Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

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1 Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der Geschwindigkeit ist es notwendig, ußer ihrem Betrg uch ihre Richtung nzugeben. Definition Ein Vektor wird durch die Angbe von Anfngspunkt A und Endpunkt B festgelegt. Die Pfeilspitze legt die Richtung (Orientierung des Vektors fest. Vektoren werden mit einem Kleinbuchstben und drüber stehendem Pfeil symbolisiert. z.b., x, B Q b A P Der Betrg eines Vektors Unter dem Betrg eines Vektor versteht mn die Länge des Vektors, und wird durch symbolisiert. Spezielle Vektoren i Nullvektor Der Nullvektor besitzt die Länge Null und ht keine Richtung. ii Einheitsvektor Ein Vektor mit der Länge, heißt Einheitsvektor, e geschrieben e iii Ortsvektor Er führt vom Koordintenursprung O zum Punkt A r ( A OA M. Komsi

2 Gleichheit von Vektoren Zwei Vektoren und b sind gleich, b, wenn sie den gleichen Betrg und gleiche Richtung besitzen. b Prllele, nti-prllele und kollinere Vektoren: Zwei Vektoren mit gleicher Richtung (Orientierung sind zueinnder prllel. b b Zwei Vektoren mit gegensätzlicher Richtung (Orientierung sind zueinnder nti-prllel. b b Vektoren die zueinnder prllel oder nti-prllel orientiert sind, lssen sich durch Prllelverschiebung übereinnder legen. Mn nennt sie dher uch kolliner. Inverser Vektor Ein Vektor mit gleichem Betrg, ber entgegengesetzte Richtung eines nderen Vektors ist dessen Gegenvektor oder Inverse Vektor. M. Komsi

3 Opertionen mit Vektoren i Addition von Vektoren Zwei Vektoren und b werden Geometrisch ddiert, wenn der Anfngspunkt von Vektor b im Endpunkt von Vektor gelegt wird. Der gerichtete Vektor vom Anfngspunkt des Vektors zur Endpunkt des Vektors b ist der Summenvektor s + b. b b s + b Rechenregeln: Für lle, b, c V gilt: + b b + + ( b + c ( + b + c Kommuttivgesetz Assozitivgesetz + + b, b ii Subtrktion von Vektoren Aus der geometrischen Bedeutung der Summe ergibt sich der Differenz zweier Vektoren. Unter dem Differenzvektor d b versteht mn den Summenvektor us und b wobei b der Inverse Vektor von b ist. b b d b Bemerkung: Summenvektor und Differenzvektor lssen sich geometrisch ls gerichtete Digonlen eines Prllelogrmms konstruieren, ds von den beiden Vektoren und b ufgespnnt wird. b d s M. Komsi 3

4 iii Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Durch Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl entsteht ein neuer Vektor b λ mit folgenden Eigenschften: Seine Länge beträgt ds -fche der Länge von b λ λ Je nch dem Vorzeichen von zeigt er in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung wie (ist in jedem Fll ber prllel zu. : b b λ : b b λ Rechenregeln: Für lle, b V und λ, μ R gilt: λ ( + b λ + λ b Distributivgesetz (λ + μ λ + μ Distributivgesetz λ (μ μ (λ Assozitivgesetz λ λ λ λ oder M. Komsi 4

5 Vektorrechnung in der Ebene Komponentendrstellung eines Vektors Ds Koordintensystem wird durch zwei ufeinnder senkrecht stehende Einheitsvektoren und e y festgelegt. Sie bestimmen Richtung und Mßstb der Koordintenchsen. Die Projektionen einen im Nullpunkt ngebundenen Vektor uf die beiden Koordintenchsen führen zu den mit x und y bezeichneten Vektoren. y y e y ex x x ist Summenvektor us x und y x + y x und y sind Vektorkomponenten von x x, y y e y x und y sind Vektorkoordinten von Spltenvektor x + y x + y e y x + y x + y e y ( x y Die Komponentendrstellung der Einheitsvektoren und Nullvektoren lutet: + e y ( e y + e y ( + e y ( M. Komsi 5

