N = f0; 1; 2; : : : g: [n] = f1; : : : ; ng: M = f x j x hat die Eigenschaft E g:

Transkript

1 1 Mengen Gregor Cantor denierte 1895 eine Menge als eine Zusammenfassung wohldenierter, unterscheidbarer Objekte. Eine Menge wird als neues Objekt angesehen, die Menge ihrer Objekte. Ein Objekt x aus der Menge M wird als Element von M bezeichnet. Wir schreiben dafur kurz: x 2 M. Gehort ein Objekt y nicht zur Menge M, so schreiben wir: y 62 M. Die Anzahl der Elemente einer Menge M wird auch als deren Machtigkeit bezeichnet und mit jm j abgekurzt. Notation von Mengen Es gibt verschiedene Moglichkeiten, Mengen aufzuschreiben. Eine davon ist die Aufzahlung der Elemente innerhalb von Mengenklammern f: : : g. Zum Beispiel ist D = f3g die Menge, die nur aus dem Element 3 besteht. Also ist jdj = 1. Die Menge der Teiler von 10 ist T 10 = f1; 2; 5; 10g. Es gilt also jt 10 j = 4. Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthalt. Sie wird mit ; bezeichnet. Es ist also ; = fg und j;j = 0. Die Menge der naturlichen Zahlen wird mit N bezeichnet, N = f0; 1; 2; : : : g: Da diese Menge unendlich viele Elemente enthalt kann man nicht mehr alle aufschreiben. Stattdessen sollen die 3 Punkte andeuten, wie es weiter geht. Aber auch bei Mengen mit endlich vielen Elementen kommt die Schreibweise mit Punkten zum Einsatz: fur n 2 N denieren wir die Menge [n] = f1; : : : ; ng: [n] besteht also aus allen naturlichen Zahlen von 1 bis n. Ein Wurfel zeigt die Zahlen der Menge [6] = f1; 2; 3; 4; 5; 6g an. Fur Lottospieler ist speziell die Menge [49] = f1; 2; : : : ; 49g interessant. Mit Z wird die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet, Z = f : : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : : g: Dies ist die Erganzung der naturlichen Zahlen durch entprechende negative Zahlen. Eine Menge ist alleine dadurch deniert, welche Elemente sie enthalt. Zwei Mengen A und B heien gleich, falls sie die gleichen Elemente enthalten. Wir schreiben dann A = B. Insbesondere spielt die Reihenfolge in der man die Elemente einer Menge notiert keine Rolle. Beispielsweise kann man die Menge T 10 auch wie folgt schreiben: T 10 = f10; 5; 2; 1g. Eine andere Art Mengen zu notieren ist die Form: M = f x j x hat die Eigenschaft E g: Es gehoren dann alle Elemente x zur Menge M, die die Eigenschaft E haben. Zum Beispiel T 10 = f t j t 2 N und t teilt 10 g; [n] = f k j k 2 N und 1 k n g: 1

