MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker
|
|
- Christian Mann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker R
2 David Hilbert ( ) Den Begriffen aus der Anschauungswelt fehlt die notwendige mathematische Exaktheit. Gebäude der Geometrie soll nicht mehr auf wackeligen Füssen stehen. Bestreben, die bislang v.a. auf Anschauung basierende und auf Euklid zurückgehende Geometrie möglichst rein axiomatisch zu begründen. Grundlagen der Geometrie (1899), veöffentlicht zur Feier der Enthüllung des Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen. (1886)
3 Hilbert s Grundlagen der Geometrie (1899) (1932) Hilbert entwirft für die euklidische Geometrie ein vollständiges Axiomensystem und darauf aufbauend eine streng axiomatisch begründete Geometrie. Jede Geometrie, die dem Hilbert schen Axiomensystem genügt, ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, nämlich isomorph zum reellen 3D-Vektorraum.
4 Hilbert s Grundlagen der Geometrie (1899)
5 Das Hilbert sche Axiomensystem Hilbert verwendet die drei Dinge Punkte, Geraden und Ebenen. Hilbert verwendet die drei Beziehungen liegen, zwischen und kongruent. kongruent wird als eine Beziehung zwischen Strecken und zwischen Winkeln definiert. (andere Bezeichnung: gleich oder gleich lang; )
6
7 Kongruenz von Segmenten: Wir formulieren die Axiome (C1) bis (C3) C1 Gegeben sei das Segment AB sowie ein Strahl r ausgehend vom Punkt C. Dann! D r sodass AB CD C2 Sei AB CD und AB EF. Dann gilt CD EF. Jedes Segment ist kongruent zu sich selbst. C3 Gegeben seien die Punkte A, B, C, D, E, F mit A*B*C und D*E*F. Falls AB DE und BC EF, dann gilt auch AC DF.
8 Vergleich der Hilbert schen Axiome mit Euklid s Aussagen C1 Gegeben sei das Segment AB sowie ein Strahl r ausgehend vom Punkt C. Dann! D r sodass AB CD C2 C3 Sei AB CD und AB EF. Dann gilt CD EF. Jedes Segment ist kongruent zu sich selbst. Gegeben seien die Punkte A, B, C, D, E, F mit A*B*C und D*E*F. Falls AB DE und BC EF, dann gilt auch AC DF. Das was demselben gleich ist, ist unter sich gleich. (Grundsatz 1 in Buch 1) Gleichem das Gleiche hinzugefügt ergibt Gleiches. (Grundsatz 2 in Buch 1)
9 Vergleich der Hilbert schen Axiome mit Euklid s Aussagen Euklid beweist seine Postulate durch Konstruktionen Hilbert dagegen geht von Existenzen aus: z.b. existieren gewisse Punkte (Axiom C1) bzw. Winkel (Axiom C4) Die Axiome (C1) bis (C3) sind nun unsere Werkzeuge, um Segmente zu verschieben etc. Wir verwenden sie, um die Propositionen zu beweisen.
10 Definition Summe von Segmenten Seien AB und CD Segmente. Sei E r (s. Abb.) sodass CD BE. (Die Existenz von E ist durch das Axiom (C1) gegeben.) Dann ist AE die Summe der Segmente AB und CD und wir schreiben AE := AB + CD
11 Proposition Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation Kongruenz von Segmenten ist eine Äquivalenzrelation. reflexiv: Jedes Segment ist kongruent zu sich selbst Beweis: Axiom (C2). symmetrisch: zu zeigen: AB CD impliziert CD AB. Beweis: AB CD und AB AB (wegen Reflexivität) Dann folgt mit Axiom (C2) CD AB transitiv: zu zeigen: AB CD und CD EF impliziert AB EF. Beweis: CD AB (wegen Symmetrie) und CD EF Dann folgt mit Axiom (C2) AB EF Bemerke: Häufige Verwendung von Axiom (C2) als Werkzeug für den Beweis.
12 Proposition Summen kongruenter Segmente sind kongruent Gegeben seien die jeweils kongruenten Segmente AB A B und CD C D. Dann gilt AB + CD A B + C D Beweis: Tafel
13 Proposition Subtraktion von Segmenten In der folgenden Proposition interpretieren wird Euklid s Grundsatz: Gleichem das Gleiche weggenommen ergibt Gleiches Seien A, B, C Punkte, sodass A*B*C. Sei r ein Strahl, ausgehend von D, mit E und F auf r. Seien AB DE und AC DF. Dann liegt E zwischen D und F (d.h. D*E*F) und es gilt BC EF. BC ist die Differenz von AC und AB. Das Ganze ist grösser als ein Teil davon. (Euklid) d.h. aus A*B*C folgt, dass AB AC (es sei denn B=C). Wir müssen kleiner und grösser definieren.
