1 Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u (x) = cos (2 x), v (x) = 2 x 2 und w (x) = 9 x 1

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u (x) = cos (2 x), v (x) = 2 x 2 und w (x) = 9 x 1"

Transkript

1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkt, Quotient, Verkettung Sind die Funktionen u mit u () = und v mit v () = cos () gegeben, so erhält man die Verkettung u v () = u v () dieser beiden Funktionen, indem man in u () = an die Stelle von den Term cos () einsetzt: u v () = cos (). Dabei ist v () = cos () die innere Funktion und u () = die äußere Funktion. Umgekehrt setzt man bei der Verkettung v u () in v () = cos () an die Stelle von den Term ein: v u () = cos ( ). Nun ist u () = die innere Funktion und v () = cos () die äußere Funktion. Weitere Beispiele Mit u () = 9 und v () = + ist die Verkettung u v () = 9 + und v u () = 9 +. Mit u () = und v () = + ist die Verkettung u v () = + und v u () = +. Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u () = cos ( ), v () = und w () = 9 u v () = cos ( ), v u () = ( ), dabei ist u die äußere Funktion und v die innere Funktion, dabei ist die äußere Funktion und die innere Funktion, v w () = ( ), dabei ist v und w, w v () = 9, dabei ist v und w, u w () = cos ( ), dabei ist u und w, w u () = 9, dabei ist u und w. Gegeben sind die Funktionen u, v und w mit u () = 9 +, v () = sin () und w () =. Es ist u v () =, v u () =, u w () =, w u () =, v w () =, w v () =. Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f () =, g () = 5 sin () und h () = +. Wurde hier richtig verkettet? Geben Sie gegebenenfalls die richtige Verkettung an. f g () = 5 sin () g f () = 5 f h () = + h f () = + g h () = 5 sin ( + ) h g () = 5 sin () Die Funktion f mit f () = 9 + kann als Verkettung aufgefasst werden, dabei ist v () = + die innere Funktion und u () = 9 die äußere Funktion. Für die Funktion g mit g () = ( + ) gibt es mehrere Zerlegungsmöglichkeiten.. Innere Funktion v () = +, äußere Funktion u () =.. Innere Funktion v () = ( + ), äußere Funktion u () =. Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

2 Geben Sie Funktionen u und v an, so dass f () = u(v ()) ist. a) f () = ( + 5), u () =, v () =, b) f () = + 5, u () =, v () =, c) f () = sin ( + 8), u () =, v () =. 5 Stellen Sie die Funktion f auf zwei Weisen als Verkettung dar. a) f () = sin (5 ),. Möglichkeit:. Möglichkeit: b) f () = 9 ( 5). Möglichkeit:. Möglichkeit: c) f () = 8 ( + ). Möglichkeit:. Möglichkeit: Aus den Funktionen f und g mit f () = sin () und g () = 9 kann man auf verschiedene Weisen neue Funktionen bilden, Summe: s () = f () + g () = sin () + 9 Differenz: d () = f () g () = sin () 9 Produkt: p () = f () g () = sin () 9 Quotient: q () = f () () = sin g () 9 Verkettung: v () = f g () = sin 9 bzw. v () = g f () = 9 sin (). Umgekehrt kann man die Funktion k mit k () = + auf verschiedene Weisen in Grundfunktionen zerlegen: Produkt: k () = f () g () mit f () = und g () = + Quotient: k () = f () mit f () = und g () = + g () Verkettung: k () = f g () mit f () = und g () = + 6 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f () = und g () = +. Bilden Sie a) die Summe der beiden Funktionen:, b) f () g ():, c) das Produkt der beiden Funktionen:, d) g f () :. 7 a) Schreiben Sie f () = ( + 9) als Summe:, Produkt:, Verkettung:, b) Schreiben Sie g () = c) Schreiben Sie h () = sin () ( + ) als Produkt:, als Produkt:, Verkettung:. 8 Es ist u () = cos ( ) und v () =. Verbessern Sie die Fehler. a) u () v () = cos ( ) b) v u () = cos (8 ) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

3 Lerneinheit Kettenregel Eine Funktion f wie z. B. f () =, die als Verkettung geschrieben werden kann, leitet man so ab:. Innere und äußere Funktion festlegen und deren Ableitung bilden: Innere Funktion v mit v () =, Ableitung v '() =. Äußere Funktion u mit u () =, Ableitung u' () =.. u' v () bilden: u' v () = ( ).. Ableitung f ' mithilfe der Kettenregel bilden: f '() = u' (v ()) v '() = ( ) ( ) = 8 Weitere Beispiele a) f () = sin ( ). Innere Funktion v mit v () =, Ableitung v '() = Äußere Funktion u mit u () = sin (), Ableitung u' () = cos (). u' v () = cos ( ). f ' () = u' v () v ' () = cos ( ) = 8 cos ( ) b) f () = Innere Funktion v mit v () = + 5, Ableitung v ' () = 0 Äußere Funktion u mit u () = 9,. u' v () = f ' () = u' v () v ' () = = 5 Ableitung u' () = ( ) Füllen Sie die Tabelle für f () = u v () aus. f () v () v ' () u () u' () u' v () f ' () sin ( + ) + sin ( + 9) cos ( ) cos ( ) Was gehört zusammen? Ergänzen Sie. a) f () = 0,5 cos (5 ) b) f () = v () v ' () u () u' () u' v () v () v ' () u () u' () u' v () 0,5 sin (5 ) 5 0,5 sin () 5 0,5 cos () Damit ist f ' () =. Damit ist f ' () =. Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

