Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

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1 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 29/ Vorlesung 9, Freitag vormittag Linienintegrale und Potential Wir betrachten einen Massenpunkt, auf den die konstante Kraft F wirkt. Frage: Welche Arbeit verrichtet die Kraft, wenn der Massenpunkt (allgemeiner: der Angriffspunkt der Kraft) geradlinig vom Ort zum Ort r 2 bewegt wird? Antwort: Die allgemeingültige Form der bekannten Gleichung W = F s für den Fall paralleler Kraft und Verschiebung ist für beliebige Richtungen der Kraft F und der Verschiebung r: W = F (r 2 ) = F r = F r cos α F α r D.h. die Arbeit ist gegeben durch den Betrag von F multipliziert mit der Länge der Projektion der Verschiebung r in Richtung F. Denn für die Arbeit der Kraft F ist nur die Komponente der Verschiebung parallel zur F-Richtung von Bedeutung, die senkrechte Komponente trägt nichts zur Arbeit bei. Wichtig: Bei F r handelt es sich um die von der Kraft verrichtete Arbeit. Diese ist positiv, wenn die Verschiebung in dieselbe Richtung wie die Kraft zeigt (genauer: wenn Kraftvektor und Verschiebungsvektor einen spitzen Winkel einschließen) und negativ, wenn die Verschiebung in Gegenrichtung zur Kraft geschieht (genauer: wenn Kraftvektor und Verschiebungsvektor einen stumpfen Winkel einschließen). In letzterem Fall verrichtet die Kraft negative Arbeit, das bedeutet, es muss von außen Arbeit gegen die Kraft verrichtet werden. Die Arbeit ist gleich null, wenn r senkrecht auf F steht. Beispiel: Verschieben einer Masse m im homogenen Gravitationsfeld: F = mge z. Hier ist W = F r = mge z r = mg z die Arbeit, die das Gravitationsfeld leistet, wenn die Masse m von nach r 2 = + r gebracht wird. Diese ist positiv, wenn z < ist. Verallgemeinerung auf nichtkonstante Kraftfelder und / oder nicht-gerade Wege: Wenn der Weg nun nicht mehr geradlinig ist, sondern gegeben durch r = r(t) und die Kraft nicht mehr konstant sondern ein Vektorfeld F = F(r), dann muss man anstelle des einfachen

2 Skalarprodukts ein Linienintegral berechnen: W = F(r) dr Dies ist eine symbolische Schreibweise. Die tatsächliche Berechnung geschieht folgendermaßen: F(r) dr = F ( r(t) ) dr dt (t)dt Auf der rechten Seite sind alle vorkommenden Ausdrücke mathematisch wohldefiniert, sobald das Kraftfeld F(r) und der Weg r(t) gegeben sind. Der Integrand sieht etwas kompliziert aus, ist aber letztenendes einfach eine skalare Funktion von t, die man in vielen Fällen integrieren kann. Beispiel: r F(r) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, r(t) = te x + 2te y, t =... F(r) beschreibt ein gravitationsartiges Kraftfeld, das zum Ursprung zeigt und umgekehrt proportional zur Entfernung vom Ursprung abnimmt. Die Verschiebung findet entlang einer Ursprungsgeraden statt, wobei der Abstand von / 5 bis unendlich wächst. Für die Berechnung des Linienintegrals brauchen wir: dr dt (t) = Der Integrand ist also: Damit ergibt sich: 2, F ( r(t) ) t = (t 2 + 4t 2 ) 3/2 2t = 5 3/2 t 2 2 F ( r(t) ) dr dt (t) = 5 3/2 t = 5t 2 W = F(r) dr = 5 t 2 dt = [ 5 t ] = 5 Dies ist die Arbeit, die das betrachtete Kraftfeld verrichtet, wenn der Angriffspunkt von = e x +2e y entlang der gegebenen Geraden ins Unendliche bewegt wird. Diese Arbeit ist also keineswegs unendlich obwohl das Kraftfeld bis ins Unendliche reicht. Die Arbeit ist korrekt negativ, da man während der Verschiebung von außen Arbeit gegen das Feld leisten muss. Konservative Kraftfelder und Potentiale: Durch Ausschreiben des Skalarproduktes nimmt das Linienintegral die Form ( ) F x ẋ + F y ẏ + F z ż dt

