Trigonalisierung einer Matrix Version ( )

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1 Trigonalisierung einer Matrix Version ( ) > with(linalg): > B:=matrix(4,4,[3,-1,1,-1, 2,1,0,-2, -1,0,4,0, 1,-1,0,2]); B := B ist Darstellungsmatrix des Endomorphismus f : R 4 R 4 bezüglich der Standardbasis e1,e2,e3,e4 Schritt 1) Berechnung der Eigenwerte und Eigenvekoren von B > p:=charpoly(b,lambda); > factor(p); > eigenvalues(b); Schritt 2) > eigenvectors(b); p := λ 4 10 λ λ 2 60 λ + 36 (λ 2) 2 (λ 3) 2 3, 2, 3, 2 [2, 2, {[2, 2, 1, 1]}], [3, 2, {[1, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 1]}] Schritt 3) Tausche die Eigenvektoren gegen geeignete Standardvektoren aus (der Eigenvektor [1,1,1,0] lässt sich gegen e 1, e 2 und e 3 austauschen). Wir erhalten die Basis > B1:=[[1,1,1,0],[0,-1,0,1],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]; B1 := [[1, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]] Schritt 4) Bestimme die Darstellungsmatrix von f bezüglich B1. Dazu stellen wir die Basiswechselmatrix M B1E(id R 4) auf, sie lautet 1

2 > M_B1E := matrix(4,4,[1,0,0,0, 1,-1,0,0, 1,0,1,0, 0,1,0,1]); M B1E := > M_B1Einv:=inverse(M_B1E); M B1Einv := > MB1(f) := multiply( M_B1Einv, multiply( B, M_B1E ) ); MB1(f) := Schritt 5) Nun betrachten wir die folgende Teilmatrix vom MB1(f): > TM := matrix(2,2,[3,1,-1,1]); [ ] 3 1 TM := 1 1 Betrachten wir den Unterraum U = [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1] (im allgemeinem besteht der Unterraum U aus den Linearkombination der Standardvektoren, die sich in der Basis B1 befinden), so ist T M die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung g : U U mit g([0, 0, 1, 0]) = [0, 0, 3, 1] und g([0, 0, 0, 1]) = [0, 0, 1, 1] bezüglich der Basis ([0,0,1,0],[0,0,0,1]). Bestimme von TM die Eigenwerte und Eigenvektoren! > charpoly(tm,lambda); > eigenvalues(tm); > eigenvectors(tm); λ 2 4 λ + 4 2, 2 [2, 2, {[ 1, 1]}] 2

3 Schritt 6) Für den Vektor v λ2,1 = [0, 0, 1, 1] = ( 1)[0, 0, 1, 0] + 1[0, 0, 1, 1] U gilt wegen T M [ 1, 1] = [ 2, 2] : g(v λ2,1) = ( 2)[0, 0, 1, 0]+2[0, 0, 1, 1] = 2(( 1)[0, 0, 1, 0]+1[0, 0, 0, 1]) = 2v λ2,1. Schritt 7) Wir bestimmen nun f(v λ2,1). Dazu stellen wir zunächst v λ2,1 in der Basis B1 dar, wir erhalten v λ,1 = 0[1, 1, 1, 0] + 0[0, 1, 0, 1] + ( 1)[0, 0, 1, 0] + 1[0, 0, 0, 1]. Die Matrix-Vektor-Multiplikation MB1 mit dem Vektor [0,0,-1,1], ergibt den folgenden Vektor [ 2, 0, 2, 2] Damit gilt: f(v λ2,1) = ( 2)[1, 1, 1, 0] + 0[0, 1, 0, 1] + ( 2)[0, 0, 1, 0] + 2[0, 0, 0, 1] = ( 2)[1, 1, 1, 0] + 0[0, 1, 0, 1] + g(v λ2,1) = ( 2)[1, 1, 1, 0] + 0[0, 1, 0, 1] + 2v λ2,1 Schritt 8) Nun tauschen wir den Vektor v λ2,1 gegen einen geeigneten Standardvektor der Basis B1, d. h. gegen einen Basisvektor des Unterraumes U, aus. Wir haben hier die Wahl zwischen e 3 und e 4. Wir entscheiden uns für e 3. Dann erhalten wir eine neue Basis B2. > B2 := [[1,1,1,0],[0,-1,0,1],[0,0,-1,1],[0,0,0,1]]; B2 := [[1, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 1]] Wie sieht nun die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis B2 aus? Wir bestimmen dazu die Basiswechselmatrix MB2B1(f) und deren Inverse MB2B1inv: > MB2B1(f) := matrix(4,4,[1,0,0,0, 0,1,0,0, 0,0,-1,0, 0,0,1,1]); MB2B1(f) :=

