Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z

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1 Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten eiden Reltionen können zwischen Gerden oder Strecken estehen. Allgemein schreien wir für die Reltion R zwischen elieigen Elementen x und y einer Menge M: x R y Eigenschften von Reltionen symmetrisch Eine Reltion R in einer Menge M ist symmetrisch, wenn für lle x, y M gilt: x R y y R x Beispiele: trnsitiv Eine Reltion R in einer Menge M ist trnsitiv, wenn für lle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z Beispiele: reflexiv <, < c < c, c c Eine Reltion R in einer Menge M ist reflexiv, wenn für lle x M gilt: x R x Beispiele: = Äquivlenzreltion Eine Reltion R in einer Menge M heisst Äquivlenzreltion, wenn sie symmetrisch, trnsitiv und reflexiv ist. Beispiel: Gleichheitsreltion Eine Menge M, in der eine Äquivlenzreltion R esteht, heisst Äquivlenzklsse. Vorher wurde der Vektor ereits ls gerichtete Strecke eingeführt. Zur genuen Definition wollen wir er etws weiter usholen. Wir etrchten die Verschieung (Trnsltion) einer Figur, z.b. eines Vielecks: Jeder Punkt dieser Figur wird um diesele Strecke in derselen Richtung verschoen. Diese Trnsltion knn durch die Verschieungspfeile eschrieen werden. Alle diese Pfeile sind gleich lng und hen diesele Richtung. Die Menge ller Verschieungspfeile mit gleicher Länge und gleicher Richtung ildet ezüglich der Reltion "gleich lng und gleichgerichtet" eine Äquivlenzklsse. Definition Der Vektor ist eine Äquivlenzklsse ller gleich lngen und gleichgerichteten Pfeile. Jeder Pfeil us dieser Menge ist Repräsentnt des Vektors, d.h. mn knn us jedem Pfeil den gesmten Vektor, lso die Menge von Pfeilen erzeugen.

2 12 Drstellung im Koordintensystem (Orthonormlsystem) D ein Vektor us einem Repräsentnten, lso us einem einzigen Pfeil erzeugt werden knn, genügt es, ei der Drstellung im Koordintensystem einen Pfeil zu etrchten. Durch Verschieung des Pfeiles können lle nderen zum Vektor gehörigen Pfeile gewonnen werden. Bei so einer Verschieung ändern sich er die Koordintendifferenzen zwischen Anfngs- und Endpunkt des Pfeiles nicht. Diese Koordintendifferenzen sind chrkteristisch für den Vektor, sie werden ls Koordinten oder Komponenten des Vektors ezeichnet. Meist werden die Koordinten des Vektors vertikl ufgeschrieen. y y 2 y 1 0 P x 1 = 1 - x 1 x 2 Q x 2 = y 2 - y 2 1 x = x y z Häufig werden sttt der Achsenezeichnungen x, y, z ei den die Komponenten numeriert, lso: = Dies ht den Vorteil, dss mn ei in höheren Dimensionen keine Schwierigkeiten ei der Bezeichnung ekommt. z:b. n-dimensionler Vektor: = 4 n Addition Gegeen sind die eiden und. y Als Summenvektor wird jener Vektor definiert, den mn erhält, wenn mn mit seinem Anfngspunkt n der Spitze von nsetzt. Der Summenvektor c wird vom Anfngspunkt des ersten Vektors ( ) zum Endpunkt des zweiten Vektors ( ) gezogen. c = c = x, welche mit Koordinten gegeen sind, knn mn ddieren, indem mn ihre Koordinten dddiert. Die Addition von ist kommuttiv und ssozitiv. c = + KG: + = + + ( + c) = ( + ) + c c AG: + ( + c ) = ( + ) + c

