Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren

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1 Parametrische vs. Non-Parametrische Testverfahren Parametrische Verfahren haben die Besonderheit, dass sie auf Annahmen zur Verteilung der Messwerte in der Population beruhen: die Messwerte sollten einer Normalverteilung folgen, damit die verwendeten Prüfverteilungen exakte Werte liefern. Sind die AV jedoch nicht intervallskaliert oder wenn intervallskalierte Messwerte eine schiefe Verteilung ergeben, sind die Voraussetzungen für parametrische Testverfahren verletzt. Dann müssen Testverfahren angewendet werden, die keine Annahmen über die Verteilungen der Werte in der Population machen. Solche Verteilungen werden verteilungsfreie Verfahren genannt; bei ihnen ist es egal, wie bestimmte Werte in der Population verteilt sind. Der Vorteil der non-parametrischen Verfahren besteht darin, dass auch sehr kleine untersucht werden können. Der Nachteil non-parametrischer Verfahren besteht darin, dass Effekte, die es in der Population möglicherweise gibt, viel schwerer entdeckt werden können, d.h. es ist schwerer ein signifikantes Ergebnis zu erhalten. Non-parametrische Verfahren haben also eine geringere Teststärke = Power, so dass man besser parametrische Verfahren verwendet, wenn dies möglich ist. Testverfahren zur Analyse nominalskalierter Daten Nominaldaten lassen sich nicht in eine sinnvolle Rangreihe bringen und auch mit Codierungen kann man keinerlei sinnvolle Berechnungen vornehmen, so dass sich für Nominaldaten keine Aussagen über Lagemaße wie z. B. den Mittelwert machen lassen. Man kann lediglich prüfen, ob die Werte der Verteilung bestimmten Erwartungen entsprechen: Entweder durch Untersuchung einer Variablen oder durch zwei Variablen in ihrer Kombination. Bei Nominaldaten bezieht sich der Begriff Verteilung nicht auf eine verteilung, sondern auf Häufigkeitsverteilungen (deskriptive Statistik). Man kann also nur die Häufigkeiten bestimmter Messwerte untersuchen. 1

2 Anpassungstest bei einer N-skalierten Variablen χ2-test, wobei χ² der χ²-verteilung folgt Der χ²-anpassungstest prüft, ob eine empirische Häufigkeitsverteilung mit einer theoretisch zu erwartenden Häufigkeitsverteilung übereinstimmt. Beim χ²--test stellen die erwarteten Häufigkeiten die Nullhypothese H0 dar, gegen die getestet wird, indem die Differenz der beobachteten und der erwarteten Werte gebildet wird. Je größer die Differenz/Abweichung, umso größer der Wert für χ². Dieser empirische χ²-wert muss extremer sein als der kritische Wert. In vielen Fällen ist die zu erwartende Verteilung eine Gleichverteilung. Die zu erwartende Verteilung kann sich aber auch aus theoretischen Überlegungen oder praktischen Erfahrungen ergeben. Unabhängigkeitstest bei zwei N-skalierten Variablen Der χ²-unabhängigkeitstest prüft, ob die Verteilung der Ausprägungen einer Variablen unabhängig von der Verteilung einer anderen Variable ist. Er bezieht sich ebenfalls auf beobachtete und erwartete Werte. Stellt sich der Test als signifikant heraus, ist die Häufigkeitsverteilung der einen Variablen nicht unabhängig von der anderen Variablen. Auch beim Unabhängigkeitstest können die erwarteten Häufigkeiten einer Gelichverteilung entsprechen oder aus theoretischen Erwartungen resultieren. 2

3 Unabhängigkeitstest bei Messwiederholungen Eine Variable wird zweimal gemessen (klassische Messwiederholung). Man prüft, ob sich die Verteilungen der Messwerte der ersten Messung von der Verteilung der Messwerte bei der zweiten Messung unterscheiden. Bedeutsam sind dabei die Unterschiede zwischen erster und zweiter Messung. Der entsprechende χ²-test ist der Mc-Nemar- χ². Ein signifikantes Ergebnis würde anzeigen, dass Verhältnisse sich verändert haben. Effektgrößen für Nominaldaten Da man bei Nominaldaten keine Mittelwerte zur Verfügung hat, können keine Abstandsmaße berechnet werden, aber bei allen Arten von χ²-tests eine korrleative Effektive w, die im Spezalfall der Vierfeldertafel mit dem Phi-Koeffizienten identisch ist W = χ² N W kann genau wie die Pearson-Korrelation interpretiert werden 3

