Titel: Fouriertransformation. Titel-Kürzel: FT. Autoren: Ulrich Gysel, gys, Niklaus Schmid, sni; Koautoren: G. Lekkas Version-v2.0: 31.

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1 Titel: Titel-Kürzel: FT Autoren: Ulrich Gysel, gys, Niklaus Schmid, sni; Koautoren: G. Lekkas Version-v2.: 3. Oktober 25

2 Lernziele: Sie wissen, warum bei aperiodischen Signalen nicht mehr mit der Fourierreihe, sondern nur noch mit der gearbeitet werden kann und können das Resultat der Transformation, die Dichtespektren, interpretieren. Sie können die bei einfachen, mathematisch beschreibbaren Funktionen berechnen und die zugehörigen Spektren grafisch darstellen. Sie kennen die wichtigsten Symmetriebeziehungen, einige Hilfssätze zur und wichtige Spezialfälle, die Sie alle praktisch anwenden können. Vorraussetzungen: Sie benötigen zum Verständnis dieses Kapitels die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung den Umgang mit komplexen Zahlen solide Kenntnisse der Fourierreihen.. Einleitung Im letzten Kapitel über die Fourierreihen haben wir gesehen, wie eine periodische Funktion oder ein periodisches Signal in seine Spektralanteile zerlegt werden kann. Periodische Signale treten zwar häufig auf, wie wir im ersten Kapitel über die Signalformen an einigen Beispielen gezeigt haben. Die interessanteren Signale sind aber nichtperiodisch oder aperiodisch. Ein konstanter Ton macht noch kein interessantes Musikstück aus. Erst die Abfolge verschiedenster Klänge, von denen wir möglichst nicht wissen, wie sie weitergehen, macht Musik besonders oder neu. Wir haben es in der Praxis also sehr häufig mit aperiodischen Signalen zu tun. Die Frage ist nun, ob wir die Spektralanalyse für periodische Signale, also die Theorie der Fourierreihen, auf aperiodische Signale ausdehnen können. Dies ist tatsächlich möglich. Wir werden den Weg dazu an einem periodischen Signal aufzeigen, dessen Periodendauer wir laufend vergrössern, bis sie unendlich gross wird. Als Ergebnis erhalten wir die sog.. Man spricht von periodischen Signalen, wenn die Signalverläufe sich wiederholen, und zwar mit dem gleichen Muster, d.h. x(t) = x(t+τ). Im Gegensatz dazu nennt man ein Signal aperiodisch, wenn keine Wiederholung vorhanden ist, also die Periodendauer T resp. die Grundkreisfrequenz 2π / T = ω strebt. Wir wollen nun untersuchen, wie sich das Ausdehnen der Periodendauer, im Extremfall bis unendlich, auf die komplexe Fourierreihe auswirkt. Dazu betrachten wir zuerst ein konkretes Beispiel und werden dann das Ergebnis auch mathematisch "absegnen". 2

3 Gegeben sei die Impulsfolge von Fig. mit den Eigenschaften: Impulshöhe A = 2, Impulsdauer Τ =.2 s, Periodendauer T = s und damit der Grundfrequenz f =/T = Hz. Fig. Periodische Impulsfolge Von dieser Signalform haben wir im Kapitel FR die Koeffizienten der komplexen Fourierreihe berechnet: c k = AT T sin kπ T T kπ T T = AT T T sin kω 2 T kω 2 für alle k () Wenn wir den Absolutbetrag der Koeffizienten, also c k ergibt sich das Spektrum von Fig. 2., über der Frequenzachse auftragen, so Fig. 2 Spektrum der Impulsfolge von Fig. (nur positive Frequenzachse gezeichnet) Nun verdoppeln wir die Periodendauer unseres Signals ohne die Impulsdauer T zu verändern (Fig. 3). Diese Figur zeigt uns, dass die Amplituden und die Frequenzlagen des neuen Spektrums halbiert werden. Dieses Ergebnis wird untermauert durch Gl. (). Darin steht die Periodendauer T sowohl bei der Amplitude als auch bei der Frequenzlage im Nenner. Eine weitere Periodenverdoppelung betont die Tendenz noch stärker. Der Linienabstand wird nochmals halbiert auf.25 Hz und die Höhe der Linien ebenfalls (. bei f = ). Wenn wir die Periodendauer noch weiter vergrössern, so werden die Linien immer kleiner und der Abstand zwischen den einzelnen Linien immer enger, bis für T ein Kontinuum (Abstand ω ) von unendlich kleinen Linien, also "ein Strich auf der Frequenzachse", übrig bleibt. 3

4 Fig. 3 a) Impulsfolge von Fig., jedoch mit verdoppelter Periodendauer und b) zugehöriges Spektrum (wieder nur für positive Frequenzen gezeichnet) Das gleiche können wir auch mathematisch mit der allgemeinen Formel für die komplexen Fourierkoeffizienten erhalten. Die Höhe der einzelnen Spektrallinien ist lim { c k } = lim + T 2 ω ω T x(t) e jkωt dt (2) T 2 Bei Signalen mit endlicher Energie, also bei Energiesignalen, geht T im Nenner des Integrals von Gl. (2) rascher gegen als die Amplituden-Zeitfläche des Signals, also geht c k. Das Linienspektrum aller erzeugbaren (energiebegrenzten) aperiodischen Signale besteht somit aus einer Geraden auf der Frequenzachse, die für alle Signale identisch ist und so nichts aussagt. Für diese Signalformen ist daher eine andere Darstellung im Spektralbereich als die Fourierreihen nötig (statt Spektralbereich spricht man oft auch vom Frequenzbereich). Das obige Zahlenbeispiel zeigt, dass das "Zusammenschieben" der Frequenzlinien an und für sich nicht schädlich ist - die Information der Impulsform bleibt in Form der Linienumhüllenden erhalten (so auch die Nulldurchgänge bei 5 Hz, Hz etc.) - wohl aber das "Schwinden" der Linienhöhen. Diese Beobachtung hat Fourier veranlasst, für Energiesignale, also für Funktionsverläufe, deren Amplitude-Zeit-Fläche endlich ist, einen modifizierten Ansatz zu wählen, den wir im nächsten Abschnitt zeigen wollen. 4