2 Arbeitet man uber einer Grundmenge, so wie hier uber den naturlichen Zahlen, so schreibt man auch (ubersichtlicher) T 10 = f t 2 N j t teilt 10 g. Ein Beispiel fur eine unendliche Menge sind die rationalen Zahlen, n a o Q = j b a; b 2 Z und b 6= 0 : Antinomien Der hier vorgestellte Ansatz fur die Mengenlehre nach Cantor wird als naive Mengenlehre bezeichnet, da er zu Widerspruchen fuhrt. Ende des 19-ten Jahrhunderts entdeckte Bertrand Russell diese sogenannten Antinomien. Wir betrachten ein Beispiel. Ein Teil der Manner in einem Dorf rasiert sich selbst. Die anderen Manner rasiert der Barbier. Wir bilden folgende Menge M = falle Manner, die sich nicht selbst rasiereng: Oenbar werden hier wohldenierte, unterscheidbare Objekte zusammengefasst. Es handelt sich somit um eine zulassige Mengenbildung gema obiger Denition. Die Frage ist nun, ob der Barbier b zu M gehort. Es gilt b 2 M () b rasiert sich nicht selbst () b wird vom Barbier rasiert () b rasiert sich selbst () b 62 M Beispiele wie dieses losten damals eine tiefe Krise in der Mathematik aus. Es bedurfte eines erheblichen Aufwands die Mengenlehre so aufzubauen, dass diese Widerspruche nicht mehr auftreten konnen. In der heutigen Mengenlehre ist eine Mengenbildung wie in obiger Antinomie nicht moglich. Fur unsere Zwecke reicht die naive Mengendenition aber vollig aus. Unsere Mengen sind immer Teilmengen von vorher festgelegten Grundmengen, wie beispielsweise den ganzen Zahlen. Dann konnen obige Widerspruche nicht auftreten. 1.1 Teilmengen Fur zwei Mengen A und B heit A Teilmenge von B (oder B Obermenge von A), falls jedes Element von A auch Element von B ist. Wir schreiben dafur kurz: A B. Zur Teilmengen-Beziehung sagt man auch Inklusion. Zum Beispiel gilt T 10 [12] N Z Q. Ist A keine Teilmenge von B, so schreiben wir A 6 B. Beispielsweise ist [5] 6 T 10, da 3 2 [5] aber 3 62 T 10. Fur jede Menge A ist A Teilmenge von sich selbst, A A. Ebenso ist die leere Menge Teilmenge von A, ; A, da jedes Element der leeren Menge, namlich keines, auch Element von A ist. Deswegen nennt man A und ; auch die trivialen Teilmengen von A. Ist A B fur eine Menge B 6= A, dann sagt man auch, dass A echte Teilmenge von B ist, und schreibt A B oder A ( B. 2

3 Die Inklusion ist transitiv: fur drei Mengen A, B und C gilt A B und B C =) A C: Eine weitere einfache Beobachtung ist, dass zwei Mengen A und B genau dann gleich sind, wenn jede in der anderen enthalten ist: A B und B A () A = B: Diese Eigenschaft ist nutzlicher als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Oft hat man namlich den Fall, dass Mengen A und B mit so unterschiedlichen Beschreibungen gegeben sind, dass man nicht sofort sieht, dass in Wirklichkeit A = B gilt. Mit obiger Eigenschaft kann man diesen Nachweis nun in zwei Schritte zerlegen, was oft einfacher ist. Man weist dann nach, dass jede Menge in der anderen enthalten ist. Als Beispiel betrachten wir die Menge A, die aus allen geraden ganzen Zahlen besteht. Das sind alle Zahlen g 2 Z, die sich in der Form g = 2n schreiben lassen, fur eine ganze Zahl n, A = f 2n j n 2 Z g: Die Menge B besteht aus allen Zahlen, die sich als Summe von zwei ungeraden ganzen Zahlen schreiben lassen, B = f u + v j u; v 2 Z sind ungerade g: Man sieht also nicht sofort, dass A und B gleich sind (zumindest als Anfanger). Wir zeigen A = B, indem wir zunachst A B, und dann B A nachweisen. 1. A B: Fur ein beliebiges Element a 2 A zeigen wir, dass a auch in B liegt. Sei a = 2n fur eine ganze Zahl n. Wir zerlegen a in u = 2n 1 und v = 1. Dann sind u und v beide ungerade und Damit ist a 2 B. u + v = (2n 1) + 1 = 2n = a: 2. B A: Sei nun b ein beliebiges Element aus B. Die Zahl b lasst sich also schreiben als b = u + v fur ungerade ganze Zahlen u und v. Da u und v ungerade sind, lassen sie sich wiederum schreiben als u = 2k + 1; v = 2l + 1; fur ganze Zahlen k und l. Damit erhalten wir b = u + v = (2k + 1) + (2l + 1) = 2k + 2l + 2 = 2(k + l + 1): Da k + l + 1 eine ganze Zahl ist, ist folglich b = 2(k + l + 1) gerade und damit b 2 A. 3

