Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

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1 Kettenbrüche Martin Solte Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Die vorliegende Arbeit soll einen Einblick in die Welt der Kettenbrüche bieten. Hierzu werden regelmäßige Kettenbrüche untersucht. Im ersten Abschnitt wird eine kleine Einführung in das Thema gegeben und das Verfahren zur Entwicklung reeller Zahlen in Kettenbrüche vorgestellt. Der zweite Abschnitt behandelt den Zusammenhang von rationalen Zahlen und endlichen Kettenbrüchen. Hier wird der Begriff der Näherungsbrüche eingeführt und deren Eigenschaften untersucht. Der dritte Abschnitt befasst sich mit dem Grenzwert unendlicher Kettenbrüche und deren Eigenschaften. Der vierte Abschnitt konkretisiert schließlich die Vorteile der Approximation reeller Zahlen durch Näherungsbrüche.

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung. Motivation Definition des Kettenbruchs Der Algorithmus zur Berechnung von Kettenbrüchen Endliche Kettenbrüche 3. Darstellung rationaler Zahlen Näherungsbrüche Bildungsgesetz der Näherungsbrüche Eigenschaften der Näherungsbrüche Unendliche Kettenbrüche 8 3. Konvergenz und Irrationalität Eindeutigkeit Periodische Kettenbrüche Annäherung reeller Zahlen 4. Eine Abschätzung des Approximationsfehlers Kettenbrüche als beste rationale Näherung Resümee 5 Literatur 6

3 Einleitung. Motivation Die Entwicklung der Theorie der Kettenbrüche ist durch das Bedürfnis, Brüche oder schwer fassbare Zahlen zu approximieren, motiviert worden. Kettenbrüche fanden Verwendung bei der Annäherung von Verhältnisgrößen in Form von Brüchen, zur Ermittlung von Schaltjahren bei der Kalenderberechnung, zur Annäherung natürlicher Konstanten wie e oder π und zum Beweis der Irrationalität bestimmter Zahlen. Der niederländische Astronom Christiaan Huygens, der 680 bei der Planung eines mechanischen Modells des Sonnensystems auf ein Problem stieß, ist das Paradebeispiel für die ganzzahlige Approximation von Verhältnisgrößen mit Hilfe von Kettenbrüchen: Er musste die Zahnanzahl von zwei Zahnrädern bestimmen, die dem Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten zweier Planeten bei ihrem Umlauf um die Sonne entsprechen. Dieses Verhältnis war durch eine Messung als bestimmt worden. Zahnräder mit derart vielen Zähnen lassen sich jedoch schlecht mechanisch konstruieren, weshalb er vor die Aufgabe gestellt war, dieses Verhältnis möglichst gut anzunähern. Eine naive Näherung wäre zum Beispiel = 777. Die Anzahl der Zähne ist allerdings immer noch zu groß und der relative Fehler ist mit, 6% zu hoch. Auf die Lösung des Problems wird später eingegangen, zunächst sollen einige Grundlagen geklärt werden.. Definition des Kettenbruchs Definition. Ein Kettenbruch ist ein fortgesetzter Bruch der Form a 0 + a + a + b b b 3 a , wobei a i, b i Z. Kettenbrüche, für die b = b = = gilt, heißen regelmäßig. Diese bilden die Klasse der Kettenbrüche, die am besten erforscht ist. In dieser Ausarbeitung werden nur regelmäßige Kettenbrüche untersucht, weshalb im Folgenden auf den Zusatz "regelmäßig"verzichtet, und nur noch von Kettenbrüchen gesprochen wird. Man schreibt einen regelmäßigen Kettenbruch in gekürzter Form: a 0 + a + a + a =: [a 0 ; a, a, a 3,... ] Die a,,... werden Teilnenner genannt und in der Kurzschreibweise von a 0 durch das Semikolon optisch getrennt.

