Blatt Musterlösung Seite 1. Aufgabe 1: Schwingender Stab

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1 Seite 1 Aufgabe 1: Schwingender Stab Ein Stahlstab der Länge l = 1 m wird an beiden Enden fest eingespannt. Durch Reiben erzeugt man Eigenschwingungen. Die Frequenz der Grundschwingung betrage f 0 = 250 Hz. 1. Bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit v s in Stahl. Hier hat man es mit stehenden Wellen mit zwei festen Enden zu tun. Der Länge des Stabes entspricht hier gerade einer halben Wellenlänge der Grundschwingung. Dies kann man an folgender Skizze sehen: Die Grundschwingung ist diejenige Schwingung mit der kleinsten Frequenz, bzw. mit der größten Wellenlänge. Da beide Enden fest sind, können hier nur Wellenknoten sein, die größte Wellenlänge ist diejenige mit nur einem Wellenbauch entlang der Länge des Stabes. Für die Grundschwingung gilt: l = λ 0 2 λ 0 = 2l v s = λ 0 f 0 = 2lf 0 = 2 1 m 250 Hz = 5060 m s 2. Berechnen Sie die Frequenzen der nächsten zwei Oberschwingungen. Die nächsten Oberschwingungen zeigen folgende Skizzen:

2 Seite 2 Wie in den Skizzen zu sehen ist, gilt: λ 1 = 1 2 λ 0, λ 2 = 1 λ 0 f 1 = v s λ 1 = 2 vs λ 0 = 2f 0 = Hz = 5060 Hz f 2 = v s λ 2 = vs λ 0 = f 0 = 250 Hz = 7590 Hz. Der Stab werde nun in der Mitte fest eingespannt, die Enden bleiben frei. Bestimmen Sie nun die Frequenzen der Grundschwingung, sowie die der ersten beiden Oberschwingungen.

3 Seite Wird der Stab in der Mitte fest eingespannt, und bleiben die Enden lose, so muß in der Mitte immer ein Wellenknoten sein und an den Enden müssen Wellenbäuche auftreten. Folgende Skizzen zeigen die Grundschwingung, sowie die ersten beiden Oberschwingungen.

4 Seite 4 In der Grundschwingung entspricht auch hier der Länge des Stabes eine halbe Wellenlänge. In der ersten Oberschwingung sind es /2 Wellenlängen, und in der zweiten Oberschwingung 5/2 Wellenlängen. Also sind: f 0 = 250 Hz, f 1 = f 0 = 250 Hz = 7590 Hz, f 2 = 5 f 0 = Hz = Hz. Aufgabe 2: Dopplereffekt Vor einigen Jahren tappte Formel-1-Pilot Ralf Schumacher bei der Fahrt nach Kitzbühel zur BMW- Weihnachtsfeier in Österreich mit 10 km/h statt der erlaubten 80 km/h in eine Radarfalle. Diese Falle sendet elektromagnetische Strahlung von 9.4 GHz aus. Das (sicher teure) BMW-Blech des sich entfernenden Starpiloten reflektierte diese Strahlung auf Grund des Dopplereffekts mit erniedrigter Frequenz zum Radar-Empfänger der Polizei, wo sie mit noch einmal geänderter Frequenz empfangen wird (das reflektierende Fahrzeug stellt einen sich bewegenden Sender dar). 1. Mit welcher Frequenz kam die reflektierte Radarwelle bei der Polizei an? Die Sendefrequenz beträgt f S,P = 9.4 GHz. Das Auto empfängt die Frequenz f E,A = f S,P (1 v/c), und strahlt sie auch wieder zur Polizei zurück, f S,A = f E,A. Die Polizei empfängt f E,P = f S,A (1 + v/c) 1 f E,P = f S,P 1 v/c 1 + v/c = Hz 2. Wie genau musste die Polizei die Frequenz messen, damit die Geschwindigkeit auf km/h genau bestimmt werden konnte? Mit f 0 = f S,P gilt es die Fehlerfortpflanzung für die Funktion f(v) = f 0 1 v/c 1 + v/c zu bestimmen. Diese ist: ( f ) 2 f = v v = f v v