4 > MB2B1inv:=inverse(MB2B1(f)); MB2B1inv := > MB2(f) := multiply( MB2B1inv, multiply( MB1(f), MB2B1(f) )); MB2(f) := Die Matrix MB2(f) hat obere Dreiecksform. Vorgehensweise zu Trigonalisierung einer Matrix A: Schritt 1) Bestimme das charakteristische Polynom der Matrix A M n (K). Falls dieses über den Körper K zerfällt, also χ A ein Produkt von Linearfaktoren ist, dann ist A trigonalisierbar. Schritt 2) Bestimme zu einem Eigenwert λ 1 von A und eine Basis v λ1,..., v λd1 des zugehörigen Eigenraumes. Schritt 3) Nehme die in Schritt 2) berechneten Eigenvektoren zum Eigenwert λ 1 und tausche sie gegen Vektoren der Standardbasis des K n aus. Die so entstandene neue Basis heisse B1. Nun ordnen wir die Basis B1 so, dass zuerst alle Eigenvektoren und dann die restlichen Standbasisvektoren folgen. Die neugeordnete Basis heisse B1. Schritt 4) Bestimme die Darstellungsmatrix des durch A definierten Endomorphismuses f bezüglich der Basis B1. Die Darstellunsmatrix hat dann eine Form wie MB1(f). Wir erhalten die Darstellungsmatrix von f bezüglich B1, indem wir die Basiswechselmatrix MBE und ihr Inverses MBEinv berechnen und schliesslich das Matrix-Produkt MBEinv * MEE * MBE bestimmen. Schritt 5) Nun betrachten wir die Teilmatrix TM von MB1(f), die unten rechts neben dem Block aus lauter Nullen steht. Wir bestimmen eine Basis w 1,... w d2 K n des Eigenraumes zum Eigenwert λ 2 der (n d 1 ) (n 4

5 d 1 )-Matrix TM. Die Eigenwerte von TM und A stimmen bis auf den in 3) gewählten Eigenwert überein, weil nämlich gilt: χ A = (λ λ 1 ) d 1 χ T M. Schritt 6)Es bezeichne f 1,... f n d1 die Standardbasisvektoren aus B1. Wir betrachten den Unterraum U = f 1,..., f n d1. Die Matrix T M = [s 1,..., s n d1 ] ist dann die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung g : U U mit g(f j ) = n d 1 l=1 s l,j f l für j = 1,..., n d 1 bzgl. der Basis f 1,..., f n d1. Bestimme die Vektoren v λ2,1 = w 1,1 f 1 + w 1,2 f w 1,n d1 f n d1, v λ2,2 = w 2,1 f 1 + w 2,2 f w 2,n d1 f n d1,... v λd2,1 = w d2,1f 1 + w d2,2f w d2,n d 1 f n d1 Dann gilt für alle k = 1,..., d 2 : g(v λ2,k) = λ 2 v λ2,k. Schritt 7)Wir berechnen nun für k von 0 bis d 2 den Funktionwert f(v λ2,k). Dazu stellen wir v λ2,k in der Basis B1 dar, wir erhalten: v λ2,k = 0v λ1,1 + 0v λ1, v λ1,d 1 + w k,1 f 1 + w k,2 f w k,n d1 f n d1. Die Darstellung von f(v λ2,k) bezüglich B1 erhalten wir durch die folgende Matrix-Vektor-Multiplikation MB1(f)[0,..., 0, w k,1,..., w k,n d1 ] = [α 1,..., α d1, λ 2 w k,1,..., λ 2 w k,n d1 ]. Hieraus ergibt sich dann f(v λ2,k) = α 1 v λ1,1 + α d1 v λ1,d1 + λ 2 w k,1 f λ 2 w k,n d1 f n d1 = α 1 v λ1,1 + α d1 v λ1,d1 + g(v λ2,k) = α 1 v λ1,1 + α d1 v λ1,d1 + 2v λ2,k Schritt 8) Wir tauschen nun die Vektoren v λ2,k gegen geeignete Standardvektoren der Basis B1 aus, ordnen wie in Schritt 3) beschrieben um, so dass eine neue Basis B2 des K n entsteht. Wir bestimmen die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis B2 durch die Berechnung von der Basiswechselmatrix MB2B1 und deren Inverses MB2B1inv sowie dem Produkt MB2B1inv * 5