4 .3 Der Algorithmus zur Berechnung von Kettenbrüchen Um eine reelle Zahl in einen Kettenbruch zu entwickeln, so dass gilt x = [a 0 ; a,... ], wird nun ein Algorithmus angegeben. Definition. Sei x R. Definiere den Kettenbruchalgorithmus durch Setze zunächst a 0 := x Bilde nun rekursiv eine Folge durch a i = α i und α i+ = (α i a i ), i N 0. Falls für ein n N 0 gilt α n Z, breche den Algorithmus ab. Dann gilt a n = α n. Es gilt nun α i = a i + α i+ und durch schrittweises Substituieren erhält man einen Kettenbruch, der unter Umständen endlich ist: x = α 0 = a 0 + = a 0 + α a + = = a 0 + a + α a + a (a n + a n ) Bemerkung.3. Es gilt stets x = [a 0 ; a,..., a j, α j ] (im endlichen Fall nur für j n). Begründung: Dies erkennt man leicht an dem Bildungsgesetz.. Existiert a n für ein n, dann gilt α n > und a n. Begründung: Da a n existiert, ist nach Konstruktionsvorschrift α n / Z. Daraus folgt a n < α n < a n +, also 0 < α n a n <. Es ergibt sich α n = (α n a n ) > und daher auch a n = α n. Beispiel.4 Anwendung des Kettenbruchalgorithmus auf einige Zahlen ergibt 9 5 = [0;,,, 6] = [9;,,, 5,, 6,,,,, 9,,, 4,, ] = [;,,,...] π = [3; 7, 5,, 9,,,,,, 3, 4,,,,,,,,, 84,...]

5 Endliche Kettenbrüche. Darstellung rationaler Zahlen Satz. Die Kettenbruchentwicklung von x R bricht genau dann nach endlich vielen Schritten ab, wenn x rational ist. Beweis: Die Hinrichtung ist trivial, denn ein endlicher Kettenbruch lässt sich von unten her auflösen und da alle Teilnenner ganze Zahlen sind, ist der Wert des Kettenbruchs eine rationale Zahl. Um die Rückrichtung zu beweisen, greift man auf den Euklidischen Algorithmus zurück, der eigentlich dazu dient den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen zu ermitteln. Sei x Q. x lässt sich schreiben als x = r 0 r, mit r 0, r Z, und o.b.d.a. r > 0. Aus dem Euklidische Algorithmus (wiederholte Division Rest r i+ ) erhält man insgesamt folgende Gleichungen: r i r i+ mit Quotienten a i und (.) r 0 = a 0 r + r, 0 < r < r ; r = a r + r 3, 0 < r 3 < r ;. r n = a n r n + r n+, 0 < r n+ < r n ; r n = a n r n+ 0 < r n+. Dabei sind alle a i, r i ganze Zahlen. Da die Reste r i für i positiv sind und nach Annahme r > 0, sind alle a, a,..., a n positiv. Die Folge der (r i ) i ist streng monoton fallend und nach unten durch 0 begrenzt also muss sie nach endlich vielen Schritten enden. Zu () ist äquivalent: r i r i+ = a i + r i+ r i+ (i = 0,..., n, falls n ), r n r n+ = a n. Setzt man nun α i := r i r i+, so erhält man schrittweise x = [α 0 ] = [a 0, α ] = [a 0, a, α ]... und nach endlich vielen Schritten x = [a 0, a,..., a n ]. Corollar. Ein Kettenbruch ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Es gilt nämlich: [a 0 ; a,..., a n ] = [a 0 ; a,..., a n, ] Dies ist jedoch die einzige Mehrdeutigkeit die auftreten kann. q.e.d. Begründung: Ist a n >, dann gilt a n = (a n ) +. Man erhält also die Darstellung a n = [a n ; ]. Wenn andererseits a n = ist, dann gilt [a n ; ] = a n +. Dass dies die einzige Mehrdeutigkeit ist, die auftreten kann, sieht man am Beweis für die Eindeutigkeit von unendlichen Kettenbrüchen. Daher sei an dieser Stelle nur auf Satz 3.4 verwiesen. 3