3 13 Der Gegenvektor Zu einem Vektor git es den Gegenvektor (wir ezeichnen ihn mit - ), der diesele Länge, er genu die entgegengesetzte Richtung ht. - Der Nullvektor Bilden wir die Summe us einem Vektor und seinem Gegenvektor, so erhlten wir etws, ds keine Länge und keine Richtung mehr ht. Wir leien er uch ei diesem Resultt ei der Terminologie der Vektorrechnung und nennen es den Nullvektor o. Sutrktion Die Summe von zwei und d ergit einen dritten Vektor : + d = Wir stellen jetzt die Frge, wie mn wohl d estimmen könnte, wenn die und gegeen wären. Rein forml ist ds keine Sche: d = - Die Drstellung von d geschieht mit dem Sutrktionssymol. Oder geschrieen ls Summe us dem Vektor und dem Gegenvektor von : d = + (- ) Ttsächlich ist d jener Vektor, den mn zu ddieren muss, um zu erhlten. Dies er edeutet, dss d der Differenzvektor von und ist. Einen Vektor sutrhieren heisst lso seinen Gegenvektor zu ddieren., welche mit Koordinten gegeen sind, knn mn sutrhieren, indem mn ihre Koordinten sutrhiert. d d - Multipliktion mit einem Sklr Zunächst wollen wir die Aildung eines Vektors durch zentrische Streckung mit dem Streckfktor k uf ' etrchten. Bei der zentrischen Streckung werden lle Längen mit dem Fktor k vervielfcht, lso die Länge des Vektors, er in einem Koordintensystem uch die Komponenten in den jeweiligen Achsenrichtungen. y ' = k 0 x Wir definieren nun: ' = k Für k 0 knn mn ' ls Ergenis einer zentrischen Streckung mit dem Streckfktor k interpretieren (ei negtivem k wird die Richtung umgekehrt). Für k = 0 erhlten wir für ' den Nullvektor o. Durch Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr ( 0) erhält mn immer einen zum ursprünglichen Vektor prllelen Vektor. In einem Koordintensystem knn mn einen Vektor mit einem Sklr multiplizieren, indem mn seine Komponenten mit dem Sklr multipliziert. Rechenregeln: k = k k (λ ) = (k λ) k( + ) = k + k (k + λ) = k + λ

4 14 Linerkomintion von Die Summe von Vielfchen von wird ls Linerkomintion dieser ezeichnet. x = k1 1 + k k n n = k i i i=1 n Betrg eines Vektors Als Betrg eines Vektors definieren wir seine Länge. Seine Länge knn mn nch Pythgors erechnen. 2-dimensionl: y := 2 x + 2 y Allgemein gilt: := n 2 1 x Ortsvektoren Eigentlich sollte mn esser Ortspfeile sgen, denn unter einem Ortsvektor versteht mn einen Pfeil, dessen Anfngspunkt im Ursprung des Koordintensystems liegt. D er dieser Pfeil eenso wie jeder ndere Repräsentnt eines Vektors ist, wird ohnehin der gnze Vektor mit dem Ortspfeil definiert. Ortsvektoren werden in der Regel mit r ezeichnet. y x r = ( y ) P(x/y) 0 x Einheitsvektoren Unter Einheitsvektoren verstehen wir mit der Länge 1. Von Bedeutung sind die Einheitsvektoren, welche in einem Koordintensystem jeweils vom Ursprung zum Einheitspunkt gehen. In einem Orthonormlsystem stehen diese Einheitsvektoren je prweise senkrecht zueinnder. Sie werden meist mit e 1, e 2, ezeichnet. Im 3-dimensionlen Rum ist uch die Bezeichnung i, j, k geräuchlich. Zu einem elieigen Vektor erhält mn den Einheitsvektor, indem mn durch seinen Betrg dividiert: e = e e

5 64 Ds sklre Produkt von (inneres Produkt) Gegeen sind zwei und, welche den Winkel ϕ miteinnder einschliessen. Als sklres Produkt definieren wir: = cos ϕ In der folgenden Zeichnung sind die eiden grundsätzlich möglichen Situtionen drgestellt, die es zu etrchten git, nämlich dss 0 ϕ π 2 zw. π 2 ϕ π gilt. ϕ ϕ Der Ausdruck cos ϕ ist in jedem Fll ein Mss für die Länge der Projektion des Vektors uf den Vektor n. Dieser Wert ist ei stumpfem Winkel ϕ llerdings negtiv. Die Projektion des Vektors uf selst zeigt im ersten Fll in diesele Richtung wie, im zweiten Fll er in die Gegenrichtung. Die Projektion des Vektors uf den Vektor ezeichnen wir mit. Es gilt dfür: = cos ϕ Rechengesetze Kommuttivgesetz: = Ds Assozitivgesetz gilt nicht! Es ist j ( ) c ein Vielfches von c, während ( c ) ein Vielfches von ergit. Distriutivgesetz: ( + c ) = + c Ferner gilt: k ( ) = (k ) = (k ) (k + λ)( ) = k ( ) + λ( ) Geometrische Folgerungen Für ϕ = 90 wird cos ϕ = 0 und somit uch ds sklre Produkt von zwei senkrecht stehenden. Umgekehrt knn mn für zwei, welche nicht gleich dem Nullvektor sind, sgen, dss sie senkrecht zueinnder stehen, wenn ihr sklres Produkt 0 ergit. = 0, o, o Wird ein Vektor mit sich selst multipliziert, ergit sich ds Qudrt seines Betrges: 2 = cos 0 = = c