6 Betrg eines Vektors Die Länge oder Betrg eines Vektors ( x y y ( Dimensionl beträgt: y x + y x x Beispiel: Der Vektor 3e x 4 e y ( 3 4 ht den Betrg 3 + ( 4 5 Gleichheit der Vektoren Zwei Vektoren und b sind gleich, wenn sie in llen Komponenten übereinstimmen b x b x und y b y Addition und Subtrktion von Vektoren Vektoren gleicher Größe werden genuso einfch wie reelle Zhlen ddiert bzw. subtrhiert. Dzu ddiert bzw. subtrhiert mn die Koordintenchsen ller beteiligter Vektoren einzeln und ncheinnder. Die Summe ist wieder ein Vektor und folgendermssen definiert: (, b ( b ± b b ( ( ± b b ( ± b ± b Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Ein Vektor wird mit einem Sklr multipliziert, indem mn jede einzelne Komponente des Vektors mit dem Sklr multipliziert. Als Ergebnis erhält mn einen Vektor. ( (, λ R λ λ ( λ λ M. Komsi 6

7 Sklrprodukt zweier Vektoren Beim Sklrprodukt wird ein Vektor mit einem Vektor multipliziert. Ds Ergebnis dieses Produkt ist immer ein Sklr. Es sei, b R und φ der von und b eingeschlossene Winkel mit φ 8. Unter dem Sklrprodukt von und b verstehen wir die reelle Zhl mit b b b cos φ, φ 8 φ Bemerkung: Ds Sklrprodukt wird dzu verwendet, den Winkel zwischen zwei Vektoren uszurechnen. Durch sie knn mn herusfinden, ob Vektoren, Gerden, oder Ebenen senkrecht zueinnder liegen (lso im 9 Winkel. Eigenschften: Für lle, b, c V und λ R gilt: b b ( b + c ( b + ( c ( b c ( b c λ ( b ( λ b ( λ b b b Orthogonle Vektoren Zwei Vektoren und b sind orthogonl (stehen ufeinnder senkrecht, wenn b b b. Bemerkungen: e y e y e y e y M. Komsi 7

8 Berechnung eines Sklrproduktes us den sklren Vektorkomponenten Ds sklre Produkt zweier Vektoren x + y e y, b b x + b y e y lässt sich direkt us den Vektorkoordinten der beiden Vektoren wie folgt berechnen. b ( x + y e y ( b x + b y e y x b x ( + x b y ( e y x b x + y b y + y b x ( e y + y b y ( e y e y Winkel zwischen zwei Vektoren: b ( x y ( b x b y x b x + y b y Der von Vektoren und b eingeschlossene Winkel φ lässt sich wie folgt berechnen: b b cos φ cosφ b b φ rccos( b b (, b Beispiele: Ds Sklrprodukt der Vektoren ( 5 und b ( 3 4 beträgt: b ( 5 ( Die Vektoren ( verschwindet. b ( ( und b ( 3 Welchen Winkel schließen die Vektoren ( und b ( φ rccos( b b rccos( ( ( π sind orthogonl, d ihr Sklrprodukt miteinnder ein? M. Komsi 8

9 Vektorrechnung im 3 - dimensionlen Rum Komponentendrstellung eines Vektors Ds rechtshändliges Krtesisches Koordintensystem im drei Dimensionlen Rum ht die Achsen x, y, z. Es wird durch drei prweise ufeinnder senkrecht stehensde Einheitsvektoren, e y und e z festgelegt. Sie bestimmen Richtung und Mßstb der Koordintenchsen. z z e z e y y y x x ist Summenvektor us x, y und z x + y + z Die Vektorkomponenten von bezeichneten x, y und z sind die Projektionen des Vektors uf die einzelnenn Koordintenchsen. x x, y y e y, z z e z Die sklren Größen x, y, z werden ls Vektorenkoordinten von bezeichnet. Für den Vektor erhält mn somit die Komponentendrstellung x + y + z x + y e y + y e z Spltenvektor ( x x + y e y + y e z z y M. Komsi 9

10 Betrg eines Vektors ( x Die Länge oder Betrg eines Vektors z y (3 Dimensionl beträgt: x + y + z Beispiel: Der Vektor 3 e y + 5 e z ht den Betrg + ( ,6 Gleichheit der Vektoren Zwei Vektoren und b sind gleich, wenn sie in llen Komponenten übereinstimmen b x b x, y b y, z b z Normierung eines Vektors Mn erhält durch Normierung eines Vektors einen Einheitsvektor gleicher Richtung. e e e Beispiel: Wir normieren den Vektor + e y e z ( : e ( ( + + ( 3 ( Addition und Subtrktion von Vektoren Vektoren gleicher Größe werden genuso einfch wie reelle Zhlen ddiert bzw. subtrhiert. Dzu ddiert bzw. subtrhiert mn die Koordintenchsen ller beteiligter Vektoren einzeln und ncheinnder. Die Summe ist wieder ein Vektor und folgendermssen definiert: ( 3, b ( b b b 3 ± ( b 3±( b b b 3 ( ± b ± b 3 3 ± b M. Komsi