14 Definition: kleiner und grösser Seien AB und CD (Linien-) Segmente. Dann definieren wir: AB < CD : E mit C*E*D sodass AB CE.
15 Proposition zu kleiner und grösser Die Definition kleiner/grösser ist kompatibel mit dem Kongruenz-Begriff: (a) Seien AB A B und CD C D. Dann gilt: AB < CD A B < C D (b) Die Relation < stellt eine Ordnungsrelation auf Kongruenzklassen dar: i. AB < CD, CD < EF AB < EF. ii. Seien AB, CD Segmente. Es gilt genau eine der folgenden Aussagen: AB < CD AB CD AB > CD Beweis zu (b) i.: Tafel
16 Anwendung: Kongruenz von Segmenten in der kartesischen Ebene Ziel: Wir wollen den Begriff Kongruenz mit Leben füllen Die kartesische Ebene im R 2 soll ein Modell für die Axiome (I1)-(I3), (B1)-(B4) und (C1)-(C3) sein. Definiere die Distanz zwischen zwei Punkten A=(a 1,a 2 ) und B=(b 1,b 2 ) durch (Euklidische Distanz / Metrik auf R 2 ) Es gilt d(a,b) 0 und d(a,b) = 0 A=B Wir interpretieren nun den Kongruenz-Begriff wie folgt: AB CD : d(a,b) = d(c,d)
17 Anwendung in der Ebene der reellen Zahlen Wir wollen die Axiome (C1)-(C3) überprüfen! Tafel
18 Anwendung in der Ebene der rationalen Zahlen Gelten die Axiome (C1) bis (C3) auch in der kartesischen Ebene der rationalen Zahlen 2? (C2) gilt (C3) gilt (C1) gilt jedoch i.a. nicht Gegenbeispiel an Tafel
19 Anwendung in der Taxi-Geometrie Wir definieren eine andere Distanzfunktion: à Die taxicab geometry (C1) Sei d(a,b) = δ und sei C=(c 1,c 2 ). Gesucht D auf dem Strahl mit Steigung m>0. D=(c 1 +h, c 2 +mh) d(c,d)= c 1 - (c 1 +h) + c 2 - (c 2 +mh) = h(1+m) == δ h = δ/(1+m) Die Koordinaten von D sind eindeutig: D = (c 1 + δ/(1+m), c 2 + mδ/(1+m))
20 Anwendung in der Taxi-Geometrie Wir definieren eine andere Distanzfunktion: à Die taxicab geometry (C2) Sei d(a,b) = δ AB CD d(a,b) = d(c,d) d(c,d) = δ AB EF d(a,b) = d(e,f) d(e,f) = δ d(c,d) = δ = d(e,f) CD EF
21 Anwendung in der Taxi-Geometrie Wir definieren eine andere Distanzfunktion: à Die taxicab geometry (C3) Wir zeigen, dass die taxicab-distanzfunktion additiv ist. Seien hierzu A, B und C Punkte auf der Linie mit der Gleichung y=mx+b A = (a 1, a 2 ) B = (a 1 +h, a 2 +mh) C = (a 1 +h+k, a 2 +m(h+k)) d * (A,B) = h(1+m) d * (B,C)= a 1 +h-a 1 -h-k + a 2 +mh-a 2 -mh-mk = -k + -mk = k(1+m) d * (A,C)= a 1 -a 1 -h-k + a 2 -a 2 -mh-mk = -(h+k) + -(mh+mk) = (h+k)(1+m) d * (AB) + d * (B,C) = d * (A,C)
22 Anwendungen mit unterschiedlichen Distanzfunktionen Frage: Wie sieht ein Kreis mit Mittelpunkt (0/0) und Radius 1 in dieser Taxi-Geometrie aus? mit der supremum-distanzfunktion aus? und mit dieser?, falls AB horizontal oder senkrecht, sonst
23
24 Kongruenz von Winkeln Winkel: Vereinigung von zwei Strahlen, die dem selben Punkt entspringen Strahlen liegen nicht auf der gleichen Linie 180 Winkel ist in diesem Sinne kein Winkel Einführung vom Begriff der Kongruenz von Winkeln, in Zeichen BAC EDF
25 Hilbert s Axiome zur Kongruenz von Winkeln C4 Gegeben sei der Winkel BAC und ein Strahl DF ausgehend D. Dann! Strahl DE ausgehend von D sodass BAC EDF C5 Gegeben seien drei Winkel α, β, γ mit α β und α γ. Dann gilt β γ. Jeder Winkel ist kongruent zu sich selbst. C6 (SAS) Gegeben seien 2 Dreiecke ABC u. DEF, wobei AB DE und AC DF und BAC EDF. Dann sind die beiden Dreiecke kongruent und es gilt: BC EF, ABC DEF, ACB DFE.