6 65 Ds sklre Produkt im krtesischen Koordintensystem Zunächst werden die Einheitsvektoren e 1, e 2,, e n etrchtet. Diese stehen prweise senkrecht zueinnder. Ds sklre Produkt von zwei verschiedenen Einheitsvektoren ist deshl immer Null. Wird ein Einheitsvektor mit sich selst multipliziert, so erhält mn 1. i e e j = 1 für i = j 0 für i j Um solche Ergenisse einfcher ufschreien zu können, enützen wir im folgenden ds sogennnte Kronecker Symol δ ij. Es gilt: δ ij = 1 0 für i = j für i j Dnn ist e i e j = δ ij Gegeen sind nun die = 2 und = 2. n 1 n Jeder dieser eiden knn ls Linerkomintion der Einheitsvektoren drgestellt werden: = 1 e e 2+ + n e n und = 1 e e n e n Für gilt dnn: = (1 e e 2+ + n e n) ( 1 e e n e n) = 1 1 e 1e e 1e n e 1e n e 2e e 2e n e 2e n n 1 e ne 1 + n 2 e ne n n e ne n = 1 n i=1 = i e i n i=1 n i e i = i=1 i i lso usführlich: = n n in Eene und Rum kolliner: komplnr: heissen kolliner, wenn sie prllel zur selen Gerden stehen. (lso: zwei oder mehrere kollinere sind liner hängig.) heissen komplnr, wenn sie zur selen Eene prllel verlufen. (lso: mehr ls zwei komplnre sind liner hängig.)

7 66 Zweizeilige Determinnten Eine Determinnte ist ein Zhlenschem mit einem estimmten Wert. Neendigonle D = 1 1 = Huptdigonle Dreizeilige Determinnten D = 1 1 c c c 3 Neendigonle Splte 1 1 c c c 3 Zeile Huptdigonle Bei 3-zeiligen Determinnten knn mn den Wert mittels der Regel von Srrus erechnen: 1 1 c c c = 1 2 c c c c 1-3 c c Produkte der Glieder in der Huptdigonle und prllel dzu ddieren, Produkte der Glieder in der Neendigonle und prllel dzu sutrhieren.

8 67 Ds Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äusseres Produkt) Nur im 3- dimensionlen Rum! 1 1 geg.: = 2 = Definition: = c = c 1 c 2 c = Mn knn c er uch mit folgender Determinnte erechnen: c = i 1 1 j 2 2 = i j k i j k 2 1 = k 3 3 = i ( ) + j ( ) + k( ) = Eigenschften von c : Der Vektor c steht senkrecht uf und senkrecht uf. Beweis: c = 1 ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) = = = 0 c = 0 Beweis nlog Rechengesetze: Ds Kommuttivgesetz gilt nicht, er es ist = - ( ) Beweis: = = = - ( ) Ds Assozitivgesetz gilt nicht. Distriutivgesetz: ( + c ) = ( ) + ( c ) Beweis durch Ausrechnen mit den Komponenten. Für elieige Zhlen λ und µ gilt: λ µ = λµ( ) Beweis: λ µ = λ 1 λ 2 λ µ 1 µ 2 3 µ = λ 2 µ 3 - λ 3 µ 2 λ 3 µ 1 - λ 1 µ 3 3 λ = λµ µ 2 - λ 2 µ 1 = λµ( ) = o Beweis: = = = o Dmit gilt uch: λ = o ( = o )

9 68 Ds Sptprodukt ( c): Es gilt: 1 1 c 1 ( c ) = 2 2 c c 3 Beweis: ( c ) = 1 ( 2 c 3-3 c 2 ) + 2 ( 3 c 1-1 c 3 ) + 3 ( 1 c 2-2 c 1 ) = c + c + c - c - c - c = 1 1 c c c 3 = 1 ( 2 c 3-3 c 2 ) + 2 ( 3 c 1-1 c 3 ) + 3 ( 1 c 2-2 c 1 )

10 69 Fläche eines Prllelogrmms α h sin α = h h = sin α F = h = sin α F 2 = 2 h 2 = 2 2 sin 2 α = 2 2 (1 - cos 2 α) = cos 2 α = ( ) 2 = ( ) 2 = ( 2 ) ( ) ( ) 2 = = = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = 2 F = sin α = Volumen eines Spts Ein Spt ist ein Prism, dessen Begrenzungsflächen Prllelogrmme sind. γ h c α F cos γ = h cos γ = h h h = λ( c ) d h und h c ist! V = F h = c h h = h h h 2 = h λ 2 c 2 = λ ( c ) λ = ( c ) c 2 ( c ) h = λ( c ) = c 2 ( c ) h = ( c ) c 2 ( c ) = ( c ) c V = c h = c ( c ) = ( c ) c V = ( c ) = Det(,, c )