3.4 von Neumannsche Theorie kooperativer Spiele

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1 3.4 von Neumannsche Theorie kooperativer Spiele Gliederung Die charakteristische Funktion eines Spieles Der Wert eines Spieles und Strategische Äquivalenz Der von Neumannsche Lösungsbegriff Definition der Lösung eines Spieles mittels den Begriffen Verteilung und Dominanz Einleitung Im Gegensatz zu der nicht-kooperativen Theorie werden in der von Neumannschen kooperativen Theorie den Spielern alle möglichen Arten von Koalitionsbildungen, Kompensations- und Seitenzahlungen (letztere beinhalten die Möglichkeit des Gewinn- und Nutzentransfers z.b. innerhalb der KOalition) gestattet. Diese Koalitionen und so weiter bilden sogar gerade den Hauptgegenstand der kooperativen Theorie, wie auch im folgenden Vortrag. Obwohl (wie bereits erwähnt) die nicht-kooperative Spieltheorie die kooperative Theorie zunehmend z.b. aus der Lehre an Universitäten verdrängt, ist sie nichtsdestotrotz Gegenstand aktueller Forschungen auf diesem Gebiet. Prominente und präsente Forschungsfelder sind zum Beispiel die Verhandlungstheorie und die Matching-Theorie. Wiederholung Definition [Die charakteristische Funktion] Die reellwertige Funktion v : 2 N R auf der Potenzmenge von N (N = {1,..., n} n-elementige Menge) heißt charakteristische Funktion. Sie ordnet jeder möglichen Koalition K N eine reelle Zahl v(k) zu, welche den maximalen Nutzen angibt, den die Koalition erreichen kann. Man nennet sie auch den Wert der Koalition. Es gilt v( ) = 0. Definition [Gemischte Strategie] Eine gemischte Strategie auf S bzw. T ist eine reellwertige Funktion σ auf S bzw. τ auf T mit 1. σ(s) 0 s S bzw. τ(t) 0 t T 2. σ(s) = 0 und τ(t) = 0 für fast alle s, t S, T 3. s S σ(s) = 1, t T τ(t) = 1 Wir bezeichnen die Menge aller gemischten Strategien auf S bzw. T mit S bzw. T. 1

2 Satz 1.9 Für jedes 2-Personen-Spiel mit endlichen Strategiemengen besitzt die gemischte Erweiterung mindestens ein Nash-Gleichgewicht. Satz 1.4 Gilt max s S min t T φ(s, t) = min t T max s S φ(s, t), so ist ω := max s S min t T φ(s, t) = min t T max s S φ(s, t) der Wert des Spieles Γ = (S, T, φ, φ) Die charakteristische Funktion eines Spieles Ausgangspunkt bildet ein n-personen-nullsummen-spiel Γ = (S 1,..., S n, φ 1,..., φ N ) mit endlichen Strategiemengen S 1,..., S n. Sei N = {1,...n} die Menge der Spieler und sei K N eine beliebige Teilmenge, eine sogenannte Koalition von Spielern. Die übrigen Spieler schließen sich zu der sogenannten Gegenkoalition N \ K zusammen. Dann definieren wir als Koalitionsspiel Γ K das Zwei- Personen-Spiel Γ K = ( S i, φ i, φ i ). i K i N\K S i, i K i N\K Es handelt sich hierbei ebenfalls um ein Nullsummen-Spiel mit zwei endlichen Strategiemengen i K S i = S n1 S ns, falls K = {n 1,..., n s }, und i N\K S i und den Auszahlungsfunktionen φ i (s, t) mit s i K S i und t i N\K S i, i = 1,..., n. Für K = N reduziert sich Γ K auf ein Ein-Personen-Spiel, für das die obige formale Beschreibung beibehalten werden kann. Eine entsprechende Bemerkung gilt für den Fall K =. Nach Satz 1.9 besitzt die gemischte Erweiterung Γ K von Γ K mindestens einen Sattelpunkt. Dieser definiert nach Satz 1.4 in eindeutiger Weise einen Wert des Spieles Γ K. Diesen Wert bezeichnet man mit v(k) und definiert die charakteristische Funktion von Γ mit v : 2 N R. Diese kann als ein Maß für den Wert einer Koalition verstanden werden. Der Wert v(k) wird charakterisiert als der Auszahlungsbetrag, den sich die Koalition K durch Wahl einer geeigneten Strategie gerade noch sichern kann, während die Gegenkoalition N \ K sie daran hindern kann, mehr als diesen Betrag zu erhalten. 2

