Übungsserie 1: Würfel und Quader

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Andreas Arnold
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1 Kantonsschule Solothurn Stereometrie RYS Übungsserie 1: Würfel und Quader 1. Berechne die fehlenden Quadergrössen: a b c V O a) 7 cm 11 cm 3 cm b) 8 mm 12.5 cm 45 cm 3 c) 3 cm 4 cm 108 cm 2 d) 54 cm 16.4 dm 170 mm e) 2 2 m 3 2 m 4 2 m 2. Ein Würfel hat den Oberflächeninhalt 4056 cm 2. Berechne sein Volumen. 3. Ein Quader ist 4 mal so lang wie breit und 1.5 mal so hoch wie lang. Er hat den Oberflächeninhalt 1088 cm 2. Wie gross ist sein Volumen? 4. Gegeben ist ein grosser und ein kleiner Würfel. Das Volumen des kleinen Würfels ist ein Achtel des Volumens des grossen Würfels. Wie viele Prozente der Oberfläche des grossen Würfels entsprechen der Oberfläche des kleinen Würfels? 5. Dieser würfelförmige Körper mit 6.4 cm Kantenlänge wird aus Aluminiumstäben mit quadratischem Querschnitt (Seitenlänge 0.8 cm) hergestellt. 1 cm 3 Aluminium wiegt 2.7 g. a) Zeichne den Schrägriss auf kariertes Papier. b) Wie schwer ist der Körper?

2 6. Wie gross ist das Volumen des abgebildeten Körpers, wenn das danebenstehende Würfelchen das Volumen 1 hat? (Auf den in der Darstellung unsichtbaren Seiten gibt es keine zusätzlich einspringenden Ecken.)

3 Kantonsschule Solothurn Stereometrie RYS Übungsserie 2 : Prismen 7. Zwei unabhängige Aufgaben: a) Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 5 cm. Die Höhe des Prismas misst 6 cm. Berechne sein Volumen und den Inhalt seiner Oberfläche. b) Ein gerades Prisma hat ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 2.5 cm als Grundfläche. Sein Volumen misst 60 cm 3. Wie gross ist seine Oberfläche? 8. Von einem sechsseitigen Prisma kennt man die Ecken einer Grundfläche und eine Ecke der Deckfläche: A( 2 0/ 0), B( 5 4 0), C( 4 5 0), D( 5 9 0), E( 2 8 0), F( 0 0 0) und A ( 2 3 5). Zeichne den Schrägriss in wahrer Grösse und berechne das Volumen des Prismas. 9. Eine leere, zylinderförmige Glasröhre der Länge 45 cm wird auf die Waage gelegt und die Waage auf 0 mg eingestellt. Anschliessend wird die Röhre mit Quecksilber füllt (ρ Quecksilber = 13.5 kg/dm 3 ) und erneut auf die Waage gelegt. Diese zeigt nun 75.4 mg an. Welchen inneren Durchmesser hat die Glasröhre? 10. Auf einem ebenen Landstück muss ein 360 m langer Damm aufgeschüttet werden, dessen Querschnitt ein gleichschenkliges Trapez ist (Höhe 3.6 m, parallele Seiten 12.5m und 4 m). Das Material wird mit Eisenbahnwagen herangeführt, auf die 10 t geladen werden können. 1 m 3 des Materials wiegt etwa 1.4 t. Wie viele Wagen sind nötig? 11. In einer Dachkonstruktion soll ein Balken mit quadratischem Querschnitt (Flächeninhalt 64 cm 2 ) einen grösseren Balken gemäss Figur durchdringen. Wie gross ist das Volumen der dazu notwendigen prismatischen Öffnung im grossen Balken? 12. Ein Quader wird durch einen ebenen Schnitt in zwei Prismen zerlegt. Berechne ihre Volumen, wenn a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm, BP = CQ = 2 cm und SPF = 60.

