Analysis I. Die Mitarbeiter von 10. Januar 2017

Transkript

1 Anlysis I Die Mitrbeiter von 0. Jnur 207

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3 Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis 2 I. Vorwort 5 I.. Über dieses Skriptum I.2. Wer I.3. Wo II. Eingeführte Begriffe 7 II.. Mengen II.2. Funktionen II.3. Logik Reelle Zhlen 9 2. Ntürliche Zhlen 3 3. Folgen, Abzählbrkeit 7 4. Wie Sie Wollen 9 5. Wurzeln und rtionle Exponenten 2 6. Konvergente Folgen Wichtige Beispiele Häufungswerte und Teilfolgen 3 9. Oberer und unterer Limes Ds Cuchy-Kriterium 37. Unendliche Reihen Konvergenzkriterien Umordnungen und Produkte von Reihen Potenzreihen g-dische Entwicklungen Grenzwerte bei Funktionen 6 7. Stetigkeit 65 3

4 Inhltsverzeichnis 8. Eigenschften stetiger Funktionen Funktionsfolgen und -reihen Gleichmäßige Stetigkeit Differenzierbrkeit Höhere Ableitungen Ds Riemnn-Integrl Uneigentliche Integrle Funktionen von beschränkter Vrition Ds Riemnn-Stieltjes-Integrl A. Stz um Stz (hüpft der Hs) 5 Stichwortverzeichnis 8 B. Credits für Anlyis I 2 4

5 I. Vorwort I.. Über dieses Skriptum Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung Anlysis I von Herrn Schmoeger im Wintersemester 04/05 n der Universität Krlsruhe (TH). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit usdrücklicher Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhlt nicht verntwortlich. I.2. Wer Gestrtet wurde ds Projekt von Jochim Breitner. Beteiligt m Mitschrieb sind usser Jochim noch Mnuel Holtgrewe, Wenzel Jkob, Pscl Millrd und Jonthn Picht. I.3. Wo Alle Kpitel inklusive L A TEX-Quellen können unter bgerufen werden. Dort ist ein Wiki eingerichtet und von Jochim Breitner um die L A TEX-Funktionen erweitert. Ds heißt, jeder knn Fehler nchbessern und sich n der Entwicklung beteiligen. Auf Wunsch ist uch ein Zugng über Subversion möglich. 5

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7 II. Eingeführte Begriffe II.. Mengen Durchschnitt, Vereinigung, Differenz, Leere Menge:, M N, M N, M, / M II.2. Funktionen M,N Mengen, M, N ; f : M N II.3. Logik Impliktion Äquivlenz := per Definition gleich : per Definiton äquivlent Abkürzung für für jedes, für lle Abkürzung für es gibt, es existiert 7

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9 . Reelle Zhlen Die Reellen Zhlen sind eine Erfindung des menschlichen Geistes, sie hben von Ntur us keine Eigenschften. Wie Schchfiguren hben sie nur eine Bedeutung im Rhmen der Regeln. Diese Regeln heißen hier Axiome, ds sind Forderungen, die wir n etws stellen, und us denen wir dnn weitere Erkenntnisse erlngen. Die Grundmenge der Anlysis ist R, die Menge der reellen Zhlen: Diese Menge führen wir xiomtisch ein, durch die folgenden 5 Axiome. In R sind zwei Verknüpfungen + und gegeben, die jedem Pr, b R genu ein + b R und genu ein b := b R zuordnen. Axiom (Körperxiome) (A) + (b + c) = ( + b) + c, b, c R (A2) (bc) = (b)c, b, c R (A3) + b = b +, b R (A4) b = b, b R (A5) 0 R : + 0 = R (A6) R \ {0} : = R (A7) R R : + ( ) = 0 (A8) R \ {0} R : = (A9) (b + c) = b + c, b, c R Dbei nennt mn A und A2 Assozitivgesetze, A3 und A4 Kommuttivgesetze und A9 Distributivgesetz, Alle Regeln der Grundrechenrten lssen sich us (A) bis (A9) herleiten. Diese Regeln seien von nun n beknnt. Beispiele: () Behuptung: Es gibt genu ein 0 R mit + 0 = R. : Die Existenz folgt direkt us (A5). Der der Eindeutigkeit: Es sei 0 R mit + 0 = R. Drus folgt = 0 0 = = = 0, lso 0 = 0. (Aufgbe: e die Eindeutigkeit von,,...) 9

10 . Reelle Zhlen (2) Behuptung: 0 = 0 R : Sei R und b := 0. Dnn b = (0 + 0) = = b. Aus (A7) folgt dnn 0 = b + ( b) = (b + b) + ( b) = b + (b + ( b)) = b + 0 = b. (3) Behuptung: Aus b = 0 folgt = 0 oder b = 0. zur Übung Schreibweisen: Für, b R : b := + ( b); ist b 0 : b := b. Axiom (Anordnungsxiome) In R ist eine Reltion gegeben. Es sollen gelten: (A0) für, b R gilt b oder b. (A) us b und b folgt = b. (A2) us b und b c folgt c. (A3) us b und c R folgt + c b + c. (A4) us b und 0 c folgt c bc. Alle Regeln für Ungleichungen lssen sich us (A) bis (A4) herleiten. Diese Regeln seinen von nun n beknnt. Schreibweisen: (2) > b : b < (3) b : b Definition (Betrg) Für R heißt := () < b : b und b { flls 0 flls < 0. wird der Betrg von gennnt und entspricht dem Abstnd von und 0. b entspricht dem Abstnd von und b. Stz.3 (Betrgssätze) () 0 R; = 0 = 0 (2) b = b, b R (3) b = b, b, R (4) ± (5) + b + b, b R (6) b b, b R 0

11 (5) Fll : + b 0 + b = + b + b Fll 2: + b < 0 + b = ( + b) = + ( b) + b (6) = ( b) + b b + b b b, nlog b b = b. Definition (Intervll) Seien, b R, < b: () (, b) := {x R : < x < b}: offenes Intervll (2) [, b] := {x R : x b}: bgeschlossenes Intervll (3) (, b] := {x R : < x b}: hlboffenes Intervll (4) [, ) := {x R : x} Entsprechend: [, b), (, ], (, ), (, ), (, ) := R. Definition (Beschränkte Menge) Es sei M R. M heißt nch oben (unten) beschränkt genu dnn, wenn es ein γ R, so dss lle x M kleiner gleich (größer gleich) γ sind. In diesem Fll heißt γ obere Schrnke (OS) (untere Schrnke (US)) von M. Ist γ eine OS (US) von M und gilt γ γ (γ γ) für jede weitere OS (US) γ von M, so heißt γ ds Supremum (Infimum) von M und mn schreibt γ = sup M (γ = inf M). Ist γ = sup M M (γ = inf M M), so heißt γ ds Mximum (Minimum) von M: γ = mx M (γ = min M). Beispiele: () us M = (, 2) folgt: 2 = sup M, M ht kein Mximum (2) us M = (, 2] folgt: 2 = sup M = mx M (3) us M = [3, ) folgt: M ist nicht nch oben beschränkt, 3 = inf M Axiom (Vollständigkeitsxiom) (A5) Ist M R und ist M nch oben beschränkt, so existiert sup M. Anmerkung: M = {x Q : x > 0, x 2 < 2} ht kein Supremum in Q, lso sind die rtionlen Zhlen keine Menge, die unsere Anforderungen n die reellen Zhlen erfüllt. Stz.5 (Vollständigkeit von R bezüglich dem Infimum) Sei M R und sei M nch unten beschränkt, dnn existiert inf M

12 . Reelle Zhlen Sei M := { x : x M}. Sei γ eine untere Schrnke von M. d.h. γ x x M = x γ x M = M ist nch oben beschränkt, γ ist eine obere Schrnke von M. (A5) = s := sup M = s γ. x s x M = s x x M = s ist eine untere Schrnke von M. Aus s γ = γ s, dher ist s = inf M. Stz.6 (Existenz des Supremum) Sei M R, M sei nch oben beschränkt, γ sei eine obere Schrnke von M. γ = sup M ε > 0 x M : x > γ ε = : Sei γ = supm und ε > 0 = γ ε ist keine obere Schrnke von M = x M : x > γ ε. : (A5) = s = sup M. Annhme: γ s = s < γ = ε = γ s > 0. Lut Vorusetzung gilt: x M : x > γ ε = γ (γ s) = s, Widerspruch zu x s. Anlog gilt: Sei M R, M sei nch unten beschränkt, γ sei eine untere Schrnke von M. γ = inf M ε > 0 x M : x < γ + ε Definition (Beschränktheit von Mengen) Sei M R. M heißt beschränkt: M ist nch oben und nch unten beschränkt c > 0 : x c x M. ls Übung 2

