Streuungsmaße Worum geht es in diesem Modul? Allgemeines zu Streuungsmaßzahlen Spannweite und Interquartilsabstand

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1 Streuungsmaße Worum geht es in diesem Modul? Allgemeines zu Streuungsmaßzahlen Spannweite und Interquartilsabstand Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus einer Urliste Standardabweichung Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus Häufigkeitstabellen Zusammenhang Varianz - mittlere quadratische Abweichung Worum geht es in diesem Modul? Aufbauend auf den im letzten Lernmodul vermittelten Lagemaßzahlen wird in diesem Lernmodul die Idee der Streuungsmaßzahlen allgemein erklärt. Anschließend werden die Spannweite, der Quartilsabstand, die mittlere quadratische Abweichung, die Varianz sowie die Standardabweichung betrachtet und an praktischen Anwendungsbeispielen verdeutlicht. Allgemeines zu Streuungsmaßzahlen Im haben wir verschiedene Maßzahlen kennen gelernt, die das Zentrum, oder auch das so genannte Niveau eines Datensatzes beschreiben. Das Niveau eines Datensatzes kann anhand eines Stabdiagramms verdeutlicht werden: Im Stabdiagramm entspricht das Niveau eines Datensatzes seiner Lage auf der x-achse. Das Niveau ist umso höher, je weiter rechts der Datensatz auf der x-achse liegt. Die Lageeigenschaften von Datensätzen Quelle: Statistik interaktiv! Maßzahlen der Lage dürfen nicht isoliert, d.h. nur für sich betrachtet werden; eine ausreichende Beschreibung eines vorliegenden Datensatzes nur aufgrund seiner Lage ist nicht möglich. Es muss ebenfalls beachtet werden, wie dicht die einzelnen Daten beieinander liegen. Dieses wird in dem nachfolgenden kurzen Beispiel verdeutlicht: Wir betrachten zwei Städte, in denen jeweils morgens, mittags und abends die Lufttemperatur gemessen wurde. In der Stadt A wurden die Werte "8, 17, 11" Grad Celsius und in der Stadt B "3, 24, 9" Grad Celsius erhoben. Bei beiden Städten ist die durchschnittliche Temperatur an einem Tag folglich 12 Grad Celsius. Auch wenn die mittlere Lufttemperatur gleich ist, scheint das Klima in den beiden Städten unterschiedlich zu sein. Die Werte in der Stadt B liegen weiter auseinander, d.h. sie streuen stärker. Im Stabdiagramm würde die Eigenschaft "Streuung" durch die Abstände zwischen den einzelnen Stäben verdeutlicht; im Stabdiagramm der Stadt B würden demnach die Stäbe weiter auseinander liegen als im Stabdiagramm der Stadt A. Wir benötigen demnach Streuungsmaßzahlen, die derartige Unterschiede zwischen mehreren Datensätzen aufzeigen, d.h. Unterschiede bezüglich der Streuung herausstellen. Spannweite und Interquartilsabstand Zwei Streuungsmaßzahlen können direkt aus der 5-Zahlen-Zusammenfassung beziehungsweise dem Box-and-Whisker-Plot bestimmt werden. Mit Erstellung des Box-and-Whisker-Plots wird das Ziel verfolgt, die aus einem vorliegenden Datensatz Page 1