4 Ergänzen Sie. a) f () = sin ( ) f ' () = cos ( ) b) g () = cos (5 ) g ' () = 0 c) h () = 8 9 h' () = 8 d) i () = + 5 i '() = Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis. a) f () = 8 sin (5 ) b) g () = c) h () = + 7 d) i() = 5 ( + 7) 5 Wo steckt der Fehler? Verbessern Sie. a) f () = ( + ) +, f ' () = 6 b) g () = 8 sin ( + ), g'() = 6 cos () 6 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f () =, g () = ( ) und h () = ( ). rdnen Sie jedem Graphen einen passenden Funktionsterm f, f ', g, g', h oder h' zu. Fig. Fig. Fig. Fig. Mithilfe der. Ableitung f ' kann man verschiedene Eigenschaften der Funktion f und des Graphen von f bestimmen, z. B.: ( + ) Für f () = + ( D = R \ { 0 ; }) ist f '() = ( + ). a) Steigung bestimmen: Der Graph von f hat in P ( + ) die Steigung f '() = ( + ) = 9. b) Punkt mit waagerechter Tangente bestimmen: Es ist f ' () = 0 für ( + ) = 0, also =. D. h. der Graph von f hat im Punkt P ( ) eine waagerechte Tangente. c) Monotonieverhalten von f untersuchen: Überprüfe f ' (): Der Nenner von f ' ist stets positiv, da ( + ) > 0 ist für alle * D. Für den Zähler von f ' gilt: ( + ) > 0 für < ; damit ist f ' () > 0 für alle < ( ). Also ist f streng monoton wachsend für < ( ). 7 Gegeben sind die Funktionen f und g mit f () = ( 5) und g () = a) Berechnen Sie f ' (0), f ' (), f ' ( ) und g ' (), g ' ( ). b) In welchen Punkten hat der Graph von f die Steigung? c) In welchen Punkten hat der Graph von f eine waagerechte Tangente? d) Für welche * D g ist g streng monoton fallend? e) Untersuchen Sie die Funktion g mithilfe der. Ableitung auf Etremstellen. 8 Welche der Funktionen f bis f haben die Ableitung f ' mit f ' () = cos (0,5 + )? ( D g = R \ { ; }). f () = sin (0,5 + ) ; f () = sin (0,5 + ) ; f () = sin (0,5 + ) + ; f () = 0,5 sin ( + ). Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

5 Lerneinheit Produktregel Eine Funktion f wie z. B. f () = 8 sin (), die als Produkt von zwei Faktoren u und v geschrieben werden kann, leitet man so ab:. Die beiden Faktoren festlegen und ableiten: u () = 8, u' () = 6, v () = sin (), v ' () = cos (). Die Ableitung f ' mithilfe der Produktregel bilden: f ' () = u' () v () + u () v ' () = 6 sin () + 8 cos () Weiteres Beispiel f () = ( + ) 9. Die beiden Faktoren festlegen und ableiten: u () = +, u' () =, v () = 9, v '() = 9. Die Ableitung f ' mithilfe der Produktregel bilden: f '() = u' () v () + u () v '() = 9 + ( + ) 9 Füllen Sie die Tabelle aus. f () u () u' () v () v ' () f ' () ( ) sin () ( ) cos () ( ) 9 sin () ( 5) 9 Ergänzen Sie. a) f () = ( ) cos (), f ' () = cos () b) g () = ( ) 9, g ' () = 9 + c) h () = 5 sin (), h'() = 0 d) i() = 5 sin (), i'() = Geben Sie zuerst u () und v () an. Leiten Sie anschließend ab. a) f () = ( ) cos (), u () = v () = b) g () =, u () = v () = c) h () = sin (), u () = v () = d) i() = 9 ( + ), u () = v () = Der Funktionsterm f () = sin ( + 8) hat die Faktoren u () = und v () = sin ( + 8). Dabei ist v eine Verkettung. Beim Ableiten von f braucht man daher die Produkt- und die Kettenregel.. Die beiden Faktoren festlegen und ableiten Kettenregel beachten: u () =, u'() =, v () = sin ( + 8), v ' () = cos ( + 8) (Kettenregel!). Die Ableitung f ' mithilfe der Produktregel bilden: f ' () = u' () v () + u () v ' () = sin ( + 8) + cos ( + 8) = sin ( + 8) + cos ( + 8) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 5

6 Es ist f () = u () v (). Kreuzen Sie zuerst an, welcher Faktor eine Verkettung ist. Leiten Sie anschließend ab. a) f () = ( ) cos () u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung b) f () = ( + ) c) f () = 9 d) f () = u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung + u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung ( ) sin () u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung 5 Lesen Sie die vorliegende Lösung durch. Welche Ableitungsregeln wurden angewendet? a) f () = (5 ) cos () + f '() = (5 ) cos () (5 ) sin () + Summenregel Kettenregel Produktregel Potenzregel Faktorregel b) g () = ( ) sin g '() = 9 ( ) sin + ( ) cos Summenregel Kettenregel Produktregel Potenzregel Faktorregel 6 Leiten Sie die Funktion f mit f () = sin () zweimal ab. Wie oft brauchen Sie die Produktregel? 7 Hier wurde falsch abgeleitet. Suchen Sie die Fehler und verbessern Sie diese. a) f () = sin () Falsche Ableitung: f '() = cos () Richtige Ableitung: f '() = b) g () = cos () Falsche Ableitung: g '() = sin ( ) + cos () Richtige Ableitung: g '() = 8 Gegeben ist die Funktion f mit f () = ( + ) 9. a) Leiten Sie die Funktion f ab. b) Berechnen Sie die Steigung des Graphen in den Punkten P f (), Q f () und R 9 f (9). 9 Gegeben ist die Funktion f mit f () = ( ). a) Leiten Sie die Funktion f ab. b) Berechnen Sie die Nullstellen von f. Bestimmen Sie die Ableitung an diesen Stellen. c) An welchen Stellen ist die Ableitung der Funktion f Null? 0 a) Die Funktion f mit f () = g () sin () hat die Faktoren u () = g () und v () = sin () mit u' () = g ' () und v ' () = cos (). Damit ist f ' () = u' () v () + u () v ' () = g ' (). b) Die Funktion h mit h () = g () hat die Faktoren u () = g () und v () = mit u' () = g '() und v '() =. Damit ist f '() = u' () v () + u () v '() =. 6 Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

7 Lerneinheit Quotientenregel Ist eine Funktion f wie f () = 8 sin () ein Quotient von zwei Funktionen u und v, dann leitet man f = u so ab:. Die beiden Funktionen u und v ableiten: u () = 8, u'() =6, v () = sin (), v '() = cos (). Die Ableitung f ' mithilfe der Quotientenregel bilden: Weiteres Beispiel f () = + 5 u' () v () u () v '() f '() = v () = 6 sin () 8 cos () sin (). Die beiden Funktionen u und v ableiten: u () =, u' () =, v () = + 5, v ' () =. Die Ableitung f ' mithilfe der Quotientenregel bilden. Wenn möglich, Term vereinfachen: u' () v () u () v '() f '() = v () = ( + 5) ( ) ( + 5) = ( + 5) = ( + 5) v Füllen Sie die Tabelle aus. f () u () u' () v () v ' () f ' () sin () cos () 8 Ergänzen Sie. a) f () = + c) h () = sin (), f ' () = ( + ), h' () = sin () b) g () = 5, g ' () = ( 5) d) i () = 6, i '() = + Leiten Sie ab. a) f () = + sin () b) g () = c) h () = + + d) i() = + + Zum Ableiten der Funktion f mit f () = eine Verkettung ist. da v () = sin sin. Die beiden Funktionen u und v ableiten: u () =, u' () =, v () = sin, v ' () = braucht man die Quotientenregel und die Kettenregel, cos (Kettenregel!). f ' mithilfe der Quotientenregel bilden: f '() = sin cos sin = sin cos sin Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 7