5 2. Die und das komplexe Dichtespektrum Fourier hat für Energiesignale x(t) den folgenden Ansatz zur Berechnung des Spektrums gewählt: F { x(t) } = X(ω ) = 2π lim c k (3) T ω { } oder dann X(ω ) die Fouriertransformierte von x(t). Wenn Dabei bezeichnet entweder F x(t) in diesem Ansatz ω mit der Periodendauer T ausgedrückt wird, also ω = 2 π / T gesetzt wird, ist die Wirkung dieses Ansatzes besser sichtbar: X(ω ) = 2π lim c k = 2π lim c k T ω T 2 π T = lim(t c k ) (4) T Damit verschwinden die Amplitudenwerte Tc k beim Grenzübergang T nicht mehr. Setzt man in den Ansatz von Gl. (4) das Integral für die Berechnung der c k -Koeffizienten Gl. (2) ein, so ergibt dies: X(ω ) = 2π lim c k = 2π lim T ω T Tω T 2 T 2 x(t) e jkω t dt Beim Grenzübergang ω wird aus den diskreten kω -Werten die kontinuierliche ω - Variable. Zudem lässt sich das Produkt T ω kürzer schreiben als T ω = T 2π T = 2π Damit vereinfacht sich die Formel stark und wir erhalten die sog. F { x(t) } = X(ω ) = x(t) e jω t dt (5) Wie schon bei den Fourierreihen müssen wir die Bedingungen für die Existenz des Fourierintegrals untersuchen. Wir beschränken uns auf die Angabe der notwendigen Bedingungen ohne Beweise (sie stammen wiederum von Dirichlet): ) x(t) hat eine endliche Anzahl Minima und Maxima innerhalb eines endlichen Zeitintervalls Die Schreibweise F x(t ) { } für die Fouriertransformierte ist eindeutig und daher immer dann zu wählen, wenn Verwechslungsgefahr mit der kürzeren Schreibweise X(ω) besteht. 5

6 2) x(t) hat eine endliche Anzahl Diskontinuitäten innerhalb eines endlichen Zeitintervalls und 3) x(t) ist absolut integrierbar, d.h. x(t) dt < Die Fouriertransformierte ist im Allgemeinen komplex, wie man aus der Definitionsgleichung (5) erkennt. Welche Dimension hat die Fouriertransformierte X(ω)? Schauen wir uns dazu nochmals Gl. (4) an: X(ω ) = 2π lim c k = lim c k T ω T f Handelt es sich z.b. bei x(t) um ein Spannungssignal u(t), so folgt daraus: [ F { u(t) } ] = V Hz =V s. Man spricht bei der Fouriertransformierten auch von einer spektralen Dichte oder einem Dichtespektrum, bei einem Spannungssignal also von einer spektralen Spannungsdichte. Wir werden später eine anschauliche Erklärung für diese im Moment möglicherweise schwierig verständliche Grösse geben. 2. Inverse So wie wir für aperiodische Signale von den Fourierkoeffizienten zur Fouriertransformierten gelangt sind, indem wir T laufen liessen, kann auch der Rückweg vom Frequenz- in den Zeitbereich als Grenzübergang für ω der Fourierreihen erfolgen, wie wir im Folgenden zeigen werden. Wenn wir die Definition der komplexen Fourierreihe: x(t) = c k e jkω t auf ein Dichtespektrum anwenden, also dessen spezielle Eigenschaft ω berücksichtigen, so erhalten wir die angepasste Definition: x(t) = lim ω k = c k e jkω t. Um die Fouriertransformierte X(ω ) unserer Zeitfunktion x(t) in diese Definition einbauen zu können, erweitern wir obige Summe mit 2π ω : k = x(t) = lim ω k = c k e jkωt 2π 2π ω = ω k = 2π limω e jkω t { ω } 2π ω lim c k ω X (ω ) Nun können wir den Formelteil 2π lim c k = 2π lim c k ω ω T ω also die Fouriertransformierte von x(t) einsetzen: gemäss Gl. (3) durch X(ω ) ersetzen, 6

7 x(t) = k = 2π X(ω ) lim ω e jkω t ω { } (6) Wir machen den Grenzübergang ω. Dabei wird aus ω dω und aus kω ω. Weiter geht die Summe in ein Integral über. Schliesslich erhalten wir die Inverse oder Fourier-Rücktransformation x(t) = 2π X(ω ) e jω t dω (7) Mit der Gl. (7) haben wir eine geschlossene Formel für den Übergang vom Frequenz- oder Spektralbereich in den Zeitbereich gefunden, ohne dass wir den Umweg über das komplexe Linienspektrum in Anspruch nehmen müssen. Hin- wie Rücktransformation der lassen sich auf zwei Arten schreiben, einmal mit der Kreisfrequenz ω als Variable, das andere Mal mit der Frequenz f als Variable. Kreisfrequenz ω als Variable Frequenz f als Variable X(ω ) F { x(t) } = x(t) e jω t dt x(t) F - { X(ω )} = X( f ) F x(t) x(t) F - X( f ) 2π X(ω ) e jω t dω { } = x(t) e j2 π f t dt { } = X( f ) e j2 π ft df (8) (9) Achtung: Je nach Literatur wird ein eventueller Faktor vor dem Integral verschieden verwendet, d.h. die Frequenzbereiche haben unterschiedliche Amplituden. 2.2 Darstellungsarten der Fouriertransformierten Wie bereist erwähnt, ist die Fouriertransformierte eines aperiodischen Signals immer eine komplexe Funktion. Analog zur komplexen Darstellung der Fourierreihen kommen auch hier Frequenzen von - bis vor. Zur Darstellung von X(ω) kann man diese aufteilen in Betrag und Phase oder in Real- und Imaginärteil. Wir schreiben X(ω ) = X(ω ) e jϕ x { } + jim { X(ω ) } () = Re X(ω ) mit X(ω ) = Betrag und ϕ x = Phase von X(ω) 7