2 ermittelten Werte Median, Extremwerte und die speziellen Quantile sinnvoll zusammen zu führen, um so eine Interpretation ihres Informationsgehalts zu erleichtern. So können anhand eines Box-and-Whisker-Plots Aussagen bezüglich der Lage eines Datensatzes und seiner Eigenschaften bezüglich Symmetrie getroffen werden. (s. ) Betrachten wir den vergleichenden Box-and-Whisker-Plot der Merkmale "Körpergröße: männlich" und "Körpergröße: weiblich". Vergleichende Box-and-Whisker-Plots des Merkmals "Körpergröße" Quelle: Eigene Befragung Die grafischen Darstellung zeigt deutliche Unterschiede bezüglich der Lage und Streuung der beiden Datensätze. Diese Unterschiede wollen wir präziser fassen. Betrachten wir das Maximum und das Minimum eines Datensatzes. Diese beiden Werte grenzen den Bereich aller Beobachtungen ein. Um mehrere Datensätze miteinander vergleichen zu können, wird ein Wert benötigt, der genau diesen Bereich misst. Die Spannweite bestimmt die Differenz zwischen dem größten und kleinsten beobachteten Wert des Datensatzes. Definition: Spannweite Formal wird die Spannweite üblicherweise mit bezeichnet und wie folgt bestimmt: Übertragen auf die obige grafische Darstellung ergeben sich die folgenden Spannweiten: Der kleinste männliche Studierende misst 163 cm, der größte männliche Studierende 204 cm. Für die Spannweite ergibt sich demnach. Bei den Körpergrößen der weiblichen Studierenden ergibt sich als Spannweite, da die kleinste Studierende 158 cm, die größte 182 cm misst. Das Intervall, in welchem sich die Werte verteilen, ist bei den Frauen mit 24 Einheiten deutlich kürzer als bei den Männer; anscheinend streuen die Werte der Männer stärker. Allerdings verzerrt bereits ein extremer Wert das Ergebnis. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, zusätzlich die Breite der "Box", in der sich die zentralen 50% der Daten befinden, zu betrachten. Dieser Wert, der sich aus der Differenz zwischen den beiden Quartilen bestimmt, wird Quartilsabstand genannt. Durch einen Vergleich der beiden Maßzahlen können zusätzlich Aussagen bezüglich Ausreißer getroffen werden. Fallen diese weit auseinander, d.h. die Spannweite ist deutlich größer als der Quartilsabstand, kann auf Ausreißer im Datensatz geschlossen werden. Definition: Quartilsabstand Der Quartilsabstand ergibt sich folgendermaßen: Der Quartilsabstand bei der Körpergröße der Männer ist gleich 9, da und, bei der Körpergröße der Frauen gleich 6, da und. Ein Vergleich der jeweils zusammengehörigen Maßzahlen in unserem Beispiel scheint auf keine nennenswerte Differenz hinzudeuten. Die praktische Umsetzung der hier vorgestellten statistischen Methoden im Statistiklabor wird im nachfolgenden Exkurs behandelt. Die Spannweite eines Datensatzes wird im Labor von der gleichnamigen Funktion geliefert. Page 2

3 Der Aufruf im R-Kalkulator lautet: Spannweite(x) Demonstrationsseite: Spannweite im Statistiklabor ( a72.spf ) Hinweise: - Sie ist nur auf Daten in der Form einer Urliste oder Rangwertreihe ansetzbar. - NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nicht berücksichtigt. Die Daten werden nachstehend als auf der Variablen x abgelegt angenommen. - Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus. Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen über ihr Arbeiten. Steckbrief/Kurzbeschreibung Ein Steckbrief der Funktion Spannweite ist über den nachstehenden Link erreichbar. Steckbrief der Funktion Spannweite() ( : a83.pdf ) Aufruf mit Hilfe von R-Standardfunktionen Das Konzept "Spannweite" lässt sich im R-Kalkulator direkt mit Hilfe der Funktionen des base package von R umsetzen: - Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt. - Im betrachteten Fall müssen sie in Form einer Urliste vorliegen. - Die Anweisung xr <- sort(x) legt den geordneten Datensatz (die Rangwertreihe) von x auf der Variablen xr ab. - Die Spannweite ergibt sich dann aus xr[length(xr)] - xr[1], da xr[length(xr)] das maximale und xr[1] das minimale Element liefert. - Die Funktion length ermittelt die Anzahl der Elemente eines Vektors. - Mittels der Funktionen min, max können wir die gesuchte Spannweite auch direkt ohne vorheriges Sortieren ermitteln. Die Anweisung lautet max(x) - min(x). Weitere Quellen Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.r" und eine Beschreibung der Bibliothek abgelegt. Um die in diesem Lernmodul besprochenen Funktionen im Statistiklabor ausprobieren zu können, muss die Bibliothek "Danalyse.R" geladen werden. Sollte sie bei Ihrer Version des Statistiklabors nicht mit installiert worden sein, können sie diese hier laden: Bibliothek "danalyse.r" ( aa9.r ) Informationen zum Aufbau und der Verwendung der Funktionen: Beschreibung der Bibliothek "danalyse.r" ( : aae.pdf ) Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus einer Urliste Die erste Kategorie von Streuungsmaßzahlen haben wir bereits kennen gelernt: In dieser wird die Differenz zwischen den Abweichungen selbst betrachtet. Zu dieser Kategorie gehört die Spannweite und der Quartilsabstand (s. Abschnitt Spannweite ). Page 3