8 Es ist f () = u (). Suchen Sie zuerst die Verkettungen. Leiten Sie anschließend ab. a) f () = ( ) sin () b) f () = cos () c) f () = + (+ ) sin () d) f () = v () u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung u () ist eine Verkettung v () ist eine Verkettung Ist ein Funktionsterm ein Quotient, dann kann man ihn umschreiben, so dass man beim Ableiten die Quotientenregel nicht braucht. cos (). Jeden Quotienten kann man als Produkt schreiben: f () = = cos (). Ableiten mithilfe der Produktregel: f ' () = sin () cos ().. Manche Quotienten lassen sich als Verkettung schreiben: g () = + 5 = + 5. Ableiten mithilfe der Kettenregel: g () = = Manche Quotienten lassen sich als Summe schreiben: h () = + 6 = +. Ableiten mithilfe der Summenregel: h' () =. 6 5 Wurde hier richtig umgeformt? cos () a) f () = = + ja nein c) h () = ( + 5) = + ja nein d) i () = = ( + 5) ja nein 6 Leiten Sie ohne Verwendung der Quotientenregel ab. Welche Ableitungsregel verwenden Sie? = cos () cos () ja nein b) g () = + Produktregel Produktregel Produktregel a) f () = Kettenregel b) f () = Kettenregel c) f () = Kettenregel 7 Wahr oder falsch? Summenregel Summenregel Summenregel a) f mit f () = 5 sin (8) leitet man mit der Kettenregel ab. b) g mit g () = 8 ( + 9) kann man nur mit der Quotientenregel ableiten. c) h mit h () = 8 kann man nicht mit der Quotientenregel ableiten. d) i mit i () = kann man sowohl mit der Kettenregel als auch mit der Quotientenregel ableiten. e) k mit k () = 7cos () kann man nicht mit der Produktregel ableiten. 8 Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

9 5 Lerneinheit Die natürliche Eponentialfunktion und ihre Ableitung Die natürliche Eponentialfunktion f mit f () = e hat die Ableitung f ' () = e. Wird die natürliche Eponentialfunktion mit anderen Funktionen durch addieren, multiplizieren usw. zusammengesetzt, so braucht man beim Ableiten die zugehörigen Ableitungsregeln. Summe: f () = e + Produkt: f () = e Quotient: f () = e Verkettung: f () = e Summenregel: f '() = e + Produktregel: f '() = e + e Quotientenregel: f '() = e e = Kettenregel: f ' () = e ( e ) e Bestimmen Sie zuerst, ob f eine Summe (S), ein Produkt (P), ein Quotient (Q) oder eine Verkettung (V) ist. Leiten Sie dann ab. S P Q V S P Q V f () = e g () = e h () = e + 8 k () = e + m () = e + n () = ( + ) e v () = e w () = cos () e Leiten Sie zweimal ab. a) f () = e + b) f () = ( + ) e c) f () = e + d) f () = e + sin () Geben Sie eine Funktion f an, deren Ableitung f '() ist. a) f '() = e b) f '() = e + e c) f '() = e e d) f '() = e + + ft müssen mehrere Ableitungsregeln kombiniert werden. f () = e + cos () Summenregel und Kettenregel liefern: f '() = e sin () g () = e 5 Produktregel und Kettenregel liefern: g '() = e 5 + e 5 = e 5 ( + ) Leiten Sie ab. a) f () = e 5 + b) f () = e 5 c) f () = e 5 ( + ) d) f () = ( + 7) e Mithilfe der ersten Ableitung f ' kann man verschiedene Eigenschaften des Graphen von f bestimmen, z. B.: f () = e ; f '() = e + e = e +. Tangentengleichung: Es ist f() = e und f '() = e + e = e; also hat der Graph von f im Punkt P ( e) eine Tangente mit der Gleichung = e ( ) + e bzw. = e e.. Normalengleichung: Die Normale im Punkt P hat die Steigung m = f '() = e. Die Gleichung der Normalen im Punkt P ( e) ist somit = e( ) + e.. Etrempunkte: Es ist f '() = e + = 0 für = mit f ( ) = e. Für hat f '() einen VZW von nach +, also ist T der Tiefpunkt des Graphen von f. e Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 9

10 5 Gegeben ist die Funktion f mit f () = e +. a) Bestimmen Sie f ' () und f '' (). b) Berechnen Sie die Tangentensteigung in den Punkten P f (), Q 0 f (0) und R f ( ). c) Geben Sie die Tangentengleichung im Punkt P an und die Normalengleichung im Punkt Q. d) Besitzt der Graph von f Etrempunkte? Begründen Sie Ihre Antwort. Beim Verschieben, Spiegeln bzw. Strecken des Graphen der natürlichen Eponentialfunktion erhält man wieder einen Graphen einer Eponentialfunktion.. Spiegeln an der -Achse. Spiegeln an der -Achse. Verschieben in -Richtung um f () = e f () = e f () = e +. Strecken in -Richtung 5. Verschieben in -Richtung mit Streckfaktor um f () = e f () = e ( + ) Da f () = e ( + ) = e e ist, ist das Verschieben 5 in -Richtung um dasselbe wie das Strecken in -Richtung mit dem Streckfaktor e. 6 Gegeben ist der Graph der natürlichen Eponentialfunktion. Geben Sie jeweils den veränderten Funktionsterm, wenn der Graph a) um in -Richtung verschoben wird:. b) um in -Richtung verschoben wird:. c) mit dem Faktor 0,5 in -Richtung gestreckt wird:. d) mit dem Faktor in -Richtung gestreckt und um 0,5 in -Richtung verschoben wird: Wie entsteht der Graph der Funktion f aus dem Graphen der natürlichen Eponentialfunktion? a) f () = e 5 6 b) f () = e c) f () = e d) f () = e + e) f) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