13 2. Ntürliche Zhlen Definition (Induktionsmengen) Sei M R. M heißt eine Induktionsmenge (IM ) : () M (2) Aus x M folgt stets x + M Beispiel R, [, ), und {} [2, ) sind Induktionsmengen. J := {A R : A ist eine IM }; N := A J A heißt die Menge der ntürlichen Zhlen. Stz 2. (Induktionsmengen) () N J (2) N A A J (3) N ist nicht nch oben beschränkt. (4) x R n N : n > x (5) Prinzip der vollständigen Induktion: Ist A N und A J = A = N () A A J = x + A x A A J = x + N x N (2) folgt us der Definition von N (3) Annhme: N ist nch oben beschränkt. (A5): s := sup N..3 = n N : n > s ; () = n + N = n + > s; Widerspruch (4) folgt us (3) (5) A Vor. N (2) A = A = N Stz 2.2 (verfhren durch vollständige Induktion) Für jedes n N sei eine Aussge A(n) gemcht. Es gelte: (I) A() ist whr und (II) us n N und A(n) whr folgt stets A(n + ) ist whr. Behuptung: A(n) ist whr für jedes n N. 3

14 2. Ntürliche Zhlen A := {n N : A(n) ist whr}. Dnn: A N, us (I) und (II) folgt A J. Beispiele: () A(n) := n. A(n) n N. (induktiv): Induktionsnfng (IA):, lso ist A() whr. Induktionsvorusseztung (IV): Sei n N und A(n) whr (lso n ) Induktionsschritt (IS, n n + ): n + (IV ) +, lso A(n + ) whr. (2) Für n N sei A n := (N [, n]) [n +, ). Behuptung: A n ist eine Induktionsmenge n N A(n) (3) Sei n N, x R und n < x < n +. Behuptung: x / N. : Annhme: x N. Sei A m wie im oberen Beispiel (2) = A m J = N A m = x A m = x m oder x m +, Widerspruch! (4) Behuptung: n = n(n + ) 2 } {{ } A(n) : (induktiv) IA: + 2 = = A() ist whr. IV: Sei n N und n = n(n+) 2. IS: (n n + ) n N n + (n + ) (IV ) A(n+) ist whr = n(n+) 2 + (n + )(IV ) = (n + )( n 2 + ) = (n+)(n+2) 2 = Definition (Summen- und Produktzeichen) () Seien, 2,..., n R, n N. n k := n k= n k := 2... n k= (2) N 0 := N {0}, Z := N 0 { n : n N} (gnze Zhlen), Q = { p q : p Z, q N} (rtionle Zhlen). Stz 2.3 (Gnze Zhlen) Sei M R. () Ist M N, so existiert min M (2) Ist M Z nch oben beschränkt, so existiert mx M; ist M Z nch unten beschränkt, so existiert min M. 4

15 (3) Ist R, so existiert genu ein k Z : k < k +. Bezeichnung: [] := k. (4) Sind x, y R und x < y, so existiert ein r Q : x < r < y. () n n M = M ist nch unten beschränkt..2 = α = inf M mit α + ist keine untere Schrnke von M. = m M : m < α +. Sei n M. Annhme: n < m = n < m < α + n + = n < m < n +. D n N: Widerspruch. (2) Zur Übung (3) M := {z Z : z }. Annhme: M = = z > z Z = n > n N = n < n N. Widerspruch zu 2.(3); lso: M. (2) = k := mx M. (4) y x > 0 2.(4) = n N : n > y x = n < y x = x + n < y m := [nx] Z = m < nx < m + = m n x < m+ n = m n + n x + n = x < :=r m+ n < y 5

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17 3. Folgen, Abzählbrkeit Definition (Eigenschften von Funktionen) Seien A, B nichtleere Mengen und f : A B eine Funktion. f(a) := {f(x) : x A} B heißt Bildmenge von f. f heißt surjektiv : f(a) = B f heißt injektiv : us x, x 2 A und f(x ) = f(x 2 ) folgt stets x = x 2 f heißt bijektiv : f ist injektiv und surjektiv Definition (Folgen) Eine Funktion : N B heißt eine Folge in B. Schreibweisen: n sttt (n) (mit n N) ist ds n-te Folgenglied. ( n ) oder ( n ) n= oder (, 2,...) sttt. Ist B = R, so heißt ( n ) eine reelle Folge. Beispiele: () n := n (n N), ( n) = (, 2, 3,...) (2) 2n := 0, 2n := (n N), ( n ) = (, 0,, 0,,...). Definition (Endlich, unendlich, bzählbr, überbzählbr) Sei B eine nichtleere Menge. () B heißt endlich : n N und eine surjektive Funktion f : {,..., n} B, lso B = {f(),..., f(n)}. (2) B heißt unendlich : B ist nicht endlich. (3) B heißt bzählbr : ( n ) B : B = {, 2, 3,...} ( : N B mit surjektiv). Die Elemente von B können mit ntürlichen Zhlen durchnummeriert werden. Bechte: Endliche Mengen sind bzählbr! (4) B heißt überbzählbr : B ist nicht bzählbr. Beispiele: () N ist bzählbr, denn N = {, 2,...} mit n := n (n N) (2) Z ist bzählbr, denn Z = {, 2, 3,...} mit := 0, 2n := n, 2n+ := n (3) N N := {(n, m) : n, m N} ist bzählbr. : Sei g : N N N mit g(n, m) := n + 2 (n + m )(n + m 2). g ist bijektiv (Übung!), dnn ist g : N N N ebenflls bijektiv. (4) Q ist bzählbr : Q + := {x Q : x > 0}, f : N N Q + mit f(n, m) := n m, f ist surjektiv. b n := f(g (n)) (n N). Dnn: Q + = {b, b 2, b 3,...}. := 0, 2n := b n, 2n+ := b n = Q = {, 2, 3,...} 7

18 3. Folgen, Abzählbrkeit (5) Sei B die Menge der Folgen in {0, }. Also ( n ) B n {0, } n N. B ist überbzählbr. : Annhme: B ist bzählbr, { lso B = {f, f 2, f 3,...} mit f j = ( j, j2, j3,...) und jk {0, }. Setze n :=, flls nn = 0 0, flls nn =. Es ist ( n ) B. m N : ( n ) = f m = ( m, m2,...) = (, 2,...) = n = mn n N = m = mm, Widerspruch! Stz () Sei B A und A sei bzählbr. Dnn ist B bzählbr. (2) Seien B, B 2, B 3,... bzählbr viele Mengen und jedes B j sei bzählbr. B j ist bzählbr. () A = {, 2,...}, sei b B fest gewählt. b n := { n b flls n B flls n / B j= Also C := {b, b 2,...} B. x B = x A = m N : x = m = m B = b m = m = x = b m = x C = B C = B = C. (2) Siehe Übungsbltt 2 8

19 4. Wie Sie Wollen Definition (Potenz, Fkultät, Binominlkoeffizienten) () Für R und n N gilt n :=... (n Fktoren) und heißt die n-te Potenz von 0 := Für 0 gilt: n = n (2) Für n N gilt n! := n und heißt die Fkultät von n, 0! :=. (3) Für n N, k N 0 und k n gilt ( ) n k := n! k!(n k)! ( n über k ) Stz 4. (Eigenschften von Binomilkoeffizienten) () ( ( n 0) = n n) = n N (2) Für n, k N, k n gilt ( n k ) + ( n k ) ( = n+ ) (3) Für, b R, n N gilt n+ b n+ = ( b)( n + n b + n 2 b b n ) = ( b) n k=0 n k b k k Stz 4.2 (Folgerung) Für b = und x = liefert 4. (3): Für x R und n N gilt: n x k = + x + x x n = k=0 { n + flls x = x n+ x flls x. Stz 4.3 (Bernoullische Ungleichung (BU)) Ist x, so gilt: ( + x) n + nx n N. n = : + x + x 9

20 4. Wie Sie Wollen n n + : ( + x) n + nx (IV) ( + x)( + x) n ( + nx)( + x) ( + x) n+ + nx + x + nx 2 + nx + x = + (n + )x 0 = ( + x) n+ + (n + )x. Stz 4.4 (Der binomische Stz) Seien, b R. Dnn gilt: ( + b) n = n k=0 ( ) n n k b k n N k Beispiel n = : ( ( 0) + ) b = + b n n + : ( + b) n+ =( + b)( + b) n n ( n =( + b) k = n k=0 ( n k k=0 ) n k b k ) n+ k b k + ( n k n k=0 ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 ( ) n n k b k+ k ) n+ k b k + ( ) n n = n+ + 0 k= ( ) n + n ( n = n+ + 0 k k= ( ) n + n ( n + = n+ + 0 k k= n+ ( ) n + = n+ k b k. k k=0 n k=0 ) n+ k b k + ( ) n n k b k+ + k n ( ) n k= ) n+ k b k + ( ) n b n+ n (IV) ( ) n + n (k ) b k + b n+ k n + ) b n+ (4. (2)) ( n + n + 20

