Notizen zu "Mathematische Grundlagen der Finanzwirtschaft"

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1 Notizen zu "Mathematische Grundlagen der Finanzwirtschaft" PD Dr. habil. Thomas Kalmes Sommersemester 5 Version vom 5. Juli 5

2 Einleitung 2 Einleitung Ich kam zu der Überzeugung, dass mathematische Analysis nicht eine von vielen Möglichkeiten ist, ökonomische Theorie zu betreiben: Es ist die einzige Möglichkeit. Ökonomische Theorie ist mathematische Analysis. Alles andere sind dagegen nur Bilder und Gerede. R.E. Lucas, Nobelpreisträger für Wirtschaftswissenschaften Wozu Mathematik? Antworten auf Grundlage des Modells/der Theorie; empirische Überprüfung Schlussfolgerungen aus dem Modell Ökonomische Fragestellung z. B. Bewertung von Optionen, Preisbildungsprozess, Volkswirtschaftliches Wachstum, etc.) Modellierung, Reduktion auf wesentliche Faktoren Mathematisches) Modell/ Theorie Analyse des Modells Mathematik) Werkzeuge hierzu: Vorlesung Beispiel.. Preisbildungsmodell nach Evans) Wir betrachten einen abgeschlossenen Markt für ein Gut und nehmen an, dass keiner der Marktteilnehmer einen Einuss auf den Preis p hat. In Abhängigkeit des Preises haben wir die aggregierte Nachfragefunktion d = dp) = α a p "demand")

3 Einleitung 3 sowie die aggregierte Angebotsfunktion s = sp) = β + b p "supply"), wobei α, β, a, b > 0 exogene Konstanten sind, die etwa mit statistischen Methoden aus empirischen Daten gewonnen wurden. s, d α sp) β dp) p p in e) Der Markt ist im Gleichgewicht, wenn Angebot und Nachfrage übereinstimmen, wenn also gilt dp) = sp) α a p = β + b p α β = a p + b p = a + b) p p = α β a + b. Also sind Angebot und Nachfrage nur dann gleich, wenn der Preis des Gutes den Wert p = α β α β hat. Was aber geschieht, wenn für den Preis p gilt? a+b a+b Wir machen die sinnvolle Annahme, dass im Laufe der Zeit der Preis steigen wird, wenn ein Nachfrageüberschuss vorliegt und dass er sinken wird, wenn ein Angebotsüberschuss herrscht. Wir fassen den Preis daher als Funktion der Zeit

4 Einleitung 4 "time") auf, die wir z.b. in Minuten messen, also p = pt). Damit werden auch die aggregierte Angebots- und Nachfragefunktion zu Funktionen der Zeit: d = dt) = α a pt), s = st) = β + b pt). ) Wie lässt sich eine Preisänderung modellieren? Zum Zeitpunkt t gelte pt) = 00 e) und zu einem späteren Zeitpunkt s gelte ps) = 0 e). Die Preisdierenz beträgt also ps) pt) = 0 Ist das eine starke Preisänderung? Das hängt ganz von der verstrichenen Zeit ab: falls s t = Minuten), was einem Monat entspricht, ist die Preisänderung vielleicht gering. Falls s t = 60 Preisänderung eher groÿ. setze Preisdierenz in Relation zur verstrichenen Zeit ps) pt) s t Minuten), was einer Sekunde entspricht, ist die gutes Maÿ für die Preisänderung. Im ersten Fall s t = also s = t) erhalten wir pt ) pt) t ) t = , 00025, im zweiten Fall s t = 60 also s = t + 60 ) pt + ) pt) 60 t + ) t = = 600. Aber was ist "Preisänderung" zum Zeitpunkt t? Oben ist immernoch ein zweiter Zeitpunkt, s, involviert.) Dazu betrachten wir ps) pt) s t für s "sehr nahe" an t lim s t ps) pt) s t = p t) wir gehen davon aus, dass die Funktion p = pt) dierenzierbar ist).

5 Einleitung 5 Also: Preisänderung zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Ableitung der Funktion p = pt): p t) = Preisänderung zum Zeitpunkt t. Wir formlieren nochmals unsere Annahme, dass der Preis bei einem Nachfrageüberschuss steigt bzw. bei einem Angebotsüberschuss sinkt: > 0, falls Nachfrage zum Zeitpunkt t gröÿer als Angebot Preissteigerung, also p t) > 0 dt) st) < 0, falls Angebot zum Zeitpunkt t gröÿer als Nachfrage Preissenkung, also p t) < 0. Wir nehmen weiter an, dass eine Preissteigerung umso gröÿer ausfällt, je gröÿer der Nachfrageüberschuss ist und treen die Modellannahme, dass sich dieser Zusammenhang modellieren lässt durch p t) = γdt) st)), 2) wobei γ > 0 eine exogene Konstante ist, d.h. Preisänderung zum Zeitpunkt t ist proportional zum Nachfrageüberschuss zum Zeitpunkt t. Kombiniert man die Gleichungen ) und 2), erhält man p t) = γdt) st)) = γα a pt) β b pt)) 3) = γα β) γa + b)pt). Können wir aus dieser Beziehung zwischen p und p eine explizite Formel für die Preisfunktion herleiten und damit unter den von uns gemachten Modellannahmen eine Prognose zur Entwicklung des Marktpreises abgeben?

6 Einleitung 6 Beispiel.2. Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow, Nobelpreisträger für Wirtschaftswissenschaften) Wir betrachten eine geschlossene Volkswirtschaft und ihre zeitliche Entwicklung. Als Modellkomponenten wählen wir Y = Y t) Volkseinkommen in Abhängigkeit der Zeit t) A = At) Produktionsfaktor Arbeit in Abhängigkeit der Zeit t) K = Kt) Produktionsfaktor Kapital in Abhängigkeit der Zeit t) und treen die Annahme, dass diese Gröÿen durch eine Cobb-Douglas-Funktion auf die folgende Art und Weise zusammenhängen Y t) = Kt) α At) α, 4) wobei 0 < α < eine empirisch zu bestimmende, exogene Modellkonstante ist. Wir treen weitere Modellannahmen: i) Die Wachstumsrate der Bevölkerung ist konstant b = Wachstumsrate) und der Produktionsfaktor Arbeit hängt nur von der Bevölkerung ab: A t) = b At) Änderung der Arbeitskraft ist proportional zur vorhandenen Arbeitskraft, wobei Proportionalitätskonstante die Wachstumsrate der Bevölkerung ist; kurz: Wachstumsrate Arbeitskraft=Wachstumsrate Bevölkerung) ii) Änderung des Kapitalstocks ausschlieÿlich durch Investitionen I: K t) = It) iii) Investitionen sind proportional zum Volkseinkommen: It) = s Y t), wobei 0 < s < die als konstant angenommene Investitionsquote ist.

7 Einleitung 7 Kombiniert man Modellannahmen ii) und iii) zusammen mit Gleichung 4), erhält man aus den Annahmen für den Produktionsfaktor Kapital: K t) = It) = s Y t) = s Kt) α At) α, sowie für den Produktionsfaktor Arbeit nach i) A t) = bat). Können wir aus diesen Beziehungen zwischen K, K, A und A eine explizite Formel für die beiden Funktionen Kt) und At) und damit auch für das Volkseinkommen Y t) = Kt) α At) α herleiten, um damit unter den von uns gemachten Modellannahmen Prognosen für diese Gröÿen zu geben?