26 Vergleich von Hilbert und Euklid Hilbert betrachtet (C4) als Axiom: Aussage, dass ein solcher Winkel existiert. Euklid beweist dies durch eine Konstruktion mit Lineal und Winkelmesser (I.23) Hilbert hat realisiert, dass Euklid seinen Kongruenzsatz (SWS), zumindest seinen wesentlichen Inhalt, nicht beweisen kann (erstmals angedeutet von Peletarius, 1557). Er führt die Aussage deshalb als Axiom (C6) ein. Die Einführung von (C6) ist essentiell, da dieses Axiom unabhängig von den anderen Axiomen ist. Wie bei der Kongruenz von Linien-Segmenten werden wir auch hier die Axiome als Werkzeuge benutzen, um Propositionen zu beweisen.
27 Proposition: Kongruenz ist eine Äquivalenrelation Kongruenz von Winkeln ist eine Äquivalenzrelation. Beweis: Analog zum Beweis für Segmente unter Verwendung von Axiom (C5) statt (C2).
28 Zur Summe von Winkeln Die Summe von zwei Winkeln sollte wieder ein Winkel sein Sei BAC ein Winkel und der Strahl AD, ausgehend von A, liege im Innern dieses Winkels. Dann können wir sagen: BAC ist die Summe von DAC und BAD. Beginnend mit 2 gegebenen Winkeln kann es sein, dass die Summe kein Winkel in unserem Sinne mehr ist, z.b. wenn sie 180 = 2 rechte Winkel ist grösser als 180 ist (die 2 ursprünglichen Winkel sind nicht mehr im Innern des Summenwinkels) Im Folgenden werden wir sehen, wie wir mit Summen und Ungleichheiten umgehen.
29 Definitionen: Ergänzungswinkel, Scheitelwinkel, rechter Winkel Sei BAC ein Winkel und D ein Punkt auf der Linie AC (s. Abb.), dann ergänzen sich die Winkel BAC und BAD (Ergänzungswinkel) Als Scheitelwinkel bezeichnen wir zwei gegenüberliegende Winkel, wenn sich zwei Linien schneiden. Als rechten Winkel bezeichnen wir einen Winkel α, welcher kongruent zu einem seiner Ergänzungswinkel β ist.
30 Proposition zu Ergänzungswinkeln Seien BAC und BAD sowie B A C und B A D jeweils Ergänzungswinkel, wobei BAC B A C. Dann gilt: BAD B A D. Diese Proposition entspricht Euklid s (I.13): Winkel, die durch einen Strahl, der von einer Linie ausgeht, entstehen, sind entweder rechte Winkel oder gleich zwei rechten Winkeln.
31 Ein Korollar zu Scheitelwinkeln Scheitelwinkel sind kongruent. Beweis: Die beiden Scheitelwinkel α und α sind jeweils Ergänzungswinkel von β. Der Winkel β ist kongruent zu sich selbst. Wir haben zwei Paare von Ergänzungswinkeln: (α, β) und (α, β). Da β β, gilt gemäss vorheriger Proposition auch α α.
32 Proposition zur Addition von Winkeln Sei BAC ein Winkel und AD ein Strahl im Innern dieses Winkels. Sei D A C DAC und B A D BAD, wobei die Strahlen A B und A C nicht auf der gleichen Seite von A D liegen (s. Abb.). Dann beschreiben die Strahlen A B und A C einen Winkel B A C (die Summe!) und es gilt B A C BAC und A D ist ein Strahl im Innern von B A C. Kurz: Die Summen zueinander kongruenter Winkel sind kongruent.