21 5. Wurzeln und rtionle Exponenten Hilfsstz 5. () Sind x, y R, x, y 0 und n N, so gilt: x y x n y n (2) Ist β > 0 m N : m < β () (induktiv) I.A. n = I.V. Sei n N und x n y n I.S. x n+ = x n x y n x y n y = y n+ : Annhme: y < x wie oben ===== y k < x k k N, Wid. (2) 2.(4) m N : m > β m < β. Definition 5.2 (Wurzeln) Sei R, 0 und n N. Dnn existiert genu ein x R mit: x 0 und x n =. Dieses x heißt die n-te Wurzel us und wird mit n bezeichnet ( := 2 ). Bemerkung: () n 0 (Beispiel: 4 = 2, 4 2; die Gleichung x 2 = 4 ht zwei Lösungen) (2) b 2 = b b R Eindeutigkeit: Sei x, y 0 und x n = = y n 5.() === x = y Existenz: O.B.d.A.: > 0 und n 2 M := {y R : y 0, y n < }, M, denn 0 M Sei y M y n < < + n BU ( + ) n === 5.() y < +. M ist nch oben beschränkt. (A5) x := sup M. Wir zeigen: x n = Annhme: x n <. Sei m N : (x + m ) 4.4 = n k=0 ( ) n x n k k m k = xn + n k= ( ) n k x n k m k x n + m m n ( ) n x n k k k= α (x + m )n x n + α m. 4.(2) = m N : m < x2 α = x 2 + α m <. Dnn (x + m )n x n + α m < = x + m M = x + m x = m < 0. Widerspruch = x n Annhme: x n >. (x m )n = (x( mx ))n = x n ( BU mx )n x n ( n mx ) flls mx, lso flls m x. Also: (x m )n x n ( n mx ) für m N mit m x. [Nebenrechnung: x n ( n mx ) > m < x(xn ) nx =: α] 5.(2) = m N mit n m x und m α. 2

22 5. Wurzeln und rtionle Exponenten Dnn (x m )n >. x m ist keine obere Schrnke von M = y M : y > x m y n > (x m )n >. Also y n >. Widerspruch, denn y M. Drus folgt: x n =. 5.() === Stz 5.3 (Eindeutigkeit von rtionlen Potenzen) Sei 0, m, n, p, q N und es sei m n = p q. Dnn ( n ) m = ( q ) p. x := ( n ) m, y := ( q ) p. Wegen 5.() genügt es zu zeigen: x q = y q. Es ist mq = np. x q = n mq = n np = p = q pq = y q Definition (Rtionle Potenzen) () Sei R, 0 und r Q + = {x Q : x > 0}. Dnn existiert m, n N : r = m n. Es sei r := n m. (Wegen 5.3 ist r wohldefiniert). (2) Sei > 0, r Q und r < 0. r = r Es gelten die Rechenregeln ( r+s = r s,... ) ls beknnt. 22

23 6. Konvergente Folgen Definition (Umgebung) Sei R und ε > 0: U ε () : {x R : x < ε} heißt ε-umgebung von. x U ε () ε < x < ε ε < x < + ε x ( ε, + ε) Also gilt: U ε () = ( ε, + ε) Definition ( für fst lle ) Für jedes n N sei eine Aussge A(n) gemcht. A(n) gilt für fst lle ( ff ) n N m N so dss A(n) whr ist für lle n m. Ein Beispiel ist n 2 n + 7 gilt ff n N. Vereinbrung: Alle vorkommenden Folgen seien Folgen in R. Definition (Beschränkte Folgen) ( n ) heißt beschränkt (nch oben beschränkt)/(nch unten beschränkt) : {, 2, 3,...} ist beschränkt (nch oben beschränkt)/(nch unten beschränkt). Ist ( n ) nch oben beschränkt, so setze Ist ( n ) nch unten beschränkt, so setze sup n := sup n := sup n := sup {, 2, 3,...} n= n N n inf n := inf n := inf n := inf {, 2, 3,...} n= n N n Bechte: ( n ) ist beschränkt c > 0 : n c n N. Definition (Konvergente Folge) Sei ( n ) eine Folge. ( n ) heißt konvergent : R, so dss es für jedes ε > 0 ein n 0 = n 0 (ε) N gibt, so dss n < ε n n 0 gilt. In diesem Fll heißt der Grenzwert (GW) oder Limes von ( n ) und mn schreibt: lim n ( n ) = oder lim n = oder n (n ) oder n. Ist ( n ) nicht konvergent, so heißt ( n ) divergent. Also: n (n ) ε > 0 n 0 = n 0 (ε) N : n < ε n n 0 ε > 0 n 0 = n 0 (ε) N : n U ε () n n 0 ε > 0 gilt: n U ε () ff n N. Stz 6. (Grenzwert und Beschränktheit konvergenter Folgen) ( n ) sei konvergent. () Dnn ist der Grenzwert von ( n ) eindeutig bestimmt. (2) ( n ) ist beschränkt. 23

24 6. Konvergente Folgen () Es gelte n und n b. Annhme: b, etw < b. ε := b 2 > 0. Dnn U ε () U ε (b) = ( ) n = n U ε () ff n N, n b = n U ε (b) ff n N = n U ε () U ε (b) ff n N. Widerspruch zu ( ), lso = b. (2) Sei := lim( n ). Zu ε = existiert ein n N : n < n n 0. Dnn: n = n + n + < + =: c n n 0. c 2 := mx{, 2,..., n0 }, c := mx{c, c 2 }. Dnn: c n N. Bemerkung (Endlich viele Elemente sind egl): Sind ( n ) und (b n ) Folgen und gilt n = b n ff n N, so gilt ( n ) konvergent (b n ) konvergent. Im Konvergenzfll: lim( n ) = lim(b n ). Beispiele: () Sei c R und n = c ff n N. Dnn: n c = 0 ff n N, d.h. lim n = c. (2) n = n. Behuptung: n 0 (Nullfolge). : Sei ε > 0. 2.(4) = n 0 N : n 0 > ε = n 0 < ε. Für n n 0 : n 0 = n n 0 < ε. (3) n = n. 2.(3) = ( n ) ist nicht beschränkt. 6.(2) === ( n ) ist divergent. (4) n = ( ) n, lso ( n ) = (,,, ) n = n N = n ist beschränkt. Annhme: ( n ) ist konvergent. Sei := lim n. n 0 N : n < 2 n n 0. Dnn: 2 = n0 n0 + = n0 + n0 + n0 + n0 + < = Widerspruch! Also: ( n ) ist divergent. (5) n = n2 n 2 +. Behuptung: n n. n = 2 n2 + +n 2 n 2 + = +n 2 n 2 n. Sei ε > 0. Bsp(2) = n 0 N : n < ε n n 0 = n < ε n n 0. (6) n = n + n. n = ( n+ n)( n++ n) n++ n = n++ n n. D.h. n 0 = n n. Sei ε > 0. 2.(4) = n 0 N : n 0 > ε 2 = n0 < ε. Sei n n 0 : n 0 n n0 ε. D.h. n 0. Bemerkung: Sei p Z fest. Eine Funktion : {p, p +, p + 2,...} R heißt ebenflls Folge in R. Schreibweise: = ( n ) n p = ( n ) n=p. Beispiele: ( n ) n=0, ( n) n= = (, 0,,...) Stz 6.2 (Konvergenzsätze) ( n ), (b n ), (c n ) seien Folgen in R. () n (n ) n 0 (n ) (2) Sei R und es gelte n b n ff n N und b n 0. Dnn: n. (3) Es gelte n, b n b. (i) gilt n b n ff n N = b (ii) gilt = b und n c n b n ff n N = c n. 24

25 (iii) n (iv) n + b n + b (v) α n α α R (vi) n b n b (vii) Ist b 0, so existiert ein m N: b n 0 n m und die Folge ( b n ) n m konvergiert gegen b () folgt us der Definition der Konvergenz (2) m N: n b n n > m. Sei ε > 0. n N : b n ε n > n. m 0 := mx{m, n}. Dnn: n b n < ε n n 0. (3) Beispiel (i) Annhme: b <. ε := b 2. n = n U ε () ff n N = n > ε ff n N. b n b = b n U ε (b) ff n N = b n < b + ε ff n N = b n < b + ε = ε < n ff n N. Widerspruch zur Vorussetzung = n < b n ff n N. (ii) Sei ε > 0. n, b n = ε < n c n b n < + ε ff n N = c n U ε () ff n N. (iii) n n = n (iv) Zur Übung (v) Zur Übung (vi) n b n b = n b n n b+ n b b = n (b n b)+b( n ) n b n b + b n. 6.(2) = c > 0 : n c n N = n b n b c b n b + b n =: α n. (iv),(v) = α n 0 = (2) n b n b. (vii) (iii) = b n b = b > 0. ε := b 2 ; b n b = b n U ε ( b ) ff n N = b n > b ε = b 2 ff n N: b n 0 n > m. Für n > m: b n b = b bn b n b = b bn b n b 2 b 2 b n b =: β n. β n 0 (2) = b n b. n = n2 + 3n + 5 n 2 3n + 8 = + 3 n + 5 n 2 3 n + 8 n 2 (n ) Definition (Monotonie) ( n ) heißt monoton wchsend : n+ n n N ( n ) heißt streng monoton wchsend : n+ > n n N 25