8 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 8 2 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen In den Modellen in Ÿ traten Funktionen auf, die gewisse Beziehungen zwischen sich und ihrer Ableitung erfüllen. Dies sind Beispiele des folgenden Begris. Denition 2.. Für zwei gegebene Funktionen g und h versteht man unter einer gewöhnlichen) Dierentialgleichung erster Ordnung) mit getrennten Veränderlichen) das Problem, eine dierenzierbare Funktion u : I R auf einem oenen Intervall I u für "unkown function") zu nden, so dass gut)) u t) ht) = 0 5) für alle t I gilt. Natürlich muss hierbei ut) immer im Denitionsbereich von g liegen.) Die Funktion u heiÿt dann Lösung der Dierentialgleichung 5). "gewöhnlich" bedeutet, dass die gesuchte Funktion u nur von einer Variablen, nämlich t, abhängt, "erster Ordnung" heiÿt, dass in der Gleichung 5) keine höhere als die erste Ableitung der gesuchten Funktion u vorkommt. Zu "mit getrennten Veränderlichen" später mehr.) Oft schreibt man anstatt t auch x und anstelle von u auch y etc.) Beispiel 2.2. i) Im Preisbildungsmodell von Evans.): Die unbekannte Preisfunktion pt) erfüllt p t) = γα β) γa + b)pt) α, β, γ, a, b gegebene Konstanten), also ist p eine Lösung der Dierentialgleichung γα β) γa + b)ut) u t) = 0;

9 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 9 in diesem konkreten Beispiel ist und gu) = zum Denitionsbereich von g: γα β) γa + b)u ht) =. γα β) γa + b) 0 γα β) γa + b)u α β) a + b u, also ist R\{ α β } der Denitionsbereich von g; zur Erinnerung: der in. a+b bestimmte Preis, für den Angebot und Nachfrage gleich sind, ist p = α β.) a+b ii) Im Solowschen Wachstumsmodell.2): Die unbekannte Funktion des Produktionsfaktors Arbeit At) erfüllt A t) = b At) b gegebene Konstante, b 0), also ist A eine Lösung der Dierentialgleichung in diesem konkreten Beispiel ist und b ut) u t) = 0; gu) = bu ht) =. zum Denitionsbereich von g: da b 0 gilt bu 0 u 0, also ist R\{0} der Denitionsbereich von g) iii) Für gu) = mit oensichtlichem Denitionsbereich R) und ht) = 0 lautet die zugehörige Dierentialgleichung u t) 0 = 0 also u t) = 0. 6)

10 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 0 Welche Lösungen hat diese Dierentialgleichung? Zur Erinnerung: Nach dem sog. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung gilt für eine stetig dierenzierbare) Funktion f : [a, b] R fb) fa) = b a f x)dx. Wenden wir dies auf eine beliebige Lösung u der Dierentialgleichung 6) für b = t und a = 0 an, folgt für beliebiges t ut) u0) = t u x)dx = t 0 0 0dx = 0. für jedes t gilt ut) = u0), d.h. jede Lösung u von 6) ist eine konstante Funktion. Anstelle von 0 hätte man oben jede andere Zahl wählen können.) Dieses einfache Beispiel zeigt: Im Allgemeinen gibt es mehr als eine Lösung zu einer Dierentialgleichung, hier nämlich u : R R, ut) = c, wobei c eine beliebige Zahl ist. Und es gibt keine weitere Lösungen von 6) als diese. iv) Etwas allgemeiner als iii): Für gu) = mit Denitionsbereich R) und beliebiges ht) z.b. ht) = t 2 ) lautet die zugehörige Dierentialgleichung u t) ht) = 0, also u t) ht) = 0 u t) = ht), 7) d.h. gesucht ist eine Funktion u, deren Ableitung mit der gegebenen Funktion h übereinstimmt, gesucht ist also eine Stammfunktion von h. Für beliebige Zahlen t 0 z.b. t 0 = 0) und u 0 erhalten wir durch ut) = u 0 + t t 0 hx)dx

11 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen eine Stammfunktion von h. Im konkreten Beispiel ht) = t 2 ) also ut) = u 0 + t t 0 x 2 dx = u x3 t x=t 0 = u t3 3 t3 0. Über konkrete Wahl der Werte für t 0 und u 0 kann man steuern, welchen Wert unsere Lösung von 7) an der Stelle t 0 hat; z.b. t 0 =, u 0 = 7 liefert die Lösung ut) = t3 3 3 = t3, für die u) = 7 gilt. In den obigen Beispielen 2.2 iii) und iv) haben wir gesehen, dass es in der Regel viele Lösungen ein und derselben Dierentialgleichung gibt und dass man in diesen Beispielen zu beliebig vorgebenen Werten t 0 und u 0 eine Lösung u der Dierentialgleichung nden kann, für die sogar ut 0 ) = u 0 gilt wir können an einer vorgegebenen Stelle t 0 einen beliebigen Wert u 0 vorgeben, den die Lösung u an der Stelle t 0 annimmt). Dies formulieren wir allgemein: Denition 2.3. Für zwei gegebene Funktionen g und h sowie eine gegebene Zahl t 0 aus dem Denitionsbereich von h und eine gegebene Zahl u 0 aus dem Denitionsbereich von g ist eine Lösung des Anfangswertproblems zu g, h, t 0 und u 0 eine dierenzierbare Funktion u : I R auf einem oenen Intervall I, welches t 0 enthält, die Lösung der Dierentialgleichung gut)) u t) ht) = 0 ist und auÿerdem ut 0 ) = u 0 erfüllt. Kommen wir zurück zur allgemeinen Dierentialgleichung gut)) u t) ht) = 0. 8)

12 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 2 Wie ndet man eine Lösung? Wir nehmen an, dass g keine Nullstellen hat und dierenzierbar ist. Wir sehen gleich, warum wir diese Annahme treen.) Mit G und H bezeichnen wir eine Stammfunktion von g und h es gilt also G = g und H = h). Damit u eine Lösung von 8) ist, muss gelten 0 = gut)) u t) ht) = G ut)) u t) H t) weil G = g, H = h) = G u ) t) H t) Kettenregel für G u) = G u H ) t). Also: die Ableitung der Funktion G u H ist an jedem Punkt t gleich Null. Da die Funktion G u H auf einem Intervall deniert ist, ist sie nach Beispiel 2.2 iii) konstant, es gibt also eine Zahl c, so dass für alle t c = G u H ) t) = Gut)) Ht) Gut)) = Ht) + c gilt. Können wir die Gleichung Gut)) = Ht) + c nach ut) auösen und damit eine Lösung der Dierentialgleichung 8) angeben? Zur Erinnerung: Wir haben angenommen, dass g = G keine Nullstelle hat, so dass G eine Umkehrfunktion G besitzt. Damit können wir nun die Gleichung Gut)) = Ht) + c nach ut) auösen: ut) = G Gut))) weil G die Umkehrfunktion von G ist) = G Ht) + c) weil Gut)) = Ht) + c). Wir machen die Probe, ob ut) = G Ht) + c) tatsächlich eine Lösung von 8) ist.

13 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 3 Dazu berechnen wir zuerst die Ableitung von ut) = G Ht) + c): u t) = G Ht) + c) ) = G ) ) Ht) + c) Ht) + c Kettenregel) = G G Ht) + c)) H t) Ableitung der Umkehrfunktion G von G) = gg Ht) + c)) ht) weil G = g und H = h). Für ut) = G Ht) + c) folgt damit einfach durch einsetzen: gut)) u t) ht) = gg Ht) + c)) G Ht) + c) ) ht) = gg Ht) + c)) ht) ht) gg Ht) + c)) = ht) ht) = 0, so dass für einen beliebigen Wert von c die Funktion ut) = G Ht)+c) tatsächlich eine Lösung von 8) ist. Für die spezielle Wahl c = Gu 0 ) Ht 0 ) erhalten wir eine Lösung der Dierentialgleichung 8), die an der Stelle t 0 den Wert u 0 annimmt: ut 0 ) = G Ht 0 ) + Gu 0 ) Ht 0 )) = G Gu 0 )) = u 0. Wir haben gezeigt, dass jede Lösung der Dierentialgleichung 8) von der Gestalt ut) = G Ht) + c) ist, wobei c eine beliebige Zahl ist, und dass speziell für c = Gu 0 ) Ht 0 ) die entsprechende Lösung an der Stelle t 0 den Wert u 0 hat, d.h. dass ut) = G Ht) + Gu 0 ) + Ht 0 )) eine Lösung des Anfangswertproblems zu g, h, t 0 und u 0 im Sinne der Denition 2.3 ist. Man kann beweisen was wir aber nicht tun werden), dass es sich hierbei um die einzige Lösung des entsprechenden Anfangswertproblems handelt hierzu benötigt man, dass g dierenzierbar ist). Bevor wir uns wieder konkreten Beispielen zuwenden, fassen wir unser Ergebnis zusammen.