3 Beispiel: Von drei Spielern 1, 2, 3 wählt jeder einen von zwei Buchstaben A, B. Dabei hat keiner Kenntnis von der Wahl der anderen beiden. Es gilt: Falls alle drei den gleichen Buchstaben gewählt haben, erfolgen keine Auszahlungen. Andernfalls erhalten die Spieler, die den selben Buchstaben gewählt haben, je eine Geldeinheit von dem Übrigbleibenden. Dieses Spiel ist ein Drei-Personen-Nullsummen-Spiel mit den Strategiemengen S 1 = S 2 = S 3 = {A, B} und den Auszahlungsfunktionen φ 1 (A, A, A) = φ 1 (B, B, B) = 0, φ 1 (A, A, B) = φ 1 (B, B, A) = φ 1 (A, B, A) = φ 1 (B, A, B) = 1, φ 1 (A, B, B) = φ 1 (B, A, A) = 2, analog natürlich für φ 2 und φ 3. Für K = {2, 3} und N \ K = {1} hat Γ K folgende Auszahlungsmatrix: A B AA 0 2 BB 2 0 Die gemischten Strategien 1 2 AA BB für K und 1 2 A B für N \ K bilden einen Sattelpunkt und es gilt v(k) = v({2, 3}) = 1. Für K = {1} und N \ K = {2, 3} folgt dann v(k) = v({1}) = 1. Aus Symmetriegründen ergibt sich daher: v({1}) = v({2}) = v({3}) = 1, v({1, 2}) = v({1, 3}) = v({2, 3}) = 1. Außerdem gilt v(n) = v( ) = 0. Es gilt nun der folgende Satz 3.4: Sei v : 2 N R die charakteristische Funktion eines n-personen- Nullsummen-Spieles mit endlichen Strategiemengen. Dann gilt: 1. v( ) = Für je zwei Mengen K, L N mit K L = gilt: d.h. v ist superadditiv. v(k) + v(l) v(k L), 3. Für jedes K N gilt: v(k) + v(n \ K) = 0. Beweisskizze: Behauptung 1. des Satzes ist trivial und leicht zu verifizieren. Für Behauptung 2. betrachten wir für die beiden Teilmenge K, L zwei Koalitionsspiele Γ K und Γ L mit den optimalen gemischten Strategien ˆσ für Γ K und ˆτ für Γ L. Summiert man nun jeweils die Auszahlungsfunktionen für alle Mitglieder aus K und L auf, so ist diese Summe jeweils 3

4 größer oder gleich dem Wert v(k) und v(l) der jeweiligen Koalition. Für das Spiel Γ K L wählt man nun ˆσ ˆτ als gemischte Strategie und summiert ebenfalls die Auszahlungsfunktionen der Mitglieder aus K L auf. Diese läßt sich dann mittels der beiden anderen Summen abschätzen und es folgt die Behauptung. Für Behauptung 3. verwendet man die Eigenschaft des Nullsummen- Spiels, daß die Auszahlung der einen gleich der negativen Auszahlung der anderen ist. Diese Auszahlungsfunktionen setzt man dann einfach in die formalen Definitionen von v(k) und v(n \ K) ein und sieht durch Anwenden des Minmax-Prinzips und anschließendem Vergleichen, dass v(n \ K) = v(k) ist und somit die Behauptung gilt. Bemerkung: Ist Γ kein Nullsummen-Spiel, so definieren wir für jedes K N das Koalitionsspiel Γ K vermöge Γ K = ( S i, φ i ). i K i N\K S i, i K φ i, i K In diesem Fall hat die zugehörige charakteristische Funktion v nur noch die 1. und 2. Eigenschaft aus Satz 3.4. Umgekehrt gilt jetzt der folgende Satz 3.5: Sei N = {1,..., n} und v : 2 N R mit den Eigenschaften 1. und 2. aus Satz 3.4 vorgegeben. Dann gibt es ein n-personen-spiel mit endlichen Strategiemengen und v als charakteristischer Funktion. Hat v überdies auch noch die 3. Eigenschaft, so ist dieses Spiel als ein Nullsummen-Spiel definierbar. Auf einen Beweis hierzu wird verzichtet. Definition: Ein n-personen-spiel Γ mit der charakteristischen Funktion v und der Spielermenge N = {1,..., n} heißt unwesentlich, wenn v additiv ist, d.h. v(k) + v(l) = v(k L) für alle K, L N mit K L =. Ist v nicht additiv, so heißt Γ wesentlich. Satz 3.6: Das n-personen-spiel Γ mit der charakteristischen Funktion v und Spielermenge N = {1,..., n} ist genau dann unwesentlich, wenn gilt n v({i}) = v(n). i=1 Beweisskizze: Die angegebene Bedingung ist auf Grund der Additivität von v notwendig. 4