26 6. Konvergente Folgen ( n ) heißt monoton fllend : n+ n n N ( n ) heißt streng monoton fllend : n+ < n n N ( n ) heißt monoton : ( n ) ist monoton wchsend oder fllend. ( n ) heißt streng monoton : ( n ) ist streng monoton wchsend oder fllend. Stz 6.3 (Monotoniekriterium) ( n ) sei monoton wchsend (fllend) und sei nch oben (unten) beschränkt. Dnn ist ( n ) konvergent. lim n = sup n ( inf n). n n= n= := sup n = sup{, 2,...}. ε ist keine obere Schrnke von {, 2,...} = n 0 N : n= n0 > ε. Für n > n 0 : ε < n0 n < + ε = n < ε n n 0. Beispiel := 3 6, n+ := n (n N) 2 := > 3 6 = (wegen Stz 5. ()) 3 := > = 2 Behuptung: n = : s.o. n+ > n n N n n + : n+2 = n+ IV > n = n+. Also: ( n ) ist streng monoton wchsend. = 3 6 < 2 2 = < 3 8 = 2 Behuptung: n = : s.o. n < 2 n N n n + : n+ = n IV < = 2. Also: ( n ) ist nch oben beschränkt. Aus 6.3 folgt: ( n ) ist konvergent. := lim n n n+ = n = 3 n+ = 6 + n = 3 = 6 + = 0 = 3 6 = ( 2)( ) = ( 2) (( + ) 2 + 2) >0 = = 2 26

27 7. Wichtige Beispiele Stz 7. (Konvergenzstz für Wurzeln) Sei ( n ) eine konvergente Folge, n 0. Es sei := lim n ( = 6.2 0) und p 2. Dnn: p n p. Fll : = 0 Sei ε > 0. n 0 = n 0 N : n < ε p 5. n > n 0 = p n < ε n n 0 = p n 0 = p n < ε n n 0 = p n 0 Fll 2: > 0 n = ( p n ) p ( p n ) p = x p y p 4.2 = x y x p +x p 2 y+...+xy p 2 +y p =:x =:y x y y p = x y c = p n p n c = p n p c n =:c 0 Beispiel 7.2 Sei x N und n := x n (n N). Fll : x = 0 = ( n ) ist konvergent und n 0 Fll 2: x = = ( n ) ist konvergent und n Fll 3: x = = ( n ) ist divergent. = p n p Fll 4: x > : δ > 0 : x = + δ = n = x n = x n = ( + δ) n + nδ nδ = n ist nicht beschränkt. 6.(2) = ( n ) ist divergent. Fll 5: 0 < x < : Dnn x > = η > 0 : x = + η = n = x n = ( x )n = ( + η) n + nη nη = n nη n N = n 0 Beispiel 7.3 Sei x R und s n := + x + x x n = 4 = s n = n k=0 x k { n + flls x = x n+ x flls x 7.2 = (s n ) ist konvergent x <. In diesem Fll: s n x (n ) 27

28 7. Wichtige Beispiele Stz 7.4 (Stz über n n) Es gilt: n n (n ) n := n n n = n > 0 n N. Zu zeigen ist: n 0. Für n 2: n = + n = n = n ( ) ( ) n n ( + n ) n = k n 2 n = k 2 2 (n)(n )2 n = 2 n 2 n 2 = n 0 < n < k=0 0 2 = n 0 n 0 Beispiel 7.5 (Konvergenz von Wurzeln) Sei c > 0. Dnn: n c (n ). Fll : c m N : m c = c n n m = Fll 2: c < = c > Fll === n c = n c n n n n 7.4 = n c 6.2(vii) ==== n c Stz 7.6 (Stz und Definition von e) n := ( + n )n (n N); b n := n k=0 ( n ) und (b n ) sind konvergent und es gilt lim n n = lim n b n. k! = n! (n N 0) Definition: e := lim n ( + n )n heißt eulersche Zhl. (2 < e < 3, e 2, 78) In der großen Übung wurde gezeigt: n < n+ < 3 n N. 6.3 = ( n ) ist konvergent, := lim n. b n+ = b n + (n+)! > b n = (b n ) ist monoton wchsend. b n = < + ( < 2 2 n < ) = + n 2 2 } 2 3 {{... n } < 2 n = + 2( 2 = (b n ) ist nch oben beschränkt. 6.3 = (b n ) ist konvergent, b := lim b n n ) < 3 28

29 Zu zeigen: = b. Für n 2: n = ( + n )n = = + + < + + k=2 n k=0 ( ) n k n k n k! ( n )( 2 n ) ( k n ) < n k! = b n k=2 ( ) Also: n < b n n 2 = b. Sei j N, j 2 (fest) und n > j. Aus ( ) folgt: n + + = c (j) n + + = n c (j) n j k! ( n )( 2 n ) ( k n ) (n ) j k! = b j (n ) k=2 k=2 n === b j. = c (j) n Also: b j j 2 j === b. 29

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31 8. Häufungswerte und Teilfolgen Erinnerung: n ε > 0 gilt: n U ε () ff n N. Definition (Häufungwerte) ( n ) sei eine Folge und α R. α heißt ein Häufungswert (HW) von ( n ) : ε > 0 gilt: n U ε (α) für unendlich viele n N. H ( n ) := {α R : α ist ein Häufungswert von ( n )}. Beispiele: () n = ( ) n. 2n =, 2n =. Sei ε > 0 : 2n U ε () n N n U ε () für unendlich viele n N H ( n ). Anlog: n U ε ( ) für unendlich viele n N H ( n ). Sei α R und α. Wähle ε > 0 so, dss, U ε (α) n U ε (α) n N α H ( n ). Fzit: H ( n ) = {; }. (2) n = n. Sei α R und ε > 0. n 0 N : n 0 > α + ε n > α + ε n n 0 n U ε (α) n n 0 n U ε (α) für höchstens endlich viele n N. α H ( n ). Fzit: H ( n ) =. (3) Q ist bzählbr. Also: Q = {, 2,...}. Behuptung: H ( n ) = R. : Sei α R und ε > 0. α n := α + ε n+ (n N), α n U ε (α) n N. 2.4 r Q : α 2 < r < α (dnn: r U ε (α)); n N : r = n. Also: n U ε (α). 2.4 n 2 N : α 3 < n2 < α 2. Dnn: n 2 n. 2.4 n 3 N : α 4 < nr < α 3 und n 3 n 2, n 3 n. Etc. Wir erhlten so eine Folge von Indices (n, n 2, n 3,...) in N mit nk U ε (α) und n k n j für k j. n U ε (α) für unendlich viele n N α H ( n ). Definition (Teilfolge) Sei ( n ) eine Folge in R und (n, n 2,...) sei eine Folge in N mit: n < n 2 < n 3 <... Dnn heißt ( nk ) = ( n, n2,...) eine Teilfolge (TF) von ( n ). Beispiele: () n k = 2k : ( 2, 4, 6, ) ist eine Teilfolge von ( n ). (2) n k = 2k : (, 3, 5, ) ist eine Teilfolge von ( n ). (3) n k = k 2 : (, 4, 9, ) ist eine Teilfolge von ( n ). (4) (, 3, 2, 4, 5, 7, ) ist keine Teilfolge. Stz 8. (Sätze zu Teilfolgen) () Sei ( n ) eine Folge und α R. Dnn: α H ( n ) Es existiert eine TF ( nk ) von ( n ) mit: nk α (k ) 3

32 8. Häufungswerte und Teilfolgen (2) Ist α R, so existert eine Folge (r k ) in Q: r k α (k ) (3) Ist ( n ) konvergent und := lim n = H ( n ) = {}. Ist ( nk ) eine Teilfolge von ( n ), so ist ( nk ) konvergent und nk (k ) () = : Sei α H ( n ). Zu ε = existiert n N: n U (α). Zu ε = 2 existiert n 2 N: n2 U (α) und n 2 > n 2 Zu ε = 3 existiert n 2 N: n3 U (α) und n 3 > n 2. etc 3 Wir erhlten so eine Teilfolge von ( nk ) von ( n ) mit nk U (α) k N, lso: nk α < k k N = n k α (k ). : Sei ( nk ) eine Teilfolge von ( n ) und nk α (k ). Sei ε > 0 = k 0 N: nk U ε (α) k > k 0 = n U ε (α) für unendlich viele n N = α H ( n ) (2) Sei Q = {, 2,...}. Beknnt: H( n ) = R. Also: α H ( n ) () = Behuptung. (3) Klr: H ( n ) Sei ( nk ) eine Teilfolge von ( n ) und ε > 0. = lim n = n U ε () ff n N = nk U ε () ff k N = nk (k ). Aus () folgt noch H( n ) =. k Hilfsstz (Monotone Teilfolge) Sei ( n ) eine Folge. Dnn enthält ( n ) eine monotone Teilfolge. m N heißt niedrig (für ( n )) : n m n m. Fll : Es existieren unendlich viele niedrige Indices n, n 2, n 3,.... etw: n < n 2 < n 3 <... (s. 2.3!). Sei k N: n k ist niedrig. n k+ > n k = nk+ nk = die Teilfolge ( nk ) ist monoton wchsend. Fll 2: Es gibt höchstens endlich viele niedrige Indices = m N: m, m +, m + 2,... sind lle nicht niedrig = n 3 > n 2 : n3 < n2 etc. Wir erhlten so eine mononte Teilfolge ( nk ). Stz 8.2 (Stz von Bolzno-Weierstrß) ( n ) sei eine beschränkte Folge. Dnn H( n ). c > 0 : n c n N. Hilfsstz = ( n ) enthält eine monotone Teilfolge ( nk ). nk c k N. ( nk ) ist ber schränkt. 6.3 = ( nk ) ist konvergent. α := lim k nk. 8.() = α H ( n ). 32