14 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 4 Satz 2.4. Für gegebene Funktionen g und h, wobei g keine Nullstellen besitzt und dierenzierbar ist, ist jede Lösung der Dierentialgleichung gut)) u t) ht) = 0 9) von der Gestalt ut) = G Ht) + c), wobei G die Umkehrfunktion der Stammfunktion G von g, H eine Stammfunktion von h sowie c eine beliebige Zahl ist. Sind weiter t 0 aus dem Denitionsbereich von h und u 0 aus dem Denitionsbereich von g, so ist die einzige Lösung des zu g, h, t 0 und u 0 gehörigen Anfangswertproblems gegeben durch ut) = G Ht) + Gu 0 ) Ht 0 )). 0) Bevor wir die Anwendung des obigen Satzes anhand von konkreten Beispielen demonstrieren, noch eine Eselsbrücke zum Inhalt des Satzes: Bemerkung 2.5. Schreibt man du dt anstelle von u t) für die Ableitung von ut), so liest sich die Dierentialgleichung 9) als bzw. gu) du dt ht) = 0, gu) du = ht), ) dt wobei wir auf der linken Seite die Abhängigkeit der Funktion u von t nicht explizit aufschreiben. Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht ein Ausdruck, der nur von der "unabhängigen" Veränderlichen t abhängt, auf der linken Seite der Gleichung steht ein Ausdruck der nur von der "abhängigen" Veränderlichen u und deren Ableitung) abhängt. Dieser Schreibweise verdankt die Dierentialgleichung 9) auch den Namen "mit getrennten Veränderlichen" s. Denition 2.). Rechnet man in ) formal, als wäre dt eine Zahl und multipliziert man ) damit, erhält man den formalen Ausdruck gu)du = ht)dt,

15 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 5 den wir integrieren u gx)dx = hs)ds. u 0 t 0 Mit Stammfunktionen G von g und H von h erhält man also Gu) Gu 0 ) = u u 0 gx)dx = t t t 0 hs)ds = Ht) Ht 0 ). Löst man diese Gleichung nach u auf, erhält man schlieÿlich die Lösung des Anfangswertproblems aus Satz 2.4 ) u = G Ht) Ht 0 ) + Gu 0 ). Beispiel 2.6. der Dierentialgleichung i) Die Preisfunktion pt) im Model von Evans. ist eine Lösung γα β) γa + b)ut) u t) = 0, 2) wobei α, β, γ, a, b > 0 exogene Konstanten sind. Hier ist also gu) = γα β) γa+b)u sowie ht) =. Da g keine Nullstellen besitzt und dierenzierbar ist, können wir Satz 2.4 anwenden.. Schritt: Wir bestimmen Stammfunktionen G und H von g bzw. h. - zu H: Mit beliebigem Wert für t 0 ist Ht) = t t 0 hx)dx = eine Stammfunktion von ht) =. t - zu G: Idee: für fu) = ln u gilt f u) = u fu) = lnc + d u), dass f u) = gu) = hat als Stammfunktion t 0 dx = x t x=t 0 = t t 0 d. c+d u γα β) γa + b) u = Gu) = γa + b) lnγα β) γa + b)u). γa + b) bzw. allgemeiner gilt für γa + b) γα β) γa + b)u

16 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 6 2. Schritt: Wir bestimmen die Umkehrfunktion von Gx) = d.h. wir lösen die Gleichung nach x auf: y = Gx) = lnγα β) γa + b)x), γa + b) lnγα β) γa + b)x) γa + b) y = lnγα β) γa + b)x) γa + b) γa + b)y = lnγα β) γa + b)x) multipliziere mit γa + b)) e γa+b)y = γα β) γa + b)x wende Exponentialfunktion an) e γa+b)y γα β) = γa + b)x ziehe γα β) ab) e γa+b)y γα β) + γa + b) γa + b) = x teile durch γa + b)). Damit ist G y) = α β a + b e γa+b)y γa + b). 3. Schritt: Wir bestimmen ut) gemäÿ Satz 2.4 und beachten dabei, dass Ht 0 ) = 0 ist. ut) = G Ht) + Gu 0 ) Ht 0 )) = G t t 0 γa + b) lnγα β) γa + b)u 0)) = α β a + b e γa+b)t t0 γa+b) lnγα β) γa+b)u 0)) γa + b) = α β a + b γa + b) e γa+b)t t 0)+lnγα β) γa+b)u 0 ) = α β a + b γa + b) e γa+b)t t 0) e lnγα β) γa+b)u 0) = α β a + b γa + b) e γa+b)t t 0) γα β) γa + b)u 0 )

17 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 7 = α β a + b e γa+b)t t 0) γa + b) γα β) γa + b)u 0) = α β a + b e γa+b)t t 0) α β a + b u 0 = α β a + b + e γa+b)t t 0) u 0 α β a + b ist die einzige Lösung der Dierentialgleichung 2), die ut 0 ) = u 0 erfüllt. Wenn wir in unserem Preismodell den jetzigen Zeitpunkt mit t 0 = 0 bezeichnen wir messen die Zeit in Minuten) und am Markt nicht der Gleichgewichtspreis p = α β a+b herrscht vgl..)), sondern ein beliebiger Preis p 0 p, so erhalten wir nach obigem für die Preisfunktion pt) = α β a + b + e γa+b)t p 0 α β ) = p + e γa+b)t p 0 p ). 3) a + b Nach zwei Minuten beträgt der Preis demnach ) ) Da γ, a, b > 0, gilt p2) = p + e γa+b)2 p 0 p ). lim pt) = t p + lim e γa+b)t p 0 p ) = p + 0 = p, t so dass sich der Preis dem Gleichgewichtspreis p annähert. Nach dem Evanschen Preisbildungsmodell existiert also tatsächlich so etwas wie "die unsichtbare Hand des Marktes", nach der sich der Preis aus jedem Anfangspreis heraus dem Gleichgewichtspreis nähert. Allerdings beachte man, dass für beliebiges p 0 p auch für noch so groÿe Werte von t - also egal, wie viel Zeit man verstreichen lässt - immer pt) p = e γa+b)t p 0 p ) 0, so dass der Gleichgewichtspreis p niemals in endlicher Zeit erreicht wird.

18 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 8 Da e γa+b)t > 0, zeigt die Formel 3) auÿerdem, dass im Falle p 0 < p der aktuelle Marktpreis liegt unter dem Gleichgewichtspreis) für jedes t auch pt) < p gilt; und analog pt) > p für alle t falls p 0 > p. Mit diesem einfachen Modell lassen sich also keine Preisoszillationen um den Gleichgewichtspreis erklären. Da für die aggregierte Nachfrage- bzw. Angebotsfunktion in unserem Modell dt) = α a pt) und st) = β + b pt) gilt, erhalten wir auch explizite Formel für diese Funktionen: dt) = α a p + e γa+b)t p 0 p )) st) = β + b p + e γa+b)t p 0 p )). ii) Der Produktionsfaktor Arbeit At) im Solowschen Wachstumsmodell.2 ist eine Lösung der Dierentialgleichung b ut) u t) = 0 b > 0 vorgebene Wachstumsrate der Bevölkerung), 4) also gu) = und ht) =. Oenbar hat g keine Nullstellen und ist dierenzierbar, so dass wir Satz 2.4 anwenden b u können.. Schritt: Wir bestimmen Stammfunktionen G und H von g bzw. h. - zu H: Mit beliebigem Wert für t 0 ist Ht) = t t 0 hx)dx = eine Stammfunktion von ht) =. t - zu G: Mit beliebigem positiven Wert für u 0 ist Gu) = u u 0 gx)dx = = b ln u ln u 0) u t 0 dx = x t x=t 0 = t t 0 u 0 bx dx = b u u 0 x dx = b ln x u x=u 0