11 Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Ein Vektor wird mit einem Sklr multipliziert, indem mn jede einzelne Komponente des Vektors mit dem Sklr multipliziert. Als Ergebnis erhält mn einen Vektor. ( 3, λ R λ λ( 3 ( λ λ λ 3 Sklrprodukt zweier Vektoren Ds Sklrprodukt b zweier Vektoren und b lässt sich us den sklren Vektorkomponenten der beiden Vektoren wie folgt berechnen: ( x b x b y b y x b x + y b y + z b z z b z Ds sklre Produkt zweier Vektoren knn (wie in der Ebene uf zwei verschiedene Arten berechnet werden: ( b b cos φ x b x + y b y + z b z Beispiel: Ds Sklrprodukt der Vektoren ( b ( ( + ( + (3 3. und b ( 3 beträgt: Winkel zwischen zwei Vektoren: Der von Vektoren und b eingeschlossene Winkel φ lässt sich wie folgt berechnen: b b cos φ cosφ φ rccos( b b b b (, b Beispiel: Welchen Winkel schließen die Vektoren ( und b ( miteinnder ein? φ rccos( b b rccos( ( ( rccos( 3 π 6 M. Komsi

12 Richtungswinkel eines Vektors Ein Vektor ist eindeutig durch Betrg und Richtung festgelegt. Die Richtung des Vektors bestimmen wir z.b. durch die Winkel, die der Vektor mit den drei Koordintenchsen(d.h. mit den drei Bsisvektoren, e y, e z bildet. Die drei Winkel α, β und γ, die ein mit den Koordintenchsen einschließt, heißen Richtungswinkel des Vektors. z z γ β α y y x cos(α (x z ( y x α rccos( x α ist der Winkel, den der Vektor mit der x Achse bildet. cos(β e y e y (x z ( y y β rccos( y β ist der Winkel, den der Vektor mit der y Achse bildet. cos(γ e z e z (x z ( y z γ rccos( z γ ist der Winkel, den der Vektor mit der z Achse bildet. Die Richtungswinkel sind nicht unbhängig voneinnder, sondern über die Beziehung miteinnder verknüpft. cos α + cos β + cos γ M. Komsi

13 Beispiel: Die drei Richtungswinkel des Vektors ( 3 luten: cos(α x cos(β y cos(γ z α rccos( 4 74,5 β rccos( 4 57,7 γ rccos( ,7 Projektion eines Vektors uf einen zweiten Vektor Mn versteht unter Projektion des Vektors b uf den Vektor der Vektor b b ( b ( e b e Er wird ls Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors bezeichnet. b φ e b cosφ b b b b cosφ b b cosφ b b b b b e b b ( b b b Diese Vektor wird uch ls Komponente des b in Richtung des Vektor bezeichnet. M. Komsi 3

14 Beispiel: Durch Projektion des Vektors b ( 3 uf den ( entsteht der Vektor ( b ( b ( ( 3 ( ( ( ( 3,,6 Vektorprodukt zweier Vektoren Ds Kreuzprodukt b (uch Vektorielles Produkt oder äußeres Produkt gennnt zweier Vektoren und b im dreidimensionlen Vektorrum ist ein Vektor, der Senkrecht uf der von den beiden Vektoren uf gespnnten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Geometrische Deutung des Vektorprodukts Gegeben seien die Vektoren und b, wobei nicht prllel zu b sei. Unter der Betrg des Vektorproduktes b versteht mn dem Flächeninhlt des von den Vektoren und b ufgespnnten Prllelogrmms b b sin φ c b b φ Vertuscht mn die Vektoren und b, so ist der dritte zum Rechtssystem gehörende Vektor nicht mehr c, sondern c. b c b M. Komsi 4

