Nichtlineare Gleichungen, mehrere Unbekannte

Transkript

1 Dritte Vorlesung, 6. März 2008, Inhalt Aufarbeiten von Themen der letzten Vorlesung, und Nichtlineare Gleichungen, mehrere Unbekannte Systeme nichtlinearer Gleichungen Vektor- und Matrixnormen Fixpunkt-Iteration, mehrdimensional Verfahren: Newton-Raphson und Varianten, Minimierung. 1

2 Mehrere Unbekannte: Aufgabentypen, Formulierungen Nichtlineares Gleichungssystem in zwei Unbekannten 4x y + xy = 1 x + 6y = 2 log(xy) Nullstelle einer vektorwertigen Funktion f : R 2 R 2 4x y + xy 1 = 0 x + 6y + log(xy) 2 = 0 f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 f(x) = 0 Fixpunkt einer vektorwertigen Funktion Φ : R 2 R 2 x 1 = 1 4 (x 2 x 1 x 2 + 1) x 2 = 1 6 (x 1 log(x 1 x 2 ) + 2) x = Φ(x) Beispiel im Skriptum, ab S.21, durchgerechnet! 2

3 Vergleiche: Diese Folie aus der erster Vorlesung behandelte die entsprechenden eindimensionalen Formulierungen, siehe auch Skript.1.2 Nichtlineare Gleichungen in einer Unbekannten Hier behandelte Aufgabentypen: g(x) = h(x), (Finden der Lösung einer Gleichung) f(x) = 0, (Finden einer Nullstelle der Funktion f) x = φ(x), (Finden eines Fixpunktes der Funktion φ) Unter einer Nullstelle der Funktion f versteht man eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Unter einem Fixpunkt der Funktion φ versteht man eine Lösung der Gleichung x = φ(x). 3

4 Schreibweise Reellwertige Funktionen, Skalare: f : R R, y = f(x) Vektorwertige Funktionen, Vektoren: f : R n R n, y = f(x) Komponenten eines Vektors R n : x = x 1 x 2. x n oder x T = [x 1, x 2,..., x n ] Normalerweise ist mit x immer ein Spalten-, mit x T ein Zeilenvektor gemeint. Iterationsindizes sind (um sie von Vektorkomponenten zu unterscheiden) in der Regel hochgestellt, in Klammern: x (k), k = 0,1,2... 4

5 Fixpunkt-Iteration, mehrdimensional Gegeben sei eine Abbildung Φ : R n R n, x Φ(x). Fixpunkt-Iteration findet, falls konvergent, einen Fixpunkt ξ von Φ. x (0) als Startwert gegeben. Iterationsvorschrift x (k+1) = Φ(x (k) ) für k = 0,1,2... Abbruchbedingung x (k+1) x (k) < ǫ 5

6 Vektornormen Eine Norm ist eine Maßzahl für die Größe eines Vektors oder einer Matrix. Für einen Vektor x = [x 1, x 2,..., x n ] T ist x 1 = x 2 = n i=1 n i=1 x = max i x i Einsnorm (x i ) 2 euklidische Norm, Zweinorm x i Unendlich-Norm, Maximums-Norm In Matlab: x 1 = norm(x,1), x 2 = norm(x) oder norm(x,2), x = norm(x,inf). 6

7 Matrixnormen Achtung Ergänzung zum Skriptum! Eine Matrixnorm misst die Größe einer Matrix. Die 1,2 und - Normen lassen sich von den entsprechenden Vektornormen ableiten: geben für die Rechenoperation y = A x an, um wieviel y gegenüber x maximal vergrößert wird. A 1 A 2 A Einsnorm: maximale Spaltenbetragssumme Zweinorm: größter Singulärwert Unendlich-Norm: maximale Zeilenbetragssumme A F Frobenius-Norm: a 2 ij In Matlab: A 1 = norm(a,1),..., A F = norm(a, fro ). 7

8 Fixpunkt-Iteration konvergiert für kontrahierende Abbildungen R n R n Die Funktion Φ(x) besitze einen Fixpunkt ξ: Φ(ξ) = ξ. Sei ferner B eine Umgebung um den Fixpunkt ξ in der Form B = {x : ξ x < r}, r > 0, sodass Φ in B eine kontrahierende Abbildung ist, d. h.es gilt Φ(x) Φ(y) C x y, C < 1 für alle x,y B in (irgend-)einer Norm. Dann konvergiert die Fixpunkt-Iteration x (k+1) = Φ(x (k) ) mindestens linear gegen ξ für alle x (0) B. 8