19 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 9 eine Stammfunktion von gu) = b u. 2. Schritt: Wir bestimmen die Umkehrfunktion von Gx) = b ln x ln u 0), d.h. wir lösen die Gleichung nach x auf: y = b ln x ln u 0) y = Gx) = b ln x ln u 0) by = ln x ln u 0 multipliziere mit b) by + ln u 0 = ln x addiere ln u 0 ) e by+ln u 0 = x wende die Exponentialfunktion - die Umkehrfunktion von ln - an) Also G y) = e by+ln u 0 = e by e ln u 0 = e by u 0 = u 0 e by. 3. Schritt: Wir bestimmen ut) gemäÿ Satz 2.4: ut) = G Ht) + Gu 0 ) Ht 0 )) = G t t 0 + b ln u 0 ln u 0 ) t 0 t 0 )) = G t t 0 ) = u 0 e bt t 0) ist die einzige Lösung der Dierentialgleichung 4), die auch ut 0 ) = u 0 erfüllt. Wir messen die Zeit t in Jahren und bezeichnen das jetzige Jahr mit t 0 = 0. Die Arbeitskraft unserer Volkswirtschaft betrage im aktuellen Jahr u 0 = 4, 5 Mio. Erwerbstätige, es gilt also A0) = 4, 5 Mio. Erwerbstätige. Weiter nehmen wir an, dass die Wachstumsrate der Bevölkerung unserer Volkswirtschaft 0,2% pro Jahr betrage, also b = 0, 002. Da At) eine Lösung der Dierentialgleichung 4) ist und A0) = 4, 5 Mio. gilt, muss nach obigem Ergebnis At) = 4, 5 Mio. e 0,002t

20 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 20 gelten, so dass nach den Annahmen des Solowschen Wachstumsmodells nach beispielsweise 2 Jahren die Arbeitskraft der Volkswirtschaft A2) = 4, 5 Mio. e 0, , 66 Mio. Erwerbstätige betragen wird. Allgemein: Beträgt zum Zeitpunkt t 0 die Arbeitkraft der Volkswirtschaft A 0, so gilt für den Produktionsfaktor Arbeit im Solowschen Modell At) = A 0 e bt t0). iii) Der Produktionsfaktor Kapital Kt) im Solowschen Wachstumsmodell.2 erfüllt K t) = s Kt) α At) α, wobei 0 < s < die Investitionsquote, 0 < α < eine exogene Konstante Kapitalquote des Volkseinkommens) und nach ii) At) = A 0 e bt t 0) gilt mit b der Wachstumsrate der Bevölkerung. Es gilt also für Kt) K t) = s Kt) α A α 0 e b α)t t 0) = Kt) α sa α 0 e b α)t t 0), so dass Kt) eine Lösung der Dierentialgleichung ist. Hier ist also gu) = u α ut) α u t) sa α 0 e b α)t t 0) = 0 5) = u α und ht) = sa α 0 e b α)t t 0) = sa α 0 e b α)t 0 e b α)t. Da die Funktion g keine Nullstellen besitzt und dierenzierbar ist, können wir Satz 2.4 anwenden.. Schritt: Wir bestimmen Stammfunktionen G und H von g bzw. h.

21 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 2 - zu H: Mit beliebigem Wert für t 0 ist Ht) = t t 0 hx)dx = t = sa α 0 e b α)t 0 sa α t 0 t 0 e b α)t 0 e b α)x dx t 0 e b α)x dx = sa α 0 e b α)t 0 b α) eb α)x t x=t 0 = sa α 0 e b α)t 0 b α) e b α)t e b α)t 0 ) = sa α 0 b α) e b α)t 0 e b α)t e b α)t 0 e b α)t 0 ) = sa α 0 b α) eb α)t t 0) ) eine Stammfunktion von ht) = sa α 0 e b α)t 0 e b α)t - zu G: Mit beliebigem positiven Wert von u 0 ist wegen α Gu) = u u 0 gx)dx = u eine Stammfunktion von gu) = u α. x α dx = u 0 α x α u x=u 0 = u α α u α 0 α 2. Schritt: Wir bestimmen die Umkehrfunktion von Gx) = x α wir lösen die Gleichung nach x auf: y = Gx) = x α α u α 0 α u α 0 α α, d.h. y = x α α u α 0 α y + u α 0 α = x α α α)y + u α α)y + u α 0 addiere u α 0 α ) 0 = x α multipliziere mit α) ) α = x ziehe die α)-te Wurzel)

22 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 22 Also G y) = α)y + u α 0 ) α. 3. Schritt: Wir bestimmen ut) gemäÿ Satz 2.4 und beachten dabei, dass Gu 0 ) = 0 und Ht 0 ) = 0 ist. ut) = G Ht) + Gu 0 ) Ht 0 )) = G Ht)) sa α ) = G 0 b α) eb α)t t 0) ) = α) sa α 0 b α) eb α)t t 0) ) + u0 α s = A 0 b eb α)t t 0) ) + u ) 0 ) α α A 0 ist somit die einzige Lösung von 5), die ut 0 ) = u 0 erfüllt. ) α Wie beim Produktionsfaktor Arbeit in ii) messen wir die Zeit t in Jahren und bezeichnen das jetzige Jahr mit t 0 = 0. Wir nehmen an, dass die Investitionsquote unserer Volkswirtschaft 20% beträgt, also s = 0, 2. Wie für den Produktionsfaktor Arbeit nehmen wir b = 0, 002 an. Weiter nehmen wir an, dass für die Kapitalquote α = 0, 3 gilt, und dass die Arbeitskraft im jetzigen Jahr wie unter ii) A 0 = 4, 5 Mio. Erwerbstätige und die Kapitalausstattung im jetzigen Jahr 2 4, Mrd. e beträgt. Da Kt) die einzige Lösung der Dierentialgleichung 5) ist, die K0) = 2 4, Mrd. e erfüllt, gilt nach Satz 2.4 0, 2 Kt) = 0, 045 0, 002 e0,002 0,3)t 0) ) + ) 0 0, e 0,004 t 7 ) , 3 Mrd. e 2 4, ) 0, 045 ) 0,3 0,3 Nach Annahmen des Solowschen Modells ist eine Prognose für den Kapitalstock der Volkswirtschaft in 2 Jahren daher ) 0 K2) 0, e 0, ) , , Mrd. e

23 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 23 Allgemein: Beträgt zum Zeitpunkt t 0 die Arbeitkraft der Volkswirtschaft A 0 und der Kapitalstock K 0, so gilt für den Produktionsfaktor Kapital im Solowschen Modell s Kt) = A 0 b eb α)t t 0) ) + K ) 0 ) α α A 0 und nach ii) gilt für den Produktionsfaktor Arbeit At) = A 0 e bt t 0). Wegen der Annahme Y t) = Kt) α At) α ergibt sich für das Volkseinkommen Y t) unserer Volkswirtschaft s Y t) = A α 0 b eb α)t t 0) ) + K ) α 0 ) α α A α 0 e b α)t t 0) A 0 s = A 0 b eb α)t t 0) ) + K ) α 0 ) α α e b α)t t0). A 0 Mit diesen expliziten Formeln kann man nun weitere Gröÿen untersuchen, etwa die Entwicklung der Kapitalausstattung pro Kopf ) kt) = Kt) s A 0 At) = b eb α)t t 0) ) + K 0 A 0 ) α α A 0 e bt t 0) = = = s b eb α)t t 0) ) + K 0 e b α)t t 0) A 0 ) α ) α s b e b α)t t 0) ) + e b α)t t0) K ) 0 ) α A 0 s b + e b α)t t 0) K 0 ) α s ) ) α, A 0 b für die daher s ) lim kt) = α t b gilt; langfristig hängt die Kapitalausstattung pro Kopf also nur von der Investitionsquote s, der Wachstumsrate der Bevölkerung b und dem Cobb-Douglas- Gewicht α, nicht aber von der Anfangsausstattung an Kaptial und Arbeitskraft ab. α