6 . Näherungsbrüche Definition.3 Der Kettenbruch, der aus der Kettenbruchentwicklung [a 0 ; a,..., a n ] durch einen Abbruch nach dem k-ten Teilnenner a k entsteht, heißt k-ter Näherungsbruch und wird mit K k bezeichnet. Beispiel K k = [a 0 ; a,..., a k ], wobei 0 k n. = [0;,,, 6] K 0 = [0] = 0 K = [0; ] = 0 + = K = [0;, ] = 0 + = 3 + K 3 = [0;,, ] = = 3 8 K 4 = [0;,,, 6] = Bildungsgesetz der Näherungsbrüche Wie man an Bsp..4 sieht, ist die intuitive Berechnung der Näherungsbrüche eines Kettenbruchs, indem man ihn von unten her auflöst, sehr umständlich. Durch ein rekursives Bildungsgesetz für Zähler und Nenner kann man die Berechnung erheblich vereinfachen. Außerdem kann man mit Hilfe dieser Rekursionsformel die Grenzwerte unendlicher Kettenbrüche untersuchen, was in Abschnitt 3 behandelt wird. Definition.5 Definiere zu der Folge der Teilnenner a 0, a,..., a n eines Kettenbruchs zwei neue Folgen (p i ) und (q i ) gemäß den Rekursionsformeln (.) p := 0, p :=, p i := a i p i + p i, q :=, q := 0, q i := a i p i + p i, für i = 0,..., n. Satz.6 Es gilt nun mit den in.5 definierten Folgen (p i ) und (q i ) K k = p k q k, für 0 k n Beweis: Sei ein Kettenbruch gegeben [a 0 ; a,..., a n ]. Für k = 0 gilt: p 0 = a = a 0, q 0 = 0 a 0 + =, also K 0 = p 0 q 0 = a 0 was offensichtlich stimmt. Angenommen die Behauptung stimme für ein k. Dann gilt für 4

7 den (k + )-ten Näherungsbruch: [ K k+ = [a 0 ;..., a k, a k+ ] = a 0 ;..., a k, a k + ] a ( ) k+ a k + a k+ p k + p k = ) nach Induktionsvoraussetzung q k (a k + a k+ + q k = =p {}} k { p k a k + p k + p k a k+ mit (.) q k a k + q }{{ k + qk } a k+ =q k = p ka k+ + p k q k a k+ + q k = p k+ q k+.. Eigenschaften der Näherungsbrüche Zur weiteren Untersuchung von Näherungsbrüchen sind folgende Eigenschaften nützlich. Lemma.7 (i) (ii) (q k ) k N0 wächst mindestens so schnell wie die Fibonacci-Zahlen und es gilt q k k für k. Es gilt: (.3) (.4) p k q k p k q k = ( ) k, für k n; p k q k p k q k = a k ( ) k, für k n. (iii) p k und q k sind teilerfremd. Beweis: (i) (ii) Da q 0 = und alle a k erkennt man dies leicht am Bildungsgesetz (.) der Folge (q k ) k N0. (.3) gilt offensichtlich für k =, wegen a a 0 + a 0 a = ( ) 0. Angenommen (.3) gelte für ein k, mit k n. Dann gilt für (k + ) p k+ q k p k q k+ = (a k+ p k + p k ) q k p k (a k+ q k + q k ) mit (.) = a k+ p k q k + p k q k a k+ p k q k p k q k = (p k q k p k qk) = ( ) k nach Voraussetzung = ( ) (k+) 5