4 Die Menge [3] hat insgesamt 8 Teilmengen: ;; f1g; f2g; f3g ; f1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; f1; 2; 3g: Diese Teilmengen sind wohldenierte, unterscheidbare Objekte. Nach der Cantor'schen Mengendenition konnen wir also die Teilmengen in einer neuen Menge zusammenfassen: Fur eine Menge A denieren wir die Potenzmenge von A als die Menge P(A) aller Teilmengen von A, P(A) = f T j T A g: Setzen wir also Mengenklammern um obige Aufzahlung der Teilmengen von [3], dann erhalten wir die neue Menge P([3]), die Potenzmenge von [3]. Weitere Beispiele sind P([2]) = f;; f1g; f2g; f1; 2gg; P(f1g) = f;; f1gg; P(;) = f;g: Man beachte, dass f;g nicht das gleiche ist wie ;: die Menge f;g enthalt ein Element, namlich ;. Dagegen enthalt ; kein Element. Obige Beispiele zeigen die Potenzmenge von Mengen mit k = 0; 1; 2; 3 Elementen. Die Potenzmenge hat dann jeweils 2 k Elemente. Wir werden spater sehen, dass dies auch allgemein die richtige Formel ist, es gilt jp(a)j = 2 jaj : Aus diesem Grund wird in manchen Buchern die Potenzmenge auch mit 2 A statt P(A) bezeichnet. Fur A B ist P(A) P(B). Ist namlich T 2 P(A), also T A, dann gilt auch T B, da ja nach Voraussetzung A B gilt und die Inklusion transitiv ist. Folglich ist T 2 P(B). 1.2 Operationen auf Mengen Aus zwei Mengen A und B kann man neue Mengen bilden. Die Vereinigungsmenge von A und B wird mit A [ B bezeichnet und fasst die Elemente beider Mengen in einer Menge zusammen: A [ B = f x j x 2 A oder x 2 B g: Die Durchschnittsmenge von A und B wird mit A\B bezeichnet und enthalt die Elemente in beiden Mengen vorkommen: A \ B = f x j x 2 A und x 2 B g: A und B heien disjunkt, falls A \ B = ;. Wir fassen die 6 Zahlen, die wir im Lotto getippt haben, in der Menge T [49] zusammen. Die Lottoziehung ergab die 6 Zahlen Z [49]. Dann sind in T [Z alle Zahlen aus Tipp und Ziehung und in T \Z sind unsere \Richtigen". Sind T und Z disjunkt, so lagen wir mit unserem Tipp voll daneben! Weitere Beispiele sind 4

5 [6] [ T 10 = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 10g; D [ T 10 = f1; 2; 3; 5; 10g; ; [ T 10 = T 10 ; [n] [ N = N; [6] \ T 10 = f1; 2; 5g; D \ T 10 = ;; ; \ T 10 = ;; [n] \ N = [n]: Oensichtlich gilt A \ B A A [ B. Die Dierenzmenge von A und B wird mit A B oder auch A n B bezeichnet und enthalt alle Elemente von A, die nicht in B sind, A B = f x j x 2 A und x 62 B g: Beispiele sind [6] T 10 = f3; 4; 6g und T 10 [6] = f10g. Im Lotto-Beispiel sind T Z alle Nieten, die wir unglucklicherweise anstatt den Zahlen in Z T angekreuzt haben. Hatten wir die Zahlen in (T \ Z)[(Z T ) angekreuzt, so wurden wir jetzt auf Hawaii am Strand bruten, und nicht uber diesem Manuskript! Sei M eine feste Grundmenge, so dass alle betrachteten Mengen Teilmengen von M sind. Sei also A M. Die Dierenz von M und A wird auch als Komplement von A (bzgl. M) bezeichnet, A = M A: Ein Beispiel bzgl. der Grundmenge N ist [6] = f0; 7; 8; 9; : : : g. Fur eine Menge A M ergibt die Vereinigung mit ihrem Komplement die Grundmenge und der Schnitt mit ihrem Komplement ist leer, A [ A = M; A \ A = ;: Komplementieren wir A doppelt, so erhalten wir wieder A, A = A: Das Komplement der leeren Menge ist die Grundmenge, und das der Grundmenge ist die leere Menge, ; = M; M = ;: Seien nun A; B M und sei A B. Damit ist also jedes Element aus A auch in B enthalten. Folglich ist jedes Element auerhalb von B auch auerhalb von A. Also gilt dann B A, A B =) B A: Die Denition von A B konnen wir in Bezug auf die Grundmenge M wie folgt umschreiben: A B = f x j x 2 A und x 62 B g = f x j x 2 A und x 2 B g = A \ B: 5