8 sowie Re X(ω ) { } = Realteil und Im{ X(ω )} = Imaginärteil der Fouriertransformierten. Beim Betrag X(ω ) spricht man auch vom Amplitudendichtespektrum und bei der Phase ϕ x vom Phasendichtespektrum. Mit Hilfe der Eulerschen Beziehung können wir auch schreiben: X(ω ) = x(t) e jω t dt = x(t) [ cos(ωt) jsin(ωt) ]dt = x(t)cos(ωt) dt j x(t) sin(ωt)dt Für reelle x(t) folgt daraus: Re X(ω ) { } = x(t)cos(ωt) dt Im X(ω ) { } = x(t) sin(ωt)dt Wie bei allen komplexen Zahlen kann man zwischen der Darstellung mit Real- und Imaginärteil und der Polardarstellung wechseln. So gilt für den Übergang von der rechtwinkligen zur Polardarstellung: X(ω ) = Re{ X(ω )} 2 + Im{ X(ω )} 2 { } { } Im X(ω ) ϕ x (ω ) = arctan Re X(ω ) Für reelle Funktionen x(t) folgt aus der Definitionsgleichung für die Fouriertransformierte Gl. (8) der wichtige Zusammenhang: () (2) X( ω ) = X * (ω ) (3) Daraus folgt auch: der Realteil und der Betrag von X(ω) sind gerade Funktionen der Imaginärteil und die Phase von X(ω) sind ungerade Funktionen Aus Gl. () folgt weiter noch in gleicher Weise wie bei den Fourierreihen: für gerade Funktionen x(t) ist das Spektrum rein reell, für ungerade Funktionen ist das Spektrum rein imaginär Wer diese Zusammenhänge im Kopf behält, spart sich bei Berechnungen viel Zeit. Zur Interpretation von Spektren greift man natürlich wieder zu grafischen Darstellungen. Meist benützt man dazu die Aufteilung nach Betrag und Phase. Es wird immer die zweiseitige Darstellung der Spektren verwendet. Wir zeigen an zwei Beispielen die Berechnung der Fouriertransformierten und ihre Darstellung. Beispiel Rechteckimpuls Wir berechnen und skizzieren das Spektrum des einzelnen Rechteckimpulses von Fig. 4 und vergleichen das Spektrum mit jenem der periodischen Impulsfolge von Fig.. 8

9 Fig. 4 Einzelner symmetrischer Reckteck-Spannungsimpuls der Breite T Den Spannungsimpuls beschreiben wir mit u (t) = U u (t) = für alle andern t. Dies setzen wir ein in Gl. (8): U (ω ) = = +T / 2 U e jω t dt = U jω e jω T / 2 e + jω T / 2 T / 2 ( ) U ω / 2 sin(ω T /2) = U T sin(ω T /2) ωt / 2 für T / 2 t T / 2 und (4) Dieses Ergebnis ist rein reell, da u(t) eine gerade Funktion ist (wie schon bei den Fourierreihen). Das Amplitudendichtespektrum hat einen Frequenzverlauf gemäss der Funktion sin(ω T /2) ωt / 2 = sin(πft ) πft (5), die man gerne auch als sin(x) -Funktion bezeichnet. Da diese Funktion gerade bei Spektren x sehr häufig vorkommt, wird sie abgekürzt für das Argument x auch mit sin(x) = sinc(x) bezeichnet. Für x = ist der Wert von sinc(x) unbestimmt und muss über die Regel von x d'hospital bestimmt werden: Er ist. Damit wird der Wert des Amplitudendichtespektrums bei f = gerade U T, was exakt dem Flächeninhalt des Impulses entspricht. Ein kurzer Blick auf die Definitionsgleichung der Gl. (8) zeigt, dass diese Regel allgemein gilt. In Fig. 5 ist das Amplituden- und Phasendichtespektrum des Einzelimpulses als Funktion der Frequenz f dargestellt. Ein Vergleich mit Fig. 2 und Fig. 3b zeigt, dass das Dichtespektrum des Einzelimpulses genau der Umhüllenden der periodischen Impulsfolgen entspricht. Das Spektrum wird ein erstes Mal null für f T = /T und dann für alle Vielfache von f T. In dieser Darstellung erkennt man deutlich, dass das Amplitudendichtespektrum eine gerade, das Phasendichtespektrum hingegen eine ungerade Funktion ist. Da in diesem Fall das Zeitsignal rein reell und gerade ist, wird auch die Fouriertransformierte rein reell. Dies erkennt man an der Phase, die nur zwischen und 8 hin und her springt. Es findet also nur ein Vorzeichenwechsel statt. Diesen Spezialfall des rein reellen (oder rein imaginären) Spektrums stellt man oft auch in einer einzigen reellen Darstellung dar (Fig. 6). 9

10 Fig. 5 a) Amplituden- und b) Phasendichtespektrum des Rechteckimpulses von Fig. 4 2 Fig. 6 Alternative Darstellung des reellen Spektrums des Rechteckimpulses von Fig. 4 Anmerkung: Ausgehend von diesem Beispiel ist es sinnvoll, nochmals einen Vergleich von aperiodischen und periodischen Signalen und ihren Transformierten zu machen. Zu Beginn dieses Kapitels haben wir die aus den Fourierreihen hergeleitet. Nun kehren wir nochmals zur periodischen Impulsfolge von Fig. zurück. Diese Folge hat die FR Gl. (): c k = AT T T sin kω 2 T kω 2 Wir setzen A = U und vergleichen diese Gleichung mit Gl. (4). Dabei wird offensichtlich, dass die Koeffizienten c k, mit Ausnahme eines Faktors /T, als Werte aus dem Dichtespektrum an den Stellen ω = k ω abgelesen werden können. Der Faktor /T folgt aus dem inversen Faktor T, den wir zur Berechnung der Fouriertransformierten aus den c k in Gl. (4) eingeführt haben. 2 In diesem Spezialfall könnte man +π und π vertauschen. Ebenso wäre es noch korrekt, wenn wir alle von abweichenden Phasen mit +π oder π zeichnen würden. Allerdings würde man dann den ungeraden Charakter des Phasendichtespektrums nicht mehr sehen.