5 Umgekehrt genüge v der angegebenen Bedingung und sei K eine beliebig gewählte Teilmenge von N. Dann lassen sich der Koalitionswert und der Gegenkoalitionswert mittels Eigenschaft 2. aus Satz 3.4 jeweils mit der Summe über die Einzelauszahlungen der Koalitionsspieler und der Gegenkoalitionsspieler abschätzen. Weiter folgt aus Satz 3.4, daß v(k) + v(n \ K) v(n) gilt. Unter der Annahme, daß i K v({i}) < v(k), läßt sich ein Widerspruch zur Annahme, v genüge der angegebenen Bedingung, herleiten und sich somit daraus folgern, daß für v die Additivität und damit die Unwesentlichkeit gilt. Definition: Zwei n-personen-spiele Γ und Γ mit endlichen Strategien und charakteristischen Funktionen v und ṽ heißen strategisch äquivalent, wenn es Zahlen k > 0 und c 1,..., c n gibt, so daß für alle K N = {1,..., n} gilt ṽ(k) = k v(k) + i K c i. In diesem Falle nennt man auch v und ṽ strategisch äquivalent. Wie der Name schon vermuten lässt, stellt die strategische Äquivalenz (oder auch kurz S-Äquivalenz ) eine Äquivalenzrelation dar. Dazu betrachten wir nun folgendes Beispiel: Die unwesentlichen n-personen-spiele bilden eine Klasse strategisch äquivalenter Spiele. Sei v die charakteristische Funktion eines beliebigen unwesentlichen n-personen-spieles, also v(k) = i K v({i}) K N = {1,..., n}. v ist strategisch äquivalent zu der charakteristischen Funktion ṽ mit ṽ(k) = 0 für alle K N. Dazu setzt man einfach k = 1 und c i = v({i}) für i = 1,..., n. Aufgrund der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der Beziehung der strategischen Äquivalenz ergibt sich, daß alle unwesentlichen Spiele zueinander strategisch äquivalent sind. Bemerkung: Die strategische Äquivalenz lässt sich auch mittels Nash-Gleichgewichten definieren: Kurzer Exkurs: Strategische Äquivalenz mittels Nash-Gleichgewichten Dazu folgende Definition: Gegeben seien zwei Spiele Γ 1 und Γ 2, die sich nur durch die Präferenzordnung unterscheiden. Sie heißen (allgemein) strategisch äquivalent, wenn sie die gleichen Nash-Gleichgewichte besitzen. 5

6 Beispiel: Für zwei Spiele sind Kostenfunktionen definiert. Desweiteren ergeben sich folgende Auszahlungsmatrizen für beide Spiele: A B Strat. 1 Strat. 2 A B Strat. 1 Strat. 2 Strat. 1 (2, 1) (3, 2) Strat. 1 (5, 1) (2, 2) Strat. 2 (1, 2) (2, 3) Strat. 2 (2, 2) (1, 5) Den Auszahlungsmatrizen ist zu entnehmen, dass die Strategiekombination (S 1 1, S 2 2) die einzigen Nash-Gleichgewichte in beiden Spielen sind. Beide Spiele sind somit strategisch äquivalent! 6