8 Damit ist (.3) bewiesen. Hieraus folgt p k q k p k q k = ( )k q k q k a k = q k q k q k. Erweitert man nun (.4) mit q k q k p k q k p k q k = p k q k p k q k + p q p k q k = p kq k p k q k q k q k und nach Umstellung von (.) gilt außerdem > 0, ergibt sich + p k q k p k q k q k q k = ( )k q k q k + ( )k q k q k wegen (.3) = k ( ) k + q k ( ) k q k q k q k = ( )k (q k q k ) = ( )k (q k q k ) q k q k q k q k q k q }{{ k } =a k Multipliziert man beide Seiten mit q k q k erhält man (.4). (iii) Sei d = ggt (p k, q k ). Dann gilt mit (.3) die Teilerbeziehung d ( ) k. Wegen p k q q d k p k k = ( )k Z, folgt d = also sind p d d k und q k teilerfremd. Satz.8 Die Folge der Näherungsbrüche mit geradem (bzw. ungeradem) Index ist streng monoton steigend (bzw. fallend) und jeder Näherungsbruch mit geradem Index ist kleiner als jeder Näherungsbruch mit ungeradem Index. (i) K 0 < K < K 4 <... (ii) K > K 3 > K 5 >... (iii) K s < K r+, r, s N 0 Beweis: Aus.4 folgt a k K k+ K k = ( ) k q k q k K k+ = K k + ( ) k a k q k q }{{ k } >0 Ist k eine gerade Zahl k = j, j N 0, gilt K j+ < K j und damit ist (i) gezeigt. Ist k eine ungerade Zahl k = j + für j N 0, gilt K j+3 < K j+ und damit ist (ii) gezeigt. 6

9 Durch Erweiterung von (.3) mit q k q k erhält man K k K k = ( )k q k q k, k N. Da q k q k > 0 ist, ergibt sich hieraus, dass K 0 < K, K > K, K < K 3, K 3 > K 4,..., und allgemein K 0 < K und K j < K j+, j N gilt. Zusammen mit (i) und (ii) ergibt sich K s K s+r < K s+r+ K r+, für alle s, r N und damit (iii) Corollar.9 Insbesondere ist mit Satz.8 gezeigt, dass zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche die gesuchte rationale Zahl einschließen. Beispiel.0 Die Näherungsbrüche für x = 9, sind wie in Beispiel.4 berechnet 5 K 0 = 0, K = = 0.5, K = , K 3 3 = 3 = 0.375, K 8 4 = x Es gilt offensichtlich K 0 < K < K 4 < K 3 < K und 9 wird von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen 5 eingeschlossen. Beispiel. Zahnrad-Problem von Christiaan Huygens Das eingangs erwähnte Problem, eine möglichst genaue, rationale Näherung von zu bestimmen, die einen möglichst kleinen Nenner haben soll, löste Christiaan Huygens mit Hilfe von Näherungsbrüchen. Bereits der dritte Näherungsbruch lieferte ihm mit einem Umsetzungsverhältnis von 06 zu 7 eine befriedigende Lösung: Die Anzahl der Zähne ist beinahe viermal so klein wie bei der naiven Schätzung (zur Erinnerung: 777) 6 und der relative Fehler beträgt mit ca. 0.0% lediglich etwa des Fehlers bei der naiven Schätzung (.6%). Auf die Genauigkeit der Approximation durch Kettenbrüche 60 wird in Abschnitt 4 noch genauer eingegangen. 7