3 an. Das ist physikalisch anschaulich: Die gesamte verrichtete Arbeit setzt sich additiv aus den Arbeiten der einzelnen Kraftkomponenten zusammen. Mathematisch erinnert die Form des Integranden stark an die totale Ableitung einer skalaren Funktion U(x,y,z): du dt = U ẋ + U ẏ + U ż Damit eine echte Entsprechung besteht, muss also gelten F x = U, F y = U, F z = U oder kurz F = U Die Frage ist nun: Gibt es zu jedem Vektorfeld F ein Skalarfeld U, so dass F der Gradient von U ist? Die Antwort ist: Nein, ein solches U gibt es nur für eine spezielle (und wichtige) Klasse von Vektorfeldern, die sog. konservativen Felder. Man kann leicht einsehen, dass eine notwendige Bedingung für die Darstellbarkeit von F als Gradient durch =, F y F z =, F z = gegeben ist. Denn aufgrund der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen, also 2 U = 2 U folgt z.b. aus dass F x = U, F y = U = F y ist. Entsprechend für die anderen Komponentenpaare. Man kann zeigen, dass die obige notwendige Bedingung auch eine hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit von F als Gradient ist. (Genaugenommen ist dieses Kriterium nur dann hinreichend, wenn das Feld auf einem sog. einfach zusammenhängenden Gebiet definiert ist. Ein solches ist z.b. der gesamte 3dimensionale Raum oder auch der 3dimensionale Raum ohne den Ursprung, nicht aber die 2dimensionale Ebene ohne den Ursprung. Wir wollen diese Einschränkung hier nicht weiter beachten.) Aus physikalischen Gründen (s.u.) stellt man ein konservatives F tatsächlich nicht als Gradienten von U, sondern als negativen Gradienten einer Funktion V dar, und nennt V das Potential des konservativen Feldes F. Also zusammengefasst: F ist konservativ V : F = V =, etc. Z.B. ist das Feld F(r) = yze x + xze y + xye z konservativ, denn = z z =, F y F z = x x =, F z = y y =

4 Ein Potential für dieses Feld ist V (x,y,z) = xyz, wie man leicht sieht. Was ist nun das Gute an den konservativen Kraftfeldern, warum sind sie wichtig? Antwort: In einem allgemeinen Kraftfeld hängt das Linienintegral zwischen zwei Punkten vom genauen Verbindungsweg zwischen diesen beiden Punkten ab. In einem konservativen Kraftfeld ist das nicht der Fall, das Linienintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, der konkrete Verbindungsweg ist egal. Beweis: F(r) dr = F(r) ṙ dt = V (r) ṙ dt d = dt V (r(t))dt = V (r()) V (r(t 2 )) = V ( ) V (r 2 ) D.h. in einem konservativen Feld ist das Linienintegral von nach r 2 einfach gegeben durch die Differenz der Potentialwerte zwischen Anfangs- und Endpunkt, und ist damit wegunabhängig. Dies liegt offenbar daran, dass für ein konservatives Feld der Ausdruck F ṙ eine totale Ableitung ist. Physikalisches Beispiel: homogenes Gravitationsfeld F (r) = mge z. Will man das Linienintegral entlang irgendeines Weges von nach r 2 berechnen, dann stellt man fest: F(r) dr = mg e z ṙ dt = mg ż dt = mg(z(t 2 ) z( )) = mgz mgz 2 d.h. V (r) = mgz ist ein Potential für F, wie man auch unmittelbar durch Gradientenbildung sieht. Physikalische Interpretation des Potentials: V (r) gibt diejenige Arbeit an, die das Kraftfeld verrichtet, wenn der Angriffspunkt der Kraft vom Ort r zum Nullpunkt des Potentials verschoben wird. Daher der Name Potential = Mächtigkeit des Feldes. Oft bezeichnet man V auch als potentielle Energie. (Das ist auch der physikalische Grund dafür, dass man das Negative der Funktion, deren Gradient F ist, als Potential bezeichnet, und nicht die Funktion selbst.) V x x x 2 In der Abbildung ist ein möglicher Potentialverlauf entlang einedimensionalen Achse dargestellt. Am Ort x ist das Potential größer als am Ort x 2, daher verrichtet die Kraft positive Arbeit, wenn ihr Angriffspunkt von x an den Ort x 2 mit niedrigem Potential verschoben wird

5 in Übereinstimmung mit W = V (x ) V (x 2 ). Der zugehörige Kraftverlauf ist im dimensionalen Fall F(x) = V (x). Am Ort x, also in der Nähe eines Potentialmaximums, ist die Kraft daher praktisch null. Am Ort x 2, also in einem Gebiet schnell abnehmenden Potentials, ist die Kraft daher stark positiv (d.h. zeigt nach rechts).