Herleitung der Strasse für quadratische Räder

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1 Herleitung der Strsse für qudrtische Räder P = P( P / y P ) sei der Berührungspunkt des Rdes mit der Strsse bzw mit der gesuchten Kurve P = P ( / y ) sei der Mittelpunkt der entsprechenden Qudrtseite des Rdes M = M ( m / y m ) sei der Mittelpunkt des qudrtischen Rdes y h = h M (m/ym) P (/y) P (p/yp) p = yp = y = f() Gesucht: y = f() =? O Idee: y = f() ist die gesuchte Funktionsgleichung bzw die Beziehung zwischen den Koordinten des Berührungspunktes P Drus lssen sich die Koordinten von M berechnen Die Forderung, dss die y-koordinte von M immer gleich gross ist (unbhängig vom gewählten Kurvenpunkt P), liefert eine Gleichung für die gesuchte Funktion f A Mössner, Kntonsschule Trogen

2 Strsse für qudrtische Räder Die Koordinten von M ergeben sich us dem Ortsvektor OM = OP + PP + P M Der Einfchheit schreiben wir im Folgenden = P und y = y P Berechnung des Vektors PP P : s Die Steigung der entsprechenden Strecke ist gleich f'( P ) = f'() = y' Liegt P (wie in unseren Abbildungen) rechts von P, so ist diese Steigung negtiv: y' < 0 Der Vektor PP ht deshlb die gleiche Richtung und Orientierung wie - v = -y' P Aufgbe : Weise nch, dss dies uch gilt, wenn P links von P liegt! Um den Vektor PP zu berechnen, dividieren wir v durch seine Länge und multiplizieren ds Ergebnis mit der Länge s, welche der Vektor hben muss: Länge des Vektors v = v = + [y'] Wegen der Abrollung ist PP = s = Länge des Bogens des y P (/y) Grphen von =0 bis = P : s = 0 p + [f'()] d s P (p/yp) Mit diesen Vorüberlegungen und der Abkürzung s erhlten wir den gesuchten Vektor PP = - s + [y'] y' O Berechnung des Vektors P M : Dieser Vektor steht rechtwinklig zu v und ht die Länge : P M = + [y'] -y' A Mössner, Kntonsschule Trogen

3 Strsse für qudrtische Räder 3 Für den Mittelpunkt M ergibt sich drus OM = OP + PP + P M bzw m y m = y + - s + [y'] y' + + [y'] -y' Kernidee: Wenn ds Fhrzeug nicht "holpern" soll, muss sich die Rdchse immer uf der gleichen Höhe h befinden: y m = h = konstnt Diese Bedingung werden wir so verwenden, dss die Ableitung von y m gleich Null ist y m = y - s y' + [y'] + + [y'] = h (*) Multipliktion mit Nenner (y - h) + [y'] = s y' - Division durch y', dmit die Ableitung von s einfcher wird Sonst würde wegen der Produktregel für ( s y' )' ds Integrl nicht verschwinden (vgl unten) (y - h) + [y'] y' = s - y' (y - h) [y'] + - s + y' = 0 (**) Wir werden diese Gleichung nch = P bleiten Vorbereitungen dzu: = P ist die obere Grenze des Integrls von s Ddurch verschwindet beim Ableiten ds Integrl: ds d = d d 0 + [y'(t)] dt = + [y'()] = + [y'] Ausserdem ist h = y m eine Konstnte, deren Ableitung h' = y m ' = 0 ist Als weitere Vorbereitung leiten wir die Wurzel us (*) b: [y'] + ' = ( ) [y'] - + ' = - [y'] -3 y'' [y'] - + A Mössner, Kntonsschule Trogen

4 Strsse für qudrtische Räder 4 Dmit ist die Ableitung der Gleichung (**) [welche zu (*) äquivlent ist] y' [y'] + + (y - h) - [y'] -3 y'' [y'] [y'] - y'' Vereinfcht ergibt ds + [y'] + (y - h) - [y'] -3 y'' [y'] [y'] - y'' (y - h) - y'' [y'] 3 [y'] y'' y'' () + [y'] - [y'] Die gesuchte Kurve (Strsse) ist nirgends gerde Deshlb ist ihre Krümmung 0, weshlb uch y'' 0 ist Deshlb können wir durch y'' dividieren Gleichzeitig multiplizieren wir mit dem Huptnenner: () = + [y'] ----> = + [y'] Dies ist die Differenzilgleichung unserer gesuchten Funktion! Lösen der Differenzilgleichung : = + [y'] Seprieren der Vriblen: ----> y' = dy d = - dy ( ) - = d (***) Um die linke Seite integrieren zu können, führen wir folgende Substitution ein (Trick): cosh(t) := ----> y = h - cosh(t) ----> dy = - sinh(t) dt A Mössner, Kntonsschule Trogen

5 Strsse für qudrtische Räder 5 Dies setzen wir ein in Gleichung (***) - sinh(t) dt cosh (t) - = d bzw - sinh(t) dt sinh (t) = d Kürzen mit sinh(t) ergibt - dt = ± d Vereinfcht ist dies dt = ± d bzw dt = ± d t = ± + C Auf beiden Seiten den Cosinushyperbolicus nehmen cosh(t) = cosh( ± + C) Wir mchen die Substitution rückgängig: = cosh( ± + C ) Nch y ufgelöst ergibt y = h - cosh( ± + C ) Berechnung der Integrtionskonstnten C : Für die uf Seite drgestellte Sitution ist für = > y = h - Deshlb muss für = 0 gelten: cosh(0 +C) = ----> C = 0 Folglich ist y = h - cosh( ± ), und weil der Cosinushyperbolicus eine gerde Funktion ist, vereinfcht y = h - cosh( ) Mit h = ergibt sich Lösung des Strssenproblems : Ein Bogen der Strsse ht die Gleichung y = [ - cosh( ) ] A Mössner, Kntonsschule Trogen