4 Die zweite Kategorie von Streuungsmaßzahlen betrachtet die Abweichungen der Beobachtungswerte zu einer Lagemaßzahl. Es sollen Aussagen bezüglich der Streuung getroffen werden. Betrachten wir das arithmetische Mittel des Merkmals "Einkommen" mit dem Wert 900 Euro, so charakterisiert dieser den dazugehörigen Datensatz. Dieser Wert ergibt sich aber sowohl aus dem Datensatz 10, 500 und 2190 als auch aus dem Datensatz 800, 900 und Diese Datensätze unterscheiden sich recht grundlegend, doch dieser Unterschied wird aus dem arithmetischen Mittel allein nicht ersichtlich. Aus diesem Grund werden wir Streuungsmaße aus den individuellen Abweichungen der beobachteten Merkmalsausprägungen vom Lagemaß "Arithmetisches Mittel" berechnen. Da die Summe der Abweichungen aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des arithmetischen Mittels immer Null ist, könnte das Vorzeichen der Abweichung durch den Übergang zu den Quadraten eliminiert werden. (s. ) Die Alternative führt zur mittleren absoluten Abweichung. Von der quadrierten Abweichung wird das arithmetische Mittel genommen und als mittlere quadratische Abweichung bezeichnet. Online-Version : Flashanimation ' Animation Maßzahlen und extreme Werte ' siehe Übertragen auf das Zahlenbeispiel ergibt sich für den ersten Datensatz eine mittlere quadratische Abweichung von ,67; für den zweiten Datensatz ergibt sich die mittlere quadratische Abweichung 6666,67. Die unterschiedliche Streuung wird herausgestellt. Die Schwierigkeiten bei der Interpretation dieser Streuungsmaßzahlen werden in der Theoriekomponente Standardabweichung ausführlich beschrieben. Definition: Mittlere quadratische Abweichung Die formale Darstellungsweise der mittleren quadratischen Abweichung ergibt sich wie folgt: Der nachfolgende Exkurs zeigt die Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung im Statistiklabor. Zur Berechnung der Varianz, einer weiteren Streuungsmaßzahl, verlaufen die Überlegungen analog zu den bisher erläuterten. Der einzige Unterschied besteht darin, dass als Divisor nicht sondern -1, die Anzahl der Freiheitsgrade, gewählt wird. Die Begründung hierfür kann erst im in ihrer ganzen Tragweite gegeben und verstanden werden. Hier nehmen wir es so, wie es ist. Page 4

5 Definition: Varianz Die Varianz wird demzufolge über die folgende Formel berechnet: Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten statistischen Methoden im Statistiklabor sei auf den folgenden Exkurs verwiesen. Die Funktion MQA Die Funktion MQA setzt das Konzept der mittleren quadratischen Abweichung im Labor um. Aufruf im R-Kalkulator des Labors: MQA(x) Demonstrationsseite: MQA-Funktion im Statistiklabor ( b17.spf ) Hinweise - Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt. - Sie können in Form einer Urliste, Rangwertreihe, diskreten oder kontinuierlichen Häufigkeitstabelle vorliegen. - NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nicht berücksichtigt. - Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus. Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen über ihr Arbeiten. Steckbrief/Kurzbeschreibung Ein Steckbrief der Funktion MQA: MQA-Funktion im Statistiklabor ( : b29.pdf ) Weitere Quellen Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.r" und eine Beschreibung der Bibliothek abgelegt. Die Funktion Varianz setzt das Konzept der Varianz im Labor um. Aufruf im R-Kalkulator des Labors: Varianz(x) Demonstrationslaborseite: Funktion Varianz() im Labor ( b3c.spf ) Hinweise - Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt. Sie können in Form einer Urliste, Rangwertreihe, diskreten oder kontinuierlichen Häufigkeitstabelle vorliegen. - NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nicht berücksichtigt. - Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus. Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen über ihr Arbeiten. Steckbrief/Kurzbeschreibung Steckbrief der Funktion Varianz() ( : b4b.pdf ) Aufruf mit Hilfe von R-Standardfunktionen Im R-Kalkulator steht auch die Funktion "var()" zur Verfügung. Sie ist nur auf Daten Page 5