7 3.4.2 Der von Neumannsche Lösungsbegriff Sei Γ ein n-personen-spiel mit endlichen Strategiemengen und der charakteristischen Funktion v sowie der Spielermenge N = {1,..., n}. Nach Satz 3.4 gilt dann für paarweise disjunkte Teilmengen K 1,..., K m von N mit m i=1 K i = N, daß v(k 1 ) + + v(k m ) v(n). v(n) stellt also den Maximalgewinn dar, den sich die Spieler in ihrer Gesamtheit maximal sichern können. Wie ist dieser Gewinn aber nun unter den n Spielern zu verteilen? Dazu nun folgende Definition: Eine Verteilung von v(n) ist ein Vektor (x 1,..., x n ) R n mit x i v({i}) für i = 1,..., n und n x i = v(n). i=1 Wegen n i=1 v({i}) v(n) gibt es solche Verteilungen von v(n). Jede Verteilung von v(n) sichert jedem Spieler mindestens den Gewinn zu, den er sich alleine sichern kann. Es stellt sich nun die Frage, ob es nicht eine Teilmenge K N gibt, für die x i < v(k) i K gilt, d.h. der Gewinn v(k) innerhalb der Koalition K ist größer als die Summe der einzelnen Verteilungen x i mit i K. Der Mehrertrag könnte unter den Koalitionsmitgliedern ausgezahlt werden, so daß eine neue Verteilung entsteht, die für K günstiger ist als (x 1,..., x n ). Das führt zu der folgenden Definition: Die Verteilung (y 1,..., y n ) von v(n) dominiert bezüglich K N die Verteilung (x 1,..., x n ), wenn gilt: Dann gilt 1. K, 2. y i > x i für alle i K, 3. v(k) i K y i. Satz 3.7: Sei (x 1,..., x n ) eine Verteilung von v(n) und K N eine beliebige Teilmenge. Behauptung: Es gilt x i < v(k) i K genau dann, wenn eine Verteilung (y 1,..., y n ) von v(n) existiert, die (x 1,..., x n ) bezüglich K dominiert. 7

8 Beweisskizze: Die Hinrichtung ( ) läßt sich einfach durch Anwendung der Definition verfizieren. Für die Rückrichtung definiere man sich aus der gegebenen Bedingung und aus v(k) + v(n \ K) v(n) positive δ 1, δ 2. Aus diesen läßt sich dann auf einfachem Wege eine Verteilung (y 1,...y n ) von v(n) definieren, die die Verteilung (x 1,..., x n ) dominiert. Mittels der Begriffe Verteilung und Dominanz definiert nun von Neumann den Begriff einer Lösung eines Spieles folgendermaßen: Definition: [Lösung eines Spiels] Sei v die charakteristische Funktion eines n-personen-spieles Γ. Eine Lösung von Γ ist dann eine Menge V von Verteilungen von v(n) mit den beiden Eigenschaften: 1. Zu jeder Verteilung (x 1,..., x n ) / V gibt es eine Verteilung (y 1,..., y n ) V, die (x 1,..., x n ) dominiert. 2. Keine Verteilung aus V dominiert eine andere Verteilung aus V. Erläuterung: Eine solche Lösung besteht also im allgemeinen nicht aus einer, sondern aus meheren Verteilungen. von Neumann und Morgenstern geben unter anderem folgende anschauliche Interpretation des Lösungsbegriffs, nämlich als akzeptierten Benehmensstandard oder Gesellschaftsordnung (mehr dazu im Anhang). Die nun noch folgenden zwei Sätze schließen diesen Vortrag über den von Neumannschen Lösungsbegriff ab: Satz 3.8: Seien v und ṽ die charakteristischen Funktionen zweier strategisch äquivalenter n-personen-spiele Γ und Γ. Dann existiert eine umkehrbar eindeutige Abbildung (x 1,..., x n ) ( x 1,..., x n ) der Menge aller Verteilungen (x 1,..., x n ) von Γ auf die Menge aller Verteilungen ( x 1,..., x n ) von Γ. Dabei dominiert die Verteilung von (x 1,..., x n ) von v(n) die Verteilung (y 1,..., y n ) von v(n) bezüglich K genau dann, wenn die Verteilung ( x 1,..., x n ) von ṽ(n) die Verteilung (ỹ 1,..., y n ) bezüglich K dominiert. Ferner ist eine Menge von Verteilungen von v(n) genau dann eine Lösung von Γ, wenn ihr Bild eine Lösung von Γ ist. Beweisskizze: Sei ṽ(k) = k v(k)+ i K c i, k > 0, für alle K N. Definiert man jetzt die Abbildung (x 1,..., x n ) ( x 1,..., x n ) mittels x i = k x i + c i für i = 1,..., n, so lassen sich die Behauptungen verifizieren. Aufgrund dieses Satzes 3.8 genügt es nun für das Aufsuchen der Lösungen von n-personen-spielen, aus jeder Klasse strategisch äquivalenter Spiele nur eines zu untersuchen. Dies wird nun abschließend am Beispiel unwesentlicher Spiele demonstriert. Hier gilt der folgende 8