24 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 24 Desweiteren könnte man, ceteris paribus, den Einuss der Investitionsquote s auf das Volkseinkommen der Volkswirtschaft s Y t) = A 0 b eb α)t t 0) ) + K ) α 0 ) α α e b α)t t 0) A 0 untersuchen und auf Grundlage dieses Modells wirtschaftspolitische Implikationen ableiten, etc. Eine gewöhnliche Dierentialgleichung erster Ordnung mit getrennten Veränderlichen, wie wir sie bisher untersucht haben, ist eine spezielle Klasse für allgemeine gewöhnliche Dierentialgleichungen, wie wir sie jetzt denieren. Denition 2.7. Für eine gegebene Funktion f, die von maximal) n + Variablen abhängt, versteht man unter der zughörigen gewöhnlichen) Dierentialgleichung n-ter Ordnung) das Problem, eine n-mal dierenzierbare Funktion u : I R auf einem oenen Intervall I u wieder für "unkown function") zu nden, so dass u n) t) ft, ut), u t),..., u n ) t)) = 0 6) für alle t I gilt. Natürlich muss das n+)-tupel t, ut), u t), u t),..., u n ) t)) hierbei immer im Denitionsbereich von f liegen.) Die Funktion u heiÿt dann Lösung der Dierentialgleichung 6). Für gegebene Zahlen t 0, u 0, u,..., u n, für die t 0, u 0, u,..., u n ) im Denitionsbereich der Funktion f liegt, ist eine Lösung des Anfangswertproblems zu f und t 0, u 0, u,..., u n eine n-mal dierenzierbare Funktion u : I R auf einem oenen Intervall I, das t 0 enthält, die eine Lösung der Dierentialgleichung 6) ist und auÿerdem ut 0 ) = u 0, u t 0 ) = u,..., u n ) t 0 ) = u n erfüllt. "gewöhnlich" bedeutet hierbei natürlich wieder, dass die gesuchte Funktion u nur von einer Variablen, nämlich t, abhängt, "n-ter Ordnung" heiÿt, dass in der Gleichung 6) keine höhere als die n-te Ableitung u n) der gesuchten Funktion u vor-

25 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 25 kommt.) Bemerkung 2.8. i) Für die Funktionen g und h lässt sich die zugehörige Dierentialgleichung mit getrennten Veränderlichen nach Teilen durch gut)) schreiben als gut)) u t) ht) = 0 7) u t) ht) = 0. gut)) Damit ist sie also von der Gestalt 6) mit ft, u) = ht). Der Grund für die gu) Schreibweise 7) liegt in dem Vorteil, in dieser Form bequem eine Formel für die Lösung 0) angeben zu können s. Satz 2.4). ii) Falls in der Situation der Denition 2.7 die Funktion f stetig partiell dierenzierbar ist, so kann man beweisen, dass es zu beliebig vorgegebenen Anfangswerten t 0, u 0, u,..., u n eine einzige Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems zu f und t 0, u 0, u,..., u n gibt. Anders als in obigen Beispielen 2.6, kann man die Lösung in den wenigsten Fällen explizit angeben. Man behilft sich damit, mittels Computern die Lösung von der bekannt ist, dass es sie gibt und dass sie eindeutig ist!) nährungsweise zu bestimmen. Damit beschäftigt sich u.a. der Zweig der Mathematik, der Numerik genannt wird. iii) Eine Lösung des zu f = ft, u) und t 0, u 0 gehörigen Anfangswertproblems u t) = ft, ut)), ut 0 ) = u 0 erfüllt wegen des Hauptsatzes der Dierential- und Integralrechnung!) ut) u 0 = ut) ut 0 ) = was man auch kurz schreibt als t t u x)dx = fx, ux))dx, t 0 t 0 du = ft, ut))dt, ut 0 ) = u 0,

26 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 26 s. auch Bemerkung 2.5. Die Schreibweise du = ft, ut))dt ist daher eine Alternative zur Schreibweise u t) = ft, ut)). iv) Im Preismodell. ist die einzige unabhängige Variable, von der der Preis abhängt, die Zeit t. In realistischeren Modellen gibt es aber in der Regel viele unabhängige Faktoren, die die zu modellierenden Gröÿen z.b. Preis einer Aktienoption) beeinussen. Die Zusammenhänge sind aber meist so komplex, dass sie sich nicht explizit modellieren lassen. Um dennoch ein handhabbares Modell zu erhalten, mit dem man arbeiten kann, stellt man sich daher oft auf den Standpunkt, bis auf einige wenige explizit im Modell vorkommenden Variablen - etwa die Zeit - alle weiteren Einussfaktoren als zufällig und nicht steuerbar zusammenzufassen. Dies wird z.b. im Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Aktienoptionen getan. Dieser Ansatz führt zu sogenannten stochastischen Dierentialgleichungen du = ft, ut))dt + dw t, bei der die gewöhnliche Dierentialgleichung u t) = ft, ut)) oder eben nach iii) du = ft, ut))dt ) durch den zufälligen Einuss dw t einer sog. Brownschen Bewegung erweitert ist. Diese stochastischen Dierentialgleichungen - und damit auch das Black-Scholes- Modell - werden ausführlich in der Mathematischen Finanzmarktanalyse behandelt. Um das hierzu notwendige Fundament zur mathematischen Behandlung des Zufalls bereitzustellen, wenden wir uns in den nächsten Kapiteln der Wahrscheinlichkeitstheorie zu.

27 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 27 v) Wir bezeichnen die Ertragsrate einer Bareinzahlung zwischen den Zeitpunkten t 0 = 0 ="jetzt") und t > 0 ="später") mit r0, t). Ist r0, t) für alle t > 0 bekannt, so bezeichnet man den Graphen der Funktion r0, t), t > 0, als Zinsstrukturkurve. Gehen wir davon aus, das Zinsen kontinuierlich gezahlt werden, so gilt für den Wert Bt) zum Zeitpunkt t einer Einzahlung B 0 zum Zeitpunkt t 0 = 0 Bt) = expt r0, t))b 0. 8) Wir bezeichnen weiter mit rt) den Momentanzinssatz Short Rate) zum Zeitpunkt t, d.h. für eine Einzahlung Bt) zum Zeitpunkt t mit Fälligkeit zum Zeitpunkt t + h, wobei h > 0 innitesimal klein ist, gilt Bt + h) Bt) rt) = lim h 0 h Bt) Bt + h) Bt) = lim h 0 Bt) h so dass Bt) die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems = Bt) B t) = B t) Bt), ist. Daher gilt u t) rt)ut) = 0, u0) = B 0 Bt) = B 0 exp t 0 rx)dx) 9) vgl. Hausübung 2.). Die Short Rate ist ein theoretisches Konstrukt, welches am Kapitalmarkt nicht beobachtet werden kann, für theoretische Überlegungen aber sehr nützlich ist.) Formel 9) gibt den Wert zum Zeitpunkt t > 0 einer Bareinzahlung B 0 zum Zeitpunkt t an. Vergleicht man 8) mit 9), folgt expt r0, t))b 0 = B 0 exp t r0, t) = t 0 rx)dx t d dt t r0, t)) = d t dt rx)dx) r0, t) + t d r0, t)) = rt) dt 0 0 rx)dx) teilen durch B 0 und logarithmieren) wenn zwei Funktionen gleich sind, sind auch ihre Ableitungen gleich) auf der linken Seite haben wir die Produktregel angewandt, auf der rechten den HDI)

28 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 28 Wir erhalten also einen Zusammenhang zwischen Zinsstrukturkurve r0, t) und Short Rate rt). vi) Zur Bestimmung des Werts P t, T ) zum Zeitpunkt t einer Nullkuponanleihe, deren Fälligkeitstermin T ist die Restlaufzeit beträgt also T t, sinnvollerweise nehmen wir t < T an), gibt es mehrere Modelle. Den meisten ist gemein, den Preis P t, T ) in Abhängigkeit durch die Short-Rate Momentanzinssatz) rt) zu modellieren s. v)). Dies ist der Zinssatz einer sicheren Anlage Geldmarktkonto) für einen innitesimal unendlich) kleinen Zeitraum. Trit man für rt) die Modellannahme dr = αt)rt) + βt))dt + γt)rt) + δt)dw t, hierbei handelt es sich um eine stochastische Dierentialgleichung, von der wir leider nicht wissen, was das eigentlich ist), wobei α, β, γ, δ gegebene dierenzierbare Funktionen sind, so kann man für den Wert P t, T ) der Nullkuponanleihe beweisen, dass P t, T ) = expat) Ct)rt)), wobei wiederum C eine Lösung des Anfangswertproblems u t) γt) 2 ut)2 αt)ut) = 0, ut ) = 0 20) bzw. A eine Lösung des Anfangswertproblems u t) βt)ct) δt) 2 Ct)2 = 0, ut ) = 0 2) ist. Nach ii) gibt es eindeutige Lösungen zu diesen beiden Anfangswertproblemen. Hat man die Lösung C von 20) explizit bestimmt, so erhält man die Lösung A von 2) einfach durch integrieren: At) = T t βt)ct) + δt) 2 Ct)2 dt.

