Kreisbewegungen (und gekrümmte Bewegungen allgemein)

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1 Auf den folgenden Seiten soll anhand de Gleichung fü die Zentipetalbeschleunigung, a = v 2 / 1, dagelegt weden, dass es beim Ekläen physikalische Sachvehalte oftmals veschiedene Wege gibt, die jedoch fühe ode späte zu denselben mathematischen Fomeln fühen. Wi wollen dazu dei Heangehensweisen, die sich in diesem spezifischen Fall anbieten, etwas nähe beleuchten: a Geometische Beweis im Katesischen Koodinatensystem Diese Vaiante wid im Halliday (Kap.4-7 vogestellt, sie soll dahe an diese Stelle nu kuz zusammengefasst weden. Zunächst benötigen wi jedoch ein paa einleitende Wote zum Diffeenzieen von Vektoen: Vektoen sind ja eine spezielle At von mehwetigen Funktionen mehee Vaiablen. Hie betachten wi Vektofelde im engeen Sinne als eine deiwetige Funktion a(x, y, z, die an jedem Punkt im deidimensionalen Raum definiet ist. De Vekto soll sich aussedem im Laufe de Zeit änden können, es ist also a = a(x, y, z, t. (1 Wie leitet man einen Vekto ab? Dazu scheiben wi den Vekto als Lineakombination de katesischen Einheitsvektoen e 1, e 2, e 3 (die dabei übe die Komponenten a x, a y, a z skaliet weden: a = a x e 1 + a y e 2 + a z e 3. (2 Auf diese Fomel können wi nun die Summen- und die Poduktegel anwenden. Wi nehmen aussedem an, dass die Einheitsvektoen fest im Raum stehen und sich nicht bewegen. Fü die Ableitung nach de Zeit t wid also d e i / = 0 und somit a t = a x t e 1 + a y t e 2 + a z t e 3. (3 Wi scheiben patielle Ableitungen 2, weil de Vekto und damit seine Komponenten ja nicht nu von de Zeit, sonden auch vom Ot abhängen. Als spezielles Beispiel betachten wi den Otsvekto und seine Ableitungen: (t = x(t e 1 + y(t e 2 + z(t e 3. (4 E kann zum Beispiel den Ot eines Massenpunktes im Raum bescheiben. Die Ableitung des Otsvektos nach de Zeit egibt die Geschwindigkeit v, zweimaliges Ableiten die Beschleunigung a, deimaliges Ableiten den Ruck b. v(t = d (t a(t = d2 (t 2 b(t = d 3 (t 3 = dx(t e 1 = d2 x(t 2 = d3 x(t 3 + dy(t e 2 + dz(t e 3 (5a e 1 + d2 y(t 2 e 2 + d2 z(t 2 e 3 (5b e 1 + d3 y(t 3 e 2 + d3 z(t 3 e 3 (5c Wi düfen hie nomale Ableitungen scheiben, da diese Gössen jetzt alle nu von de Zeit abhängen! Jetzt können wi zu unseem eigentlichen Vohaben zuückkehen. 1 Das Minuszeichen deutet hie an, dass de Beschleunigungsvekto ins Innee des Keises zeigt; manchmal wid es auch weggelassen. 2 Patielle Ableitungen weden im Halliday in Kap.3-9 bespochen. 1

2 Anwendung auf die ebene Keisbewegung: y p y p ϑ x x p y v ϑ v y v x x Betachtet wid ein Massenpunkt p, de sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetag v entlang eine Keisbahn mit Radius bewegt. Zum dagestellten Zeitpunkt besitzt p die Koodinaten x p und y p. v lässt sich mithilfe des aufgelegten Koodinatensystems scheiben als v = v x e x +v y e y = ( v sin(ϑ ( ( e x + v cos(ϑ e y = v y ( p e x + v x p e y. (6 (Zwischenschitte: Vegleiche die Skizzen links. Ableiten nach de Zeit egibt: a = d v ( = v = dy ( p v e x + ( v2 cos(ϑ e x + dx ( p e y = v ( v v x e x + v y e y ( v 2 sin(ϑ e y, (7 Die gewonnenen Klammeausdücke abe sind nichts andees als die x- und die y-komponente von a. Und so ehalten wi: a = a 2 x + a 2 y = v2 ( cos(ϑ 2 + sin(ϑ 2 = v2. (8 (Dass a zum Keismittelpunkt hinzeigt, kann hie zuletzt noch übe Winkelvegleiche ewiesen weden. Wenden wi uns de zweiten Vaiante zu: b Vektoanalytische Betachtung Es sei wiede = (t = konst. (t hingegen ist natülich nicht konstant de Ostvekto deht sich im Keise heum, e ändet ständig seine Richtung. Dasselbe gilt fü v(t = d /. Wi beechnen voest = 2 = konst Gleichzeitig gilt auch die Podukteegel wi haben also: d 2 = 0. 0 = d2 = d d + = 2 v (Die Punkte stehen hie imme fü das Skalapodukt. Damit haben wi bewiesen, dass v steht, wie in de Skizze dagestellt. v(t (t 2