6 Damit konnen wir die Dierenz mit Hilfe von Schnitt und Komplement ausdrucken. Bei der symmetrische Dierenz von A und B nehmen wir neben A B auch die Elemente von B A auf. A 4 B = (A B) [ (B A): A 4 B enthalt also alle Elemente die in genau einer der Mengen A und B enthalten sind. Das konnen wir auch durch eine entweder-oder Verknupfung ausdrucken: A 4 B = f x j entweder x 2 A oder x 2 B g Zum Beispiel ist [6] 4 T 10 = f3; 4; 6; 10g. Es gilt A 4 A = ;; A 4 A = M: Sind A und B disjunkt, dann ist A 4 B = A [ B. Ist andererseits A B, dann ist A 4 B = B A. 1.3 Rechengesetze Viele Gesetzmaigkeiten bekommen wir direkt aus der Logik. uum Beispiel der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist mittels einer und-verknupfung deniert, und die ist bekanntlich kommutativ. Es gilt also: A \ B = f x j x 2 A und x 2 B g = f x j x 2 B und x 2 A g = B \ A Folglich ist auch der Durchschnitt eine kommutative Operation. Das Kommutativgesetz gilt analog auch fur die Vereinigung, die mittels einer oder-verknupfung deniert ist, und der symmetrischen Dierenz, die mittels einer entweder-oder-verknupfung deniert ist. A [ B = B [ A A 4 B = B 4 A Dagegen ist die einfache Dierenz nicht kommutativ: im Allgemeinen ist A B 6= B A. Zum Beispiel ist [2] [1] = f2g und [1] [2] = ;. Mit derselben Methode lassen sich Assoziativgesetze zeigen und genauso Distributivgesetze (A [ B) [ C = A [ (B [ C) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) (A 4 B) 4 C = A 4(B 4 C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A \ (B 4 C) = (A \ B) 4(A \ C) 6

7 Wir zeigen das Argument nocheinmal am Beispiel des dritten Distributivgesetzes: A \ (B 4 C) = f x j x 2 A und (entweder x 2 B oder x 2 C) g = f x j entweder (x 2 A und x 2 B) oder (x 2 A und x 2 C) g = (A \ B) 4(A \ C) Ein entsprechended duales Gesetz gilt allerdings wieder nicht. Zum Beispiel ist fur A = [1], B = [2], C = ; A 4(B \ C) = [1] 4 ([2] \ ;) = [1] (A 4 B) \ (A 4 C) = ([1] 4[2]) \ ([1] 4 ;) = ; Auch die Gesetze von de Morgan ubertragen sich aus der Logik: Ebenso die Verschmelzungsgesetze: A [ B = A \ B A \ B = A [ B A [ (A \ B) = A A \ (A [ B) = A Mit diesen Rechenregeln konnen wir Ausdrucke umformen und erhalt damit weitere Gleichungen. Folgende Rechnung liefert eine weitere Darstellung der symmetrischen Dierenz. A 4 B = (A B) [ (B A) = (A \ B) [ (B \ A) = (A [ B) \ (A [ A) \ (B [ B) \ (B [ A) Distributivgesetz = (A [ B) \ (A [ B) = (A [ B) \ (A \ B) de Morgan = (A [ B) (A \ B) 1.4 Kreuzprodukte Will man in einem Koordinatensystem mit einer x-achse und einer y-achse einen Punkt P spezizieren, so gibt man (in Bezug auf eine Einheit) die Koordinaten von P an. Beispielsweise 3 Einheiten auf der x-achse und 5 Einheiten auf der y-achse. Schreibt man die Koordinaten nun einfach als Menge f3; 5g, so hat man das Problem, dass die Zuordnung zu den Achsen verloren geht, da f3; 5g = f5; 3g. Eine Menge mit 2 Elementen ist gewissermaen ein ungeordnetes Paar. Was wir hier brauchen ist aber ein geordnetes Paar mit einer ersten Komponente, die wir der x-achse zuordnen, und einer zweiten Komponente, die wir der y-achse zuordnen. Geordnete Paare erfordern kein neues Konzept, analog zum Mengenbegri. Man kann geordnete Paare mit einem Trick mittels Mengen denieren. 7