29 Einführung in gewöhnliche Dierentialgleichungen 29 Bei der Dierentialgleichung in 20) handelt es sich um eine sog. Riccati-Dierentialgleichung. Leider gibt es nur unter sehr restriktiven Zusatzvoraussetzungen an die Funktionen αt) und γt), die in 20) vorkommen, eine explizite Lösungsformel für 20), so dass man im allgemeinen numerische Verfahren benötigt, um mit Hilfe des Computers näherungsweise eine Lösung zu bestimmen. Literatur zu 2.8 vi): P. Boyle, W. Tian, F. Guan, The Riccati equation in Mathematical Finance, Journal of Symbolic Calculus ), O. Vasicek, An equilibrium characterization of the term structure, Journal of Financial Economics 5 977),

30 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 30 3 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Als Zufallsexperiment, Zufallsvorgang oder stochastischer Vorgang bezeichnet man Vorgänge, i) deren Ergebnis nicht eindeutig vorhergesagt werden kann, ii) die wirklich oder mindestens gedanklich unter gleichen Bedingungen wiederholbar sind, z.b. das Ergebnis eines Würfelwurfs/Münzwurfs, der morgige Wert einer bestimmten Aktie, die Auÿentemperatur am Mittag des. Mai, die Anzahl der registrierten Verkehrsunfälle in Chemnitz am Ende eines Monats etc. Die Menge aller möglichen Ergebnisse/Realisierungen eines Zufallsexperiments wird mit Ω bezeichnet und Ergebnisraum genannt, die Ergebnisse selbst - also die Elemente von Ω - mit ω. Beispiel 3.. Experiment: Wurf eines fairen Würfels Ergebnisraum: Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} Mögliche Ausgänge des Experiments, die von Interesse sein könnten = Ereignisse: - es wird eine 6 gewürfelt = {6}, - es wird eine gerade Zahl gewürfelt = {2, 4, 6}, - der Wert des Wurfs ist mindestens 4 = {4, 5, 6}. Die interessierenden Ereignisse lassen sich also durch Teilmengen des Ergebnisraums Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} beschreiben. Daher der folgende

31 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 3 Exkurs: Ein biÿchen was zu Mengen Naive Denition einer Menge: Eine Menge Ω oder M, A...) ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten ω unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente von Ω genannt werden, zu einem Ganzen. Darin soll eingeschlossen sein, dass von jedem Objekt feststeht, ob es zu der Menge gehört oder nicht. Also: Mengen sind bestimmt durch ihre Elemente; zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. Z.B. gilt {, 2} = {, 2, }, da beide Mengen dieselben Elemente die Zahlen und 2) besitzen. "ω Ω" bedeutet, dass ω ein Element von Ω ist, z.b. gilt {, 2} "ω / Ω" bedeutet, dass ω kein Element von Ω ist, z.b. gilt 3 / {, 2} Die Menge, die kein Element besitzt heiÿt leere Menge, Schreibweise. Möglichkeiten, Mengen aufzuschreiben:. aufzählende Schreibweise, z.b. Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} 2. durch eine charakterisierende Eigenschaft E ihrer Elemente, Ω = {ω; ω hat die Eigenschaft E}, z.b. Ω = {ω; ω ist eine natürliche Zahl zwischen und 6}= {, 2, 3, 4, 5, 6}). Sind Ω, Ω 2 zwei Mengen, schreibt man

32 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 32 Ω Ω 2 oder Ω 2 Ω sprich "Ω ist eine Teilmenge von Ω 2 " bzw. "Ω 2 ist eine Obermenge von Ω "), wenn jedes Element von Ω ein Element von Ω 2 ist, z.b. {2, 3} {, 2, 3, 4, 5, 6}. Ω Ω 2, falls nicht Ω Ω 2 gilt, z.b. {0, } {, 2, 3, 4, 5, 6}. Falls sowohl Ω Ω 2 als auch Ω 2 Ω, so ist jedes Element von Ω ein Element von Ω 2 und jedes Element von Ω 2 ein Element von Ω. Ω und Ω 2 haben demnach dieselben Elemente und sind somit gleich, Ω = Ω 2. Z.B. {, 2, 3, } {, 2, 2,, 3} und {, 2, 2,, 3} {, 2, 3, } also {, 2, 3, } = {, 2, 2,, 3}= {, 2, 3}) {} ist die Menge, die nur die Zahl enthält, wohingegen {{}} die Menge ist, deren einziges Element die Menge ist, die nur die Zahl enthält. Es gilt {} = {{}}, {} {{}} und {} {{}}. Falls Ω Ω 2 und Ω 2 Ω 3, so gilt auch Ω Ω 3 Jedes Element von Ω ist ein Element von Ω 2 und jedes Element von Ω 2 ist ein Element von Ω 3, damit ist jedes Element von Ω insbesondere ein Element von Ω 3.) Für jede Menge Ω gilt Ω die leere Menge enthält kein Element, welches nicht in Ω enthalten ist) und Ω Ω. Für eine Menge Ω kann man alle ihre Teilmengen betrachten, z.b. hat Ω = {0, } die Teilmengen, {0}, {}, {0, }. Die Menge aller Teilmengen von Ω heiÿt Potenzmenge von Ω, Schreibweise PΩ) oder 2 Ω - letztere Schreibweise kommt daher, dass die Potenzmenge einer Menge Ω, die n Elemente enthält, 2 n Elemente enthält. Die Elemente von PΩ) sind also Mengen - die Teilmengen von Ω, z.b. P{0, }) = {, {0}, {}, {0, }}.

33 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 33 Sind A und A 2 Mengen, so bezeichnet man die Menge, deren Elemente in beiden Mengen enthalten sind mit A A 2, also A A 2 = {ω; ω A und ω A 2 }; A A 2 heiÿt Schnittmenge) von A und A 2, z.b. A = {0, }, A 2 = {, 2} A A = {}. Die Menge, deren Elemente in mindestens einer der beiden Mengen A oder A 2 enthalten sind d.h. in A oder A 2 oder in beiden Mengen), bezeichnet man mit A A 2, also A A 2 = {ω; ω A oder ω A 2 } Achtung: "oder" wird hier, wie in der Mathematik üblich, als "inklusives oder" verstanden, also im Sinne von "das eine oder das andere oder beides", nicht als "exklusives oder" im Sinne von "entweder... oder... ".) A A 2 heiÿt Vereinigung von A und A 2, z.b. A = {0, }, A 2 = {, 2} A A 2 = {0,, 2}. Oenbar gilt A A 2 A und A A 2 A 2 sowie A A A 2 und A 2 A A 2. Die Menge, deren Elemente in A 2 aber nicht in A enthalten sind, bezeichnet man mit A 2 \A = {ω; ω A 2 und ω / A } und nennt diese Menge das Komplement von A in A 2, z.b. A = {0, }, A 2 = {, 2} A 2 \A = {2}. Falls A A 2 schreibt man anstelle von A 2 \A auch A c oder A und spricht nur vom Komplement von A bzgl. A 2 ).