9 Fixpunkt-Iteration konvergiert lokal für D φ < 1 Die Matrix der partiellen Ableitungen D φ = φ 1 x 1 φ 1 x 2... Achtung Ergänzung zum Skriptum! φ 1 x n φ 2 φ 2 φ... 2 x 1 x 2 x n... φ n φ n φ n... x 1 x 2 x n heißt die Jacobi-Matrix der Abbildung Φ(x). Ist in einen Fixpunkt von Φ(x) (irgend-) eine Norm D φ < 1, dann konvergiert die Fixpunkt- Iteration für Startwerte in einer Umgebung des Fixpunktes. 9

10 Beispiel von vorhin Die Funktion Φ ist hier ein Vektor aus zwei reellwertigen Funktionen φ 1 und φ 2, der Vektor x hat zwei Komponenten x 1 und x 2. [ ] [ 1 φ1 (x Φ(x) = 1, x 2 ) = 4 (x ] 2 x 1 x 2 + 1) φ 2 (x 1, x 2 ) 1 6 (x 1 log(x 1 x 2 ) + 2) D φ = x x x x 2 Ausgewertet für x = [ ] 0,35 ( Fixpunkt) D 0,64 φ = [ ] 0,160 0,163 0, 310 0, 260 D φ 1 = 0,4695 D φ 2 = 0,4051 D φ = 0,5699 D φ F = 0,

11 Sekantenmethode als zweidimensionales Fixpunkt-Verfahren Die Sekantenmethode berechnet aus zwei Näherungen x (0), x (1) eine verbesserte Näherung, rechnet dann mit zwei neuen Näherungen weiter. Fasse die beiden Näherungen als Komponenten eines Vektors auf. Die Schreibweise x = [ ] x1 x 2, Φ(x) = [ x 2 f(x 2 ) ] x 2 x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) formuliert die Sekantenmethode als zweidimensionale Fixpunkt-Iteration x (k+1) = Φ(x (k) ) für k = 0,1,

12 Newton-Raphsonsches Verfahren für Systeme Gegeben eine differenzierbare vektorwertige Funktion f(x) und ein Startwert x (0). Gesucht eine Nullstelle von f. Iterationsvorschrift x (k+1) = x (k) + x (k) mit x (k) als Lösung von D f (x (k) ) x (k) = f(x (k) ) Auch dieses Verfahren ist ein Fixpunktverfahren. Die Iterationsfunktion lässt sich formal schreiben (Vorsicht rechnerische Ausführung in dieser Form ungünstig!) Φ(x) = x D f (x) 1 f(x) 12

13 Beispiel: Titration von 0,1m-Phosphorsäure mit 1m-NaOH Ein System sechs nichtlinearer Gleichungen bestimmt die Konzentration der undissoziierten H 3 PO 4 ; der Kationen H +, Na + ; und Anionen OH, H 2 PO 4, HPO 4, PO 4. H + OH = K w Ionenprodukt des Wassers H + H 2 PO 4 = K s1 H 3 PO 4 P-Säure, 1. Dissoziationsstufe H + HPO 4 = K s2 H 2 PO 4 2. Dissoziationsstufe H + PO 4 = K s2 HPO 4 3. Dissoziationsstufe H 3 PO 4 + H 2 PO 4 + HPO 4 + PO 4 = C 0PS P-Bilanz H 2 PO 4 + 2HPO 4 + 3PO 4 + OH = Na + + H + Elektroneutralität Die Lösung dieses Gleichungssystems für gegebene Na + -Konzentration bestimmt den ph-wert. Im Verlauf der Titration schwanken die einzelnen Konzentrationen über viele Zehnerpotenzen. Vorgefertigte Lösungsverfahren haben damit große Schwierigkeiten. Quelle: Dr. Josef Draxler, Verfahrenstechnik des industriellen Umweltschutzes, Leoben,

14 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme: Übersicht der Methoden Fixpunkt-Iteration: Allgemeine Formulierung; kein Rezept, um günstiges Φ zu finden. Newton-Raphson: Standard-Verfahren. Varianten: gedämpft: langsamere, aber verlässlichere Konvergenz. fixe Jacobi-Matrix: lin. Konvergenz, weniger Rechenaufwand MATLAB Symbolic Toolbox: solve liefert auch numerische Werte. Umformen auf Minimierungsaufgabe: finde Minimum einer skalaren Funktion in mehreren Variablen f(x) 2 min Heißt Nichtlineare unrestringierte Optimierung, unconstrained nonlinear optimization, umfangreiches Gebiet, viele Methoden. In MATLAB fminsearch(@fun,x0) verfügbar. 14