie f (x) = 8 x(x 9) + 8 (x ) x = 4 x (x 9 + x ) = 4 x (x 0) = x (x 5) = x3 5 x f (x) = 0 = x(x 5)(x + 5) f (x) = 3 x 5 = 3 (x 5 3 ) f (x) = 3x x 5 = 5;x 6 = 0;x 7 = + 5 f (x 5 ) > 0;(TIP)f (x 6 ) < 0;(HOP)f (x 7 ) > 0;(TIP) Krümmung f 5 (x) = 0 x 8 = 3 ;x 5 9 = + 3 ; f (x 8 ) 0;f (x 9 ) 0 beides WEPs. f b) A = = 3 f (x)dx + f (x)dx 3 8 x4 5 4 x + 8 9dx + 8 x4 5 4 x dx,47 +,53 = 6,53 6
7 a) 0 b) x = 4;x = 5; 7
)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.
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