33 9. Oberer und unterer Limes Vereinbrung: In diesem Prgrphen sei ( n ) stets eine beschränkte Folge in R. 8.2 = H ( n ) 0. Stz 9. (Beschränktheit und Abgeschlossenheit der Häufungswerte) H ( n ) ist beschränkt. Weiter existieren mx H ( n ) und min H ( n ) c > 0 : n c n N. Sei α H ( n ). 8. = TF( nk ) von ( n ) mit nk α (k ), 6.2 = nk α (k ); nk c k N === k α c. Also: α c α H ( n ). H ( n ) ist lso beschränkt. Sei s := sup H ( n ), z.z.: s H ( n ) (nlog zeigt mn: inf H ( n ) H ( n )) Sei ε > 0. Dnn ist s ε keine obere Schrnke von H ( n ) = α H ( n ) : α > s ε. Wähle δ > 0 so, dss U δ (α) U ε (s) = n U δ (α) für unendlich viele n N = n U ε (s) für unendlich viele n N = s H ( n ). Definition lim sup n := lim n sup n := mx H ( n ) heißt oberer Limes oder Limes superior von ( n ) lim inf n := lim n inf n := min H ( n ) heißt unterer Limes oder Limes inferior von ( n ) Bechte: lim inf n α lim sup n α H ( n ). Beispiele: () Ist ( n ) konvergent 8. = H ( n ) = {lim n } = lim sup n = lim inf n = lim n. (2) n = ( ) n ( + n )n ; n = ( n )n 3 = ( n ) ist beschränkt. 2n = ( + 2n )2n = ( 2n ) ist eine Teilfolge von ( n ) und von der Folge (( + n )n ) = 8. 2n e (n ). Anlog: 2n = ( + 2n )2n e. Also: e, e H ( n ). Sei α R : e α e. Wähle ε > 0 so, dss: (U ε (e) U ε ( e)) U ε (α) ( ) =:U Etw ε := 2 min{ α e, α + e }. 2n e = n U ε (e) ff gerde n. 2n e = n U ε ( e) ff ungerde n. = n U ff n N = n U ε (α) für höchstens endlich viele n N = α H ( n ). Fzit: H ( n ) = {e, e}, lim sup n = e, lim inf n = e. 33

34 9. Oberer und unterer Limes Stz 9.2 (Eigenschften des Limes superior und inferior) Sei α R. Dnn: α = lim inf n ε > 0 gilt: () α ε < n ff n N (2) n < α + ε für unendlich viele n N. α = lim sup n ε > 0 gilt: () α ε < n für unendlich viele n N (2) n < α + ε ff n N. nur für lim inf. = : Sei α = lim inf n. Sei ε > 0. α H ( n ) = n U ε (α) für unendlich viele n N = (ii). Annhme: (i) gilt nicht. D.h.: n α ε für unendlich viele n, etw für n, n 2, n 3,... mit n < n 2 < n 3 <.... Dnn ist nk eine Teilfolge von ( n ) mit nk α ε k N. nk ist beschränkt. 8.2 = ( nk ) enthält eine konvergente Teilfolge ( nkj ); β := lim nkj. ( nkj ) ist uch eine Teilfolge j 8. von ( n ) = β H ( n ) = α β. nkj α ε j N === j β α ε = α α ε, Widerspruch! : für jedes ε > 0 gelte (i) und (ii). Sei ε > 0 === (i),(ii) α ε < n < α + ε für unendlich viele n = n U ε (α) für unendlich viele n = α H ( n ). Sei β < α. Zu zeigen: β H ( n ). ε := α β 2 = β + ε = α ε. (i) = n > α ε = β + ε ff n N = n U ε (β) für höchstens endlich viele n = β H ( n ). Stz 9.3 (Äquivlenzussgen zur Konvergenz) Die folgende Aussgen sind äquivlent: () lim inf n = lim sup n (2) ( n ) ht genu einen Häufungswert (3) ( n ) ist konvergent () () (2) Klr. (2) (3) = (2)

35 (3) (2) = (3) Sei H ( n ) = {α} = lim sup n = lim inf n = α. Sei ε > 0 = 9.2 α ε < n < α + ε ff n N = n α < ε ff n N = n α (n ). Folgerung 9.4 Sei (b n ) eine Folge in R. (b n ) ist konvergent genu dnn, wenn (b n ) beschränkt ist und genu einen Häufungswert ht. = : 6., 9.3; : 9.3 Beispiel uf die Vorussetzung (b n ) beschränkt knn in 9.4 nicht verzichtet werden! Beispiel: (b n ) = (, 0, 3, 0, 5, 0,...) Stz 9.5 (Rechenregeln für den Limes superior und inferior) Sei (b n ) eine weitere beschränkte Folge in R. () us n b n ff n N folgt lim sup n lim sup b n us n b n ff n N folgt lim inf n lim inf b n (2) lim sup( n + b n ) lim sup n + lim sup b n lim inf( n + b n ) lim inf n + lim inf b n (3) lim sup(α n ) = α lim sup n α 0 lim inf(α n ) = α lim inf n α 0 (4) lim sup( n ) = lim inf n lim inf( n ) = lim sup n : Übung 35

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37 0. Ds Cuchy-Kriterium Motivtion: Sei ( n ) eine konvergente Folge, := lim n. Sei ε > 0. Dnn existiert ein n 0 = n 0 (ε) N: n < ε 2 n n 0. Für n, m n 0 : n m = n + m n + m < ε 2 + ε 2 ε. Eine konvergente Folge ( n ) ht lso die folgende Eigenschft: ( ) ε > 0 n 0 = n 0 (ε) N n, m n 0 : n m < ε Definition (Cuchy-Folge) Ht ( n ) die Eigenschft ( ), so heißt ( n ) eine Cuchyfolge (CF). Bechte: ( n ) ist eine Cuchyfolge ε > 0 n 0 N : n m < ε n > m n 0 ε > 0 n o N : n n+p < ε n n 0 p N. Beispiel s n := n = n k= k (n N) s 2n s n = n + n n ( n ) = n + n 2n = 2 2n = s 2n s n 2 n N = (s n) ist keine Cuchyfolge! + n + 2 2n n 2n Stz 0. (Cuchy-Kriterium) ( n ) ist konvergent ( n ) ist eine Cuchyfolge. : siehe oben : Zu ε = existiert n o N : n n0 < n n 0. Für n n 0 : n = n n0 + n0 n n0 + n0 < + n0 =: c = ( n ) ist beschränkt. Annhme: ( n ) ist divergent 9.3 = α := lim inf n < lim sup n =: β ε := β α 3 ; n 0 N : n n0 < ε n, m n 0 α H( n ) = n N : n U ε (α) und n n 0 = n < α + ε β H( n ) = m N : m U ε (β) und m n 0 = m < β ε = m > n = m n = m n > β ε (α + ε) = β α 2ε = 3ε 2ε = ε. ` Folgerung 0.2 Die Folge (s n ) mit s n := n (n N) ist divergent. 37

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39 . Unendliche Reihen Definition Sei ( n ) eine Folge in R. Die Folge (s n ) mit s n := n (n N) heißt (unendliche) Reihe und wird mit n= n bezeichnet (oder mit n ). s n heißt die n-te Teilsumme von n= n und n heißt n-tes Reihenglied von n= n. n= n heißt konvergent (divergent) : (s n ) konvergiert (divergiert). Ist n= n konvergent, so heißt lim n s n der Reihenwert oder die Reihensumme und wird mit n= n bezeichnet (Im Konvergenzfll ht lso ds Symbol n= n zwei Bedeutungen). Bemerkung: () n = n= i = i= k= k (2) Sei p Z und ( n ) n p eine Folge. Dnn definiert mn entsprechend s n := p + p n (n p) und n=p n. Meist gilt: p = oder p = 0. Beispiele: () Die hrmonische Reihe n= n : n = n, s n = n Also: n divergiert. n= (2) Die geometrische Reihe == (s n ) divergiert. x n (x R) : n=0 = (s n ) konvergiert x <. In diesem Fll: s n x (n ). Also: x n ist konvergent x <. In diesem Fll: x n = x n=0 (3) n=0 n!. 7 = n=0 n! ist konvergent und n=0 n! = e. (4) n= n(n+), n = n(n+) = n n+ = s n = ( 2 ) + ( 2 3 ) ( ( n n+ ) = n+ (n ). n= (5) Q = {, 2, } Sei ε > 0. I n := ( n ε, 2 n+ n + ε ). 2 n+ n I n n N = Q n=0 n(n+) ist konvergent, n= I n. n= n(n+) = n n ) + Länge von I n := I n ; n= I n = n= ε 2 n ; s n = ε 2 + ε ε 2 n = ε 2 ( ( 2 )n ) = ε 2 ( ( 2 )n 2 ) ε (n ) (Unendliche geometrische Reihe). D.h. n= I n ist konvergent und n= I n = ε. Die Rtionlen Zhlen können so mit bzählbren Intervllen überdeckt werden, dss die Summe der Intervlle beliebig klein ist. 39