34 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 34 Welche Elemente enthält A A 2 )\A A 2 )? Lösung: Enthalten sind die Elemente, die in A A 2 - also in mindestens einer der beiden Mengen A, A 2 - enthalten sind, aber nicht in A A 2 - also in beiden Mengen A, A 2. Also: enthalten sind die Elemente, die entweder in A oder in A 2 aber nicht in beiden!) enthalten sind. Schreibweise A A 2 )\A A 2 ) = A A 2 symmetrische Dierenz von A und A 2 ), z.b. A = {0, }, A 2 = {, 2} A A 2 = {0, 2}. Wir nennen zwei Mengen A, A 2 disjunkt, falls A A 2 =, z.b. sind A = {0, } und A 2 = {2, } disjunkt. Für disjunkte Mengen A, A 2 gilt A A 2 = A A 2 )\A A 2 ) = A A 2 )\ = A A 2. Rechenregeln für Mengenoperationen Sind A, A 2, A 3 Ω Mengen und versteht man die Komplemente als Komplemente bzgl. Ω, so gelten i) A A 2 = A 2 A und A A 2 = A 2 A, ii) A =, A = A, Ω A = A, Ω A = Ω, iii) A A 2 ) A 3 = A A 2 A 3 ) und A A 2 ) A 3 = A A 2 A 3 ), iv) A A 2 A 3 ) = A A 2 ) A A 3 ) und A A 2 A 3 ) = A A 2 ) A A 3 ), v) A A 2 ) = A A 2 und A A 2 ) = A A 2. Es sei Ω eine Menge und PΩ) ihre Potenzmenge. Eine nicht-leere Teilmenge F von PΩ) heiÿt Mengensystem auf Ω. Die Elemente von F sind Elemente von PΩ),

35 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 35 also Teilmengen von Ω!) Ist z.b. Ω = {0, } so gilt P{0, }) = {, {0}, {}, {0, }}, so dass F = {, {0}} ein Mengensystem auf {0, } ist. Sind Ω und I Mengen I wie "Indexmenge") und ist für jedes i I eine Menge A i Ω gegeben, so ist F = {A i ; i I} ein Mengensystem auf Ω. Wir setzen A i = {ω Ω; für alle i I gilt ω A i } i I A i = {ω Ω; es gibt mindestens ein i I, so dass ω A i }. i I Ist I = N schreiben wir auch anstelle von A i bzw. i= i= i N i N A i A i bzw. A i. Z.B. ist für Ω = N = {, 2, 3, 4,...} und I = N durch A n = {2n} für alle n N das Mengensystem {{2n}; n N} gegeben, für das {2n} = {ω N; ω ist eine gerade Zahl} n= sowie gilt. Die de Morganschen Regeln {2n} = n= Für ein Mengensystem {A i ; i I} auf Ω gilt für die Komplemente bzgl. Ω: A i = A i und A i = A i. i I i I i I i I Damit sind wir am Ende unseres Exkurses über Mengen und wir kommen wieder zur elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie.

36 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 36 Fortsetzung von Beispiel 3. Der Ergebnisraum für das Zufallsexperiment "Werfen eines fairen Würfels" ist Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6}. Die möglichen Ausgänge dieses Experiments lassen sich durch Teilmengen von Ω beschreiben und heiÿen Ereignisse. Z.B. ist genau dann das Ergebnis ω des Experiments eine gerade Zahl, wenn ω {2, 4, 6}. Das Ergebnis ω ist eine Zahl echt gröÿer als 3, genau dann wenn ω {4, 5, 6}. Das Ergebnis ω ist eine gerade Zahl, die echt gröÿer als 3 ist, genau dann wenn ω {2, 4, 6} {4, 5, 6}= {4, 6}); das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse A und A 2 wird also durch den Schnitt A A 2 beschrieben. Andererseits tritt das Ergebnis "ω ist eine gerade Zahl oder eine Zahl, die echt gröÿer als 3 ist" genau dann ein wenn ω {2, 4, 6} {4, 5, 6}= {2, 4, 5, 6}); das Eintreten von mindestens einem von zwei Ereignissen A und A 2 wird also durch deren Vereinigung A A 2 beschrieben. Das Ereignis "ω ist keine gerade Zahl" tritt genau dann ein, wenn ω / {2, 4, 6}, also wenn ω {2, 4, 6}. Allgemein wird das Nichteintreten des Ereignisses A durch das Gegenereignis A beschrieben. Ein Ereignis A, das genau ein Element ent-hält, nennt man Elementarereignis, z.b. A = {6} ist das Elementar)ereignis, das eintritt, wenn wir eine 6 würfeln. Wir interessieren uns für die Ereignisse A = {2, 4, 6} = es wird eine gerade Zahl gewürfelt), A 2 = {5, 6} = es wird eine Zahl gewürfelt, die echt gröÿer als 4 ist) und das Elementarereignis A 3 = {6} = es wird eine 6 gewürfelt). Wie beurteilen wir die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten dieser Ereignisse? Zur Erinnerung: wir nehmen an, dass der Würfel "fair" ist, d.h. alle Zahlen = Ergebnisse) werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt. Bezeichnet man "Wahrscheinlichkeit" mit IP "probability"), so gilt also IP{}) = 6, IP{2}) = 6, IP{3}) = 6,..., IP{6}) = 6 bzw. für die Ereignisse A und A 2 IPA ) = A Ω = {2, 4, 6} {, 2, 3, 4, 5, 6} = 3 6 = 2

37 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 37 und IPA 2 ) = A 2 Ω = {5, 6} {, 2, 3, 4, 5, 6} = 2 6 = 3, wobei wir für eine Menge A mit endlich vielen Elementen mit A die Anzahl ihrer Elemente bezeichnen. Dieses Beispiel nehmen wir als Anlass zu der folgenden Denition. Denition 3.2. Für eine nicht-leere Menge Ω mit einer endlichen Anzahl von Elementen nennen wir die Abbildung IP : PΩ) [0, ], IPA) = A Ω Gleichverteilung auf Ω oder Laplaceverteilung auf Ω) und für eine Teilmenge A von Ω also das Ereignis A) heiÿt IPA) Wahrscheinlichkeit von A. Wenn es im weiteren aus dem Kontext heraus nicht klar ersichtlich ist, dass wir mit IP die Gleichverteilung auf Ω meinen, schreiben wir auch G Ω anstelle von IP; damit ist dann G Ω A) = A Ω für alle A PΩ). Das Paar Ω, G Ω ) heiÿt Laplace-Experiment auf Ω. Damit wird das Zufallsexperiment "Werfen eines fairen Würfels" durch das Laplace- Experiment {, 2, 3, 4, 5, 6}, G {,2,3,4,5,6} ) modelliert. Für ein allgemeines Laplace- Experiment auf einer beliebigen nicht-leeren Menge Ω mit endlich vielen Elementen gelten die folgenden Eigenschaften: i) IPΩ) = Ω =, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir bei Durchführung Ω des Experiments z.b. dem Werfen eines fairen Würfels) irgendein Ergebnis beobachten können denn das sind ja gerade alle Elemente von Ω) ist gleich. Deswegen heiÿt das Ereignis Ω auch sicheres Ereignis.

38 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 38 ii) IP ) = Ω = 0 Ω = 0, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir bei Durchführung des Experiments z.b. dem Werfen eines fairen Würfels) kein Ergebnis beobachten können, ist gleich 0. Deswegen heiÿt das Ereignis auch unmögliches Ereignis. iii) Sind A und A 2 disjunkte Teilmengen von Ω d.h. A A 2 = ) so ist die Anzahl der Elemente von A A 2 gleich der Summe der Anzahl der Elemente von A und der Anzahl der Elemente von A 2, d.h. es gilt A A 2 = A + A 2 für nicht disjunkte Teilmengen, z.b. A = {, 2} und A 2 = {2, 3}, ist das oensichtlich falsch). Hieraus folgt IPA A 2 ) = A A 2 Ω = A + A 2 Ω = A Ω + A 2 Ω = IPA ) + IPA 2 ). Für disjunkte Ereignisse A und A 2 ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt dieses Ereignis wird ja durch A A 2 beschrieben) gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse. Allgemeiner gilt mit demselben Argument: sind A, A 2,..., A n paarweise disjunkte Ereignisse wobei "paarweise disjunkt" bedeutet, das A j A k = für zwei verschiedene Indices j und k), so gilt IPA A 2... A n ) = IPA ) + IPA 2 ) IPA n ). iv) Ein sehr nützlicher Spezialfall von iii) ist der Fall, dass man zu einem Ereignis A Ω) das sog. Gegenereignis A Komplement bzgl. Ω) betrachtet. A und A sind disjunkt und es gilt Ω = A A, so dass Hieraus folgt die nützliche Gleichung = IPΩ) = IPA A) = IPA) + IPA). IPA) = IPA).

