Kapitel 1. Aussagenlogik

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1 Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17

2 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax der Aussagenlogik (1.2) Semantik der Aussagenlogik (1.3) Boolesche Funktionen, aussagenlogische Formeln und Normalformen (1.4) Exkurs: Entscheidbarkeit und Komplexität Teil II: Ein Kalkül der Aussagenlogik (1.5) Logische Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit (1.6) Ein adäquater Kalkül für die Aussagenlogik: Der Shoenfield-Kalkül für die Aussagenlogik (1.7) Die Vollständigkeit des Shoenfield-Kalküls der Aussagenlogik Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 2/17

3 Übersicht (Fortsetzung) In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter Aussagen basierend auf den Wahrheitswerten der elementaren Teilaussagen. Wir beginnen damit, die hierzu verwendeten Verknüpfungen (Junktoren) einzuführen und deren Bedeutung durch Wahrheits- bzw. Boolesche Funktionen zu beschreiben (Kapitel 1.0). Dann wenden wir uns der Aussagenlogik selbst zu und führen zunächst deren Sprache ein, deren Grundzeichen Symbole für die elementaren Aussagen (Aussagenvariablen) und die verwendeten Verknüpfungen (Junktoren) sind und in der zusammengesetzte Aussagen mit Hilfe von speziellen endlichen Zeichenreihen, den aussagenlogischen (al.) Formeln, dargestellt werden (Syntax der Aussagenlogik; Kapitel 1.1). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 3/17

4 Übersicht (Fortsetzung) Formeln können als Aussageformen interpretiert werden, wobei man die dargestellten Aussagen dadurch erhält man, dass man die Variablen durch konkrete Aussagen ersetzt (wobei natürlich eine mehrfach vorkommende Variable immer gleich ersetzt wird) und die Junktoren durch die von ihnen symbolisierte Verknüpfungen ersetzt. Da der Wahrheitswert von verknüpften Aussagen nicht von den vorkommenden atomaren Aussagen selbst sondern nur von deren Wahrheitswert abhängt, können wir durch Belegung der in einer Formel vorkommenden Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage (in Abhängigkeit von der Belegung) bestimmen (Semantik der Aussagenlogik; Kapitel 1.2). Hierauf basierend werden wir dann die zentralen Begriffe der (Aussagen-) Logik wie Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit (= al. Wahrheit) von al. Formeln sowie (aussagen)logischen Äquivalenz- und Folgerung einführen und diese Konzepte näher untersuchen. Weiter werden wir Normalformen (Disjunktive und Konjunktive Normalform) von Formeln einführen, sowie Entscheidbarkeits- und Komplexitätsfragen erörtern (Kapitel ). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 4/17

5 Übersicht (Fortsetzung) Schließlich zeigen wir, dass man den (semantischen) Wahrheits- und Folgerungsbegriff mit Hilfe eines Kalküls (syntaktisch) beschreiben kann, in dem der semantische Folgerungsbegriff mit der Beweisbarkeit (= syntaktischer Folgerungsbegriff) zusammenfällt und in dem gerade die allgemeingültigen Formeln beweisbar sind (Kapitel ). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 5/17

6 Kapitel 1.0 Junktoren und Wahrheitsfunktionen Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 6/17

7 Verknüpfung von Aussagen Zur Verknüpfung von Aussagen verwenden wir (Verknüpfungs-) Operationen (Junktoren), die wir aus der Umgangssprache kennen: nicht (Negation, Symbol: ) und (Konjunktion, Symbol: ) oder (Disjunktion, Symbol: ) wenn - dann (Implikation, Symbol: ) genau dann - wenn (Äquivalenz, Symbol: ) Dabei werden wir die Bedeutung dieser Verknüpfungen jedoch präzisieren, da diese in der Umgangssprache nicht immer eindeutig festgelegt sind. Hierzu ordnen wir jeder Verknüpfung eine Wahrheitsfunktion (= Boolesche Funktion) zu. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 7/17

8 Wahrheitsfunktionen und Boolesche Funktionen Im Folgenden kürzen wir die Wahrheitswerte WAHR und FALSCH mit W und F ab und identifizieren diese mit den Bits 1 und 0: WAHR = W = 1 und FALSCH = F = 0 Eine n-stellige Wahrheitsfunktion f ist eine Abbildung f : {F, W } n {F, W }. Eine n-stellige Boolesche Funktion f ist eine Abbildung f : {0, 1} n {0, 1}. NB. Wegen der von uns vorgenommenen Identifizierung F = 0 und W = 1 sind Wahrheitsfunktionen gerade Boolesche Funktionen. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 8/17

9 Verknüpfungen und Boolesche Funktionen Verknüpfen wir zwei (oder mehrere) Aussagen, so soll der Wahrheitswert der verknüpften Gesamtaussage nur von den Wahrheitswerten der Teilaussagen sowie der gewählten Verknüpfung abhängen. Die Bedeutung (Semantik) einer n-stelligen Verknüpfungsoperation op kann daher durch eine n-stellige Wahrheitsfunktion bzw. Boolesche Funktion f op festgelegt werden. Wir werden im Folgenden auf diese Weise die Bedeutung der von uns betrachteten Verknüpfungen festlegen. Man beachte dabei, dass die Negation 1-stellig ist, während die anderen Verknüpfungen 2-stellig sind. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 9/17