11 Diese Aussage gilt nicht nur für den Rechteckimpuls, sondern allgemein. Wir können daher folgende Aussage machen: Kennen wir die Fouriertransformierte eines Einzelimpulses, so erhalten wir die Fourierkoeffizienten der periodischen Wiederholung des Einzelimpulses mit der Periodendauer T, indem wir die Fouriertransformierte X(ω ) an den Stellen ω = k 2π/T = k ω abtasten und mit dem Faktor /T multiplizieren. Wie wir später sehen werden, berechnet man heute Spektren mit dem Computer. Alle Computerroutinen berechnen das komplexe Linienspektrum. Daraus könnte man schliessen, die sei überflüssig geworden. Was immer man mit dem Computer berechnet, es muss auch interpretiert werden. Man muss überprüfen, ob das Ergebnis einen Sinn macht. Es ist daher sehr wichtig, dass man bereits vor der Berechnung eine Idee hat, welches Resultat man zu erwarten hat. Hierfür ist die besser geeignet als die Fourierreihe. Beispiel 2 Exponentiell abklingender Impuls In diesem Beispiel nehmen wir eine für t exponentiell abklingende Funktion (Fig. 7), die mit der Sprungfunktion ε(t) wie folgt beschrieben werden kann: x(t) = ε(t) A e -t /τ. Fig. 7 Exponentiell abklingende Funktion Die dieser Funktion ergibt: e X(ω ) = A e t /τ e jω t dt = A t /τ jω t e t /τ jω t dt = A = / τ jω A / τ + jω Daraus bestimmt man nach Gl. (2) das Amplituden- und Phasendichtespektrum: X(ω ) = A bzw. X( f ) = ( / τ ) 2 + ω 2 A ( / τ ) 2 + (2π f ) 2 ϕ x (ω ) = arctan(ωτ ) bzw. ϕ x (f ) = arctan(2πfτ ) In Fig. 8 ist das zugehörige Amplituden- und Phasendichtespektrum dargestellt. Beide sind hier nicht trivial, da die gewählte Funktion x(t) nicht symmetrisch ist. Man beachte wiederum X() = A τ, was der Fläche unter der Funktion x(t) entspricht.

12 Fig. 8 Dichtespektrum der Zeitfunktion von Fig. 7 Was bedeuten nun diese Spektren wirklich? Bei den Fourierreihen war die Antwort auf diese Frage relativ einfach. Wir konnten das Zeitsignal aus der Summe der einzelnen Spektrallinien, also als Summe von harmonischen Schwingungen wieder zusammensetzen. Bei den aperiodischen Signalen kommen nun nicht nur einzelne Spektrallinien vor, sondern alle Frequenzen von null bis unendlich. Dafür sind ihre Spektralanteile infinitesimal klein. Jede einzelne Kreisfrequenz ω trägt gemäss Gl. (8) den infinitesimalen Beitrag [ X(ω ) / (2π)] e jωt dω zur Rekonstruktion von x(t) bei. Es ist nicht ganz einfach und einsichtig, die Dichtespektren zu verstehen. Wir machen hier einen Vergleich mit der aus der Elektrotechnik bekannten Stromdichte. Letztere ist definiert als Strom pro Flächeneinheit. Ist die Stromdichte in einem Leiterquerschnitt konstant, so erhält man den Strom im Leiter als Produkt von Stromdichte x Querschnittsfläche. Bei einer nicht konstanten Stromdichte findet man den Gesamtstrom als Integral der Stromdichte über den Querschnitt. Zu unserer spektralen Dichte gibt es eine elektrische Analogie. Dazu denken wir uns einen Bandleiter, dessen Dicke d sehr klein ist gegenüber der Breite b (Fig. 9). In einem solchen Bandleiter kann man eine örtlich eindimensionale Stromdichte pro Einheit der Breite angeben, J(x). Der Strom in unterschiedlich breiten Leitern findet man für eine konstante Stromdichte als Produkt von (eindimensionaler) Stromdichte x Leiterbreite b. Ist hingegen die Stromdichte über die Leiterbreite nicht konstant, z.b. infolge örtlich unterschiedlicher Leitfähigkeit, so bildet man für den Gesamtstrom I das Integral der Stromdichte über die Breite des Leiters, I = J(x) dx. Nun muss man in diesem Beispiel nur die Variable "Breite" durch die Variable "Frequenz" ersetzen, die endlichen Grenzen durch - und, und man hat genau den Fall der Fourier- Rücktransformation vorliegen. b 2

13 Fig. 9 Elektrische Analogie zur spektralen Dichte mit der eindimensionalen Stromdichte in einem Bandleiter An dieser Stelle wird auch verständlich, warum die Dimension der Fouriertransformierten eines Zeitsignals immer den Faktor /Hz enthält. Ist beispielsweise x(t) ein Strom, dann hat das Spektrum die Dimension [ X( f )] = A/Hz, es handelt sich also um ein Stromdichtespektrum. Erst die infinitesimalen Beiträge X( f ) e j2 πft df erhalten dank dem Faktor df wieder die Dimension eines Stromes. 3. Eigenschaften der In diesem Abschnitt zeigen wir einige wichtige Eigenschaften der. Dabei gehen wir immer von einer Zeitfunktion x(t) aus, welche die Transformierte F { x(t) } = X(ω) besitze. Man spricht auch von einem Transformationspaar und bezeichnet dieses mit x(t) X(ω) 3. Linearität Die ist eine lineare Operation. Daraus folgt der Überlagerungssatz: F { a x (t) + b x 2 (t)} = a F x (t) { } + b F { x 2 (t)} (6) Der Beweis ist einfach und kann als Aufgabe selber durchgeführt werden. 3.2 Zeitliche Verschiebung von x(t) Kennt man das spaar x(t) F { x(t) }, so findet man die Transformierte der um die Zeit τ verschobenen Funktion x(t-τ) zu F { x(t τ )} = F { x(t) }e jωτ = X(ω ) e jωτ (7) 3