40 . Unendliche Reihen Stz. (Cuchy- und Monotoniekriterium sowie Nullfolgeneigenschft) ( n ) sei eine Folge in R und s n := n. () Cuchy-Kriterium: n= n konvergiert ε > 0 n 0 := n 0 (ε) N : n < ε n > m n 0. k=m+ k =s n s m (2) Monotoniekriterium: Sind lle n 0 und ist (s n ) beschränkt, so folgt drus: n= n konvergiert. (3) n= n sei konvergent. Dnn: (i) n 0 (n ) (ii) Für ν N ist n=ν+ n = ν+ + ν konvergent und für r ν := gilt: r ν 0 (ν ) n=ν+ n () Wende Cuchy-Kriterium (0.) uf (s n ) n. (2) s n+ = n + n+ = s n + n+ s n = s n ist monoton wchsend = Vor. 6.3 (s n ) konvergiert. (3) Sei s := lim s n, lso n= n = s. (i) s n s n = n = n s s = 0 (n ) (ii) Für n ν + : σ n := ν+ + ν n = s n ( ν ) = s n s ν = σ n s s ν (n ) = n=ν+ n konvergiert und r ν = s s ν = r ν 0 (ν ) Stz.2 (Rechenregeln bei Reihen) Seien n= n und n= b n konvergent. Weiter seien α, β R. Dnn ist n= (α n + βb n ) konvergent und n= (α n + βb n ) = α n= n + β n= b n. klr. Definition Die Reihe n= n heißt bsolut konvergent : n= n ist konvergent. 40

41 Stz.3 (Dreiecksungleichung für Reihen) Ist n= n bsolut konvergent, so ist n= n konvergent und n n= n n= Sei ε > 0. Aus der Vorussetzung und Stz.() folgt: n n 0 N : k < ε n > m n 0 =.() ==== k=m+ n k=m+ k n k=m+ n ist konvergent. n= k < ε n > m n 0 s n := n ; σ n := n = s n σ n n === n n. n= n= Beispiel Die lternierende Hrmonische Reihe n= ( )n+ n. Hier: n = ( ) n+ n. n = n = n= n konvergiert nicht bsolut. Behuptung: n= n ist konvergent. (Später: n= n = log 2) : s n = n. s 2n+2 = s 2n + 2n+ + 2n+2 = s 2n + 2n + = (s 2n ) ist monoton wchsend. Anlog: 2n + 2 >0 (s 2n ) ist monoton fllend. s 2n = s 2n + 2n = s 2n 2n ( ) ( ) Dnn gilt s 2 s 4... s 2n = s 2n 2n < s 2n... s 3 s = (s 2n ) und (s 2n ) sind beschränkt. 6.3 = (s 2n ) und (s 2n ) sind konvergent. Aus ( ) folgt dnn lim s 2n = lim s 2n. A6 = (s n ) ht genu einen Häufungswert. 9.3 = (s n ) ist konvergent. 4

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43 2. Konvergenzkriterien Stz 2. (Leibnizkriterium) Sei (b n ) eine monoton fllende Nullfolge und n := ( ) n+ b n. Dnn ist n= n konvergent. Wie bei n= ( )n+ n. Von (b n) = ( n ) wurde nur benutzt: n ist eine fllende Nullfolge. Bemerkung: Gilt n = b n ff n N, so gilt: n= n ist genu dnn konvergent, wenn n= b n konvergent ist. Stz 2.2 (Mjornten- und Minorntenkriterium) () Mjorntenkriterium: Gilt n b n ff n N und ist n= b n konvergent, so gilt: n= n ist bsolut konvergent. (2) Minorntenkriterium: Gilt n b n 0 ff n N und ist n= b n divergent, so gilt: n= n ist divergent. () s n := b + b b n, σ n := n n N. O.b.d.A.: n b n n N. 6. (s n ) ist konvergent = (s n ) ist beschränkt = c 0 : n c n N = 0 σ n = n b + b b n = s n c n N = (σ n ) ist beschränkt.() ==== (σ n ) konvergent. (2) Annhme: n= n ist konvergent Beispiele: () n=, (n+) 2 n = = (n+) 2 n 2 +2n+ n 2 +2n n(n+) =: b n. Beknnt: n= b n konver- 2.2(2) ==== n= n ist konvergent. Folgerung: n= ist konvergent. n 2 gent () = n= b n ist konvergent. Widerspruch! (2) n=, n 2 n+ n =, b n 8 2 n+ n :=, n n 2 b n = n2 n 8 2 n+ 8 2 n m = n 2b n n m ( n = n ) n= 2b n ist konvergent (3) Sei α (0, ] Q: n α n 2.2() ==== n= n ist konvergent. n N 2.2(2) ==== n= n α (n ) = m N : n b n ist divergent. 43

44 2. Konvergenzkriterien (4) Sei α 2, α Q: n α n 2 n N 2.2() ==== n= n α ist konvergent. (5) In der Übung gezeigt: Ist α > 0, α Q: n= n ist konvergent genu dnn, wenn α >. α Bemerkung: Ist später die llgemeine Potenz x ( > 0, x R) beknnt, so zeigt mn nlog: n= n α > α R. α Definition ( ls Limes Superior) Ist (α n ) eine Folge und α n 0 n N und ist (α n ) nicht nch oben beschränkt, so setzte lim sup α n := lim sup n α n :=. Vereinbrung: x < x R Stz 2.3 (Wurzelkriterium) Sei ( n ) eine Folge und α := lim sup n n. () Ist α < = n= n bsolut konvergent (2) Ist α > = n= n divergent (3) Ist α =, so ist keine llgemeine Aussge möglich. () α <. Sei ε > 0 so, dss x := α + ε <. 9.2 = n n < α + ε = x ff n N = n < x n ff n N. n= xn ist konvergent 2.() ==== Behuptung. (2) (i) α >, α < : Sei ε > 0 so, dss α ε >. 9.2 = n n > α ε > für unendlich viele n N = n > für unendlich viele n N = n 0 ==. n= n ist divergent. (ii) α = = n n > für unendlich viele n N wie eben ===== n= n ist divergent. (3) Siehe Beispiele Beispiele: () n= n ist divergent. n n = n n, lso α =. (2) n= ist konvergent. n 2 n n 2 = ( n n ) 2, lso α =. (3) n= ( )n ( + n ) n2 n. n = ( + n ) n = (+ n )n e < = n= n ist bsolut =: n konvergent. (4) Sei ( n ) eine Folge und x R mit n := Betrchte n= n. α n := n n = { 2 für n gerde n n x n für n ungerde. { 2 für n gerde n n x für n ungerde. 44

45 α 2n = 2 2. α 2n = 2n 2n x x. A6 = H (α n ) = { 2, x }. Ist x < = lim sup n n < = n= n konvergiert bsolut. Ist x > = lim sup n n > = n= n divergiert. Sei x = : 2n = (2n )x 2n = 2n = n 0 = n= n ist divergent. (5) Sei p N und q R und q <. Behuptung: lim n n p q n = 0. : n := n p q n. n n = n n p q = ( n n) p q q < == 2.3 n= n ist bsolut konvergent = n 0. Stz 2.4 (Quotientenkriterium) Sei ( n ) eine Folge in R und n 0 ff n N. α n := n+ n () Ist α n ff n N = n= n ist divergent. (ff n N). (2) Es sei (α n ) beschränkt, β := lim inf α n und α := lim sup α n. (i) Ist β > = n= n ist divergent. (ii) Ist α < = n= n ist bsolut konvergent. (iii) Ist α = β =, so ist keine llgemeine Aussge möglich. O.B.d.A.: n 0 n N () Dnn: 2 > 0, 3 2 > 0,... llgemein: n > 0 n N = n 0 = die Behuptung. (2) (i) Sei β >, Sei ε > 0 so, dss β ε >. 9.2 = α n > β ε > ff n N = die Behuptung. (ii) Sei α <. Sei ε > 0 so, dss x := α + ε <. 9.2 = α n < α + ε = x ff n N. Dnn: 2 x, 3 2 x x 2,... llgemein: n n x n ff n N. n= x n 2.2 ist konvergent == n= n ist bsolut konvergent. (iii) siehe Beispiele Beispiele: () n= n ist divergent. n+ n = n n+, lso α = β =. (2) n= ist konvergent. n n+ 2 n = n 2, lso α = β =. (n+) 2 Beispiel 2.5 (Exponentilfunktion) Für x R betrchte die Reihe n=0 x n n! = + x + x2 2! + +x3 3! + x4 4! +... Für welche x R konvergiert diese Reihe (bsolut)?. 45