10 3 Unendliche Kettenbrüche Für die Näherungsbrüche unendlicher Kettenbrüche gelten dieselben Rekursionsformeln und Eigenschaften, wie sie in den Abschnitten.. und.. für endliche Kettenbrüche aufgezeigt wurden. In den Beweisen und Herleitungen hat die Endlichkeit nämlich keine Rolle gespielt. In diesem Abschnitt sollen nun unendliche Kettenbrüche näher untersucht werden. 3. Konvergenz und Irrationalität Satz 3. Liegt ein unendlicher Kettenbruch [a 0 ; a, a,...] mit a 0 Z und allen a, a,... N vor, so konvergiert die unendliche Folge der Näherungsbrüche. Beweis: Mit Satz.8 erhält man folgende unendliche Gleichungskette für die Näherungsbrüche des Kettenbruchs: K 0 < K < K 4 <... < K n <... < K n+ <... < K 5 < K 3 < K. Die Näherungsbrüche mit geradem Index bilden eine streng monoton steigende Folge und sind nach oben (etwa durch K ) begrenzt. Also konvergiert diese Folge von unten gegen einen Grenzwert, den wir als α bezeichnen. Andererseits bilden die Näherungsbrüche mit ungeradem Index eine streng monoton fallende Folge und sind nach unten (etwa durch K 0 ) begrenzt. Also konvergiert diese Folge von oben gegen einen Grenzwert, den wir α nennen. Wegen K n < K n+ gilt für die Grenzwerte der Folgen K n < α < α < K n+. Mit Lemma.7 gilt nun: 0 α α < K s+ K s (q s+ q s ) s ((s + ) s) 0. Es gilt also α = α. Definition 3. Da für jeden unendlichen Kettenbruch die Folge der Näherungsbrüche konvergiert, liegt es nahe, diesen Grenzwert als den Wert des Kettenbruchs zu definieren. [a 0 ; a, a,...] := lim [a 0 ; a,..., a k ] = lim K k k k Corollar 3.3 Der Wert eines unendlichen Kettenbruchs ist eine irrationale Zahl. Beweis: Sei ein unendlicher Kettenbruch gegeben, der den Wert α hat. Sei α Q, etwa α = a b, mit a, b Z und b > 0. Es muss α K k, für alle k 0 gelten, denn sonst wäre der Kettenbruch endlich. Da wir aus dem endlichen Fall wissen, dass α zwischen zwei aufeinander folgenden Näherungsbrüchen liegt (vgl. Corollar.9), gilt 0 < α K k = a b K k < K k+ K k = (.3) (q k q k+ ). Multipliziert man nun mit der positiven Zahl bq k, erhält man 0 < aq k bp k < b q k+. Da q k nach Lemma.7.i) für k unbeschränkt wächst, kann man k groß genug wählen, so dass b < q k gilt. Mit solch einem k ergibt sich also: 0 < aq k bp k < b q k < 8

11 Das bedeutet, dass zwischen 0 und eine ganze Zahl existieren muss, da a, b, p k, q k Z. Dies ist ein Widerspruch! 3. Eindeutigkeit Satz 3.4 Gilt für zwei unendliche Kettenbrüche dann gilt a i = b i für alle i 0. [a 0 ; a, a,...] = [b 0 ; b, b,...] Beweis: Seien zwei unendliche Kettenbrüche [a 0 ; a, a,...] und [b 0 ; b, b,...] gegeben, die denselben Wert α haben. Setze α n := [a n ; a n+, a n+..., ] und β n := [b n ; b n+, b n+,...]. Nun gilt (vgl. Bemerkung.3) [a 0 ; a, a,...] = [a 0 ;..., α n ] und [b 0 ; b, b,...] = [b 0 ;..., β n ], für alle n N 0. Es ist also zu zeigen: Wenn [a 0 ;..., α n ] = [b 0 ;..., β n ] gilt, dann muss a i = b i und α n = β n für alle i, n N 0 mit i n folgen. Für n = 0 gilt dies offensichtlich, da α = [α 0 ] = [β 0 ], woraus folgt, dass α 0 = α = β 0. Sei nun vorausgesetzt die Behauptung stimme für ein n N 0. Dann gilt für (n + ): [a 0 ;..., a n, a n, α n+ = [b 0 ;..., b n, b n, β n+ ] [ a 0 ;..., a n, a n + ] [ = b 0 ;..., b n, b n + ] α n+ β [ n+ a 0 ;..., a n, a n + ] [ = a 0 ;..., a n, b n + ] α n+ β n+ (3.) a n + = b n + α n+ β n+ b n a n = (3.) α n+ < β n+ nach Voraussetzung Die letzte Ungleichheit ergibt sich daraus, dass α n+, β n+ > sind. Da a n und b n ganze Zahlen sind, muss wegen (3.) a n = b n gelten. Zusammen mit (3.) ergibt sich nun, dass auch α n+ = β n+ gilt. Bemerkung 3.5 Da bei endlichen Kettenbrüchen für das letzte Glied a n = α n ist, ist die einzige Mehrdeutigkeit an dieser Stelle möglich. 9