5 Seite 5 Für die Ableitung gilt: ( ) ( f v = f 1 c 1 + v c 1 v 0 ( ) 1 + v 2 c f v = 2f 0 c ( 1 + v c ) 2 c ) 1 c Mit v/c = ergibt sich für den Zahlenwert: f = GHz 10 8 m/s.6 m/s = 52.2 Hz P.S.: Keine Angst vor hohen Frequenzen. Die Formeln für den Dopplereffekt aus der Akustik gelten (zufällig) auch für elektromagnetische Strahlung (also relativistisch). Aufgabe : Stoß und Federpendel Ein Körper der Masse m 1 = m = 1 kg ist durch eine Feder mit Federkonstante k = 400 N/m mit einer vertikalen Wand verbunden. Er kann reibungsfrei auf einer horizontalen Ebene gleiten. Der Körper ist in Ruhe, bevor ihn ein zweiter Körper (Masse m 2 = 2 m) zentral und völlig inelastisch stößt (siehe Abbildung). Körper 2 habe vor dem Stoß die Geschwindigkeit v 0 (v 0 = 1 m/s) in horizontaler Richtung. 1. Zeigen Sie, daß für den Verlust an kinetischer Energie E kin beim Stoß gilt: E kin = mv 2 0/. Hier haben wir es mit zwei getrennten physikalischen Vorgängen zu tun. Zuerst erfolgt ein inelastischer Stoß, dann eine harmonische Federschwingung. Wir betrachten zuerst den inelastischen Stoß. Die kinetische Energie vor dem Stoß T vor ist gleich der kinetischen Energie der Masse m 2, da sich nur diese bewegt, also: T vor = 1 2 m 2v 2 0 = mv 2 0 Beim inelastischen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz, aus dem wir die Geschwindigkeit u beider Massen nach dem Stoß berechnen: m 2 v 0 = (m 1 + m 2 )u u = m 2 v 0 = 2m m 1 + m 2 m + 2m v 0 = 2 v 0

6 Seite 6 Also ist die kinetische Energie beider Massen nach dem Stoß: T nach = 1 2 (m 1 + m 2 )u 2 = 1 ( ) m v 0 = 2 mv2 0 Also gilt für den Energieverlust beim inelastischen Stoß: E kin = T nach T vor = 2 mv2 0 mv0 2 = 1 mv2 0 = 1 1 kg 12 m2 s 2 = 0. J 2. Berechnen Sie die Frequenz f und die Amplitude A der angestoßenen Schwingung. Die Frequenz f eines harmonischen Federschwingers mit Masse m ist: f = ω 0 2π = 1 k 2π m = N m = 1.8 Hz 2π 1 kg Die Amplitude A der Schwingung lässt sich aus einer Energiebetrachtung ableiten. Die Gesamtenergie des harmonischen Federschwingers mit Masse m ist E ges = 1 2 ka2. Diese Gesamtenergie ist gleich der kinetischen Energie T nach beider Massen nach dem Stoß: 1 2 ka2 = 2 m mv2 0 A = 2v 0 k = 2 1 m s 1 kg 400 N m = 5.8 cm Aufgabe 4: Stoßdämpfer Ein Lastwagen der Masse M = 4 t besitzt vier gleiche Stoßdämpfer, je einen für jedes Rad. Mit einem Kran wird Ladegut der Masse M/4 genau über dem Schwerpunkt des Lastwagens abgeladen. Dabei wird jeder der vier Stoßdämpfer um die Länge h = 5 cm zusammengedrückt. 1. Berechnen Sie die Federkonstante k jedes Stoßdämpfers. Wir definieren als Ruhelage des Systems den unbeladenen Lastwagen. Nach dem Absenken des Ladegutes auf den Lastwagen wirkt auf alle Federn zusammen die zusätzliche Kraft: F Ladung = 1 4 Mg Da die Last über dem Schwerpunkt abgeladen wird, wirkt auf jede Feder die Kraft: F Feder = 1 4 F Ladung = 1 16 Mg