11 6 Lerneinheit Eponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus. Die Eponentialgleichung e = hat die Lösung = ln (). Dabei heißt ln () der natürliche Logarithmus von.. Die Gleichung e = 5 löst man so: = ln (5), also = ln (5). Weitere Beispiele. e = 8 hat die Lösung = ln (8). e =,5 hat die Lösung = ln (,5).. e = 5, also e =,5 ; damit ist = ln (,5). Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösung mithilfe des ln an. a) e = 5 b) e = 8,5 c) e = 9 d) e = e) e = 8 f) e = g) e = 6 h) + e = 5 Es ist e ln (a) = a und ln ( e b ) = b. Damit kann man manche Terme vereinfachen. Beispiel Beispiel a) e ln () =, ln ( e ) = ; e ln () = b) e ln =, ln ( e ) = ; c) e ln () =, ln (e) = ln( e ) = e = ln () ; ln e = ln ( e ) = Vereinfachen Sie. a) e ln (,) = b) e ln (6) = c) e ln = d) e ln () = e) e ln () = f) ln ( e 5 ) = g) ln e = Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner. h) ln ( e ) = a) e 0,5 = b) e 0,5 = c) ln (0,5) = d) ln (7) = Enthält eine Gleichung e und e, so sind folgende Lösungsstrategien häufig nützlich:. e e = 0 Strategie: e ausklammern. e e + = 0 Strategie: Substituieren e ( e ) = 0 Substituiere e = u:. e = 0 u u + = 0 Keine Lösung u = ; u =. e = 0 Rücksubstitution liefert = ln (). e =, = ln (). e =, = ln () = 0 Enthält eine Gleichung e und e, so sind folgende Lösungsstrategien häufig nützlich:. e e = 0 Strategie: Multiplizieren mit e. e e + = 0 Strategie: Multiplizieren mit e e = 0 e + e = 0 Strategie: Substituieren = ln () Substituiere e = u: u + u = 0 u = ; u = Rücksubstitution liefert. e =, = 0. e =, keine Lösung Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

12 Lösen Sie die Gleichung. Geben Sie die Lösung mithilfe des ln an. a) e e = 0 b) e = e c) e e = 0 d) e e = e) e e + = 0 f) e ( 6) = 0 g) ( ) ( e ) = 0 h) e ( e ) = 0 5 Lösen Sie die Gleichung näherungsweise mithilfe des GTR. a) e = 5 b) + 5 = e c) e e = d) e, e = 6 Bestimmen Sie die Koordinaten der eingezeichneten Schnittpunkte mithilfe des GTR. a) b) c) 7 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P mithilfe des GTR. a) Die Graphen der Funktionen f und g mit f () = e + und g () = schneiden sich in den Punkten P ( ) und P ( ). b) Die Steigung des Graphen der Funktion h mit h () = e + im Punkt P h ( ) ist e. c) Der Graph von i mit i () = e hat im Punkt P i ( ) eine waagerechte Tangente. d) Der Graph von i mit i () = e hat im Punkt P k ( ) eine Tangente, die parallel ist zur Geraden mit der Gleichung =. 6 5 = e 8 Ein Schimmelpilz bedeckt zum Zeitpunkt t eine Fläche mit A (t) = a e 0,0t (t in h, A (t) in mm ). a) Zu Beginn der Beobachtung war die Fläche mm groß. Es ist a =. b) Die Fläche hat sich nach Stunden verdoppelt. Nach Stunden hat sie sich verzehnfacht. c) Zu Beginn beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit mm /h. Nach Stunden hat sie sich verdoppelt. Nach 0 Stunden beträt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit mm /h. = e = e 9 Die Einwohnerzahl auf einer Insel kann beschrieben werden durch die Funktion f mit f (t) = e 0,005 t (t in Jahren, f (t) in Tausend). a) Bei Beobachtungsbeginn befinden sich Bewohner auf der Insel. b) Nach 5 Jahren hat die Bevölkerungszahl auf Einwohner abgenommen. c) Nach Jahren hat die Bevölkerungszahl um Einwohner abgenommen. d) Zeigen Sie, dass die Einwohnerzahl ständig abnimmt. Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

13 7 Lerneinheit Funktionenscharen Der Funktionsterm f t () = t + enthält zwei Variable t und. Dabei ist die Funktionsvariable und t der Parameter. Für jeden festen Wert von t, den man in den Funktionsterm f t () einsetzt, erhält man eine Funktion. t = : f () = + t = : f () = + t = : f () = + Stellt man die Graphen dieser Funktionen in einem gemeinsamen Koordinatensstem dar, so kann man Gemeinsamkeiten und Unterschiede erkennen. Alle Graphen dieser Schar sind Parabeln. Alle Graphen dieser Schar gehen durch P (0 ). Für t > 0 sind die Parabeln nach oben geöffnet, P ist der Tiefpunkt Für t < 0 sind die Parabeln nach unten geöffnet, P ist der Hochpunkt. Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede dieser Graphen. 5 Skizzieren Sie die Graphen der Schar für die verschiedenen Werte des Parameters. Nennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. Wie verändern sich die Graphen, wenn der Parameter erhöht wird? 5 a) f t () = + t b) f t () = t c) f a () = + a t = ; ; 0; ; t = ; ; 0; ; a =,5; ; 0; ;,5 Gemeinsamkeiten und Unterschiede: Erhöhung des Parameters: Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

14 Beim Lösen von Gleichungen und beim Ableiten wird der Parameter wie eine Zahl behandelt. Beispiel Für f t () = t + (t 0) ist f t ' () = t + und f t '' () = t.. Schnittpunkte mit der -Achse: f t () = 0, also t + = 0 bzw. (t + ) = 0 liefert = 0 mit N (0 0) oder = t mit N t 0.. Punkte mit waagerechter Tangente: f t '() = 0, also t + = 0 liefert = t mit f t t = t t t = t t = t. Damit ist P t t der einzige Punkt mit waagerechter Tangente. Lösen Sie die Gleichung. a) t 7 = 0 (t 0) b) + a + 0,5a = 0 c) e a = a (a > 0) d) (e a ) ( a) = 0 Leiten Sie zweimal ab. a) f t () = t e b) f t () = t + c) f t () = sin (t) + t d) f t () = t 5 Wo stecken die Rechenfehler? Korrigieren Sie! a) f a () = e a, f a ' () = a e a b) f a () = a e, f a ' () = a e + a e c) f t () = t + t, f t ' () = t + t d) f t () = e t, f t' () = e t e 6 Skizzieren Sie die Graphen für verschiedene Werte des Parameters. a) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der -Achse und den Schnittpunkt mit der -Achse für f t () = ( t). Hat jeder Graph Schnittpunkte mit der - bzw. -Achse, wenn t * R ist? b) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der -Achse und den Schnittpunkt mit der -Achse für f t () = e t, t > 0. Warum muss t eingeschränkt werden? c) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der -Achse und den Schnittpunkt mit der -Achse für f a () = e a e. Kann a * R sein? 7 a) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = t t (t > 0) auf Etrempunkte. Skizzieren Sie für verschiedene Werte von t die Graphen und markieren Sie die Etrempunkte. Was kann man über die Lage der Punkte im Koordinatensstem sagen? b) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = (t ) e auf Punkte mit waagerechter Tangente. c) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = t e t auf Etrempunkte. Welche besondere Lage haben alle diese Punkte im Koordinatensstem? d) Untersuchen Sie die Graphen von f t () = e t auf Punkte mit waagerechter Tangente. Für welche Werte von t * R gibt es genau eine Lösung? 8 Bei einer Bakterienkultur nimmt die Anzahl der Bakterien stündlich um % zu. Zu Beginn sind a Bakterien vorhanden. a) Geben Sie eine Eponentialfunktion mit Basis e an, die die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t (t in h nach Beobachtungsbeginn) beschreibt. b) Skizzieren Sie die Graphen für a = 00; 00; 500. Wann haben sich jeweils 000 Bakterien gebildet? c) Für welchen Wert von a haben sich nach 0 Stunden ungefähr 000 Bakterien gebildet? d) Für welchen Wert von a ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beobachtungsbeginn ca. 00 Bakterien/h? (t) Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen

15 Test Leiten Sie ab. a) f () = e b) g () = e + 5 sin () c) h () = + d) i () = 9 + e) k () = sin ( ) f) l () = + g) m t() = + t h) n t () = t e 5 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f () = 8, g () = sin () und h () = +. a) rdnen Sie den zusammengesetzten Funktionen f g, g f, f g, h fund f + g den richtigen Funktionsterm zu sin () sin () 8 sin ( ) 8 ( sin () ) sin (8 ) b) Leiten Sie die Funktionen f g, g f, f g, h und f + g einmal ab. f Leiten Sie die Funktion f ohne Verwendung der Quotientenregel ab. a) f () = Kreuzen Sie die richtige Antwort an. e ln () = e ln () = ln (e ) = ln (e ) = ln e = ln e = b) f () = ( ) c) f () = sin ( ) 0 5 Lösen Sie die Gleichung. a) + t t = 0, (t > 0) b) ( ) (e ) = 0 c) e e = 0 d) e + e = 5 6 Die Graphen gehören zur Schar mit f a () = a e, (a 0). a) rdnen Sie jedem Graphen den passenden Parameter a = ; bzw. zu. Begründen Sie Ihre Wahl. b) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Schar mit der -Achse. d) Untersuchen Sie, ob die Graphen mit einem Parameter a > 0 Etrempunkte besitzen. e) Zeigen Sie rechnerisch, dass kein Graph der Schar einen Wendepunkt hat. f) Bestimmen Sie den Schnittpunkt des gezeichneten Graphen mit der -Achse mithilfe des GTR. Begründen Sie rechnerisch, dass dieser Graph keinen weiteren Schnittpunkt mit der -Achse haben kann. 5 Alte und neue Funktionen und ihre Ableitungen 5

16

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 1

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 1 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Zusammenfassung: Differenzialrechnung Inhaltsverzeichnis Aufgabenformulierungen Gleichungen Graphen, Trigonometrie und Geraden Ableitung Ableitungsregeln, höhere Ableitungen 3 Kettenregel

Mehr

Die Summen- bzw. Differenzregel

Die Summen- bzw. Differenzregel Die Summen- bzw Differenzregel Seite Kapitel mit Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln Level Grundlagen Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt (7 Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt

Mehr

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Aufgabe 1 Der Graph der Funktion f (x) = 0,5x3+ 1,5x2+ 4,5x 3,5 hat im Punkt T( 1 6) einen relativen (lokalen) Tiefpunkt und im Punkt H(3 10) einen relativen (lokalen)

Mehr

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 212 Mathematik Infinitesimalrechnung I Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie... Pflichtteil Lösungen

Mehr

Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung.

Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung. Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe 20.1.15 1. Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung. 2. Bestimme f (x): a) f(x) = x 3 + 4x 2 x + 1 b) f(x) =

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis 3... 5 Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie... Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil

Mehr

Check-out: Klausurvorbereitung Selbsteinschätzung

Check-out: Klausurvorbereitung Selbsteinschätzung Check-out: Klausurvorbereitung Selbsteinschätzung Checkliste Ganzrationale Funktionen. Ich kann zu einem Funktionsgraphen den Graphen seiner Ableitungsfunktion skizzieren.. Ich kann Extrempunkte von Graphen

Mehr

( 0 ( x) d) Die Funktionsgleichung der Funktion 1 lautet: f( Für x 2 = 0 : Wähle die Werte -1 und 1. Überprüfe x1 = 1,

( 0 ( x) d) Die Funktionsgleichung der Funktion 1 lautet: f( Für x 2 = 0 : Wähle die Werte -1 und 1. Überprüfe x1 = 1, Differentialrechnung IV (Wendepunkte) (Kap 7) (Haben Sie Probleme bei der Bearbeitung dieser Aufgaben versuchen Sie diese in Ihrer Kleingruppe mit Hilfe des Arbeitsbuchs Mathematik zu klären Führt dies

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 4.02.204 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 60 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A2.a b Summe P. (max

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Sommersemester 0 Mathematik 3 für Informatik Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlerfeiheit). Seien f ) = { {, falls, falls und f ) =. ln, falls a) Skizzieren

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt

Mehr

Skripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.

Skripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x. Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden

Mehr

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 215 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion f : x ( x 3 8 ) (2 + ln x) mit maximalem Definitionsbereich D. Teilaufgabe Teil A 1a (1

Mehr

3 Differenzialrechnung

3 Differenzialrechnung Differenzialrechnung 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitungsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f(x) = x f (x) = 1 x 0 = 1 f(x) = x Hochzahl f (x) = Hochzahl x Hochzahl

Mehr

Arbeitsblätter Förderplan EF

Arbeitsblätter Förderplan EF Arbeitsblätter Förderplan EF I.1 Nullstellen bestimmen Lösungen I.2 Parabeln: Nullstellen, Scheitelpunkte,Transformationen Lösungen I.3 Graphen und Funktionsterme zuordnen Lösungen II.1 Transformationen

Mehr

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen. Gegeben ist die Funktion f() = (sin( π )) Ihr Graph sei K. a) Skizzieren Sie K im Intervall [0,]. Geben Sie die Periode von f an. Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte von K