12 3.3 Periodische Kettenbrüche Zunächst sollen einige Beispiele für die Kettenbruchentwicklung irrationaler Zahlen betrachtet werden. Beispiel 3.6 = [;,,,...] Aus ( ) ( + ) ergibt sich = + +. Setzt man die rechte Seite der Gleichung in sich selbst für ein, erhält man = [ ;, + ]. Setzt man dies induktiv fort ergibt sich [;,,,...]. Beispiel = [;,,,,,...] Analog zum vorherigen Beispiel schließt man aus = =, dass 5+ = + 5 folgt, und somit induktiv auf 5+ = [;,,,...]. = Bemerkung 3.8 Die Kettenbruchentwicklung der goldenen Zahl ist also diejenige, mit den kleinstmöglichen Koeffizienten a i = für alle i N 0, die deshalb am langsamsten konvergiert. Als noble Zahlen gelten diejenigen, deren unendliche Kettenbruchentwicklung ab einem gewissen Glied nur noch als Teilnenner enthalten. Durch ihre Verwandschaft mit der goldenen Zahl ist ihnen gemeinsam, dass sie sich durch rationale Zahlen nur sehr schlecht approximieren lassen. Die goldene Zahl gilt daher auch als die nobelste aller Zahlen. Der folgende Satz kennzeichnet die Periodizität von unendlichen Kettenbrüchen. Leonhard Euler zeigte die einfachere Hinrichtung, die bedeutendere Umkehrung geht auf Joseph-Louis Lagrange zurück. Ein Beweis dieses Satzes kann in [4] 0 nachgelesen werden. Satz 3.9 Satz von Euler und Satz von Lagrange x R hat genau dann eine Darstellung als unendlicher, periodischer Kettenbruch, wenn x eine reell-quadratische Irrationalzahl ist (d.h. x / Q ist Lösung einer quadratischen Gleichung ax + bx + c = 0, a 0 mit rationalen Koeffizienten a, b, c). Beispiel 3.0 Nicht periodische, unendliche Kettenbrüche Zur Verdeutlichung des Satzes 3.9 sollen hier noch Beispiele für nicht periodische Kettenbrüche angegeben werden. 3 = [; 3,, 5,,, 4,,, 8,, 4,...] π = [3; 7, 5,, 9,,,,,, 3, 4,,,,,,,,, 84,...] Es gibt auch Zahlen, deren Kettenbruchdarstellung gewisse Regelmäßigkeiten aufweisen, ohne periodisch zu sein. Zum Beispiel hat Leonhard Euler die Identität e = [;,,,, 4,,, 6,,...] bewiesen. Dieser Kettenbruch ist nicht periodisch, die Teilnenner können aber durch eine rekursive Folge bestimmt werden. 0

13 4 Annäherung reeller Zahlen Dass man reelle Zahlen mit Hilfe von Näherungsbrüchen approximieren kann, haben wir gesehn. Wie gut diese Annäherung ist, bzw. ob es nicht eine bessere gibt, soll nun untersucht weren. 4. Eine Abschätzung des Approximationsfehlers Sei pn der n-te Näherungsbruch der irrationalen Zahl α Lemma 4. Es gilt α pn = Beweis: ( ) n (α n+ + ) α = [a 0 ;..., a n, α n+ ] = = p n (a n + α n+ ) + p n (a n + α n+ ) + [ a 0 ;..., a n, a n + ] α n+ = p nα n+ + p n α n+ + mit (.) α p n = (p n α n+ + p n ) p n ( α n+ ) + ( α n+ ) + ( ) n = mit (.3) ( α n+ ) + Satz 4. Es gilt 0 < (+ + ) < α p n < p n+ + p n = + Beweis: Die die zweite Ungleichheit folgt aus Lemma 4. mit Beachtung von α > und dritte Ungleichheit aus der Tatsache, dass zwei aufeinander folgende Näherungsbrüche den Grenzwert des Kettenbruchs einschließen. Die letzte Gleichheit folgt aus (.3).

