φ(ζ, η) = (ζ η, η) = (x, y), bijektiv und stetig differenzierbar ist. Die Jacobi-Matrix von φ lautet: f(ζ) det(dφ(ζ, η)) dζ dη f(ζ) dζ dη.
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- Etta Feld
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1 Übungen (Aufg und Lösungen zu Mathem u Lin Alg II SS 6 Blatt 9 66 Aufgabe 43: Sei f : R R eine stetige Funktion Formen Sie das Integral f(x + y dx dy in ein einfaches Integral um Lösung: Führe neue Koordinaten ein durch Es folgt, daß die Transformation ζ x + y, η y x ζ η, y η φ : R R φ(ζ, η (ζ η, η (x, y, bijektiv und stetig differenzierbar ist Die Jacobi-Matrix von φ lautet: ( Dφ(ζ, η, det Dφ(ζ, η Nach dem Transformationssatz gilt daher für Ω [, ] [, ]: f(x + y dx dy f(x + y dx dy Ω f(ζ det(dφ(ζ, η dζ dη φ (Ω f(ζ dζ dη φ (Ω Wie sieht Ω [, ] [, ] in den (ζ, η Koordinaten aus? x, y ζ x + y 4, η y ζ, ζ x + y η y ζ x ζ, < ζ 4, ζ x + y ζ η y ζ x Also ergibt sich f(x + y dx dy f(ζ dζ dη φ (Ω ζ 4 f(ζ dη dζ + f(ζ dη dzη ζ 4 ζf(ζ dζ + (4 ζf(ζ dζ
2 Aufgabe 44: Sei f : R R eine stetige Funktion Formen Sie das Integral f(x + y dxdy x +y r in ein einfaches Integral um Lösung: x +y r f(x + y dx dy r π r f(ϱ ϱ dφ dϱ π f(ϱ ϱ dϱ Durch Anwenden des Transformationssatzes auf ebene Polarkoordinaten: x ϱ cos φ, y ϱ sin φ; dx dy ϱ dφ dϱ Aufgabe 45: Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Rechtecks x, y bzgl der Geraden y x bei homogener Dichte ρ Lösung: Das Trägheitsmoment ist definiert durch das Integral I d (x, yρ(x, ydx dy, wobei d der Abstand des Punktes (x, y R [, ] [, ] zur Geraden y x Eine Parameterdarstellung der Geraden lautet ( g(λ λ, ein Normalenvektor ergibt sich als Jeder Punkt ( x y N ( R hat daher eine Darstellung ( x y ( λ + λ ( Es folgt: I λ λ x, II λ + λ y
3 Daher ist I II : 5λ x y λ 5 x + 5 y, I + II : 5λ x + y λ 5 x + 5 y Der Abstand d(x, y ist die Länge des Vektors λ (, also gilt: d (x, y λ ( λ 5 ( x + y 5 I ( x + y dx dy (4x 4xy + y dx dy [ 4x y xy + ] 3 y3 dx [(4x x + 3 ( 4x x 3 ] dx [ 8x + ] dx 3 [ 8 3 x3 + 3 x ] 5 ( ,
4 Aufgabe 46: Betrachten Sie den Kreis vom Radius R > und Mittelpunkt R mit der Parametrisierung ( cos t γ : [, π] R, γ(t R sin t (i Bestimmen Sie γ(t und den Normalenvektor n(t (ii Welcher Vektor ergibt sich für ṅ(t? (iii Welche Normalkomponente (ṅ n besitzt ṅ(t? Lösung: (i Es gilt: γ(t R ( sin t cos t und n(t ( cos t sin t, wie man auch leicht an Hand einer Skizze erkennt! (ii Nach (i erhält man ( sin t ṅ(t cos t (iii Wegen (i und (ii gilt: ṅ n Auch diese beiden Formeln lassen sich an Hand einer Skizze erkennen/sehen!
5 Aufgabe 47: Gegeben sei die Kugeloberfläche vom Radius mit Mittelpunkt R 3 durch die Parametrisierung cos φ sin ϑ x : [, π] [, π] R 3, x(φ, ϑ sin φ sin ϑ cos ϑ Lösung: (i Bestimmen Sie ein tangentiales Richtungsfeld V(φ, ϑ in Richtung des Nordpols N unter Verwendung obiger Kugelkoordinaten (ii Geben Sie ein tangentiales Richtungsfeld in Richtung eines Breitenkreises an (iii Geben Sie ein tangentiales Richtungsfeld an, welches in Richtung des Äquator zeigt Hinweis: Zu (ii vergleiche man Aufgabe 84 von Blatt 3 aus dem Wintersemester Zu (iii: Der Äquator ist ein spezieller Breitenkreis Welcher? x : [, π] [, π] R 3, cos φ sin ϑ (φ, ϑ x(φ, ϑ sin φ sin ϑ : cos ϑ x (φ, ϑ x (φ, ϑ x 3 (φ, ϑ liefert eine Parametrisierung der Kugeloberfläche S R 3 ; denn es gilt: x (φ, ϑ + x (φ, ϑ + x 3(φ, ϑ x Dh x(φ, ϑ S : x R 3 : x + x + x 3 (i Der Nordpol N Der Südpol S x 3 x(φ, ergibt sich für ϑ x(φ, π ergibt sich entsprechend für ϑ π Durchlaufen wir einen Halbmeriadian vom Südpol S Richtung N: γ(ϑ : x(φ, π ϑ wobei φ [, π] fest sei, und ϑ [, π] läuft: cos φ sin(π ϑ sin φ sin(π ϑ cos(π ϑ, γ( x(φ, π S, γ(π x(φ, N, x(φ, π in
6 so liefert γ(ϑ cos φ cos(π ϑ sin φ cos(π ϑ sin(π ϑ als Geschwindigkeitsvektor einen Tangentialvektor an die Kurve γ ( Halbmeriadian von S nach N, und damit Tangentialvektor an S Also definiert V (φ, ϑ 4 π ϑ(π ϑ γ(ϑ ein tangentiales Vektorfeld, welches in Richtung N zeigt! Zur Veranschaulichung fertige man eine geeignete Skizze an! Bemerkung: Der Faktor f(ϑ 4 π ϑ(π ϑ hat die Eigenschaften und sorgt lediglich dafür, dass gilt! f( f(π und f(π/ V (φ, V (φ, π (ii Die Konstruktion verläuft wie in (iii Man erhält einen Breitenkreis, indem man ϑ (, π festhält: ϑ ϑ (, π Also liefert cos φ sin ϑ γ(φ x(φ, ϑ sin φ sin ϑ cos ϑ, einen Breitenkreis und für ϑ π erhält man den Äquator ( (iii Zur Definition von V nehme man nun ein Stück des Halbmeridians von N bis zum Breitenkreis bzw von S bis zum Breitenkreis! Eine Skizze sollte die Situation verdeutlichen! (iii Der Äquator ist der Schnitt der x x Ebene (mit der Gleichung x 3 mit S : cos φ γ(φ x(φ, π/ sin φ Ähnlich wie in (i nehmen wir zur Definition von V Viertelmeridiane von N bis zum Äquator bzw von S bis zum Äquator: Für festes φ [, π], definieren wir das Vektorfeld V durch { f(ϑ x(φ, ϑ für ϑ π/ V (φ, ϑ f(ϑ x(φ, π + ϑ für π/ ϑ π mit dem Faktor f(ϑ 4 π ϑ(π ϑ wie oben in (i Auch hierzu sollte man eine Skizze anfertigen!
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