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil Wahlteil Analysis 8 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 9 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 9 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte

Mehr

b) [2P] 7x Lösungsvorschlag 1: f '(x) = cos 3x 6x = 6x cos 3x

b) [2P] 7x Lösungsvorschlag 1: f '(x) = cos 3x 6x = 6x cos 3x K1 Punkte: / Note: Schnitt:.10.1 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden

Mehr

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 6 Übungsaufgaben: Ü: Gegeben ist

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 004 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f() = + 3 Aufgabe : ( VP) Geben Sie eine Stammfunktion

Mehr

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln

Mehr

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs (Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs. Ableitungs und Integrationsregeln (Folgende 0 Funktionen sind alles Funktionen aus dem Zentralabitur Grundkurs.) a) f(t) = 0,0t e 0,t b) f(t) = t 3

Mehr

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1

Gebrochen rationale Funktion f(x) = x2 +1 Gebrochen rationale Funktion f() = +. Der Graph der Funktion f ist punktsmmetrisch, es gilt: f( ) = ( ) + f() = f( ) = + = + = f(). An der Stelle = 0 ist f nicht definiert, an dieser Stelle liegt ein Pol

Mehr

Beispielklausur für zentrale Klausuren

Beispielklausur für zentrale Klausuren Seite von 5 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Aufgabenstellung Gegeben ist die Funktion f mit f ( = 0,5 x 4,5 x + x 9. Die Abbildung zeigt den zu f gehörigen Graphen. Abbildung a) Ermitteln

Mehr

Pflichtteil - Exponentialfunktion

Pflichtteil - Exponentialfunktion Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()

Mehr

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale

Mehr

1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13

1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13 Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ())

Mehr

1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung

1 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Schülerbuchseite 5 5 Lösungen vorläuig VI Natürliche Eponential- und Logarithmusunktion Die natürliche Eponentialunktion und ihre Ableitung S. 5 Durch Ausprobieren erkennt man, dass < a

Mehr

2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen

2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen 2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen In der Abbildung sehen Sie die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = x 2 und g (x) = _ 1 x 2 4 sowie die Graphen der Ableitungsfunktionen

Mehr

Klasse 10; Mathematik Kessling Seite 1

Klasse 10; Mathematik Kessling Seite 1 Klasse 0; Mathematik Kessling Seite Übungen Eponentialfunktionen/Logarithmus Aufgabe Beim Wachstum einer bestimmten Bakterienart der Bestand der Bakterien stündlich um 43% zu. Am Beginn des Beobachtungszeitraumes

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =

Mehr

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

Mehr

b) Kettenregel anwenden 1 8x + 3sin(x) f '(x) = ( 8x 3( sin(x) )) 2 4x 3cos(x) 2 4x 3cos(x) b) [2P]

b) Kettenregel anwenden 1 8x + 3sin(x) f '(x) = ( 8x 3( sin(x) )) 2 4x 3cos(x) 2 4x 3cos(x) b) [2P] Mathematik Name: Lösungen Nr. K Punkte: /3 Note: Schnitt: 7..3 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die

Mehr

Aufgaben e-funktion. Gegeben sind die Funktionen f k (x) = x+k e x. a) Leite g(x) = 1 x k e x. ab.

Aufgaben e-funktion. Gegeben sind die Funktionen f k (x) = x+k e x. a) Leite g(x) = 1 x k e x. ab. Aufgaben e-funktion 7 6 5 4 3-3 - - 3 u 4 - Gegeben sind die Funktionen f k () = +k e. a) Leite g() = k e ab. b) Die Graphen von f und f 3, die -Achse und die Gerade = u (u > 0) begrenzen die Fläche A(u).

Mehr

Die Differenzierung im Rahmen dieser Planarbeit findet auf folgende Weise statt:

Die Differenzierung im Rahmen dieser Planarbeit findet auf folgende Weise statt: Thema der Unterrichtseinheit: Stammfunktionen Methode: Planarbeit / Differenzierung über Umfang und Tiefgang, Pflicht-, Wahl- und Zusatzaufgaben Zeitbedarf: 90 Minuten und Hausaufgaben Anzahl der Abstufungen:

Mehr

Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen

Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen ZK M A (mit CAS) Seite von 5 Nr. Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen Punkte a Nullstellen von f: f ( = 0 x = x = x = + Lokale Extrempunkte:,7

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016 1 Übungsaufgaben: Ü1: Die Abbildung zeigt

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

e x D = R a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an.

e x D = R a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von S an. Aufgabe 1 2e Gegeben ist die Funktion f mit f() = mit dem Definitionsbereich. e D = R + 9 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G f genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt, und geben Sie die Koordinaten von

Mehr

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen

Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Etremstellen-Bedingungen Häufig sind Ableitungsfunktionsterme leichter zu handhaben als die Terme der Ausgangsfunktonen, weil sie niedrigere Eponenten

Mehr

Mathe-Abitur ab 2004: Fundus für den Pflichtbereich Lösungen (1)

Mathe-Abitur ab 2004: Fundus für den Pflichtbereich Lösungen (1) Mathe-Abitur ab 24: Fundus für den Pflichtbereich Lösungen () Die Autoren übernehmen keine Garantie für die Richtigkeit der Lösungen. Auch wurde sicher nicht immer der kürzeste und eleganteste Lösungsweg

Mehr

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012 Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)

Mehr

Differenzialrechnung Einführung 1

Differenzialrechnung Einführung 1 0.0.06 Änderungstendenz einer Funktion Differenzialrechnung Einführung Eines der wichtigsten Merkmale einer Funktion ist die Änderungstendenz, womit angegeben wird, wie stark die Funktionswerte f() zu-

Mehr

Fundus Basiswissen/Pflichtteil Baden-Württemberg

Fundus Basiswissen/Pflichtteil Baden-Württemberg Fundus für den Pichtbereich 7 Fundus Basiswissen/Pflichtteil Baden-Württemberg Der Pflichtteil soll aus kleineren Aufgaben bestehen, die ohne Hilfsmittel zu bearbeiten sind. Er soll die Grundkompetenzen

Mehr

Kopfübungen für die Oberstufe

Kopfübungen für die Oberstufe Serie A Alle Kopfübungen der Serie A beinhalten die folgenden Themen in der angegebenen Reihenfolge. Tragen die Schülerinnen und Schüler ihre Antworten in eine Antwortmatrix ein, so kann nach Abschluss

Mehr

Zum Schluss berechnen wir die Steigung, indem wir

Zum Schluss berechnen wir die Steigung, indem wir Einführung Grafisches Differenzieren (auch grafische Ableitung genannt) gibt uns zum einen die Möglichkeit, die Steigung des Graphen einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu ermitteln, ohne dass wir

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 01 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 01 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 06 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 06 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik

Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik Zusammenfassung Abitursstoff Mathematik T. Schneider, J. Wirtz, M. Blessing 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Analysis 2 1.1 Monotonie............................................ 2 1.2 Globaler Verlauf........................................