14 4. Kettenbrüche als beste rationale Näherung In diesem Abschnitt soll der Frage nachgegangen werden, ob sich zur Approximation von irrationalen Zahlen nicht andere rationale Zahlen als die Näherungsbrüche besser eignen. Hierzu wird zunächst der Begriff der besten Näherung definiert. Definition 4.3 Man nennt eine rationale Zahl a mit a Z, b N eine beste Näherung b für α R, wenn für alle c Z, d N mit c a und d b gilt: dα c > bα a. d b Es wird sich zeigen, dass die Approximation durch Näherungsbrüche in diesem Sinne eine beste Näherung darstellt: Die Abweichung von einer irrationalen Zahl α und einem ihrer Näherungsbrüche K n ist betragsmäßig kleiner als die Abweichung zwischen α und jeder rationalen Näherung, die denselben oder einen kleineren Nenner hat. Zunächst sei folgendes Lemma vorangestellt: Lemma 4.4 Sei K n der n-te Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von α R\Q. Wenn a, b Z mit b < + sind, dann gilt α p n bα a. Beweis: Man betrachtet zunächst das lineare Gleichungssystem: (4.) p n β + p n+ γ = a β + + γ = b Wegen (.3) ist die Determinante des LGS ( ) n+ und man erhält durch Auflösen nach γ und β zwei eindeutige, ganzzahlige Lösungen: (4.) (4.3) β = ( ) n+ (+ a p n+ b) γ = ( ) n+ (p n b a) Es muss β 0 sein, denn mit (4.) würde sonst + a = p n+ b gelten. Hieraus würde die Teilerbeziehung + b folgen, da p n+, + teilerfremd sind (vgl. Lemma.7. Dann müsste auch + b folgen, was ein Widerspruch zur Annahme b < + ist. Nun unterscheidet man zwei Fälle:. Sei γ = 0 angenommen. Dann entnimmt man dem LGS, dass (4.) a = p n β und b = β gilt. Hieraus folgt, dass das Lemma dann schon erfüllt ist:. Sei γ 0 angenommen. bα a = β α p n α p n (a) Sei γ < 0. Mit (4.) gilt dann β = b + γ > 0. Da positiv ist muss also β > 0 sein. (b) Sei γ > 0. Dann gilt b < γg n+, also β = b + γ < 0 und daher β < 0.

15 β und γ haben also unterschiedliche Vorzeichen. Da zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche α einschließen, gilt 0 < α p n und + α p n+ < 0, für gerade n, 0 > α p n und + α p n+ > 0, für ungerade n. Daher ergibt sich, dass β ( α p n ) und γ (+ α p n+ ) das gleiche Vorzeichen haben. Es gilt also: (4.4) β ( α p n ) + γ (+ α p n+ ) = β ( α p n ) + γ (+ α p n+ ) Nun muss man die Erkenntnisse folgendermaßen anwenden: bα a = ( β + + γ) α (p n β + p n+ γ) mit (4.) = βα + + γα p n β p n+ γ = β ( α p n ) + γ (+ α p n+ ) = β α p n + γ + α p n+ mit (4.4) > β α p n beachte Annahme γ 0 α p n Hierdurch sind alle Fälle abgedeckt und das Lemma ist bewiesen. Lemma 4.5 Sei b, dann gilt für die rationale Zahl a die Ungleichung: b α p n α a b Beweis: Angenommen es gelte α pn > α a b. Daraus würde α p n = α p n α > a b α a = bα a b b folgen, was aber ein Widerspruch zu Lemma 4.4 ist. Die Ergebnisse aus Lemma 4.4 und Lemma 4.5 werden in folgendem Corollar zusammengefasst: Corollar 4.6 Für α R und a, b Z mit b < gilt: α p n α a b Hieraus folgt der Satz 4.7 Jeder Näherungsbruch K n, n von α R ist eine beste Näherung von α. Abschließend wird noch gezeigt, dass eine rationale Zahl, die bezüglich ihres Nenners dicht an α liegt, ein Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von α ist. 3