6 anwendbar, die als Urliste oder Rangwertreihe vorliegen. Der Aufruf ist "var(x)" Weitere Quellen Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.r" und eine Beschreibung der Bibliothek abgelegt. Standardabweichung Ausgangspunkt für die Ermittlung der Varianz und der mittleren quadratischen Abweichung war die Vorstellung, ein Streuungsmaß auf die Abweichung der Beobachtungen vom Lagemaß zu konstruieren. Zur Berechnung der Varianz werden die individuellen Abweichungen quadriert, ehe sie aufsummiert werden. Damit wurde diesen Streuungsmaßen die unmittelbare Interpretation genommen. Betrachten wir eine Befragung, bei der das Merkmal "Einkommen" erhoben wurde. Bei einer Analyse der erhobenen Daten wird die Varianz bestimmt; aufgrund der Quadrierung ändert sich damit allerdings auch die Maßeinheit - die Varianz besitzt die Maßeinheit "", die Beobachtungswerte die Maßeinheit "Euro". Was bedeutet nun eine Varianz von bei einem arithmetischen Mittel von 900 Euro? Wir benötigen eine Umformung des Streuungsmaßes, um wieder eine sinnvolle Interpretation zu ermöglichen. Wenn das Problem durch die Quadrierung entstanden ist, so besteht die Lösung darin, die Quadratwurzel aus der Varianz zu betrachten. Die neue Größe wird Standardabweichung genannt und formal folgendermaßen dargestellt: Definition: Standardabweichung Für unser obiges Beispiel ergibt sich demnach, d.h. die Beobachtungen streuen durchschnittlich um Euro um das arithmetische Mittel von 900 Euro. Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten statistischen Methoden im Statistiklabor sei auf den folgende Exkurs verwiesen. Das Konzept der Standardabweichung wird in zwei Schritten im Labor umgesetzt. Nach dem die Varianz mit Hilfe der Funktion "Varianz()" berechnet wurde, ergibt sich die Standardabweichung durch Ziehen der Wurzel daraus. Dies leistet die R-Funktion sqrt. Aufruf im R-Kalkulator des Labors: sqrt(varianz(x)) (s. dazu auch Exkurs zur Varianz ) Beispiel: Mathematikprüfung - Berechnung von Streuungsmaßen Problemstellung Wie die meisten Studierenden zu Beginn ihres Studiums an der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften der Universität Bielefeld feststellen, ist ihr Studium stark mathematisch ausgerichtet. Es geht das Gerücht um, dass es schwer ist, die Mathematik-Klausuren zu bestehen. Um zu erfahren, ob tatsächlich so viele Studierende an der Mathematik-Klausur Page 6

7 scheitern, erfragen sie bei 20 älteren Kommilitonen deren Punktzahl bei ihrer Mathematikprüfung: Maximal waren 100 Punkte zu erreichen. Lösungsweg Berechnen wir das arithmetische Mittel, so erhalten wir: Doch es sind zur Beschreibung eines Datensatzes nicht nur Maßzahlen der Lage von Interesse, diese wären für sich genommen auch nicht aussagekräftig genug. Aus diesem Grund werden nun in einem nächsten Schritt die Varianz und die Standardabweichung bestimmt: Antwort Das arithmetischemittel ist gleich 54,95. Dieses charakterisiert die Durchschnittspunktezahl, d.h. wenn die Summe der erreichten Punkte gleichmäßig auf alle Prüflinge verteilt worden wäre. Die Streuungsmaße wurden aus den individuellen Abweichungen der beobachteten Merkmalsausprägungen von dem Lagemaß "arithmetisches Mittel" berechnet. Die Varianz ist gleich 198,68. Doch bei diesem Streuungsmaß ist die Interpretation sehr schwierig, da die Dimension des hier ermittelten Wertes aufgrund der Quadrierung nicht mit der Dimension des Datensatzes übereinstimmt. Aus diesem Grund wird die Standardabweichung berechnet. Diese hat den Wert 14,095 und kann folgendermaßen interpretiert werden: Im Mittel weichen die beobachteten Werte von ihrem Mittelwert um ca. 14 Punkte ab. Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus Häufigkeitstabellen Da sich die beiden Streuungsmaße "Mittlere quadratische Abweichung" und "Varianz" nur im Divisor unterscheiden, betrachten wir im folgenden nur eine der beiden Streuungsmaße. Es gilt es die Berechnung der Summe der quadratischen Abweichungen aus einer Häufigkeitstabelle zu entwickeln. Berechnung der Varianz Quelle: Statistik interaktiv Wurden keine Klassen gebildet, so gelangen wir mit dem gleichen Argument wie bei der Berechnung des arithmetischen Mittels aus einer Häufigkeitstabelle zu der Beziehung (s. ) Damit ergibt sich für die mittlere quadratische Abweichung die folgende Formel: Bei einer Tabelle für klassierte Daten approximieren wir die gerundete Summe wiederum mit Hilfe der Klassenmitte durch (s. ) Page 7