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

Analysis: Klausur Analysis

Analysis: Klausur Analysis Analysis Klausur zur Integralrechnung Stammfunktionsberechnung, Flächenberechnung, Rotationsvolumen, Funktionen zu Änderungsraten (Bearbeitungszeit: 9 Minuten) Gymnasium J1 Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Nachhilfen: Algebra und Differentialrechnung Wiederholung: 2. Abschnitt mit Übungsaufgaben

Nachhilfen: Algebra und Differentialrechnung Wiederholung: 2. Abschnitt mit Übungsaufgaben Wiederholung:. Abschnitt mit Übungsaufgaben Grundwissen (GW) GW. Lösen Sie folgende algebraische Gleichungen bzw. Ungleichungen in der Grundmenge R: a) 5 = 0 a) 5 0 Teilergebnis: ] ;,5] b) Lösen Sie die

Mehr

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt

Aufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011 2 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben 5 1.1 Musterabitur S60................................ 5 1.2 Musterabitur 3.1.4 B / S61..........................

Mehr

Der Differenzenquotient

Der Differenzenquotient Der Differenzenquotient Von den linearen Funktionen kennen wir den Begriff des Differenzenquotienten k = y 2 y 1 x 2 x 1 mit dem die Steigung einer Geraden festgelegt wird. Der Begriff des Differentialkoeffizienten

Mehr

Mathematik Name: Nr.4 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt:

Mathematik Name: Nr.4 K1 Punkte: /30 Note: Schnitt: K Punkte: / Note: Schnitt: 9.5.6 Pflichtteil (etwa 4 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden

Mehr

ANALYTISCHE GEOMETRIE

ANALYTISCHE GEOMETRIE matheskript ANALYTISCHE GEOMETRIE und ANALYSIS PFLICHTBEREICH Teil A. Klasse ABI 08 Jens Möller Autor: Jens Möller 88 696 Owingen Tel. 0755-6889 jmoellerowingen@aol.com 8. erweiterte Auflage Owingen, Juli

Mehr

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 2

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 2 LGÖ Ks M 11 Schuljahr 17/18 Zusammenfassung: Differenzialrechnung Inhaltsverzeichnis Etrem- und Wendepunkte... 1 Etremwertprobleme... 8 Etrem- und Wendepunkte Definition: Ist eine reelle Zahl, dann heißt

Mehr

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Mehr

Abitur Mathematik für berufliche Gymnasien Analysis, Stochastik Wahlgebiet: Vektorgeometrie. Pflichtteil und Wahlteil. Merkur Verlag Rinteln

Abitur Mathematik für berufliche Gymnasien Analysis, Stochastik Wahlgebiet: Vektorgeometrie. Pflichtteil und Wahlteil. Merkur Verlag Rinteln Pflichtteil und Wahlteil Ott Rosner Mathematik für berufliche Gmnasien Analsis, Stochastik Wahlgebiet: Vektorgeometrie Abitur 8 Merkur Verlag Rinteln Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und

Mehr

Abitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Abitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 217 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion g : x 2 4 + x 1 mit maximaler Definitionsmenge D g. Der Graph von g wird mit G g bezeichnet.

Mehr

Kontrollfragen zur Unterrichtsstunde

Kontrollfragen zur Unterrichtsstunde Kontrollfragen zur Unterrichtsstunde Frage 1: Das Newtonverfahren ist eine Methode zur Bestimmung A: der Extremstellen eines C: des Verhalten im Unendlichen. B: der Nullstellen eines D: der Fallzeit eines

Mehr

Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. I. Nullstellen Arbeitsblatt I.1 Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. Beispiele:

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen

Mehr

4 x x kleinste6 Funktionswert für alle x aus einer Umgebung von x 1 ist.

4 x x kleinste6 Funktionswert für alle x aus einer Umgebung von x 1 ist. Differenzialrechnung 51 1.2.2 Etrempunkte Die Funktion f mit f () = 1 12 3 7 4 2 + 10 + 17 3 beschreibt näherungsweise die wöch entlichen Verkaufszahlen von Rasenmähern. Dabei ist die Zeit in Wochen nach

Mehr

Beispielklausur für zentrale Klausuren

Beispielklausur für zentrale Klausuren ZK M A (ohne CAS) Seite von 4 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Aufgabenstellung Die Titanwurz ist die Pflanze, die die größte Blüte der Welt hervorbringt. Für ein Referat hat ein Schüler

Mehr

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis www.mathe-aufgaben.com Analysis: Eponentialfunktionen Analysis Klausur zu Eponentialfunktionen ohne Wachstum (Ableitung, Stammfunktion, Fläche, Rotationsvolumen, Etremwertaufgabe) Gymnasium ab J Aleander

Mehr

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I:

Mathematik LK13 Kursarbeit Musterlösung Aufgabe I: Mathematik LK13 Kursarbeit 1 6.11.14 Musterlösung Aufgabe I: Analysis I 1. Spaß mit natürlichen Eponentialfunktionen Gegeben sind die Funktionen f ()=e ( + ) und g ( )=5 e Untersuchen Sie beide Funktionen

Mehr

Analysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Pflicht- und Wahlteilaufgaben

Analysis: Trigonometr. Funktionen Analysis Trigonometrische Funktionen Pflicht- und Wahlteilaufgaben Analysis Trigonometrische Funktionen Pflicht- und Wahlteilaufgaben Gymnasium Oberstufe J oder J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Dezember 0 Pflichtteilaufgaben (ohne GTR): Aufgabe : Leite die folgenden

Mehr

Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion

Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Christoph Jansen Institut für Statistik, LMU München Formalisierungspropädeutikum 5. Oktober 2016 1 / 24 Allgemeiner Funktionsbegri Eine Funktion f ist

Mehr

Weitere Ableitungsregeln. Kapitel 4

Weitere Ableitungsregeln. Kapitel 4 Weitere Ableitungsregeln Kapitel . Die Kettenregel L f() = u(v()) g() = v(u()) a) + + b) cos [( + ) ] (cos + ) c) sin ( ) [sin ()] d) e) ( = _ ) _ ( f) cos [π( + )] cos (π) + g) ( ) = h) ( + ) + = + +