14 Man spricht wieder vom Verschiebungssatz ganz analog zum gleich benannten Satz bei den Fourierreihen. Dem entsprechend verläuft auch der Beweis in der gleichen Art. Beispiel 3 Verschobener Rechteckimpuls Wir nehmen den symmetrischen Rechteckimpuls vonfig. 4, dessen Spektrum wir im Beispiel berechnet haben, und bestimmen mit Hilfe des Verschiebungssatzes das Spektrum des verschobenen Impulses u 2 (t) mit der positiven Flanke bei t =. Die Verschiebung beträgt also τ = T /2 (Fig. ). u 2 (t) = u (t T / 2) U 2 (ω ) = U (ω ) e jωt / 2 Fig. Rechteckimpuls mit positiver Flanke bei t = Das Spektrum findet man mit Gl. (4) und (7) zu sin(ω T U 2 (ω ) = U T /2) sin(π ft e jω T /2 bzw. U 2 ( f ) = U T ) e jπ ft ω T /2 π ft (8) Das Amplitudendichtespektrum wird durch die zeitliche Verschiebung nicht verändert. Das Phasendichtespektrum hingegen erfährt eine proportional mit f zunehmende negative Phasenverschiebung (Fig. ). Wiederum hebt sich hier sehr schön das ungerade Phasendichtespektrum vom geraden Amplitudendichtespektrum ab. Fig. Spektrum des verschobenen Rechteckimpulses von Fig., a) Amplitudendichtespektrum und b) Phasendichtespektrum 4

15 3.3 Zeitliche Spiegelung von x(t) * Wenn wir die Zeitachse von x(t) umkehren, also zum Signal x(-t) übergehen, dann erhalten wir die Fouriertransformierte von x(-t) zu F { x( t) } = X( ω ) = X * (ω ) (9) Den Beweis dazu führt man durch Einsetzen von x(-t) in die Definitionsgleichung der. Wir überlassen diesen dem Leser als Aufgabe. 3.4 Multiplikation von x(t) mit einer komplexen Exponentialfunktion * Gesucht wird die Fouriertransformierte von x(t) e jωt, wobei immer noch das Transformationspaar x(t) X(ω) gelte. Wir setzen die zu transformierende Funktion in Gl. (9) ein und erhalten: F x(t) e jω t { } = x(t) e j(ω ω ) t dt = X(ω ω ) (2) Die Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion mit der Kreisfrequenz ω führt zu einer Frequenzverschiebung des ursprünglichen Spektrums von x(t) um ω. 3.5 Differentiation von x(t) * Gegeben sei wieder das Transformationspaar x(t) X(ω ). Nun differenzieren wir die Funktion x(t) und suchen eine Beziehung von X(ω) mit dem Spektrum der Ableitung von x(t), also F dx(t) dt = dx(t) e jω t dt = x(t) e jω t dt t = x(t) ( jω ) e jω t dt Dabei haben wir die partielle Integration verwendet. Falls nun x(t) für t ± (abklingendes Signal), so wird der erste Summand null und wir erhalten F dx(t) dt = jω x(t) e jω t dt = jω X(ω ) (2) Eine Differentiation im Zeitbereich führt also zu einer Multiplikation mit dem Faktor jω im Spektralbereich. Durch sukzessives Anwenden dieser Regel auf die Ableitungen findet man die allgemeinere Regel für Ableitungen n-ter Ordnung: F dn x(t) = ( jω ) n X(ω ) (22) dt n 5

16 3.6 Integration von x(t) * Das Integral der Funktion x(t) sei definiert als y(t) = t x(ρ)dρ. Nun suchen wir, ausgehend vom Transformationspaar x(t) X(ω), die Fouriertransformierte des Integrals von x(t). Wir nehmen an, es existiere das Transformationspaar y(t) Y (ω ) und beide Fouriertransformierten X(ω ) und Y (ω ) existieren als gewöhnliche Funktionen. Da nun dy(t) / dt = x(t) ist, dürfen wir ihre Fouriertransformierten in Gl. (2) einsetzen, also X(ω ) = jω Y (ω ) Es gibt also das Transformationspaar F t x(ρ)dρ = X(ω ) jω (23) Eine Integration von x(t) im Zeitbereich führt auf eine Division mit dem Faktor (jω) im Frequenzbereich. Diese Beziehung gilt nur, wenn X(ω) für ω = verschwindet. Ist dies nicht der Fall, also X(), so gilt statt Gl. (23) die allgemeinere Beziehung 3 F t x(ρ)dρ = X(ω ) + π X() δ(ω ) (24) jω Beispiel 4 Dreiecksignal Die Fouriertransformierte des Dreiecksignals u 4 (t) von Fig. 2a) liesse sich direkt berechnen. Wir wollen hier aber den Umweg über bereits berechnete Fouriertransformierte machen. Wenn wir das Dreiecksignal ableiten, dann erhalten wir den Doppelimpuls u 3 (t) von Fig. 2b. Die Fouriertransformierte des letzteren können wir zusammensetzen aus der Transformierten des Impulses von Fig., wobei wir noch das Vorzeichen umkehren und den Faktor /T einfügen müssen, und einem zeitlich gespiegelten identischen Impuls, Fig. 2b). Fig. 2 a) Dreiecksignal und b) Doppelimpuls als Ableitung des Dreiecksignals 3 Auf den Beweis dafür verzichten wir. Streng mathematisch genommen ist dann die Fouriertransformierte des Integrals von x(t) eine sog. Distribution. 6

17 Wir beginnen mit der Gl. (8), kehren das Vorzeichen von ω um und addieren dazu das Spektrum des gespiegelten ursprünglichen Impulses: sin(ω T F { u 3 (t)} = U /2) ω T /2 = U sin(ω T /2) ω T /2 sin(-ω T e jω T /2 + U /2 ) e + jω T /2 ω T /2 sin 2 (ω T e + jω T /2 e jω T /2 = j2u /2 ) ω T /2 Dieses Spektrum ist rein imaginär, wie wir es für ein ungerades Signal erwarten, siehe auch Abschnitt 2.2. Nun wenden wir die Integrationsregel Gl. (23) an (X() = ) und finden so das Spektrum für das Dreiecksignal: sin F { u 4 (t)} 2 (ω T = j2u /2) ω T /2 jω = U T sin 2 (ω T /2) (ω T /2) 2 = U T sinc 2 (ω T /2) Die Spektren der beiden Signale sind in Fig. 3 in Funktion der Frequenz f dargestellt. Da das Spektrum des Dreiecksignals rein reell, das des Doppelimpulses rein imaginär ist, erübrigt sich eine Darstellung des Phasendichtespektrums. Fig. 3 Spektren a) des Dreiecksignals und b) des Doppelimpulses von Fig. 2 7