6 MB1 * MB2B1. Schritt 9) Ist die so in 8) entstandene Matrix noch nicht in Dreiecksgestalt, so fährt man mit Schritt 5) weiter fort. Zum Schluss nocheinmal ein Beispiel: > M:=multiply(multiply(BW,DM),(inverse(BW))); M := M ist die Darstellungmatrix von f : R 3 R 3, x Ax bezüglich der Standardbasis(e1,e2,e3). > p:=charpoly(m,lambda); > factor(p); p := λ 3 4 λ λ 2 (λ 2) (λ 1) 2 Damit ist M trigonalisierbar. Wir berechnen nun die Eigenvektoren von M. Wir erhalten: > eigenvectors(m); [1, 2, {[1, 0, 1]}], [2, 1, {[1, 1, 1]}] Wir wählen den Eigenraum zum Eigenwert 2. Wir können den Eigenvektor [1,1,1] gegen e1, e2 oder e3 austauschen. Hier tauschen wir den Vektor gegen e3 aus. Die neue Basis ist dann > B:=[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,0]]; B := [[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]] Wir berechnen die Darstellungsmatrix von f bezüglich B. Dazu bestimmen wir die Basiswechselmatrix MBE - E bezeichne die Standardbasis des R 3 - und ihr Inverses MBEinv: > MBE:=matrix(3,3,[1,1,0,1,0,1,1,0,0]); MBE := > MBEinv:=inverse(MBE);

7 MBEinv := > MB:=multiply(MBEinv, multiply(m,mbe)); MB := Nun betrachten wir die Teilmatix rechts von den Nullen der ersten Spalte, also > TM:=matrix(2,2,[1,0,-1,1]); [ ] 1 0 TM := 1 1 Betrachten wir den Unterraum U = [1, 0, 0], [0, 1, 0], so ist TM ist die Darstellungsmatrix von g : U U, g(e1) = [1, 1, 0], g([0, 1, 0]) = [0, 1, 0] bezüglich der Basis ([1,0,0],[0,1,0]). Berechnen die Eigenvektoren und Eigenwerte von TM > eigenvectors(tm); [1, 2, {[0, 1]}] Für den Vektor v = 0 [1,0,0] + 1 [0,1,0] = [0,1,0] hat dann g(v) die Darstellung TM [0,1] = [0,1] in der Basis von U. Es gilt also g(v) = v. Wir berechnen nun f(v). Dazu müssen wir den Vektor v in der Basis B darstellen, wir bekommen v = 0 [1,1,1] + 0 [1,0,0] + 1 [0,1,0] und dann ergibt MB * [0,0,1] die Koeffizienten von f(v) bezüglich der Basis B: > Koordinaten_v_B:= vector(3,[0,0,1]); Koordinaten v B := [0, 0, 1] > multiply(mb,koordinaten_v_b); [1, 0, 1] Damit gilt f(v) = 1 [1,1,1] + 0 [1,0,0] + 1 [0,1,0] = [1,1,1] + 1 [0,1,0]. Tausche nun den Vektor [0,1,0] gegen einen geeigneten Standardvektor von B aus. Hier bleibt nur die Möglichkeit [0,1,0] gegen [0,1,0] auszutauschen. Wir bekommen nach Umordnung der Basiselement die Basis B1 = ([1, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]). 7

8 Dann gilt: > > MB1B := matrix(3,3,[1,0,0,0,0,1,0,1,0]); MB1B := MB1B ist die Matrix zum Basiswechsel von B1 nach B! > MB1Binv:=inverse(MB1B); MB1Binv := Wir können nunr MB1 berechnen: > MB1:=multiply(MB1Binv, multiply(mb,mb1b)); MB1 := Fertig! :-) 8

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