7 Seite 7 Da alle Federn gleich sind, bewirkt diese Kraft ein Zusammendrücken einer jeden Feder um die Länge h. Also berechnet sich die Federkonstante k jeder einzelnen Feder zu: F Feder = 1 Mg Mg = kh k = 16 16h = 4000 kg 9.81 N kg m = 4.9 N 104 m 2. Berechnen Sie die Schwingungsfrequenzen f leer des leeren und f voll des beladenen Lastwagens. Dabei soll angenommen werden, dass sich die Stoßdämpfer wie perfekt elastische Federn verhalten. Das Gesamtsystem besteht aus vier Federn mit der gleichen Federkonstanten k, die parallel geschaltet sind. Also ist die Federkonstante des Gesamtsystems k tot gerade viermal so groß wie die Federkonstante k der einzelnen Stoßdämpfer. Also ist: k tot = 4k = Mg 4h = 4000 kg 9.81 N kg m = N m Allgemein gilt für die harmonische Federschwingung: f = ω 0 2π = 1 k 2π m (a) Unbeladener Lastwagen: Die Federkonstante ist k tot, die Masse ist M. Also folgt: f leer = 1 ktot 2π M = 1 g 2π 4h = m s 2 = 1.11 Hz 2π m (b) Beladener Lastwagen: Die Federkonstante ist k tot, die Masse ist 5M/4. Also folgt: f voll = 1 2π k tot 5M/4 = 1 2π g 5h = m s 2 = 1.00 Hz 2π m Aufgabe 5: Physikalisches Pendel

8 Seite 8 Ein physikalisches Pendel besteht aus einem dünnen Stab, der an einem Ende aufgehängt wird und sich um die horizontale Achse drehen kann, und einer Last, die am anderen Ende befestigt ist; die Skizze verdeutlicht dies. Die Last ist ein Kubus der Seitenlänge a = 40 mm, der Stab besitzt die Länge l = 400 mm und einen quadratischen Querschnitt mit Seitenlänge b = 4 mm. Stab und Last bestehen aus dem gleichen Material. 1. Leiten Sie aus der Bedingung M = d L/dt die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen und eine Formel für die Winkelgeschwindigkeit ω ab. Der Auslenkwinkel des Pendels sei φ, die Gesamtmasse des Pendels sei m, und der Abstand des Massenmittelpunkts von der Drehachse sei d. Einzige angreifende Kraft, die die Bewegung bewirkt, ist die Gewichtskraft F g = mg. Dann ist das resultierende Drehmoment M: M = d F g Die rücktreibende Kraft F R senkrecht zu d ist: F R = F g sin φ = mg sin φ Dann folgt für das Drehmoment bei kleinen Auslenkungen: M = dmg sin φ dmgφ Andererseits gilt für das Drehmoment (mit ω = dφ/dt): M = dl dt = d(iω) = I d2 φ dt dt 2 Also findet man für die Bewegung folgende Differentialgleichung: d 2 φ dt 2 = dmg I φ = ω 2 φ

9 Seite 9 Die Lösung dieser klassischen Schwingungsgleichung ist bekanntlich φ(t) = φ max sin(ωt + φ 0 ) mit dmg ω = I 2. Berechnen Sie die ungefähre Schwingungsdauer dieses Pendels für kleine Auslenkungen. Um die Schwingungsdauer T (bzw. die Winkelgeschwindigkeit ω) ausrechnen zu können, müssen wir das Trägheitsmoment I bestimmen. Wir bezeichnen die Entfernungen der Massenmittelpunkte von der Drehachse mit x Stab,Last, und die Massen der einzelnen Teile mit m Stab,Last. Dann sind (ρ sei die Dichte des Materials): x Stab = l 2 m Stab = ρlb 2 x Last = l + a 2 m Last = ρa Damit können wir die Entfernung d des Schwerpunkts von der Drehachse ausrechnen: l 2 d = ρlb2 + ( ) l + a 2 ρa = ρ l2 b 2 + 2a l + a 4 m Stab + m Last 2m Entsprechend folgt für die Trägheitsmomente bezüglich der Drehachse: l I Stab = x 2 dm = x 2 ρb 2 dx = ρb2 l l+a 0 I Last = x 2 ρa 2 dx = (l + a) l ρa 2 = ρa (l 2 + la + a 2 ) l I = I Stab + I Last = ρ b2 l + a ( l 2 + la + a 2) Damit erhält man für den Term ( l 2 b 2 mgd = ρg 2 + a l + a4 2 und somit für die Winkelgeschwindigkeit mgd g (l ω = = 2 b 2 + 2a l + a 4 ) I 2 b 2 l + a l 2 + a 4 l + a 5 ) Einsetzen der Zahlenwerte liefert ω = 4.87 s 1 und T = 2π/ω = 1.29 s.