18 4. Energiedichtespektren und der Satz von Parseval * Bei den periodischen Signalen haben wir gesehen, wie die normierte Leistung eines solchen Signals sowohl im Zeitbereich als auch über das Spektrum berechnet werden kann. Eine analoge Beziehung besteht auch für aperiodische Signale. Die normierte Energie des Signals x(t) lautet (vergleiche auch Abschnitt 4.7 im Kapitel Signalformen und Systemtypen) W n = x 2 (t) dt (25) Ist x(t) beispielsweise eine Spannung, dann stellt x 2 (t) die Momentanleistung an einem Widerstand mit dem Wert R = Ω dar, nämlich u 2 (t)/r. Die Integration dieser Momentanleistung über die ganze Zeitachse ergibt somit die Energie im Signal x(t) an R = Ω. Ähnlich wie bei den Fourierreihen kann bei aperiodischen Signalen W n aus der Fouriertransformierten X(ω) von x(t) berechnet werden. Definitionsgemäss gilt: x(t) = X(ω ) e jω t dω 2π und X(ω ) = x(t) e jω t dt Nun setzen wir x(t) in Gl. (25) ein und darin ersetzen wir einen der beiden Faktoren x(t) durch seine Fouriertransformierte: W n = 2π x(t) X(ω ) e jω t dω dt Vertauschen der Integration: W n = 2π X(ω ) x(t) e jω t dt dω (X(ω ) ist nicht von der Zeit abhängig) W n = = 2π X(ω ) X* (ω ) dω = 2π X(ω ) 2 dω x 2 (t) dt = 2π X(ω ) 2 dω = X( f ) 2 df (26) Dies ist das Parsevaltheorem für aperiodische oder Energiesignale. Wir überprüfen noch die Dimension von W n : [ Integrand] = [ X( f )] 2 = R [ ] V 2 Hz 2 Ω = V 2 s Hz Ω = V A s = Ws Hz Hz also Energie/Hz (Energiedichte). Damit erhalten wir für die Einheit von W n nach der Integration über die Frequenz korrekt Ws. Die Grösse X(ω ) 2 bzw. X( f ) 2 wird als Energiedichtespektrum bezeichnet. 8

19 5. Symmetriebeziehung * Die und ihre Rücktransformation haben grosse Ähnlichkeit. Sie unterscheiden sich, speziell wenn man die Schreibweise Gl. (9) mit f und nicht ω verwendet, nur durch das Vorzeichen bei der Exponentialfunktion. Kennt man daher ein spaar x(t) X(ω), so hat man wegen dieser Verwandtschaft der beiden Transformationen schon fast ein zweites Transformationspaar gewonnen. In der Definitionsgleichung der Vorwärtstransformation Gl. (8), X(ω ) = x(t) e jω t dt substituieren wir ω = t' und t = -ω' und vertauschen noch die Unterstreichung für die komplexe Grösse zwischen X(ω) und x(t). Damit erhalten wir X(t') = x( ω') e jω ' t ' dω' Das Resultat ist, bis auf den fehlenden Faktor /(2π), eine Rücktransformation des Spektrums x(-ω'). Wir dürfen die Variablen wieder allgemeinen mit t und ω bezeichnen und finden so das (duale) Transformationspaar X(t) 2πx(-ω). (27) Diese Beziehung wird Vertauschungssatz genannt. Für jedes bekannte Transformationspaar kennen wir also noch ein zweites. Wir demonstrieren den Vertauschungssatz an einem Beispiel. Beispiel 5 Rechteckspektrum Der Rechteckimpuls von Fig. 4 ergibt das sin(x)/x-spektrum von Gl. (4) bzw. Fig. 6. Mit der allgemeinen Variablen x geschrieben gibt es das Transformationspaar: x(t) = A für T / 2 t T / 2 X(ω ) = AT sin(ω T /2) ω T /2 (28) Der Vertauschungssatz (mit ω t und T ω ) sagt nun, dass es auch das Transformationspaar 2πx( ω ) = 2πA für ω / 2 ω ω / 2 X(t) = Aω sin(ω t/2) ω t/2 (29) gibt. Dabei haben wir die zeitliche Impulsbreite T in die frequenzmässige Spektralbreite ω umgeschrieben. Zum rechteckig begrenzten Spektrum gehört der Zeitverlauf in Form einer sin(x)/x-schwingung (Fig. 4). 9

20 Fig. 4 Symmetrische Transformationspaare, a) zeitlicher Rechteckimpuls und b) rechteckiges Spektrum mit den zugehörigen Transformierten. Hinweis: Bemerkenswert am sin(x)/x-zeitimpuls ist noch die Tatsache, dass er bei t = - beginnt. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem nichtkausalen Zeitsignal, da es vor unendlicher langer Zeit hätte ausgelöst werden müssen. Das Spektrum von Fig. 4b) gibt es daher in der realen Welt nicht. Man kommt zu einem kausalen Signal, wenn man das sin(x)/x-signal bei negativen Zeitwerten beschneidet, dort wo die Signalwerte noch sehr klein sind, und dann das so beschnittene Signal in den positiven Zeitbereich verschiebt. Welche Auswirkungen dies auf das Spektrum hat, soll in einer Übungsaufgabe untersucht werden. 6. Die Fouriertransformierte spezieller Signale 6. Diracstross und konstantes Signal Der Diracstoss oder die Stossfunktion x(t) = δ(t) ist ein für theoretische Überlegungen häufig verwendetes Signal. Wie lautet ihre Fouriertransformierte 4? Wir rufen uns nochmals die Eigenschaften des Diracimpulses in Erinnerung (siehe Kapitel Signalformen und Systemtypen): δ(t) = für alle t (3) +ε und δ(λ) dλ = für alle ε > ε 4 Die Diracfunktion ist eine verallgemeinerte Funktion oder Distribution und ihre Fouriertransformierte existiert nur, wenn genau genommen die auf solche verallgemeinerte Funktionen erweitert wird, was wir hier voraussetzen. 2

