LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/16
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- Hermann Schulz
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1 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/16 CAROLINE LASSER Inhaltsverzeichnis 1. Vektorräume Vektorräume und Unterräume (13.10.) Lineare Unabhängigkeit (20.10.) Basen und Koordinatenvektoren (27.10.) Austauschlemma und Austauschsatz (03.11.) Summen von Vektorräumen und Quotientenräume (10.11.) 6 2. Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen (17.11.) Lineare Gleichungssysteme (24.11.) Dimensionsformel (01.12.) Lineare Abbildungen als Vektoren (08.12.) Probeklausur (15.12.) Matrizen Matrizen und lineare Abbildungen (22.12.) Darstellen und Invertieren (12.01.) Transformationsformel (19.01.) Transposition und Rang (26.01.) Eliminationsverfahren (02.02.) 16 Literatur 17 Date: 20. Januar
2 2 CAROLINE LASSER 1. Vektorräume 1.1. Vektorräume und Unterräume (13.10.) (1) Definition Vektorraum (2) Beispiel R (3) Beispiel K n (4) Beispiel R[X] (5) Bemerkung zu den 18 Vektorraumeigenschaften (6) Lemma zum Nullvektor (mit Beweis) und Minus (7) Definition Unterraum (8) Beispiele im R 3 (9) Beispiel im R[X] (10) Unterraumkriterium Literatur. [DL, Kapitel 3.1 & 3.2]
3 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/ Lineare Unabhängigkeit (20.10.) (1) Beweis Unterraumkriterium (2) Definition Linearkombination, Spann und Erzeugendensystem (3) Beispiele im R 3 (4) Allgemeine Beispiele (5) Spann als minimaler Unterraum (6) Standardvektoren im K n (7) Standardvektoren im K[X] (8) Definition lineare Unabhängigkeit Literatur. [DL, Kapitel 3.4 & 3.5]
4 4 CAROLINE LASSER 1.3. Basen und Koordinatenvektoren (27.10.) (1) Lineare Unabhängigkeit und lineare Gleichungssysteme (2) Formale Feinheiten der linearen Unabhängigkeit (3) Definition Basis (4) Beispiel einer Basis des R 3 (5) Standardbasen (6) Äquivalenzsatz für Basen endlicher Länge (7) Koordinatenvektoren bezüglich einer Basis endlicher Länge (8) Beispiel eines Koordinatenvektors im R Literatur. [DL, Kapitel 3.6]
5 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/ Austauschlemma und Austauschsatz (03.11.) (1) Austauschlemma (mit Beweis) (2) Austauschsatz (ohne Beweis) (3) Beispiel im R 3 (4) Beispiel im R 4 (5) Folgerung: Längensatz (6) Folgerung: Basisergänzungssatz (7) Definition Dimension (8) Beispiel C n als R-Vektorraum (9) Beispiel R als Q-Vektorraum (10) Beispiel K[X] als K-Vektorraum Literatur. [DL, Kapitel 3.7 & Kapitel 3.8]
6 6 CAROLINE LASSER 1.5. Summen von Vektorräumen und Quotientenräume (10.11.) (1) Allgemeiner Basisexistenz- und Basisergänzungssatz (ohne Beweis) (2) Dimensionsformel für Unterräume (mit Beweis) (3) Definition Summe von Unterräumen (4) Definition direkte Summe (5) Charakterisierung direkter Summen (6) Beispiele direkter Summen im R 3 (7) Definition Quotientenraum (8) Diskussion der Äquivalenzrelation (9) Quotientenraum als Vektorraum Literatur. [DL, Kapitel 3.10 & 3.11]