39 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 39 v) Zur konkreten Berechnung der Wahrscheinlichkeit IPA) = A Ω ist es häug sinnvoll A aufzufassen als "Anzahl der für das Ereignis A günstigen Ergebnisse des Zufallsexperiments" und Ω als "Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments". Weitere Beispiele für Laplace-Experimente sind etwa das Zufallsexperiment "Werfen einer fairen Münze" mit Ω = {Kopf, Zahl}) oder "Zahl, die bei einer Runde Roulette ermittelt wird" mit Ω = {0,, 2,..., 36}). Was braucht man für Laplace-Experimente? i) Den richtigen Ergebnisraum, ii) die Kunst des Zählens Kombinatorik) zur Ermittlung der "Anzahl der für ein Ereignis günstigen Fälle". Ein Beispiel zu i): Beispiel 3.3. Als Zufallsexperiment betrachten wir die Summe zweier fairer Würfel. Als oensichtlichen Ergebnisraum wählen wir Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2}. Da aber die Summe zweier fairer Würfelwürfe viel seltener eine 2 ergibt als beispielsweise eine 7, handelt es sich oenbar nicht um ein Laplace-Experiment, so dass sich die Gleichverteilung G Ω auf Ω nicht zur Beschreibung unseres Experiments eignet. Wir denken uns die beiden Würfel als unterscheidbar - etwa ist einer rot und der andere blau. Dann liefert das Experiment also Zahlenpaare ω, ω 2 ) die erste Komponente den Wert des roten Würfels, die zweite den Wert des blauen Würfels), an deren Summe ω +ω 2 wir interessiert sind. Damit haben wir als neuen Ergebnisraum Ω 0 = {ω, ω 2 ); ω, ω 2 {, 2, 3, 4, 5, 6}}.

40 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 40 Die Annahme, dass beide Würfel fair sind, impliziert, dass die Gleichverteilung G Ω0 auf Ω 0 das richtige Modell liefert für das Zufallsexperiment "gewürfelte Zahlenpaare zweier unterscheidbarer) fairer Würfel". Es gilt Ω 0 = 6 6 = 36 und damit für jedes Ereignis A Ω 0. IPA) = G Ω0 A) = A Ω 0 = A 36 Wie hilft uns das beim Experiment "Summe zweier fairer Würfelwürfe"? Die Summe zweier fairer Würfelwürfe setzt sich natürlich zusammen aus den beiden Summanden, ω = ω + ω 2, von denen die Paare ω, ω 2 ) mit jeweils derselben Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden. Elementarereignis Menge der Anzahl Anzahl {ω} bei Paare ω, ω 2 ) der für {ω} "günstige Fälle" "Summe zweier Würfel" mit ω = ω + ω 2 "günstigen Fälle" Anzahl "mögliche Fälle" {2} {, )} 36 {3} {, 2), 2, )} {4} {, 3), 3, ), 2, 2)} {5} {, 4), 4, ), 2, 3), , 2)} {6} {, 5), 5, ), 2, 4), , 2), 3, 3)} {7} {, 6), 6, ), 2, 5), = 6 5, 2), 3, 4), 4, 3)} {8} {2, 6), 6, 2), 3, 5), , 3), 4, 4)}

41 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 {9} {3, 6), 6, 3), 4, 5), = 9 5, 4)} {0} {4, 6), 6, 4), 5, 5)} {} {5, 6), 6, 5)} {2} {6, 6)} 36 Die Wahrscheinlichkeit dafür, z.b. eine Summe von zu würfeln, ist mit 2 36 doppelt so hoch, wie die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von 2 zu würfeln, die 36 beträgt. Das Ereignis mit der Würfelsumme eine 0 oder höher zu würfeln, wird durch A = {0,, 2} beschrieben. Nach obiger Tabelle gibt es hierfür die günstigen Fälle 4, 6), 6, 4), 5, 5), 5, 6), 6, 5) und 6, 6), also insgesamt 6 günstige Zahlenpaare, so 6 dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis = 0, 67, also ca. 6, 7% 36 6 ist. Anstatt des Umwegs, die für das Ereignis A = {0,, 2} günstigen Fälle abzuzählen, kann man auch so vorgehen wenn man mit IP wieder die entsprechende Wahrscheinlichkeit bezeichnet, auch wenn jetzt kein Laplace-Experiment vorliegt): IP{0,, 2}) = IP{0} {} {2}) = IP{0}) + IP{}) + IP{2}) da die Elementar)ereignisse {0}, {}, {2} paarweise disjunkt sind) = nach obiger Tabelle) = 6 36 = 6.

42 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 42 Wir führen uns nochmals die Vorgehensweise in diesem Beispiel vor Augen: Wir sind an den Wahrscheinlichkeiten der Elementar)ereignisse von Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2} interpretiert als "Summe zweier fairer Würfelwürfe" interessiert. Um diese unbekannten Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, betrachten wir den zweiten Ergebnisraum Ω 0 = {ω, ω 2 ); ω, ω 2 {, 2, 3, 4, 5, 6}} zusammen mit der Gleichverteilung G Ω0 auf Ω 0, interpretiert als "Wurf zweier unterscheidbarer) fairer Würfel", und der Abbildung X : Ω 0 Ω, Xω, ω 2 ) = ω + ω 2. Für jedes Ergebnis ω Ω, z.b. ω = 3, bestimmen wir die Menge derjenigen Paare ω, ω 2 ) Ω 0, für die ω = Xω, ω 2 ) gilt, z.b. {, 2), 2, )}. Wir schauen uns die Abbildung X quasi "rückwärts" an: wenn als Resultat ω heraus kommt, welche Argumente ω, ω 2 ) führen zu diesem Resultat?) Für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten haben wir herausgefunden IP{ω}) = G Ω0 {ω, ω 2 ) Ω 0 ; Xω, ω 2 ) = ω} ), z.b. IP{3}) = G Ω0 {, 2), 2, )}) = Die Gleichverteilung als Maÿ für die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in einem Ergebnisraum mit endlich vielen Elementen Ω ist als Modell für viele Probleme zu speziell, wie das obige Beispiel zeigt. Sie hat aber zwei wichtige Eigenschaften, die wir zum Anlass einer allgemeinen Denition nehmen.

43 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 43 Denition 3.4. Es sei Ω eine nicht-leere Menge, die nur endlich viele Elemente besitze. Dann heiÿt eine Abbildung IP : PΩ) [0, ] ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ kurz: W'maÿ) oder Wahrscheinlichkeitsverteilung - kurz: W'verteilung) auf PΩ)), falls folgende Eigenschaften erfüllt sind: i) IPΩ) =, ii) Falls A und A 2 disjunkte Ereignisse sind, gilt IPA A 2 ) = IPA ) + IPA 2 ). Für ein Ereignis A interpretiert man die Zahl IPA) natürlich als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintritt wer prozentuale Wahrscheinlichkeiten bevorzugt, erhält diese natürlich durch 00 IPA)%). Aus der Eigenschaft ii) folgt, dass IPA A 2... A n ) = IPA ) + IPA 2 ) IPA n ) für alle paarweise disjunkten Ereignisse A,..., A n. Für ein beliebiges Ereignis A sind die beiden Ereignisse A und A Gegenereignis) disjunkt. Wegen Ω = A A folgt aus den Eigenschaften i) und ii) = IPΩ) = IPA) + IPA) IPA) = IPA). Insbesondere folgt IP ) = 0 für Ω und Ω =. Aus der Eigenschaft ii) lassen sich weitere nützliche Gleichungen herleiten, von denen wir exemplarisch zwei vorstellen. Sind A und A 2 Ereignisse mit A 2 A, so gilt A = A \A 2 ) A 2 Übung!). Da A \A 2 und A 2 disjunkt sind, folgt aus der Eigenschaft ii) IPA ) = IPA \A 2 ) A 2 ) = IPA \A 2 ) + IPA 2 ), was wir umformen können zu IPA \A 2 ) = IPA ) IPA 2 ). 22)