21 Wir setzen den Diracimpuls in die Definitionsgleichung ein und berücksichtigen, dass wegen Gl. (3) δ(t) e jω t = δ(t) ist: { } = X(ω ) = δ(t) e jω t dt F δ(t) = δ(t) dt = (3) Der Diracstoss hat ein konstantes Dichtespektrum der Grösse, was wir auch mit x(t) = δ(t) +ε ε = X ( ω ) (32) schreiben können. Im Spektrum des Diracstosses kommen also alle Frequenzen mit gleichem Anteil vor. In Anlehnung an weisses Licht, das alle Farben (Lichtwellenlängen) enthält, spricht man auch von einem weissen Spektrum. Wir wenden nun den Vertauschungssatz Gl. (27) auf diese Transformation an und finden: X(t) 2π x( ω ) 2πδ(-ω) = 2π δ( ω) (33) Umgekehrt ist also die eines konstanten Signals der Grösse ein Diracstoss bei ω = mit dem Gewicht 2π. Beide Transformationen sind in Fig. 5 dargestellt. Fig. 5 Fouriertransformierte a) des Diracstosses und b) eines konstanten Signals Das Transformationspaar für den Diracstoss können wir anwenden, um die Fouriertransformierte des Einheitsschrittes zu bestimmen. Beispiel 6 Einheitsschritt Im Kapitel Signale und System haben wir gezeigt, dass der Einheitsschritt ε(t) das Integral des Diracstosses ist. Nun wenden wir die Integrationsregel Gl. (24) auf die Fouriertransformierte des Diracstosses Gl. (3) an, um die Transformierte des Einheitsschrittes zu berechnen. Bezeichnet X(ω) = die Fouriertransformierte des Diracstosses, dann gilt auch X() = und damit 2

22 F { ε(t) } = X ε (ω ) = X(ω ) + π X() δ(ω ) = + π δ(ω ) (34) jω jω In diesem Fall ist es sinnvoll, das Dichtespektrum nach Real- und Imaginärteil aufzuteilen: X ε (ω ) = Re{ X ε (ω )} + j Im { X ε (ω ) } = π δ(ω ) + j ω Dieses Spektrum ist in Fig. 6 dargestellt. Dabei beachte man, dass der hyperbolische Teil rein imaginär ist, während der Diracstoss bei ω = reell ist. Fig. 6 Einheitsschritt und seine Fouriertransformierte 6.2 Fouriertransformierte eines Sinussignals * In der Praxis kommen sehr häufig periodische und aperiodische Signale gleichzeitig vor. Wollen wir nun beide in einer einheitlichen Darstellung präsentieren, so ergeben sich Schwierigkeiten. Denn periodische Signale stellen wir mit einzelnen Spektrallinien dar (bei einem Spannungssignal ist die Einheit der Spektrallinien Volt), während aperiodische Signale nur mit einem Dichtespektrum dargestellt werden können. Können die beiden Darstellungen ev. trotzdem miteinander kombiniert werden? Die Lösung ist die Darstellung periodischer Signale auch in einem Dichtespektrum, d.h. die Berechnung ihre Fouriertransformierten. Mit Hilfe der Eulerschen Relation können wir bekanntlich eine Cosinusschwingung mit komplexen Exponentialfunktionen schreiben: cos(ω t) = 2 e jω t + e jω t Für eine einzelne komplexe Exponentialfunktion finden wir die Fouriertransformierte, indem wir das Transformationspaar von Gl. (33) nehmen und darauf anschliessend den Multiplikationssatz Gl. (2) mit x(t) = anwenden: x(t) = 2π δ(ω ) = X(ω ) x (t) = x(t) e jω t = e jω t X (ω ) = X(ω ω ) = 2π δ(ω ω ) (35) Wir wiederholen diese Transformation auch auf den Term e -jω t Fouriertransformierten von cos(ωt): und addieren beide Terme zur 22

23 cos(ω t) π[ δ(ω ω ) + δ(ω + ω )] (36) Das Dichtespektrum eines reinen Cosinussignals sind zwei Diracstösse der Stärke π bei ± ω (Fig. 7). Fig. 7 Fouriertransformierte einer Cosinusschwingung In gleicher Weise leitet man die Fouriertransformierte einer Sinusschwingung her: sin(ω t) jπ[ δ(ω ω ) δ(ω + ω )] (37) Mit Hilfe dieser Transformation wird es möglich, ganze Fourierreihen in einem Dichtespektrum darzustellen. Statt der einzelnen komplexen Spektrallinien in einem zweiseitigen Linienspektrum verwandelt man diese in Diracstösse mit dem Gewicht πc k in einer Darstellung als Dichtespektrum. 7. Zusammenfassung Die spaare mit ω bzw. f als Frequenzvariable X(ω ) F { x(t) } = x(t) e jω t dt x(t) F - X(ω ) X( f ) F x(t) { } = x(t) e j2 π f t dt { } = x(t) F - X( f ) 2π X(ω ) e jω t dω { } = X( f ) e j2 π ft df 7. Die wichtigsten Eigenschaften der Im Folgenden wird das Transformationspaar x(t) X(ω) vorausgesetzt. Linearität a x(t) + b y(t) a X(ω ) + b Y (ω ) Zeitverschiebung x(t τ ) X(ω ) e jωτ Zeitumkehr x( t) X( ω ) = X * (ω ) 23

24 Multiplikation mit e jω t Differentiation im Zeitbereich Integration im Zeitbereich x(t) e jω t dx(t) dt t x(ρ)dρ X(ω ω ) ω reell jω X(ω ) X(ω ) jω + π X() δ(ω ) Parselvaltheorem x 2 (t) dt = 2π X(ω ) 2 dω Vertauschungssatz X(t) 2πx(-ω) (Dualität oder Symmetrie) 7.2 Einige spezielle Transformationspaare Konstante x(t) = - < t < 2π δ( ω) Einheitsschritt ε(t) jω + π δ(ω ) Diracstoss δ(t) Komplexe Exponentialfunktion e jω t 2π δ(ω ω ) Cosinusfunktion cos(ω t) π[ δ(ω ω ) + δ(ω + ω )] Sinusfunktion sin(ω t) jπ[ δ(ω ω ) δ(ω + ω )] Rechteckimpuls x(t) = A für t T / 2 AT sin(ω T /2) ωt / 2 Rechteckiges Spektrum Aω sin(ω t/2) ω t/2 X(ω ) = 2πA für ω ω / 2 24