33 Definition zur Ungleichheit von Winkeln Gegeben seien zwei Winkel BAC und EDF. Dann gilt: BAC < EDF : Strahl DG, ausgehend von D, im Innern von EDF, sodass BAC GDF
34 Ungleichheit: Ordnungsrelation auf Kongruenzklassen (a) (α α und β β ) (α < β α < β ) (b) Ungleichheit definiert eine Ordnungsrelation auf Kongruenzklassen von Winkeln, d.h. i. α < β und β < γ, dann gilt α < γ ii. Für zwei beliebige Winkel α, β gilt genau einer der folgenden Aussagen: α < β α β α > β Beweis: Analog zur analogen Proposition über Segmente.
35 Proposition zu rechten Winkeln Je zwei rechte Winkel sind zueinander kongruent. Beweis: Diese Aussage kann tatsächlich bewiesen werden und muss nicht - wie bei Euklid als Axiom vorausgesetzt werden.
36 Die Axiome (C4)-(C6) in der kartesischen Ebene im R 2 Die Axiome (C4) bis (C6) gelten in der kartesischen Ebene. Diese Aussage werden wir erst später zeigen und zwar sehr allgemein: Jede kartesische Ebene über einen geordneten Körper, welcher gewisse algebraische Anforderungen erfüllt, ist ein Modell für Hilbert s Axiome.
37 Die Kongruenz-Axiome für Winkel in der Taxi-Geometrie Wir nehmen die Betrags-Distanzfunktion: à Die taxicab geometry (C4) und (C5) gelten (Tafel) (C6) gilt jedoch i.a. nicht Gegenbeispiel: Wähle A=(0/0), B=(0.1/0.9), C=(1/0) D=(0/0), E=(0.4/0.5), F=(0.5/-0.5) Für ABC gilt: d(a,b)= =1 und auch d(a,c)=1. tan(α)= 9-0 = 9 (m = 9 (A nach B) und m = 0 (A nach C)) Für DEF gilt: d(d,e)= =1 und auch d(d,f)=1. tan(α)= m -m 1+m m tan(γ)= 1.25-(-1) = 9 (m = 1.25 (D nach E) und m = -1 (D nach F)) 1+(1.25 (-1)) Voraussetzungen erfüllt, aber: d(b,c) = = d(e,f) BC EF
38 Danke für eure Aufmerksamkeit!
1 Angeordnete Körper und Anordnung
1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG 1 1 Angeordnete Körper und Anordnung Die nächste Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie nicht über jeden Körper möglich ist.
MehrElementar Geometrie: Axiome, Sätze, Denitionen und Propositionen. 23. Juni 2014
Elementar Geometrie: Axiome, Sätze, Denitionen und Propositionen 23. Juni 2014 1 1. Euklidische Geometrie (a) Ane Räume i. Denition: Ein aner Raum besteht aus einer Menge A, einem R-Vektorraum V und einer
MehrLetzte Woche wurden uns die Axiome von Hilbert vorgestellt, genauer gesagt haben wir gesehen:
Hilbert Ebene Letzte Woche wurden uns die Axiome von Hilbert vorgestellt, genauer gesagt haben wir gesehen: - die Axiome der Verknüpfungen (Axioms of Incidence) - die Axiome der Anordnung (Axioms of Betweeness)
MehrZur Deckung bringen präzisiert werden. Ich stelle zunächst Hilberts Version vor, wähle aber anschließend einen anderen, etwas anschaulicheren Weg.
30 Jetzt soll der Begriff der Kongruenz bzw. Euklids vage Vorstellung vom Zur Deckung bringen präzisiert werden. Ich stelle zunächst Hilberts Version vor, wähle aber anschließend einen anderen, etwas anschaulicheren
MehrAxiomatische Geometrie. Ruben Jakob Sommersemester 2016 Universität Tübingen
Axiomatische Geometrie Ruben Jakob Sommersemester 2016 Universität Tübingen Inhaltsverzeichnis I Einführung 1 II Hilberts Axiomensystem 1 1 Axiome der Inzidenz 1 2 Axiome des Zwischenseins 3 3 Axiome
Mehr4. Kongruenz ohne Parallelen.
4. Kongruenz ohne Parallelen. Den Griechen war bald klar, dass es bei einer solchen fundamentalen Frage, wie der nach der Existenz eines Pentagons, nicht mehr um noch so clevere geometrische Tricks gehen
MehrKlausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul 2,
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul, GHPO I vom.7.003, RPO vom 4.08.003 Einführung in die Geometrie Wintersemester 1/13, 1. Februar 013 Klausur zur ATP, Modul, Einführung
MehrAufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks.