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg Hauptprüung Fachhochschulreie 204 Baden-Württemberg Augabe 2 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com September 204 Gegeben ist die Funktion mit

Mehr

Mathematik Lösung KA Nr Seite 1

Mathematik Lösung KA Nr Seite 1 9.11.17 Seite 1 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der TR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Es ist

Mehr

Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe 2 Ganzrationale Funktionen Seite 1 von 10

Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe 2 Ganzrationale Funktionen Seite 1 von 10 Aufgabenanalyse Pflichtaufgabe Ganzrationale Funktionen Seite von Allgemeines zur Aufgabenstellung: Die Aufgabenstellung gibt in der Regel eine kubische Funktion in ihrer allgemeinen Form oder in ihrer

Mehr

Lösungen ==================================================================

Lösungen ================================================================== Lösungen ================================================================== Aufgabe Bestimme f '(x) a) f(x) = e x f '(x) = e x ( ) = 4 e c x b) f(x) = x e x f '(x) = e x ( ) = + e x c) f(x) = 3 e (x+)

Mehr

Graphen quadratischer Funktionen und deren Nullstellen

Graphen quadratischer Funktionen und deren Nullstellen Binomische Formeln Mithilfe der drei binomischen Formeln kann man Funktionen bzw. Gleichungen vereinfachen. 1. Binomische Formel ( Plusformel ) a 2 + 2 a b+ b 2 = (a+ b) 2 Herleitung: (a+ b) 2 = (a+ b)

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 13 Nichttechnik A II - Lösung

Abiturprüfung Mathematik 13 Nichttechnik A II - Lösung 3. Klasse Nichttechnik Abitur : Analysis II GS 8.6. - m_3nt-a-lsg_gs.mcd Teilaufgabe. Abiturprüfung - Mathematik 3 Nichttechnik A II - Lösung 4 4 Gegeben ist die reelle Funktion g mit g ( ) in der maimalen

Mehr

Wiederholung. Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:

Wiederholung. Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was bedeutet ein negativer Eponent? Wie kann man den Grad einer Wurzel noch darstellen? Wie werden Potenzen potenziert? Was bewirkt

Mehr

Klausur Nr. 2. Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

Klausur Nr. 2. Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche

Mehr

1.2 Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von mit 5P der -Achse einschließt.

1.2 Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von mit 5P der -Achse einschließt. Diese Aufgaben sind zu bearbeiten. Sie können nicht abgewählt werden. Aufgabe A1 1. Gegeben ist die Funktion mit 2 3; 1.1 Eine der folgenden Abbildung zeigt das Schaubild. 6P Untersuche für jede der Abbildungen,

Mehr

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I

Bayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I Diese Lösung wurde erstellt von Tanja Reimbold. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. Teil 1 Aufgabe 1 Definitionsbereich: Bestimmung der Nullstelle

Mehr

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1

Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Lehrplan: M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen M 11.1.2 Lokales Differenzieren Passende Kapitel im Schulbuch Fokus Mathematik 11:

Mehr

Beweise zum Ableiten weiterer Funktionen

Beweise zum Ableiten weiterer Funktionen Arbeitsblatt A: Eponentialfunktionen Satz (Ableitung von Eponentialfunktionen) Für alle gilt: () f () = e f ' () = e () f () = a f ' () = a ln (a) mit a + f() = e grafisches Differenzieren: Ergänze die

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion

Mehr

Exponentielles Wachstum und Logarithmus

Exponentielles Wachstum und Logarithmus Eigenschaften der Exponentialfunktionen Die Funktion nennt man Exponentialfunktion mit der Basis a. Ist neben der Potenz noch ein Faktor im Funktionsterm vorhanden, spricht man von einer allgemeinen Exponentialfunktion:

Mehr

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4

Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4 Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion

Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Christoph Jansen Institut für Statistik, LMU München Formalisierungspropädeutikum 6. Oktober 2017 1 / 25 Allgemeiner Funktionsbegri Eine Funktion f ist

Mehr

Ableitungen. Datei Nr S. Drucken nur von der Mathematik-CD möglich. Die Lösungen der Aufgaben befinden Sie auf der Mathematik-CD

Ableitungen. Datei Nr S. Drucken nur von der Mathematik-CD möglich. Die Lösungen der Aufgaben befinden Sie auf der Mathematik-CD Ableitungen Datei Nr. 5 S Drucken nur von der Mathematik-CD möglich Die Lösungen der Aufgaben befinden Sie auf der Mathematik-CD Friedrich W. Buckel November 000 Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen

Mehr

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag, Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Beispiel einer Abiturprüfung 18

Inhaltsverzeichnis. Beispiel einer Abiturprüfung 18 VB 004 Inhaltsverzeichnis Kurvendiskussion Einführung Ableitungen einer Funktion 3 Monotonieverhalten der Funktion 3 Wie bekommen wir nun raus, wo eine Funktion steigt oder fällt? 3 Symmetrieverhalten

Mehr

ARBEITSBLATT 6-5. Kurvendiskussion

ARBEITSBLATT 6-5. Kurvendiskussion ARBEITSBLATT 6-5 Kurvendiskussion Die mathematische Untersuchung des Graphen einer Funktion heißt Kurvendiskussion. Die Differentialrechnung liefert dabei wichtige Dienste. Intuitive Erfassung der Begriffe

Mehr

Mathematik Zusammenfassung JII.1 #1

Mathematik Zusammenfassung JII.1 #1 Mathematik Zusammenfassung JII. # Ableiten Definition Eine Ableitung zeigt die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle x an. Hier sind die Funktion und ihre Ableitung dargestellt. Möchte ich

Mehr

Sommerschule Änderungsrate Ableiten Aufgaben im Umfeld der Tangente

Sommerschule Änderungsrate Ableiten Aufgaben im Umfeld der Tangente Sommerschule 2013 Änderungsrate Ableiten Aufgaben im Umfeld der Tangente Arbeiten in der Kursstufe Wisst ihr noch?????? Durchschnittsgeschwindigkeit s (t)=v(t) Ableitungsfunktion Tangentensteigung Mittlere

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2017/18. Grundlagentutorium 4 Lösungen

Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2017/18. Grundlagentutorium 4 Lösungen Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 207/8 Grundlagentutorium 4 Lösungen Sebastian Groß Termin Mittwochs 5:45 7:45 Großer Hörsaal Biozentrum (B00.09) E-Mail gross@bio.lmu.de Sprechzeiten

Mehr