25 Aufgaben. Gesucht ist die Fouriertransformierte der abklingenden Sinusschwingung x(t) = sin(ω t) e t /τ für t 2. Gesucht wird die Fouriertransformierte des Signals von Fig. 8. Fig. 8 Rampensignal 3. Man berechne die Fouriertransformierte des angehobenen Cosinusimpulses von Fig. 9. x(t) = { 2 cos(π t / T ) + }, t T Fig. 9 Angehobener Cosinusimpuls 4. Der Impuls von Fig. 9 werde periodisch wiederholt mit der Periodendauer T = 4T. Man berechne das Linienspektrum dieser periodischen Funktion mit Hilfe der Aussagen in Abschnitt Die Fouriertransformierte des Impulses von Fig. 2 soll auf möglichst einfache Art und Weise aus bekannten Transformationen bestimmt werden. Fig. 2 Asymmetrischer Doppelimpuls 6. Gegeben ist das spaar x(t) X(ω ) = e ω /ω mit der Konstanten ω a) Gesucht ist die Zeitfunktion x(t). Wie lauten die Fouriertransformierten der folgenden modifizierten Zeitfunktionen? b) x (t) = x(t-τ) mit τ = Konstante c) x 3 (t) = dx(t) dt 25

26 d) x 4 (t) = x(ρ)dρ t e) Man überprüfe das Theorem von Parseval 7. Mit Hilfe des Vertauschungssatzes soll die Fouriertransformierte zur Zeitfunktion x(t) = e t /τ bestimmt werden. 8. Geben Sie zu den komplexen Spektren von Fig. 2 die Eigenschaften der zugehörigen Zeitfunktionen an: Fig. 2 Vier komplexe Spektren 9. Ein abrupt begrenztes Spektrum ergibt einen nichtkausalen sin(x)/x-impuls, der bei t = - beginnt, siehe Abschnitt 5 und Fig. 4b). Schneidet man diesen Impuls bei t < T c (T c > ) ab und verschiebt den Beginn des so verkürzten Impulses nach t =, so entsteht ein kausales Zeitsignal. Man berechne das Spektrum des kausalen Zeitimpulses für verschiedene T c 26

27 und vergleiche es mit dem Spektrum von Fig. 4b). Diese Aufgabe löst man mit Hilfe eines Mathematikprogramms, z.b. Matlab, wobei für die Integration eine sehr einfache Routine verwendet werden darf (Aufsummieren der Stützwerte x Zeitschritt). Lösung der Aufgaben. X(ω ) = ω / τ 2 ω 2 + ω 2 + j2ω / τ 2. X(ω ) = A e jωt + jωt ω 2 T { [ ] } 3. X(ω ) = T sin(ωt ) ωt ωt = T 2 π sin(2πft ) 2πfT 2 ft ( ) 2 4. Durch die periodische Wiederholung entsteht ein Linienspektrum. Periodendauer T = 4T. Abtasten des Spektrums von Aufgabe 2 bei ω = k ω = k/(4t ) bzw. f = k f = k/(4t ) und Multiplikation mit /(4T ). c =.25 c k = sin(kπ / 2) kπ / 2 (k / 2), k =, 3, 5,..., c = (c 2 k k )* oder c 2k = ( ) k (k / 2)π (k / 2), k =, 2, 3,..., c = (c 2 (2k ) 2k )* 5. Ausgehend von Gl. (4) findet man mit Hilfe des Verschiebungssatzes und einer Substitution für den negativen Impuls der Dauer 2T von T 2T : sin(πft X(ω ) = AT ) e jπft sin(2πft ) e -j2πft πft 2πfT 6. a) x(t) = ω π +(ω t) 2 b) X (ω ) = e ω /ω e -jωτ c) X 2 (ω ) = jω e ω /ω d) X 2 (ω ) = jω e ω /ω + π δ(ω) ω e) x 2 (t) dt = 2 dt = ω π +(ω t) 2 2π 2 27

28 2π X(ω ) 2 dω = π e ω /ω 2 dω = ω 2π 7. Die gewünschte Transformation kann man mit dem Vertauschungssatz aus der Lösung von Aufgabe 5a) gewinnen. x(t) = ω π +(ω t) 2 X(ω ) = e ω /ω Nun vertauschen wir ω t, t -ω und ω τ: x(ω ) = τ = π +(-τω ) 2 τ X(t) = e t /τ π +(τω ) 2 Oder in der normalen Schreibweise: x(t) = e t /τ X(ω ) = τ π +(τω ) 2 8. a) reelle, gerade Zeitfunktion b) reelle Zeitfunktion c) reelle, ungerade Zeitfunktion d) reelle Zeitfunktion 9. Formal lautet die Lösung: X( f ) = 2A sin(πf t) e j2πft dt t -T c e j2πft c Das Integral schreiben wir als einfache Summe der Werte von x(t) an Stützwerten im Abstand von Δt im Intervall T c bis zu einem endlichen Endwert T e. Dieses Spektrum kann man mit einem einfachen Matlabprogramm lösen. Dabei nützen wir die Eigenschaften der Matrixmultiplikation von Matlab aus, indem wir den Faktor sin(πf t)/t, der eine Funktion von t und f ist, als Matrix mit der Abhängigkeit von t in der Horizontalen und jener von f in der Vertikalen schreiben. Die Summation ergibt sich Automatisch durch Matrixmultiplikation mit dem Faktor e j2πft. Das resultierende Spektrum ist nicht mehr exakt rechteckförmig sondern fällt bei f = f /2 mehr oder weniger steil ab je nach Wert von T c. Bei f = beträgt der Wert des Spektrums ungefähr 2π, was mit dem theoretischen von Fig. 4b) übereinstimmt. 28

29 %Aufgabe 9 f=; a=; tc=-4; te=2; dt=.; %zeitliche Begrenzung %Abbruchzeitpunkt für die Integration %Zeitschritt f=:.:2; %Frequenzvektor t=tc:dt:te; %Zeitvektor x=2*a*sin(pi*f*t)./t; %zeitlich abgeschnittener Impuls figure() plot(t,x) %Grafik des Zeitimpulses xf=exp(-i*2*pi*f'*t)*x'*dt; %numerische Integration xf=xf'.*exp(i*2*pi*f*tc); %Phasendrehung wegen Tc figure(2) subplot(2), plot(f,abs(xf)) subplot(22), plot(f,angle(xf)*8/pi) 29