46 2. Konvergenzkriterien Klr: für x = 0 konvergiert die Reihe. Sei x 0 und n = xn n! ; n+ n = x n+ (n + )! n! x n = 2.4 = n=0 xn n! ist bsolut konvergent für lle x R. x 0 (n ) (lso α = β = 0) n + Also wird durch E(x) := n=0 xn n! (x R) eine Funktion E : R R definiert. Diese Funktion E heißt die Exponentilfunktion. E(0) =, E() = n=0 n! = e. Bemerkung: Später zeige wir: E(r) = e r r Q. Dnn definieren wir e x := E(x) (x R). Motivtion: b n := ( ) n (n N), b n 0 = n= b n = b + b ist divergent. := b + b 2, 2 := b 3 + b 4,... lso: n = 0 n N = n= n = (b + b 2 ) + (b 3 + b 4 ) +... ist konvergent. Also: Im Allgemeinen drf mn Klmmern in konvergenten Reihen nicht weglssen. Stz 2.6 (In konvergenten Folgen drf mn Klmmern setzen) Sei n= n konvergent und es seien n, n 2,... N mit n < n 2 <.... Setze b := n, b 2 := n n2, llgemein: b k := nk nk (k 2). Dnn ist n= b n konvergent und n= b n = n= n. s n := n ; σ k := b + b b k. Es ist σ k = nk = s nk 8.(3) ist eine Teilfolge von s n === (σ k ) konvergent und lim k 0 σ k = lim n s n. = σ k 46

47 3. Umordnungen und Produkte von Reihen Definition (Umordnung) Sei ( n ) eine Folge und φ : N N bijektiv. Setzt mn b n := φ(n) (n N), so heißt (b n ) ( n= b n) eine Umordnung von ( n ) ( n= n). Beispiel (, 3, 2, 4, 5, 7, 6, 8 ) ist eine Umordnung von ( n ) (ber keine Teilfolge!). Hilfsstz () Sei φ : N N bijektiv und m 0 N. Dnn gilt: φ(n) m 0 ff n N (2) (b n ) ist eine Umordnung von ( n ) ( n ) ist eine Umordnung von (b n ) n= b n ist eine Umordnung von n= n n= n ist eine Umordnung von n= b n () A := {n N : φ(n) < m 0 }. z.z.: A ist endlich. Annhme: A ist unendlich, etw A = {n, n 2, n 3,...} mit n < n 2 < n 3 <... ; φ bijektiv = φ(a) ist unendlich. n φ(a) = n = φ(n k ), n k A = n < m 0 = φ(a) {, 2,..., m 0 }, Widerspruch! (2) Es sei b n = φ(n) und φ : N N bijektiv, φ : N N bijektiv. b φ (n) = φ(φ (n)) = n = ( n ) ist eine Umordnung von (b n ). Stz 3. (Riemnnscher Umordnungsstz) (b n ) sei eine Umordnung von ( n ). () Ist ( n ) konvergent, dnn gilt: (b n ) ist konvergent und lim b n = lim n. (2) Ist n= n bsolut konvergent, dnn gilt: n= b n ist bsolut konvergent und n= b n = n= n. (3) Riemnnscher Umordnungsstz: n= n sei konvergent ber nicht bsolut konvergent. (i) Es gibt divergente Umordnungen von n= n. (ii) Ist s R, so existiert eine Umordnung von n= n mit Reihenwert s. 47

48 3. Umordnungen und Produkte von Reihen Für () und (2) sei φ : N N bijektiv und b n = φ(n). () Sei := lim n. Sei ε > 0, m 0 N : n < ε n m 0. Aus Hilfsstz () folgt: n 0 N : φ(n) m 0 n n 0. Für n n 0 : b n = φ(n) < ε. (2) Wir schreiben sttt n=. Fll : n 0 n N s n := n, σ n := b + b b n. n 0 = (s n ) ist wchsend, sei s := lim s n (= n ). Es gilt: s n s n N. Sei n N und j := mx{φ(), φ(2),..., φ(n)}. Dnn: {φ(), φ(2),..., φ(n)} {, 2,..., j} = σ n = b + b b n = φ() + φ(2) φ(n) j = s j s = (σ n ) ist wchsend und beschränkt. 6.3 = (σ n ) ist konvergent. Weiter: lim σ n s, d.h. b n n. Vertuschung der Rollen von n und b n liefert: n b n. Fll 2, der llgemeine Fll: b n ist eine Umordnung von n Fll = b n konvergiert und b n = n. Noch z.z.: b n = n. α n := n + n, β n := b n + b n. Dnn: α n, β n 0 n N. α n, β n konvergieren, β n ist eine Umordnung von α n. Fll = β n = α n. Dnn: n = (α n n ) = α n n = β n b n = (β n b n ) = b n. (3) ohne. Vereinbrung: Für den Rest des Prgrphen seien gegeben: n=0 n und n=0 b n. Wir schreiben sttt n=0. Weiter sei, flls n und b n konvergent, s := ( n )( b n ). Definition Eine Reihe n=0 p n heißt eine Produktreihe von n und b n : {p 0, p, p 2,...} = { j b k : j = 0,,... ; k = 0,,...} und jedes j b k kommt in (p n ) n=0 genu einml vor. Stz 3.2 (Alle Produktreihen sind Umordnungen voneinnder) Sind p n und q n zwei Produktreihen von n und b n, so ist p n eine Umordnung von q n. Übung. Stz 3.3 (Absolute Konvergenz geht uf Produktreihen über) Sind n und b n bsolut konvergent, und ist p n eine Produktreihe von n und bn, dnn ist p n bsolut konvergent und p n = s. 48

49 σ n = p 0 + p p n (n N). Sei n N 0. Dnn existiert ein m N : σ n ( m k=0 k )( m k=0 b k ). α k := k, (α k ) konvergiert und α k k, (α k ) ist wchsend = α k n = 0 σ n ( n )( b n ) n N 0 = (σ n ) ist beschränkt (und wchsend). 6.3 = (σ n ) konvergiert = p n ist bsolut konvergent. Noch z.z.: p n = s. Dzu betrchten wir eine spezielle Produktreihe q n ( Anordnung nch Qudrten ): q 0 := 0 b 0, q := 0 b, q 2 := b, q 3 := b 0, q 4 := 0 b 2, q 5 := b 2,... s n := q 0 + q q n Nch dem schon Bewiesenen konvergiert q n, lso uch (s n ). Nchrechnen: ( n ) (b 0 + b b n ) = s n2 +2n n N n b n n = s = q n. Aus 3. und 3.2 folgt: p n = n bn = s. Definition (Cuchyprodukt) Setze c n := n k=0 kb n k = 0 b n + b n n b 0 (n N 0 ), lso: c 0 = 0 b 0, c = 0 b + b 0,... n=0 c n heißt Cuchyprodukt von n und b n. Stz 3.4 (Cuchyprodukt bsolut konvergierender Folgen konvergiert) Sind n und b n bsolut konvergent, so konvergiert ihr Cuchyprodukt c n und cn = s. Sei p n die Produktreihe von n und b n, die durch Anordnung nch Digonlen entsteht. (p 0 = 0 b 0, p = 0 b, p 2 = b 0, p 3 = 0 b 2, p 4 = b, p 5 = 0 b 3,...). Dnn: c 0 = 0 b 0 = p 0, c = p + p 2, c 2 = p 3 + p 4 + p 5. c n ensteht lso us p n durch Setzen vom Klmmern. 3.3 = p n konvergiert bsolut und p n = s == 2.6 Behuptung. Beispiel Für x R mit x < ist n=0 xn bsolut konvergent und ( x) 2 n=0 xn = x. Für x < : = ( n=0 xn )( n=0 xn ) 3.4 = n=0 c n, wobei c n = n k=0 xk x n k = n k=0 xn = (n+)x n. = n=0 (n + )xn = ( x) 2. Stz 3.5 (E(r) = e r r Q) Erinnerung: E(x) = n=0 xn n! (x R) () E(x + y) = E(x)E(y) x, y R; llgemein: E(x + x x n ) = E(x )E(x 2 ) E(x n ) x, x 2,..., x n R. 49