15 Rechenregeln: Für lle Vektoren, b, c V und λ R b ( b ( b c ( b c ( + b c ( c + ( b c λ ( b (λ b (λ b b und b sind kolliner Bemerkungen e z e y e y e z e z e y e z e y e y e z e x e z e y Berechnung eines Vektorproduktes us den sklren Vektorkomponenten b ( x + y e y + z e z (b x + b y e y + b z e z x b x ( + x b y ( e y + x b z ( e z + y b x ( e y + y b y ( e y e y e z e y e z Beispiel: + y b z ( e y e z + z b x ( e z + z b y ( e z e y + z b z ( e z e z e y x b y e z x b z e y y b x e z + y b z + z b x e y z b y ( y b z z b y + ( z b x x b z e y + ( x b y y b x e z b ( x x y b y z (b z b ( y bz zb y z b x x b x z x b y y b Berechnen Sie den Flächeninhlt A des von den beiden Spltenvektoren ( 3 und b ( 3 ( b ( 3 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( ( 3 3 ( 3 9, A b 9,7 M. Komsi 5

16 Ds Sptprodukt Es sei, b, c V dnn heißt ds sklre Produkt us b und c Sptprodukt oder gemischtes Produkt. [ b c ] ( b c Geometrische Deutung des Vektorprodukts Drei Vektoren, b und c spnnen ein Prllelepiped (uch Spt gennnt uf. Wir wollen ds Volumen dieses Spts bestimmen. Bezeichnen wir die Mßzhl des Flächeninhlts der von und b ufgespnnten Grundfläche mit A, die der Höhe mit h und die Mßzhl des Volumens mit V, so gilt b c h φ b V A h b c cos φ wobei φ der Winkel zwischen c und b ist. Dher gilt: V ( b c cosφ V ( b c Rechenregeln: Für lle Vektoren, b, c V und λ R ( b c ( b c [ b c ] [ b c ] [ c b ] [ b c ] [ c b ] b und c wurden vertuscht M. Komsi 6

17 Linerkombintion Seien die Vektoren,,, n. Jeder Vektor b, der sich in der Form b λ + λ + + λ n n, (λ, λ,, λ n R drstellen lässt, heißt Linerkombintion der Vektoren,,, n. Die reellen Zhlen λ, λ,, λ n nennt mn Koeffizienten der Linerkombintion Beispiele: Der Vektor b ( 5 soll ls Linerkombintion der Vektoren ( ( drgestellt werden. Es sind lso Zhlen, b λ + λ ( 5 λ ( + λ ( λ 5, λ ( 5 5 ( + ( R zu bestimmen, so dss Der Vektor ist Linerkombintion einer jeden Menge von Vektoren in R : mn setzt einfch lle Koeffizienten uf Null. 3 Der Vektor ist nicht Linerkombintion der Vektoren Nehmen wir n, wäre doch Linerkombintion von und der Linerkombintion gäbe es dnn reelle Zhlen, R 3 mit:.wrum nicht?.nch Definition ( ( λ ( + λ ( ( λ + + λ + λ + + λ + Die untere Gleichung uf der rechten Seite knn offensichtlich nicht erfüllt werden: Widerspruch. M. Komsi 7

18 Liner unbhängige Vektoren Die Vektoren,,, n heißen Liner unbhängig, wenn die Vektorgleichung n λ + λ + + λ n n λ k k k für die Unbeknnten Lösung ist eindeutig.,,, n R nur die Lösung λ λ λ n ht; d.h. die Liner bhängige Vektoren Die Vektoren,,, n heißen Liner bhängig, wenn die Vektorgleichung n λ + λ + + λ n n λ k k k für die Unbeknnten,,, n R nicht nur die Lösung λ λ λ n ht; d.h. die Lösung ist nicht eindeutig. und es gibt eine Lösung sodss nicht lle,,, n gleich Null sind. Beispiele: ( Die Vektoren (, b ( und c ( λ ( + λ 3( + λ ( sind liner unbhängig. (I λ + λ + (II λ + λ 3 (III + λ λ 3 I - II : λ + λ 3 λ λ 3 λ λ λ 3 die drei Vektoren sind liner unbhängig. M. Komsi 8

19 ( Die Vektoren (, b 5 ( und c 3 5 ( λ ( + λ 5 3( + λ 3 5 ( sind liner bhängig. λ + 5λ + 3 λ 3 λ + λ + 5λ 3 λ + λ + λ 3 I + II : - I + III : 6 λ + 8λ 3 8λ 4λ 3 /6I : /8 II : λ + 3λ 3 λ 3 λ 3 λ 3 t, λ 3 t, λ t die drei Vektoren sind liner bhängig oder [ b c ] ( [( b c ( 5 ] ( 3 ( 5 4 ( die drei Vektoren sind liner bhängig. M. Komsi 9