4 Testverfahren zur Analyse nominalskalierter Daten Ordinalskalierte Daten liegen i.d.r. als Ränge vor. Da Mittelwerte erst ab Intervallskalenniveau berechenbar sind, wird bei Tests für Ordinaldaten anstelle des Mittelwertes das Lagemaß Median verwendet. U-Test nach Mann & Whitney Der U-Test vergelicht die mittleren Ränge für zwei Gruppen bzw. unabhängige. Die Prüfgröße U beschreibt den Abstand zwischen den beiden mittleren Rängen und kann mit hilf einer Tabelle oder SPSS auf Signifikanz geprüft werden. Bei großen ist der U-Wert annähernd normalverteilt und kann in einen z-wert umgerechnet werden. H-Test nach Kruskal & Wallis Unetrsuchung von mehr als zwei unabhängige. Bei großen folgt Z einer χ²-verteilung mit zugehörigem χ²-test, der i.d.r. als Signifikanztest für den H-Test verwendet wird. Der H-Test ist das non-parametrische Äquivalent zur einfaktoriellen Varianzanalyse. Wilcoxon-Test / Vorzeichenrangtest Untersuchung der Ränge von Differenzen, die sich innerhalb von Personen/Gruppen ergeben bei zwei abhängigen Messungen (Messwiederholung). Prüfgröße T, die in Statistikprogrammen als z-wert berechnet werden und einen p-wert als Ergebnis haben. 4

5 Friedman-Test / Rangvarianzanalyse Für alle Messwertdifferenzen wird über die verschiedenen MEsszeitpznkte hinweg Ränge vergeben und diese anschließend auf Signifikanz geprüft. Prüfgröße ist χ². Rangkorrelationen: Spearman s Rho und Kendall s Tau Wenn Messwerte nicht intervallskaliert sind oder keiner Normalverteilung folgen, lassen sich keine herkömmlichen Korrelationen zwischen Variablen berechnen, sondern nur sog. Rangkorrelationen. Die Rangkorrelationen korrelieren nicht die Rohwerte, sondern die den Rohwerten zugewiesenen Ränge. Die einzige Bedingung ist dabei, dass die Beziehung beider Variablen monoton steigt, d.h. dass sie nicht die Richtung ändern darf, jedoch keine Gerade sein muss. Die Messwerte müssen zuerst in Ränge umgewandelt werden, einzeln für beide Variablen. Spearman s Rho ρ berechnet man, wenn die Daten eigentlich intervallskaliert sind. Bei echten Rangdaten kann man Rho nicht berechnen, sodnern verwendet stattdessen Kendall s Tau τ. Rho und Tau können Werte von -1 bis 1 annehmen und wie die Pearson-Korrelation r zu interpretieren, allerdings hat man es bei Rangkorrelationen mit weniger berücksichtigten Daten zu tun, so dass die Rangkorrelationen immer kleinere Werte als die herkömmlichen Korrelationen annehmen. Effektgrößen für Ordinaldaten Effektgrößen sind bei Ordinaldaten für Unterschiedsfragestellungen nicht bestimmbar, da keine Informationen über Mittelwerte, aus denen sich die Effektgrößen ableiten. Man muss sich auf das Ergebnis der Signifikanztetsts berufen. Bei Zusammemnhangsfragestellungen kann man die berechneten Rangkorrelationen wie Effektgrößen betrachten und wie die Pearson- Korrelation interpretieren, wobei die Rangkorrelationen wiederum kleinere Werte liefern. 5