Aufgabe 11.1 Definieren Sie die Begriffe Innenwinkel eines Dreiecks und Außenwinkel eines Dreiecks. (Innenwinkel eines Dreiecks): Sei ABC ein Dreieck. Die Winkel < AB +, AC + ; < BA +, BC + und < CA +,
MehrEbene und. Gerade, 2. Punkte A, B, C,..., die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.
16 3 Das Axiomensystem Motiviert von den Elementen des Euklid, wollen wir jetzt ein modernes Axiomensystem für die Ebene Geometrie aufstellen. Zum ersten Mal wurde das um 1900 von David Hilbert geleistet,
Mehrzur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am
Nachklausur zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am 12.7.17 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Punkte Bearbeiten Sie bitte drei der vier folgenden
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit
MehrLösungen zu den Aufgaben 7. Klasse
Lösungen zu den Aufgaben 7. Klasse Beachte: Einheit bei allen Geometrieaufgaben: 1 Kästchenlänge 1 cm 1. Achsen- und Punktsymmetrie Achsenspiegelung: Punktspiegelung: 1 Lösungen zu den Aufgaben 7. Klasse
MehrKlausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul 2,
PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilprüfung, Modul, GHPO I vom.7.00, RPO vom 4.08.00 Einführung in die Geometrie Wintersemester 1/1, 1. Februar 01 Klausur zur ATP, Modul, Einführung
Mehr3. Die Existenz des Pentagons.
3. Die Existenz des Pentagons. In dieser Vorlesung werden wir sehen wie die Griechen bewiesen haben, dass es das Pentagon wirklich gibt. Dieser Beweis ist schon recht anspruchsvoll. So anspruchsvoll, dass
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.22 2017/05/15 15:10:33 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit
Mehr3 Geometrisches Beweisen
22 3 Geometrisches Beweisen 3.1 Axiome Durch empirische Untersuchungen werden immer wieder Gesetzmäßigkeiten gefunden, die man versucht durch logische Schlüsse zu begründen. Irgendwann am Ende einer Schlusskette
MehrKlausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am
Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am 23.1.2015 Bearbeiten Sie bitte zwei der drei folgenden Aufgaben! Falls Sie alle drei Aufgaben bearbeitet haben sollten, kennzeichnen
Mehr3.1.1 Satz: (sws) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ï
3 Dreiecke 3.1 Grundlegende Sätze (zum Teil bewiesen in den Übungen) 3.1.1 Satz: (sws) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ï 2 1 bereinstimmen in zwei Seiten und dem dazwischenliegenden Winkel. 3.1.2
MehrPhysikalischer Raum. Euklidischer Raum
Physikalischer Raum Aus unserer Erfahrung schreiben wir dem Raum intuitiv bestimmte Eigenschaften zu. Intuition ist aber nicht ausreichend zum Aufbau einer Theorie. Es bedarf vielmehr einer präzisen mathematischen
Mehr6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
MehrVierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist
7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d
MehrModulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am
Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am 28.6.17 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Punkte Bearbeiten Sie bitte drei der vier folgenden Aufgaben!
MehrMAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.
1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.6 2013/04/18 15:03:29 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir hatten gerade begonnen uns mit den speziellen Punkten im Dreieck zu beschäftigen. Dabei beschränken
MehrElementare Geometrie Vorlesung 16
Elementare Geometrie Vorlesung 16 Thomas Zink 19.6.2017 1.Homothetien Definition Es sei E eine Ebene. Eine Homothetie h : E E ist eine bijektive Abbildung, so dass (1) Wenn a E eine Gerade ist, so ist
MehrDie Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende
MehrKonvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? Haus der Vierecke. Dr.
Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 40 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? 2 / 40 Wir betrachten nur
Mehr12. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1972/1973 Aufgaben und Lösungen
12. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1972/1973 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 12. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg
Mehr8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie. Das Erlanger Programm.