3 Wie goss ist die Beschleunigung a = d v/? Wi betachten voest den Fall, dass de Betag de Geschwindigkeit (die Schnelligkeit konstant ist, also und wenden den analogen Tick wie oben an: v = v(t = konst, v v = v 2 = konst Wiede ehalten wi duch Beiziehen de Podukteegel dv 2 = 0. 0 = dv2 = d v d v v + v = 2 a v. Offenba gilt a v. Da wi uns in de Ebene bewegen, müssen a und demzufolge entwede paallel ode antipaallel zueinande sein. Wi beechnen nach de Poduktegel 0 = d( v Dividieen duch und Umsotieen egibt = d v d + v = a + v2. a = v2. Das Skalapodukt a gibt die Komponente von a in Richtung an. Wi wissen abe schon, dass a und in die gleiche Richtung zeigen, also ist a = a. Wi multiplizieen obige Beziehung von echts mit und ehalten: a = v2. (9 Die Beschleunigung zeigt also gegen den Mittelpunkt des Keises (!, man nennt sie auch Zentipetalbeschleunigung. Ih Betag bestätigt unsee Ewatung: v 2 / (vgl. oben. Um uns nicht immewähend im Keis zu dehen, wagen wi an diese Stelle einen Ausblick auf Beliebige Kuven im Raum: Eine Bewegung mit vaiable Geschwindigkeit entlang eine beliebigen Kuve im Raum wid oft ebenfalls mithilfe obige Mittel beschieben. Als Estes fühen wi einen Einheitsvekto u ein, de in jedem Punkt tangential zu Bahn liegt: v = v u. u ist also zeitabhängig und läuft auf de Bahn mit. Dann egibt sich als Beschleunigung u u(t dϕ d u 3 u(t + v a = d v = d dv d u (v u = u + v. (10 Da u v steht, stellt de este Tem die Tangentialbeschleunigung a tang = u da. Da u ein Einheitsvekto ist, gilt u u = 1 dv und d d u u u = 2 u = 0, d.h. fü d u 0 ist d u u. Als Einheitsvekto kann u nu seine Richtung, nicht abe seinen Betag änden. Die duch d u definiete Richtung nennen wi die Hauptnomale de Kuve und legen sie duch den Einheitsvekto n fest: n d u. Wenn die Zeit um fotscheitet, hat sich u um den Winkel dϕ gedeht. Es ist also ϕ u = d u bzw. d u = dϕ n, im Genzfall infinitesimal kleine Winkel dϕ. Somit identifizieen wi v d u (den zweiten Tem in Gl.(10 fü a als die Nomalbeschleunigung a nom = v dϕ n. 3

4 (t u(t (t+ n(t d d M u(t+ n(t+ Die duch u und n aufgespannte Ebene heisst Schmiegungsebene. Vefolgt man nun einen Massenpunkt auf seine beliebig gekümmten Bahn, dann kann man jeweils an den Punkt, in dem sich de Massenpunkt geade befindet, einen Keis mit Radius ρ legen degestalt, dass die Kümmung de Kuve an diese Stelle geade mit dejenigen des Keises übeeinstimmt. Diese so genannte Kümmungskeis liegt imme in de Schmiegungsebene und ist duch dei seh nahe benachbate Punkte bestimmt, deen Abstand gegen 0 stebt. Mittels des Kümmungsadius ρ wid d = ρ dϕ und dϕ = d u und somit P 1 P 2 P 3 M a nom = v d u Zusammenfassung: v = v u, = v dϕ = v 1 d = v2 ρ ρ. (11 a = dv v2 u + ρ n = a tang u + a nom n (Hiebei wude kein Koodinatensystem spezifiziet! Es gilt also ganz allgemein, dass ein Massenpunkt auf gekümmte Bahn in Richtung de konkaven Seite eine Nomalbeschleunigung (hin zum Mittelpunkt des Kümmungskeises efäht. Somit haben wi hie eine Zentipetalbeschleunigung a nom, die exakt den gleichen Wet annnimmt wie jene de einfachen Keisbewegung. Mit diesem Wissen gehen wi zu ditten und letzten Betachtung übe: c Einbezug von Polakoodinaten e ϕ(t Unse Massenpunkt wid diesmal duch die Koodinaten und e ϕ(t+ e (t+ e(t ϕ festgelegt. Wi fühen wiedeum zwei zeitabhängige Einheitsvektoen ein: e in Richtung wachsende und e ϕ in dϕ (t+ (t ϕ(t+ Richtung wachsende ϕ. Dann ist zunächst = e. Als Einheitsvektoen können e ϕ und e nu ihe Richtungen änden, ϕ(t ϕ=0 0 nicht abe ihen Betag. Analog zu den voangehenden Betachtungen folgt: d e e, d e ϕ e ϕ, beziehungsweise: d e = dϕ e ϕ Das Minuszeichen titt auf, weil d e ϕ antipaallel zu geichtet ist. und d e ϕ = dϕ e. (12 e (t+ dϕ e (t d e = e dϕ d e Mit (12 ehält man v und a duch einfaches Diffeenzieen von = e : v = d = d e + d e = ( d e + ( dϕ eϕ =: v e + v ϕ e ϕ., ode in Komponenten: v = d, v ϕ = dϕ (13 a = d v ( = d d e + d2 e 2 + d2 ϕ 2 + d dϕ e ϕ + dϕ d e ϕ = [ d 2 2 Fü die Beschleunigung gilt: ( 2 ] e dϕ + [ d2 ϕ +2 d 2 ] dϕ eϕ =: a e + a ϕ e ϕ. 4

