Experimentalphysik I (EP I): Mathematische Ergänzungen

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1 Experimentalphysik I (EP I): Mathematische Ergänzungen Prof. Dr. Niels e Jonge INM - Leibniz Institut für neue Materialien Experimentalphysik, Universität es Saarlanes niels.ejonge@mx.uni-saarlan.e Infos: Bücher: Experimentalphysik 1, Wolfgang Demtröer Mathematik 1 geschrieben für Physiker, Klaus Jänich Mathematik für Physiker un Ingenieure 1, Klaus Weltner Mathematik für Ingenieure un Naturwissenschaftler Ban 1-2, Papula Montag 12:30-14:00 Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

2 Warum mathematische Ergänzungen? Physik lernen = rechnen! Ziel: mathematische Methoen lernen, amit Experimentalphysik I verstanen weren kann Teilweise Wieerholung Gymnasium, teilweise neue Themen Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

3 Wichtige Hinweis! Ganz wichtig: Seite für Seite alle Gleichungen in Demtröer Buch un Vorlesung nachrechnen, sowie alle Aufgaben machen: Damit versteht man warum es geht Man bekommt Übung im Rechnen: notwenig für Physikstuium Dies wir nicht immer explizit gesagt, sonern vorausgesetzt Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

4 Themen Ableitung Trigonometrische Funktionen Rechnen mit Vektoren Integrieren Koorinatensysteme Differentialgleichungen Komplexe Zahlen Format: nicht sequentiell, sonern so viel wie möglich parallel an experimental Physik I Vorlesung: wenn mathematische Methoen gebraucht weren Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

5 Exzellente Begriff folgene Basisthemen vorausgesetzt: Rechnen mit Funktionen, Gleichungen, Moulus, 1/x, lim x, etc Lösungen Ax 2 +bx+c un graphisch verstehen Grenzwert (Limes), graphisch, rechnen mit Grenzwerten, Asymptote Basisbegriff goniometrische Funktionen Basisbegriff Ableiten Basisbegriff Integrieren Graphiken, Funktionen graphisch untersuchen, Richtungskoeffizient, Oberfläche, Kontinuität, gebrochene Funktionen Set von lineare Gleichungen lösen Ungleichheiten lösen, z.b. ax +b < 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung Reihen Begriff Vektor, rechnen mit Vektoren (Aition, Multiplikation) Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen, Begriff senkrecht Raumgeometrie Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

6 Begriff folgene erweiterte Themen vorausgesetzt: I. Exponentielle un logarithmische Funktionen Zahl e, e x, Ableitung e x, Wie sehen Funktionen aus? Z.B. lim x oer x 0 x n /e x, e -x Inverse Funktion Logarithmische Funktion g log x = a Rechnen mit Logarithmen, g log ab = g log a + g log b, g log a/b = g log a - g log b, g log a x =x g log a, a log x = p log x / p log a Funktion ln x, e ln x = x II. Goniometrische Funktionen sin x, cos x, tan x berechnen un auswenig kennen für 0, 1/6π, 1/4π, 1/3π, 1/2π usw Dreieck, Winkel, sin, cos, tan, Berechnen Kantenlänge aus Winkel sin x = sin ( -x), -cos x = cos (-x)= cos (+x) Grafisch Verstehen iese Funktionen cos (a-b), cos (a+b), sin(a-b), sin (a+b) sin 2x, cos2x cos 2 x + sin 2 x = 1 2cos a cos b, 2sin a sin b, 2 sin a cos b Inverse Funktionen, asin, atan, acos Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

7 Woche 1 Ableitung Trigonometrische Funktionen Rechnen mit Vektoren Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

8 Ableitung wir gebraucht für z.b. Mechanik eines Massenpunktes Geschwinigkeitsvektor Positionsvektor ~r(t) = x(t) y(t) z(t) 1 A Abbilung 2.1 Bahnkurve Kartesischen Koorinaten Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

9 Einfach anfangen: Gleichförmige/ geralinige Bewegung t: Zeit s: Position s = v0t v = s/ t (Geschwinigkeit) a = v/ t (Beschleunigung) : Interval Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2015

10 Ableitung intuitiv Wie viel änert sich eine Kurve? v = s/ t ist erste Ableitung von x a = v/ t ist erste Ableitung von v an zweite Ableitung von x Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

11 Ableitung mathematisch Tangente an einer Kurve: f 0 (x) = x f(x) = lim f(x) f(x 0 ) x! x 0 x x 0 x c =0 x cx = c x cx2 = c2x Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

12 Wichtige Rezepte x xn = nx n 1 sin(x) =cos(x) x Aitionsregel: (f + g) 0 = f 0 + g 0 Prouktregel: (f g) 0 = f 0 g + fg 0 x cos(x) = x ex = e x sin(x) x g(f(x)) = Kettenregel: f (x) g(f(x)) x f(x) Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

13 Trigonometrische Funktionen sin( ) = Gegenkathete Hypothenuse = a c cos( ) = Ankathete Hypothenuse = b c tan( ) = Gegenkathete Ankathete = a b Hypothenuse c α Ankathete b Gegenkathete a sin 2 ( ) + cos 2 ( ) =1 sin(2x) =2sin(x) cos(x) sin(x + y) =sin(x) cos(y) + cos(x)sin(y) Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

14 Vektoren Schreibweisen: 0 1 x ~r = {x, y, z} ~r y A z ~r =(x, y, z) ~r = x, y, z ~r = x~e x + y~e y + z~e z ~e x Einheitsvektor ~r = x y z 1 A = p x 2 + y 2 + z 2 Norm = Länge Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016

15 Aufgaben Experimentalphysik I (EP I): Mathematische Ergänzungen Vorlesung 1 ( ) 1. Berechne: 2. Berechne: 3. Berechne: x 4(3x2 + ab cos x) 2 x x sin(3x3 +2x) x e x 4. Berechne: 5. Berechne: 6. Berechne: 7. Berechne: p (a + z)x5 + cos(3x + b) x x e x (sin x cos x) 1 x e x +1 p x a cos x{sin x + sin 2 x + b} 8. Ein Dreieck hat Kanten l 1, l 2 un a. Es hat ein rechte Winkel un ein Winkel α. Berechne l 1 un l 2 in a un α. 9a. Fine (kann auch über Wikipeia) cos(2x) b. Fine sin(x-y) c. Fine cos (x±y) 10. Erstelle Tabelle mit Sin, Cos, Tan fuer α = 0, π/4, π/2, π Ganz wichtig! Hausaufgaben sollten jee Woche gemacht weren un weren nächste Woche besprochen Copyright (C) Niels e Jonge, INM, 2016