8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie Nach den bisherigen Ergebnissen müssen wir uns nun um die Gruppe PSL 2 C kümmern. Das Studium dieser Gruppe wird uns in dieser Vorlesung zu einem neuen
MehrLogische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15
Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 26. November 2014 Was kommt nach den natürlichen Zahlen? Mehr als die natürlichen Zahlen braucht man nicht, um einige der schwierigsten
MehrElementare Geometrie Vorlesung 10
Elementare Geometrie Vorlesung 10 Thomas Zink 24.5.2017 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck eine Folge von drei Punkten ABC in E, die nicht
MehrAufgabe 1: Multiple Choice Test
PH Heidelberg, Fach Mathematik, Klausur zur Teilprüfung Modul, Einführung in die Geometrie, SS010, 30.07.010 Aufgabe 1: Multiple Choice Test Kennzeichnen Sie die Ihrer Meinung nach richtigen Antworten.
MehrInstitut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel
Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,
MehrMathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 1.6. $Id: dreieck.tex,v /06/01 11:41:57 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mathematische Proleme SS 2017 Donnerstag 1.6 $Id: dreieck.texv 1.31 2017/06/01 11:41:57 hk Exp $ 2 Dreiecke 2.1 Dreieckserechnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine weitere
MehrElementare Geometrie Vorlesung 19
Elementare Geometrie Vorlesung 19 Thomas Zink 28.6.2017 1.Gleichungen von Kreisen Es sei OAB ein kartesisches Koordinatensystem der Ebene E. Für einen Punkt P mit den Koordinaten (x, y) schreiben wir auch
MehrIn diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln.
2. Hilbertschen Geometrie II: Kongruenzsätze In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln. Strecken Kongruenz. Definition. Eine Strecken Kongruenz (oder einfach: Kongruenz) einer Geometrie
MehrEbene Elementargeometrie
Ebene Elementargeometrie Im Folgenden unterscheiden wir neben Definitionen (Namensgebung) und Sätzen (nachweisbaren Aussagen) so genannte Axiome. Axiome stellen der Anschauung entnommene Aussagen dar,
MehrElementare Geometrie Vorlesung 4
Elementare Geometrie Vorlesung 4 Thomas Zink 3.5.2017 1. Der Drehwinkel zwischen zwei Strahlen Es seien s und t zwei Strahlen in der Ebene mit dem gleichen Anfangspunkt A. Man legt ein Ziffernblatt um
Mehr4. Parallelität ohne Metrik
4. Parallelität ohne Metrik In der Euklidischen Geometrie wird nicht gemessen. as hat zwei Gründe. Erstens, gab es bei den Griechen noch kein entwickeltes Stellenwertsystem. Zweitens, haben sie ja schon
Mehr4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
Mehr6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.
6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese
Mehr1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale
Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen
MehrMusterlösung zur Klausur Grundwissen Schulmathematik am
Musterlösung zur Klausur Grundwissen Schulmathematik am 24.2.2012 Aufgabe 1 (10 Punkte) Zeigen Sie: Für alle n N ist n 3 3n 2 +2n durch 6 teilbar. svorschläge Beweis durch Induktion nach n n = 1. Es ist
MehrGrundlagen der Geometrie
Grundlagen der Geometrie Vorlesungsausarbeitung zum WS 2010/11 von Prof. Dr. K. Fritzsche ii Inhalt 0 Grundlagen der Schulgeometrie 1 I Die Elemente : Inzidenz und Anordnung 9 1. Die deduktive Methode
MehrDas Parallelenproblem
Proseminar zur Linearen Algebra und Elementargeometrie Das Parallelenproblem Wintersemester 2016/17 von: Yann-Martin Jeannès yanniymj@gmx.net Prof. Dr. L. Schwachhöfer Technische Universität Dortmund V.
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 9. November 2017 1/34 Beispiel 3.6 Wir können die rationalen Zahlen wie folgt konstruieren:
MehrGrundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe
ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und
MehrSeminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen Geometrie und die Summe von Quadraten Clara Brünn 25. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Geometrie allgemein.................................
Mehr9. Geometrische Konstruktionen und Geometrische Zahlen.
9. Geometrische Konstruktionen und Geometrische Zahlen. Die Dreiteilungsgleichnung. Das Problem der Dreiteilung des Winkels wurde von Descartes vollständig gelöst. Dies ist in der Geometrie von Descartes
Mehr} Symmetrieachse von A und B.
5 Symmetrieachsen Seite 1 von 6 5 Symmetrieachsen Gleicher Abstand von zwei Punkten Betrachtet man zwei fest vorgegebene Punkte A und B, drängt sich im Zusammenhang mit dem Abstandsbegriff eine Frage auf,
MehrDrehung um einen Punkt um Winkel α.