8 Die Formel, die zur Berechnung der mittleren quadratischen Abeichung zur Berechnung aus klassierten Häufigkeitstabellen herangezogen werden sollte, ist damit die Folgende: Siehe hierzu auch folgende Exkurse: - Exkurs zur Standardabweichung - Exkurs zur Varianz - Exkurs zur MQA Unabhängig davon, wie nun die Varianz bestimmt wurde, wird hieraus durch das Ziehen der Wurzel die Standardabweichung bestimmt. Zusammenhang Varianz - mittlere quadratische Abweichung Allgemein gilt zwischen der Varianz und der mittleren quadratischen Abweichung der Zusammenhang: Wir können demnach das jeweils andere Streuungsmaß direkt über diese Beziehung berechnen, sobald eines bekannt beziehungsweise bereits berechnet worden ist. Bei großem Datenumfang ist der Unterschied zwischen den beiden Streuungsmaßen unbedeutend. Online-Version : Flashanimation ' Animation Mittlere quadratische Abweichung ' siehe Bei der Europameisterschaft 2000 im Fußball in Holland und Belgien fanden 25 Spiele statt. Im Folgenden finden Sie eine Urliste der Anzahl der Tore je Spiel: Ein fußballbegeisterter Fan notierte auch gleich, wie lange er bei jedem von diesen 25 Spielen warten musste, bis das erste Tor fiel (in Minuten): Page 8

9 Aus diesen beiden Datensätzen wurde bereits jeweils eine Häufigkeitstabelle erstellt und das arithmetische Mittel berechnet. (s. ) a) Berechnen Sie aus der nicht-klassierten Häufigkeitstabelle des ersten Datensatzes "Anzahl der Tore" die Varianz und die Standardabweichung. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse und berücksichtigen Sie dabei auch das dazugehörige arithmetische Mittel. b) Berechnen Sie aus der klassierten Häufigkeitstabelle des zweiten Datensatzes "Wartezeit" die Varianz und die Standardabweichung. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse und berücksichtigen Sie dabei auch das dazugehörige arithmetische Mittel. c) Bestimmen Sie aus der Urliste "Wartezeit" die Varianz und die Standardabweichung. Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit denen aus Teilaufgabe b) und interpretieren Sie diese. Labordatei öffnen ( c5a.zmpf ) In der Zweigstelle einer Bank werden 250 Wertpapierdepots geführt. Der Wert der einzelnen Depots zum wird in der folgenden klassierten Häufigkeitstabelle zusammengefasst (Das Merkmal X ist dabei der Wert der Depots in Tausend Euro): Berechnen und interpretieren Sie die Varianz und die Standardabweichung im Page 9

10 Statistiklabor:. Labordatei öffnen ( cf0.spf ) arithmetisches Mittel ErklärungDaten ErklärungDatensatz ErklärungHäufigkeitstabelle ErklärungKlassen Erklärungklassierte Häufigkeitstabelle ErklärungLage ErklärungLagemaß ErklärungMaßzahlen ErklärungMerkmal ErklärungMerkmalsausprägung Erklärungmittleren quadratischen Abweichung Erklärungnicht-klassierte Häufigkeitstabelle ErklärungStreuung ErklärungStreuungsmaß ErklärungUrliste ErklärungVarianz Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 10