5.3 Die hypergeometrische Verteilung

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1 5.3 Die hypegeometische Veteilung Das Unenmodell fü die hypegeometische Veteilung ist die Ziehung ohne Zuücklegen. Die Une enthalte n Kugeln, davon s schwaze und w n s weiße. De Anteil p : s n de schwazen Kugeln sei bekannt und o. B. d. A. p > 1. (De Fall p 1 ist uninteessant, de Fall p < 1 symmetisch zum esten.) In de Anwendung auf die lineae Kyptoanalyse weden die Kugeln alle möglichen Klatexte sein und die Ziehung die Auswetung eine lineaen Relation fü einen bekannten Klatext. Es weden Kugeln zufällig gezogen ( n). Die Wahscheinlichkeit, dabei genau ν weiße Kugeln zu ziehen, ist ) Die Funktion q (s) (ν) ( s w ν)( ν ( n ). q (s) : Z R heißt die hypegeometische Veteilung (zu den Paameten n, s und ). Dabei ist q (s) (ν) 0 fü ν < 0 und fü ν >. Die Wahscheinlichkeit, dass meh schwaze als weiße Kugeln gezogen weden, ist 1 ν0 q(s) (ν), wenn ungeade, 1 (ν) + 1 q(s) ), wenn geade, ν0 q(s) ( wenn im Falle des Gleichstands zufällig mit Wahscheinlichkeit jeweils 1 fü schwaz ode weiß entschieden wid. Im uninteessanten Fall p 1 sind offensichtlich alle p(s) 1. Hilfssatz 1 Es gilt: (i) 1 p. (ii) (iii) 3 s(s 1) n(n 1) 1 (falls [ w 1). 3 s n (iv) 4 3 (falls w ). (v) 1 fü > w. Beweis. (i) ist tivial. ] (falls w ). 63

2 (ii) Da bei jeweils eine weißen und schwazen Kugel zufällig entschieden wid, ist de Zähle gleich ( ) s + 1 ( )( ) s w s(s 1) s(n s) s(n 1) +, 1 1 de Nenne gleich n(n 1), de Quotient s(n 1) n(n 1) p. (iii) Hie ist de Zähle ( ) ( ) s s + (n s) 3 s(s 1)(s ) + 3s(s 1)(n s) 6 s(s 1) [s + 3 (n s)] 6 s(s 1) [3 (n ) (s )]. 6 De Nenne ist 1 6 n(n 1)(n ), also hat p(s) 3 den behaupteten Wet. (iv) Die Rechnung wid weggelassen, da im nächsten Hilfssatz eine allgemeinee Aussage bewiesen wid. (v) folgt, weil dann auf jeden Fall meh schwaze Kugeln gezogen weden. Hilfssatz Ist geade und w, so +1 > p(s) 1. Beweis. Sei (ν) ( ) n (s) q (ν) de Zähle von q (s) (ν) und B (s) ( ) n (s) p de Zähle von. Beim Übegang von nach + 1 wid die Mehheitsentscheidung schwaz nach + 1 Zügen in B(s) +1 Fällen getoffen. Daunte sind: 1 ν0 A(s) (ν) Fälle, in denen beeits nach Zügen mindestens + 1 schwaze Kugeln gezogen woden waen. Fü die ( + 1)-te Kugel gibt es noch n Möglichkeiten, die abe alle an de Entscheidung nichts änden. Wi haben hie also 1 X 1 (n ) ν0 Fälle, in denen schwaz enschieden wid. (ν) 64

3 ( ) Fälle, bei denen nach Zügen genau schwaze Kugeln gezogen woden waen. Von den n Möglichkeiten fü die ( + 1)-te Kugel sind s schwaz und fühen zu Entscheidung schwaz, w weiß und fühen zu Entscheidung weiß. Es kommen also X (s ) A(s) ( ) Fälle hinzu, in denen schwaz enschieden wid. In den übigen Fällen liegen nach Zügen höchstens 1 schwaze Kugeln vo, und die ( + 1)-te Kugel kann somit die Entscheidung fü weiß nicht änden. Da von den gezählten Fällen jeweils + 1 dieselbe Menge von gezogenen Kugeln egeben, ist B (s) (X 1 + X ) n (ν) + s n A(s) ( ). ν0 Fü den Koeffizienten des letzten Tems gilt s n > 1 s > n s > n. (Da w, ist < n.) Also folgt B (s) +1 > n + 1 B(s) und somit de este Teil de Behauptung. Etwas kompliziete ist de Übegang von 1 nach. Die Entscheidung schwaz wid nach Zügen in B(s) Fällen getoffen. Daunte sind ν0 A(s) 1 Fälle, wo nach 1 Zügen mindestens + 1 schwaze Kugeln gezogen woden waen. Die n +1 Möglichkeiten fü die -te Kugel änden die Entscheidung nicht. Es gibt hie also Y 1 (n + 1) ν0 Fälle, in denen schwaz entschieden wid. 1 1 ( 1) Fälle, wo nach 1 Zügen genau schwaze Kugeln gezogen woden waen. Die n + 1 Möglichkeiten fü die -te Kugel zefallen in 65