Drehung um einen Punkt um Winkel α. Sei A R 2 und α R. Drehung um A um Winkel α ist eine Abbildung D A (α) : R 2 R 2 welche wie folgt definiert ist: D A (α) = T A D 0 (α) T ( A), wobei die Abbildung D
MehrGeometrie, Einführung
Geometrie, Einführung Punkte, Linien 1. Gib die Längen von 3 Strecken r, s. t an, welche nicht die Seiten eines Dreiecks sein können. Begründe deine Wahl. 2. a) Zeichne Punkte und Geraden, welche folgende
Mehr6. Analytische Geometrie : Geraden in der Ebene
M 6. Analtische Geometrie : Geraden in der Ebene 6.. Vektorielle Geradengleichung Eine Gerade ist durch einen Punkt A und einen Richtungsvektor r eindeutig bestimmt. Durch die Einführung eines Parameters
Mehr2.5 Bewegungen und Kongruenz
73 2.5 Bewegungen und Kongruenz Schon öfter wurde das Axiomensystem von Hilbert erwähnt. Hier soll kurz auf dieses System eingegangen werden. Die Einteilung in Gruppen von Axiomen haben wir schon von Hilbert
MehrKonstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
Mehrb liegt zwischen a und c.
2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =
Mehr1.2 Abstände und Winkel
5 1.2 Abstände und Winkel Im Folgenden werde zunächst der n-dimensionale affine Standardraum A n = (R n, R n, τ) zugrunde gelegt und in der Regel auch A n = R n gesetzt. Im Vektorraum R n stehen das (euklidische)
MehrMusterlösungen Klausur Geometrie
Musterlösungen Klausur Geometrie Aufgabe 1 (Total: 8 Punkte). Seien A, B, C die Eckpunkte eines nichtentarteten Dreiecks in der euklidischen Ebene. Seien D, E, F derart gewählt, dass folgende Teilverhältnisse
MehrVorlesungsnotizen Woche 12 Nichteuklidische Geometrie, WS (Weiss)
22.01.2016 Vorlesungsnotizen Woche 12 Nichteuklidische Geometrie, WS 2015-2016 (Weiss) Hier geht es meistens um einen metrischen Raum X, der die Axiome I und II erfüllt, aber Axiom III verletzt. Wir legen
Mehri=1 j= 5 2. Verifizieren Sie die Gleichung indem Sie die Ausdrücke ohne Summenzeichen schreiben. j=0
Übungen zur Einführung in die Analysis (Einführung in das mathematische Arbeiten WS 2017 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung von Summen- bzw. Produktzeichen: 7 2 3 5 k 2k+1, a k, 2
MehrKapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
MehrGleitspiegelung und Verkettungen von Spiegelung und Parallelverschiebung
Gleitspiegelung und Verkettungen von Spiegelung und Parallelverschiebung Def. Eine Gleitspiegelung ist eine Spiegelung an einer Geraden (Spiegelachse) verknüpft mit einer Translation parallel zu dieser
MehrHyperbolische Symmetrien
Hyperbolische Symmetrien Nina Dietsche Robert Papin 01.07.2010 1 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien Hyperbolische Symmetrien 2 Nina Dietsche, Robert Papin Hyperbolische Symmetrien Inhaltsverzeichnis
Mehr1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)
Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus
Mehr16. Platonische Körper kombinatorisch
16. Platonische Körper kombinatorisch Ein Würfel zeigt uns, daß es Polyeder gibt, wo in jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenlaufen, und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird. Das Tetraeder
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
MehrGymnasium Hilpoltstein Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
Wissen / Können 1. Symmetrie Gymnasium Hilpoltstein Grundwissen 7. Jahrgangsstufe Definitionen und Beispiele Achsensymmetrie Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch Umklappen um eine Gerade
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich
MehrEuklid von Alexandria
Euklid von Alexandria lebte ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr. systematisierte in 13 Büchern ( Elemente ) das mathematische Wissen der Antike - bis ins 19. Jahrhundert nach Bibel das am meisten verbreitete
Mehr3 Topologische Gruppen
$Id: topgr.tex,v 1.2 2010/05/26 19:47:48 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Als letztes Beispiel eines topologischen Raums hatten wir die Zariski-Topologie auf dem C n betrachtet, in der die abgeschlossenen
MehrGrundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM EGNITZ math-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 EGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Grundwissen JS 7: Geometrie 17 Juli 2007 1(a) Wann heißt
Mehr5. Äquivalenzrelationen
5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)
MehrGeometrie und Lineare Algebra für das Lehramt
Geometrie und Lineare lgebra für das Lehramt Stefan Haller Dies ist ein Skriptum zu meiner Vorlesung im Sommersemester 2018. Es steht unter http://www.mat.univie.ac.at/~stefan/geometrie.s2018.html zur
Mehr3. Winkelsätze und der Kongruenzsatz (WWS).