9 Satz 3.9: Sei v die charakteristische Funktion eines unwesentlichen n-personen- Spiels Γ. Dann hat Γ genau eine Lösung, nämlich die einelementige Menge, die nur die Verteilung (x 1,..., x n ) = (v({1}),..., v({n})) enthält. Beweis: Aufgrund der Unwesentlichkeit von Γ gilt: n i=1 v({i}) = v(n). Daher gibt es für v(n) überhaupt als einzige Verteilung von nur (v({1}),..., v({n})), und diese bildet trivialerweise eine Lösung von Γ. 9

10 Anhang von Neumanns und Morgensterns anschauliche Interpretation des Begriffs der Lösung eines Spiels Nach Definition besteht also die Lösung eines Spiels im allgemeinen nicht aus einer, sondern aus mehreren Verteilungen. von Neumann und Morgenstern geben unter anderem in ihrem Buch Theory of Games and Economic Behavior (Princeton, 1944) folgende anschauliche Interpretation für den Begriff der Lösung eines Spiels, nämlich die als einen akzeptierten Benehmensstandard oder die einer Gesellschaftsordnung. Ein solcher Benehmensstandard besteht aus einer Menge L von Verhaltensweisen (hier: Verteilungen) und schließt alle Verhaltensweisen außerhalb L als unethisch, unerlaubt und dergleichen aus, so dass diese Verhaltensweisen außerhalb von L nicht angenommen werden dürfen, selbst wenn sie Verhaltensweisen aus L dominieren. Eine solche Menge L kann aber nicht ganz willkürlich abgegrenzt werden, sondern sie muß gewissen Stabilitätsbedingungen genügen, wie sie in der Definition der Lösung eines Spiels gefordert werden. [...] Es soll jedoch nicht verschwiegen werden, dass trotz dieser interessanten soziologischen Aspekte der von Neumannsche Lösungsbegriff nicht von allen Autoren als befriedigend betrachtet wird. In der Tat ist die intuitive Begründung dieses Lösungsbegriffes viel weniger überzeugend als etwa die des Lösungsbegriffes (Wert und optimale Strategien) im Falle der Zwei- Personen-Nullsummenspiele. (aus: E. Burger Einführung in die Theorie der Spiele, degruyter, Berlin 1959, S.141) Vortrag: Stefan Trenz Gehalten am: 21. Juni 2006 Literatur: 1. W. Krabs, Spieltheorie, Teubner Verlag, Wiesbaden E. Burger, Einführung in die Theorie der Spiele, degruyter, Berlin von Neumann/Morgenstern, Spieltheorie und Wirtschaftliches Verhalten, Physica-Verlag, Würzburg G. Owen, Spieltheorie, Springer, Berlin O. Kirchkamp, Verhandlungstheorie, Äquivalenz in Spielen 7. Präferenzen und Nutzenfunktionen 10