7 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/ Lineare Abbildungen 2.1. Lineare Abbildungen (17.11.) (1) Dimension eines Quotientenraums (2) Definition lineare Abbildung (3) Beispiel im R 2 (4) Beispiel Differentiation (5) Konstruktionssatz (6) Beispiel im R 2 (7) Fortsetzungssatz (8) Nullfortsetzungen Literatur. [DL, Kapitel ]
8 8 CAROLINE LASSER 2.2. Lineare Gleichungssysteme (24.11.) (1) Darstellungssatz (Standardbasen) (2) Beispiel der π/4-drehung (3) Darstellungssatz (beliebige Basen) (4) Beispiel der π/4-drehung (5) Merkregel für die Darstellungskoeffizienten (6) Definition Lösungsmenge (7) Definition affiner Unterraum (8) Lösungsmengen als affine Unterräume (9) Beispiel Projektion Literatur. [DL, Kapitel ]
9 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/ Dimensionsformel (01.12.) (1) Lineare Abbildungen R 2 R (2) Lineare Abbildungen R 2 R 2 (3) Isomorphiesatz (4) Beispiel C n als R-Vektorraum (5) Dimensionsformel (6) Beispiel R 12 R 7 (7) Schubfachprinzip, endliche Mengen (8) Schubfachprinzip, endlich-dimensionale Vektorräume Literatur. [DL, Kapitel 4.9 & 4.10]
10 10 CAROLINE LASSER 2.4. Lineare Abbildungen als Vektoren (08.12.) (1) Definition Hom(V, W) und End(V ) (2) Hom(V, W ) ist K-Vektorraum (3) Dimensionssatz für Hom(V, W ) (4) Beispiel E 2,3 End(R 3 ) (5) Beispiel E 3,2 Hom(V, W ) (6) Definition Dualraum (7) Beispiel (R 2 ) (8) Duale Basis im Endlichdimensionalen (9) Duale Basis und Koordinatenabbildung (10) Dualraum von R[X] Literatur. [DL, Kapitel 4.11 & 4.12]
11 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/ Probeklausur (15.12.)
12 12 CAROLINE LASSER 3. Matrizen 3.1. Matrizen und lineare Abbildungen (22.12.) (1) K m n als K-Vektorraum (2) Matrix-Vektor-Produkt (3) Zugeordnete lineare Abbildung (4) Darstellende Matrix (5) Hom(K n, K m ) = K m n (6) Matrizenprodukt (7) Zeile mal Spalte (8) Kompositionssatz (9) Matrizenmultiplikation kommutiert nicht (10) Additionstheoreme Literatur. [DL, Kapitel 5.2 & 5.3]
13 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/ Darstellen und Invertieren (12.01.) (1) Definition darstellende Matrix (2) Darstellende Matrizen bzgl. Standardbasen (3) Produkt mit darstellender Matrix (4) Darstellung von Bildvektoren (5) Beispiel im R 2 (6) Normalformdarstellung (7) Äquivalente Matrizen (8) Invertierbare Matrizen (9) Allgemeine Lage (10) Lineare Gleichungssysteme Literatur. [DL, Kapitel 5.4 & 5.5]
14 14 CAROLINE LASSER 3.3. Transformationsformel (19.01.) (1) Darstellende Matrizen im Diagramm (2) Definition Transfromationsmatrix (3) Eigenschaften von Transformationsmatrizen (4) Basiswechsel im K n (5) Definition Permutationsmatrix (6) Koordinatenpermutation (7) Rechnen mit Permutationsmatrizen (8) Transformationsformel (9) Äquivalente Matrizen (10) Ähnliche Matrizen Literatur. [DL, Kapitel 5.7 & 5.8]
15 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/ Transposition und Rang (26.01.) Literatur. [DL, Kapitel 5.9 & 5.10]
16 16 CAROLINE LASSER 3.5. Eliminationsverfahren (02.02.) Literatur. [DL, Kapitel 5.11 & 5.12]
17 LINEARE ALGEBRA I (LEHRAMT GYMNASIUM) WINTERSEMESTER 2015/16 17 Literatur [DL] O. Deiser, C. Lasser: Erste Hilfe in Linearer Algebra, Springer Verlag, 2015.
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