16 Satz 4.8 Sei α R\Q. Dann ist eine rationale Zahl a mit b, welche b α a b < b erfüllt, einer der Näherungsbrüche K n = pn der Kettenbruchdarstellung von α. Beweis: Sei a kein Näherungsbruch von α. b Da die Folge der ( ) n N0 streng monoton steigt, existiert ein eindeutig bestimmtes n N, so dass b < + gilt. Mit Lemma 4.4 folgt für dieses n: α p n < bα a = b α a < b b Durch Multiplikation mit q n erhält man: α p n < b Nach Annahme ist a pn b. Mit der Dreiecksungleichung und b > 0 gilt nun: bp n a = p n b b a b p n α α + a < + b b b Nun formt man die Ungleichung um: b < b + b < b + b b b < b + b < Dies ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung b < + Man kann also zusammenfassend sagen, dass die Approximation reeller Zahlen durch die Näherungsbrüche der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung die beste rationale Näherung darstellt. Christiaan Huygens hat also, ohne dass ihm dieses Resultat bekannt war, sein Zahnrad- Problem optimal gelöst! 4

17 5 Resümee Die Arbeit sollte einen einführenden Überblick zur Theorie der Kettenbrüche geben. Es wurde gezeigt, wie man eine reelle Zahl durch einen Kettenbruch darstellen kann, und mit welchen Mitteln man diesen untersuchen kann. Anhand von endlichen Kettenbrüchen wurden das Bildungsgesetz der Näherungsbrüche definiert und auf unendliche Kettenbrüche ausgeweitet. So konnte gezeigt werden, dass der Wert eines unendlichen Kettenbruchs eine irrationale Zahl ist. Besonders interessant erschien mir bei Bearbeitung des Themas die Anwendung, schwer zu fassende Zahlen mit rationalen Zahlen zu approximieren. Denn wegen dieser Anwendung eignet sich das Thema im Hinblick auf meinen späteren Beruf als Gymnasiallehrer auch für eine Mathematik-AG, oder um es eventuell in der Oberstufe als Referatsthema zu verteilen. Anhand der Untersuchung der Näherungsbrüche konnte eine Abschätzung des relativen Fehlers bei der Approximation durch Kettenbrüche angegeben werden. Um eine reelle Zahl druch eine rationale zu approximieren, ist mit der Kettenbruchentwicklung sogar ein optimales Verfahren gegeben. Im Standardwerk zum Thema Kettenbrüche von Oskar Perron (siehe [4]) kann man weitere zahlentheoretische Spezifizierungen zur Periodizität von Kettenbrüchen nachlesen. Dort findet sich auch eine Zusammenfassung des Zusammenhangs von Kettenbrüchen und transzendenten Zahlen. 5

18 Literatur [] Bauer, Friedrich L. - Haenel, Christoph, Übersehene numerische Aspekte in der Geschichte der Kettenbrüche (= Bayerische Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abhandlungen 74), München 007. [] Bundschuh, Peter: Einführung in die Zahlentheorie, 5. überarb. u. aktual. Aufl., Berlin - Heidelberg - New York 00. [3] Forster, Otto: Algorithmische Zahlentheorie, Braunschweig - Wiesbaden 996. [4] Perron, Oskar: Die Lehre von den Kettenbrüchen Band I. Elementare Kettenbrüche, 3. verbesserte und erw. Auflage, Stuttgart