8 Definition 1.1 Fur zwei Elemente a und b ist das geordnetes Paar (a; b) deniert durch (a; b) = fa; fa; bgg: Dabei heit a die ersten Komponente von (a; b), und b die zweite Komponente von (a; b). Mit dieser Denition wird in der Tat erste und zweite Komponente unterschieden. Ist namlich a 6= b, so ist (a; b) 6= (b; a): (a; b) = fa; fa; bgg 6= fb; fa; bg = (b; a): Definition 1.2 Seien A und B zwei Mengen. Die Menge der geordneten Paare, die als erste Komponente ein Element aus A und als zweite Komponente ein Element aus B haben, nennt man das Kreuzprodukt oder das kartesische Produkt von A und B. A B = f (a; b) j a 2 A und b 2 B g: Ist A = B, so schreibt man statt A A kurzer A 2. Fur A = f0; 1g und B = f0; 1; 2g erhalten wir A ; = ; A = ;; A 2 = f(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1)g; A B = f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 0); (1; 1); (1; 2)g; B 2 = f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 0); (1; 1); (1; 2); (2; 0); (2; 1); (2; 2)g: Tragt man die Punkte wie oben beschrieben in ein Koordinatensystem, erhalt man bei A 2 die Eckpunkte eines Quadrats mit Seitenlange 1. Bei A B ergibt sich ein Rechteck mit Seitenlangen 1 und 2 und B 2 enthalt alle Gitterpunkte eines Quadrats mit Seitenlange 2. Sind die Mengen A und B endlich, so wie hier, dann gilt oensichtlich fur die Anzahl der Elemente: ja Bj = jajjbj: Insbesondere gilt also ja 2 j = jaj 2. Die Mengen mussen aber nicht endlich sein. Analog zu den gerade betrachteten Beispielen besteht N 2 aus allen (unendlich vielen) Gitterpunkten im so genannten ersten Quadranten des Koordinatensystems. N f0g sind alle Gitterpunkte auf der x-achse und f0g N sind alle Gitterpunkte auf der y-achse. Das Kreuzprodukt kann man leicht auf mehrere Mengen verallgemeinern. Fur 3 Elemente a, b und c denieren wir das geordnete Tripel (a; b; c) indem wir es in zwei Paarbildungen zerlegen: (a; b; c) = ((a; b); c): Man beachte, dass dabei (a; b) bereits eine Menge ist. Ausgeschrieben erhalten wir ((a; b); c) = f(a; b); f(a; b); cg = ffa; fa; bgg; ffa; fa; bgg; cgg 8

9 Nach der gleichen Methode deniert man beliebige n-tupel von Elementen a 1 ; : : : ; a n : (a 1 ; a 2 ; a 3 ; : : : ; a n ) = ( ((a 1 ; a 2 ); a 3 ) ; a n ): Das Kreuzprodukt von n Mengen A 1 ; : : : ; A n ist dann deniert als A 1 A n = f (a 1 ; : : : ; a n ) j a i 2 A i fur i = 1; : : : ; n g: Sind alle Mengen gleich, so schreibt man wieder kurzer A n statt A A. Sind die Mengen endlich, so gilt analog wie oben fur die Anzahl der Elemente und insbesondere also ja n j = jaj n. Fur A = f0; 1g erhalten wir ja 1 A n j = ja 1 j ja n j; A 3 = f(0; 0; 0); (0; 0; 1); (0; 1; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 0); (1; 0; 1); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g: Wie man sieht gilt ja 3 j = 2 3 = 8. Allgemein erhalt man bei A n alle 0-1-Tupel der Lange n. Davon gibt es ja n j = jaj n = 2 n viele. 9