6 Skalenniveau (bezogen auf nonparametrischen Test) Parametrische Testverfahren Non-Parametrische Testverfahren Nominal Eine Variable??? χ2-anpassungs-test wobei χ² der χ²-verteilung folgt Der χ²-anpassungstest prüft, ob eine empirische Häufigkeitsverteilung mit einer theoretisch zu erwartenden Häufigkeitsverteilung Es wird gegen H0 (erwartete Häufigkeiten) getestet) Nominal zwei Variablen Produkt-Moment- Korrelation r Bei 2 INTERVALLskalierten Merkmalen Maß zur Kennzeichnung von Zusammenhängen χ2-unabhängigkeits-test Der χ²- Unabhängigkeitstest prüft, ob die Verteilung der Ausprägungen einer Variablen unabhängig von der Verteilung einer anderen Variable ist. Er bezieht sich ebenfalls auf beobachtete und erwartete Werte. Signifikant = keine Unabhängigkeit 6

7 Nominal Eine oder zwei Variablen Varianzanalyse mit Messwiederholung Unterschiede zwischen den Mittelwerten ( INTERVALLSkala) Mit den Prüfgrößen des Verfahrens wird getestet, ob die Varianz zwischen den Gruppen größer ist als die Varianz innerhalb der Gruppen Mc-Nemar- χ². Ein oder zwei Faktoren/Variablen mit Messwiederholungen Man prüft, ob sich die Verteilungen der Messwerte der ersten Messung von der Verteilung der Messwerte bei der zweiten Messung unterscheiden. Nominal zwei Variablen Varianzanalyse ohne Messwiederholung Unterschiede zwischen den Mittelwerten ( INTERVALLSkala) Zwei oder mehr Faktoren ohne Messwiederholung U-Test nach Mann & Whitney H-Test nach Kruskal-Wallis Ordinal Eine Stichprobe t-test für eine Stichprobe Gauß-Test Der Einstichproben-t-Test prüft (im einfachsten Fall) mit Hilfe des Mittelwertes einer Stichprobe, ob der Mittelwert der Grundgesamtheit verschieden von einem vorgegebenen Wert ist???? 7

8 Ordinal Unterschiede bei zwei unabhängigen t-test für unabhängige Mittelwertsvergleich bei zwei unabhängigen U-Test nach Mann & Whitney 2 unabhängige Prüfgröße U Bei großen ist der U-Wert annähernd normalverteilt und in z- Werte umrechenbar Ohne Messwiederholung Einfaktorielle Varianzanalyse Vergleich zweier Mittelwerte (INTERVALLSKALA) Mittelwertsvergleich bei mehr als zwei unabhängigen Untersuchung eines Faktors/UV H-Test nach Kruskal-Wallis Mehr als zwei unabhängige Prüfgröße H Bei großen folgt Z einer χ²-verteilung mit zugehörigem χ²-test, der i.d.r. als Signifikanztest für den H-Test verwendet wird. Ordinal Unterschiede bei zwei abhängigen t-test für abhängige Vergleich von Mittelwertsunterschieden/- differenzen bei zwei abhängigen Wilcoxon-Test Vorzeichenrangtest Untersuchung der Ränge von Differenzen, die sich innerhalb von Personen/Gruppen ergeben bei zwei abhängigen Messungen (Messwiederholung). Prüfgröße T, die in Statistikprogrammen als z- Wert berechnet werden und einen p-wert als Ergebnis haben. 8

9 Mit Messwiederholung Varianzanalyse mit Messwiederholung Vergleich zweier Mittelwerte (INTERVALLSKALA) Mittelwertsvergleich bei mehr als zwei abhängigen Untersuchung von zwei oder mehr Faktoren/UV Friedman-Test Rangvarianzanalyse Für alle Messwertdifferenzen (Differenzen der Ränge innerhalb von Gruppen/Personen) wird über die verschiedenen Messzeitpunkte hinweg Ränge vergeben und diese anschließend auf Signifikanz geprüft. Prüfgröße ist χ². Ordinal Zusammenhänge Produkt-Moment- Korrelation r Maß zur Kennzeichnung von Zusammenhängen Spearman s Rho wenn eigentlich intervallskalierte Daten Kendall s Tau wenn echte Rangdaten Rangkorrelationen Rho und Tau können Werte von -1 bis 1 annehmen und sind wie r zu interpretieren. Rho folgt t-verteilung Tau folgt z-verteilung Da man bei Rangkorrelationen weniger Informationen in den Daten berücksichtigt, liefern Rangkorrelationen immer kleinere Werte als herkömmliche Korr. 9