4 Übungsserie 3 : Pyramiden 13. Ein Dreieck mit Flächeninhalt 14 cm 2 ist die Grundfläche einer Pyramide, deren Höhe 6.5 cm misst. Berechne ihr Volumen. 14. Die Grundfläche einer Pyramide mit dem Volumen 30 cm 3 ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlänge 6 cm. Wie hoch ist die Pyramide? 15. Eine regelmässige vierseitige Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 4 cm. Ihre Höhe ist 6 cm lang. Wie gross ist die Oberfläche der Pyramide? 16. ABCD ist eine Seitenfläche und M der Mittelpunkt des Würfels mit 1 dm Kantenlänge. Welcher Bruchteil des Würfelvolumens entspricht dem Volumen der regelmässigen Pyramide mit der Grundfläche ABCD und Spitze M? 17. Ein 1.4 m langer Holzpfahl mit quadratischem Querschnitt (Quadratseite 12 cm) wird an einem Ende pyramidenförmig zugespitzt. Die so entstehende Pyramide ist 20 cm hoch. 1 cm 3 des verwendeten Holzes wiegt 0.6 g. Wie schwer ist der Pfahl? 18. Ein Turmhelm entspricht einer regelmässigen vierseitigen Pyramide mit Grundkanten der Länge 3.6 m und einer Höhe von 6.8 m. Das Ziegeldach darauf wird erneuert. Der Dachdecker verlangt einen Preis von Fr pro m 2. Wie gross wird der Rechnungsbetrag? 19. Eine regelmässige sechsseitige Pyramide hat Grundkanten der Länge 8 cm und doppelt so lange Seitenkanten. Berechne die Höhe dieser Pyramide. 20. Eine vierseitige Pyramide im kartesischen Koordinatensystem hat die Grundfläche A( 4 1 0), B( 4 6 0), C( 1 6 0) und D( 1 1 0) und die Spitze ( 2 0 5). Zeichne einen Schrägriss davon und berechne dann ihr Volumen. 21. Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit der Länge a = 12 cm und der Breite b = 6 cm. Das Volumen der Pyramide beträgt 240 cm 3. a) Berechne die Höhe der Pyramide b) Der Pyramide wird 7.5 cm über der Grundfläche die Spitze abgeschnitten. Wie viel Prozent des Pyramidenvolumens sind noch übrig? 22. Ein Blumentopf hat die Gestalt eines quadratischen Pyramidenstumpfs mit der oberen Weite 30 cm und der unteren Weite 25 cm. Die Seitenkanten messen 52 cm. Wie viel Erde fassen 100 dieser Blumentöpfe? 23. Bei einer regelmässigen sechsseitigen Pyramide mit einer Grundkante von a = 3 cm misst die Höhe 8 cm. Wie viele Prozente des ganzen Oberflächeninhalts macht die Mantelfläche aus?

5 Kantonsschule Solothurn Stereometrie RYS Übungsserie 4: Kegel und Kugel 24. Ein Kreiskegel hat den Grundkreisradius r = 5.6 cm und die Höhe h = 7.2 cm. Berechne sein Volumen. 25. Ein gerader Kegel mit Mantellinien der Länge s = 5.8 cm hat den Mantelinhalt M = 52.8 cm 2. Berechne den Grundkreisradius und das Volumen des Kegels. 26. Der Mantel eines geraden Kegels ist ein Kreissektor mit Zentriwinkel α = 240 und Radius s = 4 cm. Berechne seinen Grundkreisradius, seine Höhe, sein Volumen und den Oberflächeninhalt. 27. Dreht man ein gleichschenkliges Dreieck ABC um die Trägergerade der Höhe h c, dann entsteht ein gerader Kegel. Wie gross ist sein Volumen, wenn ABC ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 6 cm ist? 28. Eine Tasse ist 6 cm tief. Ihre obere innere Weite beträgt 12 cm, die untere innere Weite misst 5 cm. Die Tasse ist rund. Wie viele Tassen kann man mit einem 2-Liter Teekrug füllen? 29. August Piccard, der Vater von Weltumflieger Bertrand Piccard, verwendete für seine Tiefseeversuche eine Stahlkugel. Der äussere Durchmesser der Kugel betrug 2.16m, die Wandstärke 0.13m. Wie schwer war die Stahlkugel? ( ) 30. Eine Sanduhr in Gestalt eines Doppelkegels ist soeben umgedreht worden. Aller Sand befindet sich wieder im oberen Teil und hat dort selbst die Gestalt eines geraden Kreiskegels mit Grundkreisradius r = 4.2 cm und Höhe h = 10 cm. Der Sand rinnt nun gleichmässig nach unten, und nach einiger Zeit hat die Höhe des oberen Sandkegels um 3 cm abgenommen. a) Wie viele cm 3 Sand sind in der Sanduhr? b) Wie viele cm 3 Sand sind bereits hinuntergerieselt? c) Wie viele Minuten sind seit dem Umdrehen verstrichen, wenn die ganze Sandmenge in 1 Stunde hinunterrieselt? 31. In einem kugelförmigen Behälter befinden sich 20 Liter einer Flüssigkeit. Die Flüssigkeit wird nun in einen würfelförmigen Behälter umgefüllt, in dem sie gerade Platz findet. Anschliessend füllt man sie vom Würfel in einen Zylinder um, wo sie auch exakt hineinpasst. Berechne die Oberflächen der drei Gefässe, wenn einerseits die Einfüllöffnungen vernachlässigt werden können, und andererseits der Durchmesser des Zylinders gerade gleich gross ist wie die Würfelkante.

6 Lösungen Stereometrie Übungsserie 1 1. a) 231 cm 3, 262 cm 2 b) 4.5 cm, cm 2 c) 6 cm, 72 cm 3 d) dm 3, dm2 e) 48 m 3, 104 m 2 2. V = cm 3 3. V = 1536 cm % g 6. V = Übungsserie 2 7. V = cm 3, O = cm 2 8. V = 125 E 3 9. d = cm 10. ca Wagen 11. V = cm O = cm 2, V = cm 3 Übungsserie V = cm h = 5 cm 15. O = 66.6 cm V = 1/3 17. ca. 11 kg Fr. 19. h = cm 20. V = 25 E a) h = 10 cm b) x = cm % Übungsserie V = π 25. V = cm r = h = 3 cm, V = 9π Tassen t 30 a) cm 3 b) cm 3 c) 20 Minuten 34.8 s 31. O K = dm 2, O W = dm 2, O Z = dm 2

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