5 Wi haben also als Beschleunigungs-Komponenten: a = [ d 2 2 ( dϕ ] [ 2, a ϕ = d2 ϕ 2 + 2d Die zu Zwischenechnung eingefühten Einheitvektoen e und e ϕ gehen natülich in das Endegebnis nicht ein, sonden nu die Polakoodinaten und ϕ sowie die Zeit t. Speziell fü eine Keisbahn ( = konst =: R ehält man: a ϕ v ϕ a R ω = dϕ Dies bedeutet jedoch nichts andees, als dass dϕ ] v = 0, v ϕ = R dϕ ( dϕ 2 ( = v und a vϕ 2 v 2 = R = R = R R, a ϕ = R d2 ϕ 2. dω ist die Winkelgeschwindigkeit, = d2 ϕ 2 (14 die Winkelbeschleunigung. a = v2 R = ω2 R die Bedingung fü eine Keisbewegung Unte de (in Teil a und b getoffenen Annahme konstante Schnelligkeit bzw. Winkelgeschwindigkeit wid a ϕ null, und a kann dann mit a gleichgesetzt weden, was uns wiede die altbekannte Fomel gibt. Die nun so ausfühlich diskutiete Zentipetalbeschleunigung kann übigens ezeugt weden z.b. duch die Fadenkaft eine otieenden Masse, duch die Loentzkaft eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld ode die Gavitationskaft bei de Bewegung de Ede um die Sonne. Diese Käfte übenehmen dabei jeweils die Rolle de sogenannten Zentipetalkaft F z = m a = m ω 2 R, die fü sich genommen keine eal existieende Kaft, sonden bloss die geometische Bedingung fü eine Keisbahn mit = konst ist. Zum Schluss ein paa egänzende Bemekungen zu eben aufgetauchten ist. Winkelgeschwindigkeit (als Vekto Wi haben beeits gesehen: T := 2π ω 0 ϕ = d2 ϕ 2 ϕ = dϕ =: ω = dω ist die Winkelgeschwindigkeit = ω =: β die Winkelbeschleunigung ist die Umlaufzeit (nu fü ω = ω 0 = konst und ν := 1 T = ω0 2π [ ] 1, s [ ] 1 s 2. die Fequenz (ode Umlaufzahl. Man beachte, dass im Umgang mit diesen Gössen jeweils mit dem Bogenmass geechnet weden muss: Eine volle Umdehung entspicht 2π. Die Einheit von ω ist 1/Sekunde. Eine Winkelgeschwindigkeit von ω = 6.28 s 1 entspicht also geade eine Umdehung po Sekunde! Man nennt ω deshalb auch die Keisfequenz, im Gegensatz zu (Deh- Fequenz ν. R v In diese Definition ist ω zunächst nu als ein Skala gegeben. Mit v = R dϕ = Rω kann abe aus de Winkelgeschwindigkeit die Geschwindigkeit beechnet weden. Damit muss ω ebenfalls Vektochaakte besitzen, abhängig von v und. Fü eine Keisbahn mit R = konst ist v R, ω R und ω v ( ω steht also senkecht auf de Ebene de Keisbewegung. 5

6 Bei eine allgemeinenen ebenen Bewegung steht R nicht senkecht zu ω; ω ist dann nicht konstant im Betag. Mit dem Einheitsvekto e in de Dehachse ist ω(t = ω(t e = dϕ e. ω ist ein axiale Vekto ode Pseudovekto, de duch seinen Dehsinn und nicht duch eine Richtung ausgezeichnet ist, wähend und v als polae Vektoen eine Richtung angeben. Fü die Betäge gilt R = sin ϑ und v = sin ϑ ω = ω, v = ω, (15 wobei das Vektopodukt hie zunächst fomal benutzt wude. Obwohl ω einen Dehsinn kennzeichnet, kann in de Konvention eine echtsdehenden Kokenzieheegel auch eine Richtung festgelegt weden. 3 Mit dem Zusammenhang v = ω gilt fü die Beschleunigung: Def: Rechtsschaube a = v = und fü die Nomalkomponente de Beschleunigung: ω }{{} + ω = a }{{} tang + a nom (16 tangential nomal a nom = a nom e R = ω = ω v = ω ( ω. (17 3 Hinweis: Es gilt in den mathematischen Podukten von polaen Vektoen P und axialen Vektoen A: P P = A, A P = P, A A = A Füht man an den beiden Vektotypen eine Paitätsopeation P, d.h. eine Spiegelung am Uspung, duch, so gilt: P P = P und P A = + A, z.b. fü den Otsvekto P =. Die beiden Vektotypen untescheiden sich also in ihe Symmetie gegenübe dem Paitätsopeato. z x y =P 6