10 Negation Durch die Negation wird eine Aussage A verneint, d.h. der Wahrheitswert gerade vertauscht: A wahr A falsch und A falsch A wahr Die Negation wird daher durch die 1-st. Boolesche Funktion f mit folgender Wertetabelle definiert: x 0 f (x 0 ) (Die Wertetabelle einer Booleschen Funktion bezeichnet man manchmal auch als Wahrheitstafel.) Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 10 / 17

11 Disjunktion Das ODER wird in der Umgangssprache sowohl inklusiv als auch exclusiv verwendet: Inklusiv: A oder B gilt, wenn A gilt oder B gilt oder wenn sowohl A als auch B gelten. Exklusiv: Hier gilt A oder B nur, wenn entweder A oder B gilt (aber nicht beide). Mit der Disjunktion ( ) bezeichnen wir das inklusive ODER: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Es gilt also gerade: f (x 0, x 1 )=max(x 0, x 1 ). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 11 / 17

12 Konjunktion Beim UND ist der Sprachgebrauch eindeutig: Die Aussage A und B ist wahr, wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Die Konjunktion ( ) wird also durch folgende Boolesche Funktion definiert: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Es gilt also gerade: f (x 0, x 1 )=min(x 0, x 1 ). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 12 / 17

13 Implikation Die Implikation (Folgerung) wird umgangssprachlich meist als sog. materielle Implikation aufgefasst, bei der ein kausaler Zusammenhang hergestellt wird: Wenn es regnet (A), dann wird die Straße nass (B). Die Wahrheit einer solchen materiellen Implikation A B hängt nicht nur von den Wahrheitswerten der Teilaussagen A und B sondern von den Aussagen A und B selbst ab. Hier betrachten wir daher die allgemeinere formale Implikation, bei der ein kausaler Zusammenhang nicht verlangt wird. So ist hier auch die Aussage Wenn es regnet (A), dann ist 3 eine Primzahl (B). wahr. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 13 / 17

14 Implikation (Fortsetzung) Der Wahrheitswert einer formalen Implikation A B ergibt sich wie folgt: Ist die Hypothese A falsch, so ist die Implikation A B unabhängig vom Wahrheitswert von B wahr ( ex falso quodlibet ). Ist die Hypothese A wahr, so muss auch die Konklusion B wahr sein, damit die Implikation A B wahr wird. Die Implikation ( ) wird also durch folgende Boolesche Funktion definiert: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 14 / 17

15 Äquivalenz Zwei Aussagen A und B sind äquivalent, wenn sowohl ABimpliziert als auch BAimpliziert. Die Aussage A B ist also genau dann wahr, wenn die Aussagen A B und B A wahr sind (oder die Aussage (A B) (B A) wahrist). Das lässt sich auch einfacher ausdrücken: A B ist genau dann wahr, wenn A und B entweder beide wahr oder beide falsch sind: x 0 x 1 f (x 0, x 1 ) Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 15 / 17

16 Aussagenlogische Verknüpfungen vs. Boolesche Funktion Wir haben gesehen, dass sich die von uns betrachteten (aussagenlogischen) Verknüpfungen mit Hilfe von Booleschen Funktionen darstellen lassen. Umgekehrt stellt jede n-stellige Boolesche Funktion eine n-stellige Verknüpfung dar. Da es 2 2n verschiedene n-stellige Boolesche Funktionen gibt (warum?), also insbesondere 2 22 = 16 2-st. Boolesche Funktionen, erfassen wir mit den von uns betrachteten Verknüpfungen nur einen Teil der möglichen Verknüpfungen. Wir werden jedoch später zeigen, dass sich jede mögliche Verknüpfung (beliebiger Stelligkeit) als Kombination der von uns betrachteten Verknüpfungen darstellen lässt. In der Tat genügen hierzu die Verknüpfungen und (oder alternativ und ). Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 16 / 17

17 Aussagenlogische Verknüpfungen vs. Boolesche Funktion BEISPIEL. Die 3-stellige Schwellenfunktion s 3 2 : {0, 1}3 {0, 1} nimmt genau dann den Wert 1 an, wenn mindestens zwei Eingaben den Wert 1 haben, ist also durch folgende Wertetabelle bestimmt: x 0 x 1 x 2 s2 3 (x 0, x 1, x 2 ) Man erhält s 3 2 durch die folgende Kombination der Funktionen f und f f (f (f (x 0, x 1 ), f (x 0, x 2 )), f (x 1, x 2 )) und erhält damit eine Darstellung von s 3 2 durch folgenden Ausdruck ((A 0 A 1 ) (A 0 A 2 )) (A 1 A 2 ). Um zusammengesetzte Aussagen und die hierdurch dargestellten Booleschen Funktionen näher zu untersuchen, führen wir nun die Sprache der Aussagenlogik ein, in der Aussagen durch formal definierte Ausdrücke - den Formeln - wie oben repräsentiert werden. Mathematische Logik (WS 2012/13) Kap.1.0: Junktoren und Wahrheitsfunktionen 17 / 17