50 3. Umordnungen und Produkte von Reihen (2) E(x) > x > 0. (3) E(x) > 0 x R, E( x) = E(x) (4) Aus x < y folgt: E(x) < E(y). (5) E(r) = e r r Q. x R. () E(x)E(y) = ( n=0 x n n! )( c n = n=0 n k=0 y n n! ) 3.4 = c n mit n=0 x k k! y n k (n k)! = n! n k=0 ( n )x k y n k = k (x + y)n. n! (x + y) n = E(x)E(y) = n! n=0 = E(x + y). (2) x > 0 : E(x) = + x + x2 2! +... >. >0 (3) = E(0) = E(x + ( x)) () = E(x)E( x). Wir wissen: E(x) > 0 x > 0. Sei x < 0 = x > 0 = E( x) > 0 = E(x) > 0. (4) Sei x < y = y x > 0 (2) = < E(y x) () = E(y)E( x) (3) = E(y) E(x) = E(x) < E(y). (5) Seien n, m N. E(n) = E( n ml ) () = E() n = e n. e = E() = E(n n ) = E( n ) = E( }{{ n n )n = E( n ) = e n (= n e). } n ml E( m n ) = E( n }{{ n } m ml ) () = E( n )m = (e n ) m = e m n. Also: E(r) = e r r Q mit r 0. Sei r Q und r < 0. Dnn: r > 0 = E( r) = e r (3) = E(r) = e r. Definition (e x ) Hilfsstz 3.6 e x := E(x) (x R). lim n n n! = 0. 50

51 α n = n n!, 0 α n n N, (α n ) ist lso beschränkt. α = lim sup α n. Wegen 9.3 genügt es zu zeigen: α = 0. Annhme: α > 0. Setze x := 2 α ; n = xn n! = n ist konvergent. n n = n x n! = x α n = lim sup n 2.3 n = x α = 2 > == n ist divergent, Widerspruch! Beispiel 3.7 Behuptung: Die Reihen und n=0 ( ) n x 2n (2n)! = x2 2! + x4 4! +... n=0 konvergieren bsolut für lle x R. Definition (Kosinus und Sinus) Nur für die erste Reihe: ( ) n x 2n+ (2n + )! = x x3 3! + x5 5!... cos x := sin x := ( ) n x 2n (2n)! n=0 ( ) n x 2n+ (2n + )! n=0 (x R) (Kosinus) (x R) (Sinus) n := ( ) n x 2n (2n)! = n n = x 2 ((2n)!) n = x (n ) (wegen 2.3). (((2n)!) 2n ) 2 5

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53 4. Potenzreihen Definition (Potenzreihe) Sei ( n ) n=0 eine Folge in R. Eine Reihe der Form n=0 nx n = 0 + x + 2 x heißt eine Potenzreihe (PR). Die Menge {x R : n=0 nx n konvergent} heißt der Konvergenzbereich (KB) der Potenzreihe. Klr: Die Potenzreihe konvergiert für x = 0. Erinnerung: Ist (x n ) eine Folge, die nicht nch oben beschränkt ist und x n 0 n N, so wr lim sup x n =. Vereinbrung: 0 :=, := 0 Stz 4. (Konvergenz von Potenzreihen) n=0 nx n sei eine Potenzreihe, ρ := lim sup n n und r := ρ und r = flls ρ = 0). () Ist r = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für x = 0 (2) Ist r =, so konvergiert die Potenzreihe bsolut x R (lso r = 0, flls ρ = (3) Ist 0 < r <, so konvergiert die Potenzreihe bsolut für x < r und sie divergiert für x > r (Im Flle x = r, lso für x = r und x = r ist keine llgemeine Aussge möglich). Die Zhl r heißt der Konvergenzrdius der Potenzreihe. Der Konvergenzbereich der Potenzreihe ht lso folgende Form: {0}, flls r = 0; R flls r = und ( r, r), ( r, r], [ r, r) oder [ r, r] wenn 0 < r <. () r = 0 = ρ = = n n ist nicht nch oben beschränkt. Sei x R, x 0. ( n n x n ) = ( n n x ) = ( n n x n ) ist nicht nch oben beschränkt = 2.3 n x n divergent. (2) Sei r = = ρ = 0. x R : lim sup n n x n = lim sup n n x = ρ x = 0 < 2.3 = n x n (3) 0 < r <, x R : lim sup n n x n = ρ x = x r < x < r. Behuptung folgt us 2.3. Beispiele: () n=0 xn ( n = n N 0 ) = r = ρ =. x n konvergent x < 53

54 4. Potenzreihen (2) n= xn ( n 2 0 = 0, n = (n )) n n 2 n = ( n (ρ = = r). Die Potenzreihe n) 2 konvergiert bsolut für x <, sie divergiert für x >. x = : konvergent; x = : n= ( ) n n 2 konvergent (Leibniz!) (3) n= xn n, ρ = r =. Die Potenzreihe konvergiert bsolut für x <, sie divergiert für x >. x = : n divergent; x = : ( ) n n konvergent (4) n=0 (n4 + 2n 2 ) x n ; n n 4 + 2n 4 = 3n 4 n N = n n n 3( n n) 4 = := n n n = r = ρ = Die Potenzreihe konvergiert für x < bsolut, sie divergiert für x >. Für x = : n x n = n x n 0 = divergent in x =, x =. (5) n=0 nn x n ; n := n n n n = n = ρ = = r = 0 (6) { n=0 nx n 0 n gerde mit n := n2 n n ungerde. A6 = H ( n n ) = {0, 2} = ρ = 2 = r = 2. Die Potenzreihe konvergiert bsolut für x < 2, sie divergiert für x > 2. Sei x = 2. nx n = n 2 = n flls n ungerde = n n x n 0 = die Potenzreihe divergiert für x = 2. n 2 Die folgenden Potenzreihen hben jeweils den Konvergenzrdius r = : e x = n=0 xn n!, sin x = x2n+ n=0 ( )n (2n+)!, cos x = x2n n=0 ( )n (2n)!, f (x) = n=0 nnx n, flls f(x) = n=0 nx n KR r = ht. Definition cosh x := 2 (ex + e x ) (x R) (Cosinus Hyperbolikus) sinh x := 2 (ex e x ) (x R) (Sinus Hyperbolikus) Nchrechnen: cosh x = n=0 x2n (2n)!, sinh x = n=0 x2n+ (2n+)!(x R) Vereinbrung: Sei R := R { }. Seien, b R und < b. ( r, b + r) := (, ) = R flls r = Sei r, r 2 R und r = oder r 2 =. flls r = = r 2 min{r, r 2 } := r 2 flls r 2 <, r = flls r <, r 2 = r Stz 4.2 (Konvergenzrdien von Cuchyprodukten) n=0 nx n und n=0 b nx n seien Potenzreihen mit den Konvergenzrdien r bzw. r 2. Sei c n := n k=0 kb n k (n N 0 ) und r sei der Konvergenzrdius der Potenzreihe n=0 c nx n. R := min{r, r 2 }. Dnn: R r und für x ( R, R) : n=0 c nx n = ( n=0 nx n )( n=0 b nx n ) Sei x ( R, R) : ( n=0 nx n )( n=0 b nx n ) 3.4 = n=0 d n wobei d n = n k=0 kx k b n k x n k = x n c n = R r und n=0 c nx n = ( n=0 nx n )( n=0 b nx n ). 54

55 Bemerkung: Sei ( n ) n=0 eine Folge und x 0 R. Eine Reihe der Form ( ) n=0 n(x x 0 ) n heißt ebenflls eine Potenzreihe (x 0 heißt Entwicklungspunkt der Potenzreihe). Substitution t := x x 0, dnn erhält mn die Potenzreihe n=0 nt n. Sei r der Konvergenzrdius dieser Potenzreihe. Dnn: ist r = 0, so konvergiert die Potenzreihe in ( ) nur in x = x 0. Ist r =, so konvergiert die Potenzreihe bsolut x R. Ist 0 < r <, so konvergiert die Potenzreihe in ( ) bsolut für x x 0 < r, sie divergiert für x x 0 > r. 55

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57 5. g-dische Entwicklungen Vereinbrung: Stets in diesem Prgrphen: g N, g 2, G := {0,,..., g }. Stz 5. (Konvergenz g-discher Entwicklungen) () Sei (z n ) n eine Folge in G = n= zn g ist konvergent. n (2) Ist m N = g n=m g = n g m () zn g = n zn g n g g n n N. g n= g n ist konvergent 2.2 == Behuptung. (2) g n=m g = g n g + g +... = g m g m+ g ( + m g ) = g g 2 g m g = g m. Definition Sei (z n ) n eine Folge in G und es gelte ( )z n g für unendlich viele n N. Dnn heißt 0, z z 2 z 3... := n= zn g ein g-discher Bruch oder eine g-dische Entwicklung. n Beispiele: () g = 0 (Dezimlentwicklung); 0, = n= 3 0 n = 3. (2) g = 2 (Dulentwicklung); 0, = = 7 8. Bemerkung: () Die Negtion von ( ) lutet: z n = g ff n N. (2) Ist 0, z z 2 z 3... ein g-discher Bruch und existiert ein m N : z n = 0 für n > m, so schreibt mn: 0, z z 2 z 3... z m (3) n= n und n= b n seien konvergent und es gelte n b n n N = n= n n= b n. Gilt zusätzlich n < b n für ein n N, so gilt n= n < n= b n ( in Übung). Stz 5.2 (Eindeutigkeit der g-dischen Entwicklung) Sei = 0, z z 2 z 3... ein g-discher Bruch. () [0, ) (2) Ist 0, w w 2 w 3... eine weitere g-dische Entwicklung von, so gilt z n = w n n N. 57