4 s schwaze, die zu de Entscheidung schwaz fühen; hie gibt es also Y (s ) A(s) 1 ( 1) zusätzliche Fälle. w +1 weiße, wo die Entscheidung mit jeweils de Wahscheinlichkeit 1 zufällig getoffen wid; es kommen also Fälle hinzu. Y 3 1 (w + 1 ) A(s) 1 ( 1) 1 ( ) Fälle, wo nach 1 Zügen genau 1 schwaze Kugeln gezogen woden waen. Die n + 1 Möglichkeiten fü die -te Kugel zefallen in s + 1 schwaze, wo die Entscheidung zufällig mit jeweils de Wahscheinlichkeit 1 getoffen wid es kommen also Fälle hinzu, Y 4 1 (s + 1 ) A(s) 1 ( ) w weiße, in denen die Entscheidung bei weiß bleibt. In den übigen Fällen, wo nach 1 Zügen höchstens schwaze Kugeln gezogen woden waen, bleibt die Entscheidung ebenfalls bei weiß. Da jeweils de gezählten Fälle dieselbe Menge von gezogenen Kugeln egeben, gilt B (s) 1 (Y 1 + Y + Y 3 + Y 4 ) n + 1 ν (s + w ) A(s) 1 ( 1) + 1 (s + 1) A(s) 1 ( ) Da s + w n w, ist de Koeffizient des mittleen Tems gleich s + w n w (n + 1) 1 (w + 1). Also ist B (s) n ν0 1 1 (w + 1) ( s )( w 1 66 ) + 1 (s + 1) ( s 1 )( w ).

5 Die beiden letzten Teme heben sich weg, und es bleibt B (s) n + 1 B (s) 1. Daaus folgt de zweite Teil de Behauptung. Damit ist insbesondee gezeigt: Satz 3 Die Wahscheinlichkeit w+1 1. Wenn die Quotienten wächst mit monoton von 1 p bis s n, w n (n )s,, n (n )w n hineichend goß sind (Fishes Faustegel sagt: 5 eicht), kann man die hypegeometische Veteilung duch die Nomalveteilung appoximieen; das bedeutet insbesondee x ν0 q (s) (ν) Φ( x µ σ ) 1 x µ σ e t / dt, π wobei µ de Mittelwet und σ die Vaianz de hypegeometischen Veteilung (zu den Paameten n, s und ) und Φ die Veteilungsfunktion de Nomalveteilung ist. Fü Mittelwet und Vaianz gilt Hilfssatz 3 µ w n, σ (n ) w(n w) n. (n 1) Beweis. Bei eine zufälligen Stichpobenziehung von Kugeln de Reihe nach sei X k : Ω R eine Zufallsvaiable, die 0 ist, wenn die k-te Kugel schwaz ist, und 1, wenn sie weiß ist. Dann ist S X X : Ω R eine Zufallsvaiable, die die Anzahl de weißen Kugeln in de Stichpobenziehung angibt. Es ist µ E(S) de Ewatungswet und σ Va(S) die Vaianz diese Zufallsvaiablen. Kla ist E(X k ) w w n also E(S) n. Fü die Beechnung de Vaianz bemeken wi zuest, dass Xk X k, also Va(X k ) E(Xk ) E(X k) w n w w(n w) n n. 67

6 Da X j X k (ω) 1 X j (ω) 1 und X k (ω) 1, ist die Wahscheinlichkeit dafü w(w 1) n(n 1), de Ewatungswet also E(X jx k ) w(w 1) n(n 1). Dahe ist die Covaianz w(w 1) Cov(X j, X k ) E(X j X k ) E(X j )E(X k ) n(n 1) w n Die Vaianz von S ist also Va(S) Va(X k ) + k1 wie behauptet. w(n(w 1) w(n 1)) n (n 1) 1 j<k w(n w) n + ( 1) w(n w) n [n ], (n 1) Cov(X j, X k ) w(w n) n (n 1). w(w n) w(n w) n (n 1) n [ 1 1 ] n 1 Satz 4 (Asymptotische Veteilung) Die Wahscheinlichkeit, meh schwaze Kugeln zu ziehen, ist 1 π λ e t / dt mit λ (p 1), wenn p 1, n und nicht zu klein. [Nach Fishes Faustegel eicht 10 n 10 fü p 1.] Beweis. Die obee Genze des Integals ist fü x zu beechnen: x µ σ ( w n ) n n 1 (n w) n 1 (n )w(n w) (n )w(n w) n 1 s w n 1 n sw p 1 n p(1 p) 1 p 1 λ, 1 4 wie behauptet. 68