3. Winkelsätze und der Kongruenzsatz (WWS). Nachdem wir die beiden ersten Kongruenzsätze bewiesen haben, kommen wir zum ritten Kongruenzsatz (WWS). r ist der am schwersten zu beweisende. Um ihn zu beweisen,
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 37 Neben den drei Eckpunkten eines Dreieckes gibt es noch weitere charakteristische Punkte eines Dreieckes wie
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 36 Dreiecke In dieser und der nächsten Vorlesung stehen Dreiecke im Mittelpunkt. Unter einem Dreieck verstehen
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 2. Runde 2015/2016
Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen. Runde 05/06 Aufgabe An der Tafel steht eine positive ganze Zahl. Abwechselnd ersetzen Nora und Marius die Zahl an der Tafel durch eine neue
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.21 2017/05/13 16:28:55 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrWiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
MehrAchsen- und punktsymmetrische Figuren
Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken
Mehr1. LESEPROBE KAPITEL GEOMETRIE
LESEPROBE KAPITEL GEOMETRIE 1. LESEPROBE KAPITEL GEOMETRIE Beispiel G4.06 Der Kreis k hat den Mittelpunkt M und einen Durchmesser AB (= 2r). Der Halbierungspunkt der Strecke MB heißt C. D ( A, B) sei ein
MehrRegiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7
Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten
MehrDer Satz von Ceva & Satz von Menelaus
Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus Fast Viktor 21. November 2007 Inhaltsverzeichnis Sätze und ihre Beweise Satz von Menelaus Satz von Ceva Winkelhalbierendenschnittpunkt Höhneschnittpunkt Winkelhalbierendenschnittpunkt
MehrDie reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte. Iwan Otschkowski
Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte Iwan Otschkowski 14.12.2016 1 1 Einleitung In dieser Ausarbeitung konstruieren wir einen vollständig geordneten Körper aus gewissen Teilmengen von Q, den Dedekindschen
MehrSphärische Zwei - und Dreiecke
TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sphärische Zwei - und Dreiecke Proseminar innerhalb des Lehramtsstudiums im Fach Mathematik Meryem Öcal Matrikelnummer 168833 Studiengang LABG 2009 Prüfer: Prof. Dr. Lorenz
Mehr5. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1965/1966 Aufgaben und Lösungen
5. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1965/1966 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 5. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
MehrVektorgeometrie Layout: Tibor Stolz
Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P
MehrInstitut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel
Lösungen Übung 7 Aufgabe 1. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Die Figur F wird begrenzt durch die Strecken AB und BC und den Kreisbogen CA auf l. Wir werden die Bilder von AB, BC und CA unter der Inversion
MehrGeometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 3. Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis. Anwendungen & bekannte Sätze
Kapitel 3 Dreieck, Viereck, Fünfeck, Kreis Anwendungen & bekannte Sätze 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Im Folgenden werden Maßzahlen für Winkelgrößen
Mehr13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2010/2011
13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 20/2011 Aufgabe 1 Sonja hat neun Karten, auf denen die neun kleinsten zweistelligen Primzahlen stehen. Sie will diese Karten so in eine
MehrTeil 4. Mengen und Relationen
Teil 4 Mengen und Relationen KAPITEL 10 Äquivalenzrelationen und Faktormengen 1. Äquivalenzrelationen Wir nennen eine Relation von A nach A auch eine Relation auf A. DEFINITION 10.1. SeiΡeine Relation
MehrBeweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.
Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,
MehrKapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen
Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N
MehrDa diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die
MehrÜbersicht zur Vorlesung
Stand: 19.1.2012 Übersicht zur Vorlesung Ausgewählte Kapitel der Geometrie Definitionen/Axiome Anordnungsaxiome Archimedisches Axiom Definition von größer in den reellen Zahlen Intervalle Punkte, Geraden
Mehr